代数的整数論 II

1 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 16:08:30 ] さぁ、好きなだけ語れ。 シロート厳禁、質問歓迎！ 前スレ science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231 281 名前：208 mailto:sage [2005/12/09(金) 16:32:37 ] 最近めっぽう寒くなってきたね。 そんな代数幾何。 282 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 16:40:06 ] だからウォームアップをしてるんだろう 283 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 16:43:35 ] ああヴェイユ先生がみたら嘆くなあ 284 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 16:44:31 ] >>281 ニューカレドニアからは何時帰ってきたんだ 285 名前：208 [2005/12/09(金) 17:01:50 ] 補題 A を環とし、M を A-加群とする。 M が有限個の単純部分加群の和となるとする。 このとき、M はこれらの単純部分加群の一部または全ての直和となる。 証明 M = M_1 + ... + M_n (単なる和)で、各 M_i は単純とする。 各 M_i は相異なると仮定してよい。 M = M_1 ならこの場合は証明が終わるから、M ≠ M_1 と仮定してよい。 M_1 ∩ M_2 ≠ 0 なら M_1 = M_2 だから M_1 ∩ M_2 = 0 である。よって M_1 + M_2 は直和である。 M = M_1 + M_2 ならこの場合は証明が終わる。 よって、M ≠ M_1 + M_2 と仮定する。 (M_1 + M_2) ∩ M_k ≠ 0 が全ての k > 2 で成立つなら、 M_k ⊂ M_1 + M_2 となり、M = M_1 + M_2 となって仮定に反する。 よって、(M_1 + M_2) ∩ M_k = 0 となる k がある。 k = 3 と仮定してよい。よって M_1 + M_2 + M_3 は直和である。 以下、これを繰り返せばよい。 証明終 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:28:26 ] 優拳固にする必要はなかろう 287 名前：208 [2005/12/09(金) 17:32:28 ] おまえらクズどもが荒らすのをやめるまで、しばらく書き込むのをやめるぞ。 蛆虫どもめ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:33:40 ] 政界も財界も官界も数学界も建築界も どこもかしこも腐りきっている 先祖を大事にしろ？！ やす国の英霊をたてまつれ？！ 馬鹿いうんじゃねえ こんな腐った日本をつくって それを俺たちに押しつけている連中に なんの感謝の必要がある？ 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:35:50 ] >しばらく書き込むのをやめるぞ。 ネタがなくなったのなら正直にいえばいいのに しばらくどころか金輪際書かなくても どうせ誰も惜しまない内容だよね 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:37:14 ] 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:53:35 ] 695 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/09(金) 09:58:35 崩れだとかボスだとか公募だとか関係ないスレまで進出してきてウザイ ここで引き取って貰えませんか？ 292 名前：208 [2005/12/09(金) 18:00:47 ] 補題 A を環とし、M を A-加群とする。 M が有限個の単純部分加群の直和となるとする。 N を M の任意の部分加群とすると、N は M の直和因子となる。 証明 M = M_1 + ... + M_n (直和)で、各 M_i は単純とする。 M ≠ N と仮定してよい。 各 k で N ∩ M_k ≠ 0 なら N ∩ M_k = M_k 即ち M_k ⊂ N となって M = N となるから、N ∩ M_k = 0 となる k がある。k_1 はこのような k の最小値とする。N + M_(k_1) は直和である。M ≠ N + M_(k_1) なら 同様にして、(N + M_(k_1) ∩ M_(k_2) = 0 となる k_2 がある。 よって、N + M_(k_1) + M_(k_2) は直和である。 以下、これを繰り返せばよい。 証明終 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:06:30 ] 208復活おめ。 少なくとも俺は、このスレを楽しみにしているよ！ 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:06:45 ] 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:07:24 ] >>1 > 前スレ > science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231 前スレが見られないのですが、誰か保存していないでしょうか？ 