- 481 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 00:27]
- >>412 の解答
Hartshorne II Ex. 2.19
A を環とする。以下の条件は同値であることを示せ。
(1) Spec(A) は不連結
(2) A の 0 でない元 e1, e2 で、(e1)(e2) = 0, (e1)^2 = e1 (e2)^2 = e2
となるものが存在する(これらは、直交するベキ等元と呼ばれる)。
(3) A は 二つの 0 でない環の直積 A1 x A2 となる。
証明
(1) → (2)
X = Spec(A) は互いに交わらない空でない開集合 U, V の和集合となる。
U で 1、V で 0 となる X 上の切断を e1 とし、
V で 1、U で 0 となる X 上の切断を e2 とすればよい。
(2) → (3)
A1 = Ae1, A2 = Ae2 とすればよい。
(3) → (1)
Spec(A) は、Spec(A1) と Spec(A2) の直和となることから明らか。
