(d) (c) の逆を証明せよ。即ち、f: Y → X が Y のある閉集合への 位相同型であり、f^#: O_X → f_*(O_Y) が全射なら、ψは全射である。
証明 まず最初に A ⊆ B と仮定する。 f(Y) は X において稠密な閉集合だから、f(Y) = X となる。 I = { x ∈ A ; xB ⊆ A } とおく。 I は A のイデアルである。I ≠ A と仮定する。 I ⊆ P となる A の素イデアルがある。 f(Y) = X だから、P = f(Q) となる B の素イデアル Q がある。 仮定より O_X → f_*(O_Y) は全射だから、A_P = B_Q である。 従って、任意の B の元 b に対して b/1 ∈ A_P 即ち、 ある s ∈ A - P で sb ∈ A となるものが有る。 しかし、これは、I ⊆ P に矛盾する。 故に、I = A でなければならない。即ち、A = B となる。 A → B が単射でない場合は、 A → B を A → A/kerψ → B と 分解して考えればよい。