296 名前：208 [2005/12/09(金) 18:10:04 ] >>292 において N は M/(M_(k_1) + M_(k_2) + ...) に同型だから N も、M_iの１つと同型な単純加群の直和となることが分かる。 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:12:18 ] ブルバキの劣化コピーか 298 名前：208 [2005/12/09(金) 18:12:57 ] >>293 復活もなにも、そもそも >>287 は俺じゃない。 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:13:55 ] ブルバキの劣化コピー！ 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:14:53 ] 前スレのログきぼん 301 名前：208 mailto:sage [2005/12/09(金) 18:15:13 ] そうだおれはおれじゃない じゃあおれはだれだ 302 名前：208 [2005/12/09(金) 18:17:28 ] 性格が悪いだけじゃないぞ。 303 名前：208 [2005/12/09(金) 18:19:00 ] 復活して脳内大学で講義する雄姿を見よ。 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:24:47 ] サボり龍の入れ墨した森毅が啖呵を決める「どっちでもええんちゃう」 305 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 18:31:36 ] >>304 それ、どんな龍や、ちゅうねん。ほな、さいなら〜〜。 306 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 18:44:09 ] >>298 見苦しいぞ。 そうまでして勝ちたいか！ 307 名前：208 [2005/12/09(金) 18:47:44 ] パプアニューギニアにいるから暑くてかなわん。 308 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 19:00:18 ] 劣化コピー烈火の如く怒るブルバキ 309 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 19:03:58 ] 月曜までにこのスレがなくなったら驚くな。 310 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 19:05:30 ] なぜベストを尽くさないのか！ 311 名前：208 mailto:sage [2005/12/09(金) 20:09:19 ] 俺は king だ。 king 氏ね。 312 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/09(金) 20:15:23 ] talk:>>311 お前に何が分かるというのか？ 313 名前：208 mailto:sage [2005/12/10(土) 02:54:49 ] そんな事より、ちょいと聞いてくれよ。問題とあんま関係ないけどさ。 このあいだ、近所の吉野家行ったんです。吉野家。 そしたらなんか人がめちゃくちゃいっぱいで座れないんです。 で、よく見たらなんか垂れ幕下がってて、１５０円引き、とか書いてあるんです。 もうね、アホかと。馬鹿かと。 お前らな、１５０円引き如きで普段来てない吉野家に来てんじゃねーよ、ボケが。 １５０円だよ、１５０円。 なんか親子連れとかもいるし。一家４人で吉野家か。おめでてーな。 よーしパパ特盛頼んじゃうぞー、とか言ってるの。もう見てらんない。 お前らな、１５０円やるからその席空けろと。 吉野家ってのはな、もっと殺伐としてるべきなんだよ。 Ｕの字テーブルの向かいに座った奴といつ喧嘩が始まってもおかしくない、 刺すか刺されるか、そんな雰囲気がいいんじゃねーか。女子供は、すっこんでろ。 で、やっと座れたかと思ったら、隣の奴が、大盛つゆだくで、とか言ってるんです。 そこでまたぶち切れですよ。 あのな、つゆだくなんてきょうび流行んねーんだよ。ボケが。 得意げな顔して何が、つゆだくで、だ。 お前は本当につゆだくを食いたいのかと問いたい。問い詰めたい。小１時間問い詰めたい。 お前、つゆだくって言いたいだけちゃうんかと。king 氏ね。 吉野家通の俺から言わせてもらえば今、吉野家通の間での最新流行はやっぱり、 ねぎだく、これだね。 大盛りねぎだくギョク。これが通の頼み方。 ねぎだくってのはねぎが多めに入ってる。そん代わり肉が少なめ。これ。 で、それに大盛りギョク（玉子）。これ最強。 しかしこれを頼むと次から店員にマークされるという危険も伴う、諸刃の剣。 素人にはお薦め出来ない。 まあお前らド素人は、牛鮭定食でも食ってなさいってこった。 314 名前：208 [2005/12/10(土) 03:30:28 ] >>313 208は下げないぞ！ 偽者め！ いい加減に荒らすのをやめろ！ 315 名前：208 [2005/12/10(土) 03:59:13 ] >>313 そうだ！荒らすんじゃない！この偽物め！ 316 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 10:06:53 ] >>295 保存してるけど、どうやって見せたらいい？ メールは悪いけど勘弁して。 317 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 15:20:55 ] 今日はまだ現われませんか 本物も偽物も 318 名前：208 [2005/12/12(月) 16:09:57 ] >>313 なつかしいな。特盛り食いたくなったｗ 319 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 16:11:47 ] >>316 連投規制にひっかからないように、 この刷れに貼付ければ？ 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/12(月) 16:14:15 ] >>316 期待しています。 321 名前：208 [2005/12/12(月) 16:20:17 ] このスレに貼付けるのやめてよ。別スレ立てるとかにして 322 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 16:26:28 ] 今日の授業はどう？ 323 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 16:28:01 ] バカ田大学をなめるなよ。 324 名前：208 [2005/12/12(月) 17:02:38 ] 命題 A を半単純環(>>279)とする。 A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。 m_i を I_j, j ≠ i の直和とする。 m_i は極大イデアルであり、A の極大イデアルは これら m_1, ..., m_n のみである。 証明 A/m_i は I_i に同型だから、m_i は極大である。 J を A の極大イデアルとする。 I_i が J に含まれないとする。I_i ∩ J ≠ 0 なら I_i の極小性から I_i ∩ J = I_i となって矛盾。 よって I_i ∩ J = 0 であり、I_i + J は直和である。 J は極大イデアルだから、 A = I_i + J となる。 j ≠ i で I_j が J に含まれないとすると、 同様に A = I_j + J となる。 A = I_j + J の両辺に I_i を掛けると I_i = (I_i)(I_j) + (I_i)J = 0 + 0 = 0 となって矛盾。 よって、J = m_i となる。 証明終 325 名前：208 [2005/12/12(月) 17:10:34 ] 命題 A を半単純環(>>279)とする。 A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。 m_i を I_j, j ≠ i の直和とする。 >>324 より m_i は極大イデアルであるが、 A_(m_i) は I_i と環として、従って体として同型である。 証明 読者に任す。 326 名前：208 [2005/12/12(月) 17:16:37 ] A_(m_i) ってなんだっけ？ 327 名前：208 [2005/12/12(月) 17:18:55 ] 命題 A を半単純環(>>279)とする。 任意の有限生成 A-加群 M は射影的である。 証明 M は有限生成だから、A 上の有限生成自由加群 L と全射 φ: L → M が存在する。Ker(φ) = N とおけば、 0 → N → L → M → 0 は完全である。 >>292 よりこの完全列は分解する。 よって M は自由加群の直和因子となって射影的である(>>186)。 証明終 328 名前：208 [2005/12/12(月) 17:20:42 ] A_(m_i) の意味を教えてくれ 329 名前：208 [2005/12/12(月) 17:21:37 ] >>326 A の極大イデアル m_i による局所化。 俺の ID を使うなよ。 330 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 17:24:07 ] だんだん劣化してきてるなあ 331 名前：208 [2005/12/12(月) 17:26:45 ] talk:>>329 お前誰だよ？ 332 名前：208 [2005/12/12(月) 17:30:44 ] >>327 >>>292 よりこの完全列は分解する。 M が有限個の単純部分加群の直和となることは >>285 より 明らかだろう。 333 名前：208 [2005/12/12(月) 17:36:29 ] 命題 A を半単純環(>>279)とする。 A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。 1 = e_1 + ... e_n で各 e_i ∈ I_i とする。 M を有限生成 A-加群とする。 M = e_1M + ... + e_nM (直和)となる。 各 e_iM は e_iM ≠ 0 なら I_i と同型な単純部分加群の直和となる。 証明 読者に任す。 334 名前：208 [2005/12/12(月) 17:41:10 ] いいかここに書き込むのは208だけだ。 335 名前：208 [2005/12/12(月) 17:42:01 ] どんどん劣化してきてるなあ 336 名前：208 [2005/12/12(月) 17:43:08 ] talk:>>335 お前に何が分かるというのか？ 