- 544 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 16:11:12 ]
- 命題
A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。
A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。
I = (A : B) を A の導手とする。
(B/I)^* はアーベル群として Σ (B_p/IB_p)^* に標準的に同型である。
ここで p は A の 0 でない素イデアル全体を動く。
証明
>>541 より I ≠ 0 である。
よって >>543 より (B/I)^* はアーベル群として Σ (B_P/IB_P)^* に
標準的に同型である。
ここで P は B の素イデアルで I ⊂ P となるもの全体を動く。
>>433 より A_p の K における整閉包は B_p である。
I ⊂ p でないなら >>436 より B_p = A_p である。
IA_p = A_p だから、B_p/IB_p = A_p/IA_p = 0 である。
よって Σ (B_p/IB_p)^* は I ⊂ p となる p のみの有限和である。
I ⊂ p のとき、>>542 より
B_p/IB_p は環として Π B_P/IB_P に標準的に同型である。
ここで P は B の素イデアルで p = A ∩ P となるもの全体を動く。
よって (B_p/IB_p)^* はアーベル群として Σ (B_P/IB_P)^* に
標準的に同型である。
以上から Σ (B_p/IB_p)^* は Σ (B_P/IB_P)^* に標準的に
同型である。
ここで P は B の素イデアルで I ⊂ P となるもの全体を動く。
証明終
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