- 500 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/24(日) 15:52:55 ]
- D を平方数でない(正または負の)有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4)
とする。
ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の２次形式とする。
m を ax^2 + bxy + cy^2 で表現される有理整数とする
(過去スレ４の701)。
即ち不定方程 m = ax^2 + bxy + cy^2
に有理整数解 (u, v) があるとする。
α= au + (b + √D)v/2 とおく。
N(α) = (au + (b + √D)v/2)(au + (b - √D)v/2) =
a^2u^2 + au(b - √D)v/2 + au(b + √D)v/2) + (4acv^2)/4
= a^2u^2 + aub + acv^2
= am
一方
α = au + (b + √D)v/2 = au + (b - D + D + √D)v/2
= au + (b - D)/2 + (D + √D)v/2
判別式 D の整環を R とすると、
R = [1, (D + √D)/2] である(過去スレ４の585)。
一方
D = b^2 -4ac だから b^2 ≡ D (mod 4)
よって b が偶数のときは 0 ≡ D (mod 4) となって D も偶数であり、
b が奇数のときは 1 ≡ D (mod 4) となって D も奇数である。
よって (b - D)/2 は有理整数である。
よって α = au + (b - D)/2 + (D + √D)v/2 は R の元である。
|
 |