337 名前：208 [2005/12/12(月) 17:49:23 ] ずんずん劣化してきてるなあ 338 名前：208 [2005/12/12(月) 17:50:27 ] 命題 A を半単純環(>>279)とする。 A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。 1 = e_1 + ... e_n で各 e_i ∈ I_i とする。 M を有限生成 A-加群とする。 m_i を I_j, j ≠ i の直和とする。 >>324 より m_i は極大イデアルであり、>>325 より A_(m_i) は I_i と同型な体である。 M_(m_i) の 体 A_(m_i) 上のベクトル空間としての次元を n_i とする。 このとき、e_iM は I_i と同型な単純部分加群の n_i 個の直和と になる。 証明 >>333 を使う。詳細は読者に任す。 339 名前：208 [2005/12/12(月) 17:53:12 ] 無意味な繰り返しだなあ 340 名前：208 [2005/12/12(月) 17:57:25 ] 命題 A を半単純環(>>279)とする。 M を A 上の階数 n(>>253) の射影加群とする。 M は階数 n の自由加群である。 証明 >>338 より明らか。 341 名前：208 [2005/12/12(月) 18:00:24 ] えー可換なのか 342 名前：208 [2005/12/12(月) 18:01:16 ] 命題 A を半単純環(>>279)とする。 Pic(A) = 0 である。 証明 >>340 より。 343 名前：208 [2005/12/12(月) 18:04:57 ] 可換かい。 だるいことやっとるのお。 344 名前：208 [2005/12/12(月) 18:10:30 ] もっとちゃんとしたこと可換かい。 345 名前：208 mailto:sage2008 [2005/12/12(月) 18:15:56 ] ほんまやね。 346 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 18:21:09 ] お前ら、俺にかまってほしいんだろ。 ひょっとして俺に惚れてるとかｗ 気持ち悪いな。 シッシッ、あっちいけよ、寄ってくるな。 347 名前：208 [2005/12/12(月) 18:23:35 ] こら偽者。 348 名前：208 [2005/12/12(月) 18:25:37 ] 大文字犬文字太文字 349 名前：208 [2005/12/12(月) 18:26:11 ] どれだ？ 350 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 18:29:53 ] 文字犬 351 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 19:16:03 ] >>341 >>343 予備知識として可換代数をやるって前スレでもこのスレでも 何度も言ってるだろ。それに、特に断らなければ環は可換と 仮定するとも。お前らこそ、だるいんだよ。 352 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 20:58:31 ] 　　　　　/　　　 ,ｨ,.ｲ ／ﾘﾉﾉ　l　! 　　　　 'ｨ　　　/__　'　　　　　i iﾉ 　　　 　 {　r ､i ‐i￣ ｀iｰ'r ‐=!'ﾞ 　　　 　 ヽl i),ﾞ 　ﾞｰ─'　iｰ-ｲ! 　　　　　　ヾi_　　' ､＿_ '　/ﾞ 　　　　　　　| ヽ　 　 - 　/ 　　　 　　 ,rｌ. _ ヽ､＿__,ｨ､ 　_,.. -‐, =ヽt' _ﾞ二二ﾆ'ｨﾉヽ､＿ ハッハッハ！　見ろ！ Invent崩れの百番煎じ論文がゴミのようだ 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/12(月) 22:47:37 ] >>316 横レスだがうｐローダ使うとか 354 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 00:49:52 ] >>352 あらすな、ボケェ！！！！！ 355 名前：208 [2005/12/13(火) 09:58:48 ] 命題 A を環とする。 M を A 上の階数 n(>>253) の射影加群とする。 B を A-代数としたとき、M(x)B も階数 n の射影加群である。 証明 >>207 より M(x)B は B-加群として射影的である。 φ: A → B を構造射とする。 q を B の素イデアルとし、p = φ^(-1)(q) を q の逆像とする。 (M(x)B)(x)B_q = M(x)B_q = (M(x)A_p)(x)B_q = (A_p)^n(x)B_q = (B_q)^n よって、rank(M(x)B)_q = n 証明終 356 名前：208 [2005/12/13(火) 10:01:09 ] M(x)って何？ 357 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 10:05:25 ] 答えてほしけりゃ俺のＩＤを使うな 358 名前：208 [2005/12/13(火) 10:14:15 ] 命題 A を半局所環(極大イデアルが有限個しかない環)とする。 M を A 上の階数 n(>>253) の射影加群とすると、 M は自由である。 