- 580 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/02(月) 07:48:43 ]
- 命題
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。
f を判別式 D の主形式(>>523)とする。
即ち
D ≡ 0 (mod 4) のとき f = x^2 - (D/4)y^2
D ≡ 1 (mod 4) のとき f = x^2 + xy + ((1 - D)/4)D
R を判別式 D 整環とする。
f で表現される有理整数の全体は { N(θ) ; θ ∈ R } と一致する。
証明
D ≡ 0 (mod 4) のとき b = 0
D ≡ 1 (mod 4) のとき b = 1
とおく。
>>242 より f には R = [1, (-b + √D)/2] が対応する。
α = 1
β = (-b + √D)/2 とおく。
>>248 より
f(x, y) = N(xα - yβ)
証明終
