- 547 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 17:30:04 ]
- 命題
A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。
A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。
I = (A : B) を A の導手とする。
このとき次のアーベル群の完全列が存在する。
0 → B^*/A^* → (B/I)^*/(A/I)^* → Pic(A) → Pic(B) → 0
証明
以下、簡単のためにアーベル群の標準同型を等号 = で表す。
>>539 より次のアーベル群の完全列が存在する。
0 → B^*/A^* → Σ (B_p)^*/(A_p)^* → Pic(A) → Pic(B) → 0
ここで p は A の 0 でない素イデアル全体を動くが、
I ⊂ p でないときは >>436 より B_p = A_p である。
よって Σ (B_p)^*/(A_p)^* は I ⊂ p となる p のみの有限和である。
(B/I)^*/(A/I)^* = Σ (B_p)^*/(A_p)^* を言えばよい。
>>543 より (A/I)^* = Σ (A_p/IA_p)^* である。
>>544 より (B/I)^* = Σ (B_p/IB_p)^* である。
よって
(B/I)^*/(A/I)^* = Σ (B_p/IB_p)^*/(A_p/IA_p)^* である。
>>546 より (B_p)^*/(A_p)^* = (B_p/IB_p)^*/(A_p/IA_p)^* である
証明終
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