証明 A の Jacobson 根基(前スレの238)、つまり A のすべての極大イデアルの 共通集合を I とする。 B = A/I は半単純環(>>279)である。 M(x)B は >>355 より B 上の階数 n の射影加群である。 よって >>340 より M(x)B = M/IM は B 上の階数 n の自由加群である。 M は射影加群だから A-加群として平坦である。 よって、>>182 の証明と同様にすればよい。 証明終 359 名前：208 [2005/12/13(火) 10:15:19 ] 俺は自由だ 360 名前：208 [2005/12/13(火) 11:25:12 ] 環 A のPicard群 の層を使わない定義をまだしていなかった。 定義 A を環とする。A 上の階数１の射影加群の同型類はテンソル積 によりアーベル群となる(>>262, >>263, >>270)。 これを A の Picard群と呼び Pic(A) と書く。 361 名前：208 [2005/12/13(火) 11:26:01 ] 命題 半局所環の Picard群は 0 である。 証明 >>358 より明らか。 362 名前：208 [2005/12/13(火) 11:29:15 ] 定義 A を環とし、A の非零因子全体の集合を S とする。 A の S による局所化 A_S を A の全商環と呼ぶ。 363 名前：208 [2005/12/13(火) 11:39:13 ] 命題 ネーター環の全商環は半局所環である。 証明 A をネーター環とする。 Ass(A) (前スレの89) に属す素イデアルの 合併は A の非零因子全体の集合と一致する(前スレの201)。 これから明らか。 証明終 364 名前：208 [2005/12/13(火) 11:48:26 ] 環 A の全商環 B が半局所環となるとする(例えば、A がネーター環なら >>363よりそうなる)。 M を A 上の階数１の射影加群とする。 >>361 より M(x)B は B-加群として B と同型である。 一方、M は平坦だから A-加群の完全列 0 → A → B を完全列 0 → M → M(x)B に写す。 よって、M は B の A-部分加群と同型になる。 これから、Pic(A) の構造を調べるには B の A-部分加群で階数１の 射影加群となるものを調べればよいことが分かる。 365 名前：208 [2005/12/13(火) 12:18:30 ] >>364 だから M(x) って何だよ？ 366 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 14:22:47 ] 川北君に嫉妬したＩｎｖｅｎｔ．崩れが、女児を刺す殺す！ 川北君に嫉妬したＩｎｖｅｎｔ．崩れが、女児を刺す殺す！ 川北君に嫉妬したＩｎｖｅｎｔ．崩れが、女児を刺す殺す！ 367 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 14:44:09 ] >>351 かわゆいね。そしてだるいね。 >>365 それはもっともな疑問だ208が勝手に工夫した記号だから こんなきごうつかうところをみると208はたんなる素人だが そのくせえらそうなんだよな 368 名前：208 [2005/12/13(火) 14:46:07 ] 今日からみんなで208ごっこしよう。 うすらが。 369 名前：208 [2005/12/13(火) 14:47:26 ] Ass(208)は単鈍環。 370 名前：208 [2005/12/13(火) 14:48:18 ] Ass(単鈍感)=208 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 16:52:13 ] あらすな、ボケェ！！！！！ 372 名前：208 [2005/12/13(火) 16:53:35 ] 今日の授業はどうだった？ 373 名前：208 [2005/12/13(火) 16:54:53 ] どうしてヴェイユ全集もってないの？ 374 名前：208 [2005/12/13(火) 16:59:30 ] 大文字犬文字太文字 どれ？ 375 名前：208 mailto:sage [2005/12/13(火) 17:10:29 ] ゆきやこんこ あられやこんこ 376 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 17:11:46 ] お前、例のｷﾁxxだろ。 ﾏｼﾞで病院行け 377 名前：208 [2005/12/13(火) 17:13:58 ] お前、例のｷﾁxxだろ。 ﾏｼﾞで病院行け 378 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 17:18:41 ] おまえが行け 阿弥陀が池 379 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 17:19:53 ] >>376 病室のパソコンから書き込んでいるのだが何か？ 380 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 19:13:39 ] I藤さんやY田さんだけじゃなくて、Y永さんもInventに論文あるよ。 来年はイタリアに行くみたい。 マジでInventも就職厳しいみたいだね。 381 名前：208 [2005/12/13(火) 20:52:20 ] >>308 king 氏ね

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