Hartshorne II Ex. 2.9 X を位相空間、Z を既約な閉集合とする。 Z の生成点(generic point)とは、Z = Cl{ζ} となる点ζのことである。 ここで、Cl{ζ} は、一点からなる集合{ζ}の閉包をあらわす。 X がスキームなら全ての(空でない)既約な閉集合は一意に定まる生成点 を持つことを示せ。
415 名前：グロタンディエック万歳協会会長 [03/10/28 19:33]
416 名前：１３２人目の素数さん [03/10/28 19:36]
Hartshorne II Ex. 2.10 R を実数体とする。Spec(R[X]) はどのようなものか述べよ。
417 名前：１３２人目の素数さん [03/10/28 19:41]
Hartshorne II Ex. 2.11. k = F_p を素数 p 個の元を持つ有限体とする。 Spec(k[X]) はどのようなものか述べよ。 各点における剰余体は何か。 与えられた剰余体を持つ点の個数はいくつか。
We do not necessarily recommend [2] (Hartshorne) as an introduction (or as a reference) to algebraic geometry. Even though [2] contains many exercises, some important results are among those exercises which are quoted in proofs of theorems. If one can solve those exercises by oneself, then [2] is a very useful book. The cohomology theory of coherent sheaves, including a proof of Serre's duality, is treated much more carefully in [2] than in other books. One can read [2] focusing on cohomology theory. In [2], only a projective morphism is considered in proofs, which does not cause any problems. It is more important to be able to use cohomology than to be able to prove cohomological results.
(a) スキーム X が被約であるための必要十分な条件は、 任意の点 x で O_xが 0 以外のベキ零元を持たないことである。
証明 証明の前に言葉を定義する。 環 A が 0 以外のベキ零元を持たないとき、被約と呼ぶ。
さて、X が被約であるとする。 U を x を含む開集合とする。 f を O_X(U) の元で (f_x)^n = 0 とする。 ここで f_x は f の x における芽を表す。 (f_x)^n = (f^n)_x であるから、f^n | V = 0 となる x を含む開集合 V がある。X は被約であるから O_X(V) も被約である。 従って、f | V = 0 となる。故に、f_x = 0 となる。 即ち、O_x は被約である。
逆に X の任意の点 x で O_xが被約であるとする。 任意の開集合 U に対して, O_X(U) が被約であることを示す。 f を O_X(U) の元で f^n = 0 とする。x を U の任意点とすると、 (f_x)^n = 0 となる。仮定により O_x は被約であるから、f_x = 0 となる。従って、x の十分近い近傍で f = 0 となる。 x は U の任意の近傍であり、O_X は層だから U において f = 0 となる. 即ち、O_X(U) は被約である。
(b) X をスキームとする。前層 U → O_X(U)_red から層化により 得られる層を、(O_X)_red と書く。ここで、環 A に対してA_red は、A/nil(A) を表す。nil(A) は A のベキ零元イデアル。 (X, (O_X)_red) がスキームであることを示せ。 これを、スキーム X に付随する被約スキームと呼び、X_red と書く。 射 X_red → X が存在し、これは、sp(X_red) と sp(X) の位相同型を 引き起こすことを示せ。ここでsp(X) は X を位相空間と考えたもの。
証明 X をアフィンスキーム Spec(A) と仮定してよい。 Spec(A/nil(A)) が X_red であることは見やすい。 標準的射 A → A/nil(A) より、射 X_red → X が存在する。 これが位相同型であることは明らか。
