- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 01:38:43.25 ]
- 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その12
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332549969/
- 666 名前：STS446 [2012/09/06(木) 00:01:51.26 ]
- >>665
というより、そもそも数学の命題を
テキスト通りそのまま論理式にするのがナンセンスなんだよね。
ダミー量化子使えば算術的階層なんて無限に引き上げられるし、
そもそも集合論的命題はほとんどが論理的に同値なΔ^0_1文が存在するしね。
- 667 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/06(木) 00:25:21.71 ]
- >>666
自分との対話やめい
- 668 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/06(木) 00:29:11.81 ]
- >>665の
＞それを集合論のような複雑なものではなく、
＞古典数学的な簡素な公理である必要がある。
＞それらはダイレクトに再帰理論的な研究対象だからね。
ここの文意が通らない。書き間違えですか？
- 669 名前：STS446 [2012/09/06(木) 01:44:19.17 ]
- 訂正させてもらうと、
古典数学的に簡素な公理である必要があるのは、
再帰理論的な研究対象として扱えるようにするため。
例えば算術的階層に理論をはめ込むために、
帰納法をΣ_n文といった具合に制限している。
これは集合論では使えない手法
- 670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/06(木) 02:23:24.01 ]
- >>663
この話になった>>649から直前の>>662までよく読んでみな。
「二階」という言葉は出てきているが誰も「二階算術」とは言っていない。
（STSをスルーしていないのなら別だがｗ）
>>651が二階の言語の例である二階算術を使う「逆数学」に言及しているが
「...のと同じこと」と距離をおいた書き方をしている。
>「超準解析で表れるような」実数、実数値関数などなどのsortを持つ言語で十分だろ？
という話から「二階」が話題になっているのだから、
「二階実数論」を想像するのなら分かるんだが、
どこから二階算術が出てきたんだ？
二階の言語なんてどんなものにも定義出来る。
イデアルの話をしたければ通常の環の言語の２階拡大で十分。
- 671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/06(木) 03:03:19.58 ]
- Spec R（R:可換環）に位相を入れる話が
それで自然にできる？
- 672 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/06(木) 04:39:40.73 ]
- umu
- 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/06(木) 05:28:08.30 ]
- >>651
ｘが集合のときｘ∪{ｘ}も集合って、集合の直観に合ってる？
「要素も集合」より要素と集合がはっきり分かれている方が「集合論」として自然でない？
- 674 名前：STS446 [2012/09/06(木) 07:36:43.77 ]
- 二階算術は普通は2階の言語とはよばんゃろ。
2階の言語ってのは命題自体を量化可能な言語を言うんであって。
つまり命題を量化可能な2階述語論理のことやな。
二階算術は多領域論理の一種としてみられる。
高階算術で型理論が使われているが
これは領域の分類のための識別子として用いられている。
- 675 名前：STS446 [2012/09/06(木) 08:13:42.50 ]
- 2階算術なんかは本来は2階の言語とかではなく
Γ^1_n級とかいう。（ΓはΣやΠやΔの一般化）
3階算術ならΓ^2_n級、ｎ階算術についてΓ^(ｎ-1)_n級になる。
例えば2階算術で有名なBig Fiveは、
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^1_0-内包公理
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Π^1_1-内包公理
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^0_1-分離公理
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^1_1-分離公理
ほら、かなり人工的だろ？
公理の重複を許して同値な体系に置き換えてみるともっとよくわかる。
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^1_0-内包公理
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^1_0-内包公理＋Π^1_1-内包公理
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^0_1-分離公理
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^0_1-分離公理＋Σ^1_1-分離公理
ほら人工的だろ？
ちなみに
Q＋Σ^0_n-帰納法
だけなら限定算術のIΣ^0_nになる。
帰納法は厳密には4種類あって、BΣ^0_nなどになったりする。
- 676 名前：STS446 [2012/09/06(木) 08:15:45.39 ]
- >>675訂正
