- 546 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 17:12:04 ]
- 補題
A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。
A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。
I = (A : B) を A の導手とする。
p を I ⊂ p となる A の素イデアルとする。
I は A に含まれる B のイデアルだから IB_p = IA_p である。
よって (A_p/IA_p)^* ⊂ (B_p/IB_p)^* である。
このとき (B_p)^*/(A_p)^* はアーベル群として
(B_p/IB_p)^*/(A_p/IA_p)^* に標準的に同型である。
証明
>>545 より ψ: (B_p)^* → (B_p/IB_p)^* は全射である。
ψと標準射 (B_p/IB_p)^* → (B_p/IB_p)^*/(A_p/IA_p)^* の合成射を
Ψ: (B_p)^* → (B_p/IB_p)^*/(A_p/IA_p)^* とする。
B_p の可逆元 x に対して Ψ(x) = 0 とする。
これは ψ(x) ∈ (A_p/IA_p)^* を意味する。
よって x ≡ y (mod IB_p) となる y ∈ A_p がある。
IB_p = IA_p だから x ∈ A_p である。
x は B_p の可逆元だから x ∈ A_p である。
ψ(x) ∈ (A_p/IA_p)^* だから x ∈ (A_p)^* である。
よって Ψ の核は (A_p)^* である。
証明終
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