(c) X → Y をスキーム間の射とし、X は被約とする。 X → Y_red が一意に存在し、X → Y は X → Y_red → Y と分解される。 証明 まず、環の射 A -> B があり、B が被約なら、 A/nil(A) → B が存在し、A -> B は、A -> A/nil(A) → B と 分解することに注意する。 さて、U を Y の開集合とする。射 X → Y に付随して 射 O_Y(U) → O_X(f^(-1)(U)) が存在する。 O_X(f^(-1)(U)) は被約であるから、上の注意より O_Y(U)/nil(O_Y(U)) → O_X(f^(-1)(U)) が存在し、 上の射は、O_Y(U) → O_Y(U)/nil(O_Y(U)) → O_X(f^(-1)(U)) と 分解する。O_Y_red は前層 U → O_Y(U)/nil(O_Y(U)) の層化だから (c) は直ちに得られる。
(a) V を代数的閉体 k 上の代数多様体とする。 点 P ∈ t(V) が閉点であるためには、その剰余体が k である ことが必要十分であることを示せ。
証明 V をアフィンと仮定してよい。A をその座標環とする。 P が閉点であることは、P が A の極大イデアルであることと 同値である。P が A の極大イデアルなら、ヒルベルトの零点定理より P の剰余体 k(P) は, k の代数拡大である。k は代数的閉体であるから、 k(P) = k となる。逆は明らか。
(b) ψ: A → B を環準同型とする。f: Y = Spec(B) → X = Spec(A) をψにより誘導された射とする。 ψが単射であるためには、f^#: O_X → f_*(O_Y) が単射であることが 必要十分である。 さらに、この場合、f は支配的、即ち f(Y) が X において稠密で あることを示せ。
証明 前半は明らか。 ψ: A → B が単射とする。 h を A の元で、D(h) が空でないとする。 (a) より h はベキ零でない。ψは単射だから、ψ(h) もベキ零でない。 f^(-1)(D(h)) = D(ψ(h)) だから、D(h) ∩ f(Y) は空でない。 即ち f(Y) は X において稠密である。
(d) (c) の逆を証明せよ。即ち、f: Y → X が Y のある閉集合への 位相同型であり、f^#: O_X → f_*(O_Y) が全射なら、ψは全射である。
証明 まず最初に A ⊆ B と仮定する。 f(Y) は X において稠密な閉集合だから、f(Y) = X となる。 I = { x ∈ A ; xB ⊆ A } とおく。 I は A のイデアルである。I ≠ A と仮定する。 I ⊆ P となる A の素イデアルがある。 f(Y) = X だから、P = f(Q) となる B の素イデアル Q がある。 仮定より O_X → f_*(O_Y) は全射だから、A_P = B_Q である。 従って、任意の B の元 b に対して b/1 ∈ A_P 即ち、 ある s ∈ A - P で sb ∈ A となるものが有る。 しかし、これは、I ⊆ P に矛盾する。 故に、I = A でなければならない。即ち、A = B となる。 A → B が単射でない場合は、 A → B を A → A/kerψ → B と 分解して考えればよい。
>>480の証明は間違いだった。（苦笑） 正しくは、A に含まれない B の元 b があったとして、矛盾を導く。 I = { x ∈ A ; xb ∈ A } とおく。 後は任せる。 こういうこともあるから、このスレの証明を鵜呑みにしたら駄目だぞ。 各自、自分でチェックしたほうがいい。
484 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 20:37]
定義 f: X → Y をスキームの射とする。 Y がアフィン開集合 V_i = Spec(B_i) による被覆を持ち、 各 f^(-1)(V_i) が アフィン開集合 U_ij = Spec(A_ij) による 被覆をもち、各 A_ij が有限生成の B_i 代数であるとき、 f を局所有限型という。 もし、各 f^(-1)(V_i) が 有限個の U_ij による被覆をもつとき f を有限型という。
485 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 20:47]
Hartshorne II Ex. 3.1
以下を証明せよ。 スキームの射 f: X → Y が局所有限型であるためには、 Y の任意のアフィン開集合 V = Spec(B) に対して、f^(-1)(V) がアフィン開集合 U_j = Spec(A_j) により被覆され、 各 A_j が有限生成の B-代数となることが必要十分である。
486 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 20:53]
Hartshorne II Ex. 3.2
スキームの射 f: X → Y が次の条件を満たすとき、準コンパクトという。 Y がアフィン開集合 V_i による被覆を持ち、 各 f^(-1)(V_i) が準コンパクトとなる。
