- 601 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/05(月) 12:08:11 ]
- 命題
>>600 の写像 Φ+ は単射である。 証明 f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 と g(x, y) = kx^2 + lxy + my^2 を判別式 D の正定値かつ原始的な2次形式とする。 さらに [a, (-b + √D)/2] と [k, (-l + √D)/2] が同じ I(R)/P(R) の類に属すとする。 θ = (-b + √D)/2a τ = (-l + √D)/2k とおく。 >>599 より ps - qr = 1 となる有理整数 p, q, r, s があり、 θ = (pτ + q)/(rτ + s) となる。 aθ^2 + bθ + c = 0 だから a(pτ + q)^2 + b(pτ + q)(rτ + s) + c(rτ + s)^2 = 0 この左辺は f(pτ + q, rτ + s) である。 f(px + qy, rx + sy) を x, y の2次形式とみたものを h(x, y) とする。 >>405 より h(x, y) は判別式 D の正定値かつ原始的な2次形式である。 h(τ, 1) = 0 だから h(x, 1) は τ を根とする2次式で、その係数 の最大公約数が 1 かつ最高次の係数が正であり τ により 一意に決まる(>>276)。 一方 τ = (-l + √D)/2k は kx^2 + lx + m の根でもあるから g(x, y) = h(x, y) である。 証明終
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