- 386 名前：１３２人目の素数さん [03/10/27 21:46]
- Hartshorne II Ex. 2.18.
この問題では環準同型のある種の性質とそれから誘導された
スペクトル間の射の性質を比較する。
(a) A を環、X = Spec(A), f ∈ A とする。
f がベキ零であるためには、D(f) が空であることが必要十分である。
(b) ψ: A → B を環準同型とする。f: Y = Spec(B) → X = Spec(A)
をψにより誘導された射とする。
ψが単射であるためには、f^#: O_X → f_*(O_Y) が単射であることが
必要十分である。
さらに、この場合、f は支配的、即ち f(Y) が X において稠密で
あることを示せ。
(c) 上と同じ記号で、ψが全射なら、f は Y から X のある閉集合への
位相同型であり、f^#: O_X → f_*(O_Y) は全射であることを示せ。
(d) (c) の逆を証明せよ。即ち、f: Y → X が Y のある閉集合への
位相同型であり、f^#: O_X → f_*(O_Y) が全射なら、ψは全射である。
(ヒント) X' = Spec(A/ker ψ) を考えよ、さらに (b) と (c) を使用せよ。
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