以下を証明せよ。 f が準コンパクトであるためには、任意のアフィン開集合 V ⊆ Y に 対して、 f^(-1)(V) が準コンパクトとなることが必要十分である。
487 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 21:06]
Hartshorne II Ex. 3.3 以下を証明せよ。
(a) スキームの射 f: X → Y が有限型であるためには、 局所有限型かつ準コンパクトであることが必要十分である。
(b) スキームの射 f: X → Y が有限型であるためには、 Y の任意のアフィン開集合 V = Spec(B) に対して、f^(-1)(V) が有限個のアフィン開集合 U_j = Spec(A_j) により被覆され、 各 A_j が有限生成の B-代数となることが必要十分である。
(c) スキームの射 f: X → Y が有限型であれば、以下が成立する。 Y の任意のアフィン開集合 V = Spec(B) と、f^(-1)(V) の任意の アフィン開部分集合 U = Spec(A) ⊆ f^(-1)(V)に対して、 A は有限生成の B-代数となる。
488 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 21:14]
Hartshorne II Ex. 3.4
f: X → Y をスキームの射とする。 Y がアフィン開集合 V_i = Spec(B_i) による被覆を持ち、 各 f^(-1)(V_i) が アフィン開集合 Spec(A_i) であり、 各 A_i が有限生成の B_i-加群であるとき、 f を有限射という。
以下を証明せよ。 スキームの射 f: X → Y が有限射であるためには、 Y の任意のアフィン開集合 V = Spec(B) に対して、f^(-1)(V) がアフィン開集合 U = Spec(A) となり、 A が有限生成の B-代数となることが必要十分である。
489 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 21:23]
Hartshorne II Ex. 3.5
f: X → Y をスキームの射とする。 任意の点 y ∈ Y に対して f^(-)(y) が有限集合となるとき f を準有限射という。
(a) 有限射は準有限射であることを示せ。
(b) 有限射は閉写像であることを示せ。即ち、任意の閉集合の f による像は閉集合となる。
(c) 全射で有限型かつ準有限な射で有限射でない例をしめせ。
490 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 21:36]
Hartshorne II Ex. 3.6
スキーム X の各開集合 U に対して、O_X(U) が整域となるとき X を整スキームという。
X を整スキームとする。X の生成点 ζ における局所環 O_ζは 体であることを示せ。これを X の関数体と呼び、K(X) と書く。 U = Spec(A) を X の任意の開集合としたとき、K(X) は A の 商体と同型であることを示せ。
491 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 21:54]
Hartshorne II Ex. 3.7
f: X → Y をスキームの射とし、Y を既約とする。 Y の生成点ζに対して、f(-1)(ζ) が有限集合のとき、 f を生成的に有限と呼ぶ。
射 f は、f(X) が Y において稠密なとき支配的と呼ぶ。
さて、X, Y をともに整スキームとし、f: X → Y を 支配的かつ生成的に有限な有限型の射とする。 Y の稠密な開部分集合 U が存在し、f により誘導される射 f^(-1)(U) → U が有限射となることを示せ。 [ヒント：最初に X の関数体は Y の関数体の有限次拡大である ことを示せ。]
X を位相空間、Z を既約な閉集合とする。 Z の生成点(generic point)とは、Z = Cl{ζ} となる点ζのことである。 ここで、Cl{ζ} は、一点からなる集合{ζ}の閉包をあらわす。 X がスキームなら全ての(空でない)既約な閉集合は一意に定まる生成点 を持つことを示せ。
証明 F を X の既約な閉集合といする。 まず、X がアフィンスキーム Spec(A) のときは、F = V(P) となる。 ここで、P は A の素イデアル。この P が F の生成点である。 これが一意に定まることも明らか。 X が一般のスキームとする。F と交わる空でないアフィン開集合 U をとる。 U ∩ F は F の空でない開集合だから既約である。 従がって、U ∩ F は U の既約な閉集合である。最初に述べたことから U ∩ F は生成点 ζ を持つ。U ∩ F は F の稠密な部分集合だから、 ζは F の生成点でもある。U ∩ F の生成点は一意に定まるから F の生成点も一意に定まる。
