- 457 名前：１３２人目の素数さん [03/10/30 19:32]
- >>319 の解答
Hartshorn II Ex. 2.3.
(c) X → Y をスキーム間の射とし、X は被約とする。
X → Y_red が一意に存在し、X → Y は
X → Y_red → Y と分解される。
証明
まず、環の射 A -> B があり、B が被約なら、
A/nil(A) → B が存在し、A -> B は、A -> A/nil(A) → B と
分解することに注意する。
さて、U を Y の開集合とする。射 X → Y に付随して
射 O_Y(U) → O_X(f^(-1)(U)) が存在する。
O_X(f^(-1)(U)) は被約であるから、上の注意より
O_Y(U)/nil(O_Y(U)) → O_X(f^(-1)(U)) が存在し、
上の射は、O_Y(U) → O_Y(U)/nil(O_Y(U)) → O_X(f^(-1)(U)) と
分解する。O_Y_red は前層 U → O_Y(U)/nil(O_Y(U)) の層化だから
(c) は直ちに得られる。