＞3階算術ならΓ^2_n級、ｎ階算術についてΓ^(ｎ-1)_n級になる。
3階算術ならΓ^2_n級、ｎ階算術についてΓ^2_(ｎ-1)級になる。
- 677 名前：STS446 [2012/09/06(木) 08:33:44.30 ]
- ちなみに体系の同値性を≡であらわすと以下の等式が成り立つ。
Π^0_1-分離公理 ≡ Σ^0_1-選択公理 ≡ Σ^0_1-従属選択公理 ≡ Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理
Σ^0_1-分離公理 ≡ Π^0_1-選択公理 ≡ Π^0_1-従属選択公理 ≡ Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^0_1-分離公理
Π^2_1-分離公理 ≡ Σ^2_1-選択公理 ≡ Σ^2_1-従属選択公理 ≡ Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^0_1-内包公理
いやぁ中途半端で不思議な定理だよね。
帰納法とか内包公理とか選択公理とか従属選択公理とか分離公理なんてのはこうやって定量化するんだよね。
- 678 名前：STS446 [2012/09/06(木) 08:35:51.26 ]
- >>675訂正
＞Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^1_0-内包公理
＞Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^1_0-内包公理＋Π^1_1-内包公理
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^0_1-内包公理
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^0_1-内包公理＋Π^1_1-内包公理
- 679 名前：STS446 [2012/09/06(木) 08:42:13.96 ]
- >>673
あんたは集合論で冪集合使わんのか？
- 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/06(木) 17:58:38.80 ]
- ぽっぽの意味不明なカキコミを禁止する方法はないものか
- 681 名前：STS446 [2012/09/07(金) 07:15:41.68 ]
- とはいっても算術的階層とか解析的階層とかって
あんまり論理式を測る尺度として優れているとも思えんのだけれどもね。
そこから何か非自明な結果が出てきたともきかんしねん。
- 682 名前：STS446 [2012/09/07(金) 18:32:20.04 ]
- >>680
意味が分かるように日々学習を怠らないって選択肢は考え付かないかな？
まずは再帰理論もしくは計算論という名の分野の学習を薦める。
CooperのComputable Theroyって本が出てるから良かったら買うと良いよ。
日本語のPDFでも結構東北大の田中さんがいいものを書いてるから読んでみな。
最終的には相対化された算術的階層などが登場する。
言語の階層の最下部には計算量理論が存在していて
チョムスキー階層や多項式時間階層や非決定性の時間空間階層がある。
上に行くと原始再帰的クラス、一般再帰的クラスがあり、
ここから算術的階層がはじまって上に行くにつれてウルフラムの階層や
限定算術的階層やらブール階層やらが登場、
やがて解析的階層に突入してそれらが様々な理論に相対化されてゆく。
そこから上はどれだけ強力な理論を使うかに依存しており、
公理的集合論だとかさまざま巨大基数の追加した体形への相対化が考えられ、
やがて最高峰に矛盾した体形への相対化が存在する。
有限モデル理論における記述計算量理論とかも覚えておくと良い。
PvsNP問題を限定算術的階層に対応させて解決しようと言う試みもある。
日々精進、自戒とアドバイスの二重の意味を込めてね。
- 683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/07(金) 20:21:04.83 ]
- いや普通の人は自分と会話したりしないから
- 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 07:35:16.45 ]
- 少し前に様相論理に関して自信満々に語っていた内容は致命的に間違っていると
ものの見事に論破されていた。
それに懲りずにまだ自信満々に自説を偉そうに語っていたら
誰もその内容を信用しないだろうし、
誤りを見つけても誰もわざわざ指摘しようとは思わないだろう。
名前欄の「STS446」は「スルー対象」を表すマーカー。
- 685 名前：STS446 [2012/09/08(土) 16:07:05.83 ]
- あとリンドストルムの量化子とかもでとらんかな。
本当は決定可能クラスってのもかなり複雑に入り組んでていて、
ま、説明しがたいほど広大なんだけどね。
AC^0＝FO＝DTIME(log(n))⊆ThC^0⊆NC^1⊆DSPACE(log(n))＝L＝SL
⊆DSPACE(log(log(n)))⊆NSPACE(log(n))＝NL⊆sAC^1⊆AC^1⊆NC
⊆P＝Π^P_0⊆NP＝Σ^P_1⊆PH⊆PSPACE⊆EXPTIME⊆EXPSPACE
⊆Δ^0_0
これは分岐を省いた簡単な階層だけど
これが実際はPPとかBPPとか#Pとかそれらの相対化とかが絡んだりして
複雑な階層を構成しているんだ。
もちろん当初の形式言語も本当は
チョムスキー以外の階層があることが知られているんだよ。
Type0＝Σ^0_1＝RE⊆Δ^0_1＝R＝RE∩co-RE＝CLH1⊆Type1＝IL⊆CLH2⊆Type2⊆Type3
とにかく世界は広大でその分類は難しいんだ。
- 686 名前：STS446 [2012/09/08(土) 16:09:36.88 ]
- おっと逆だった、すまない。
訂正
＞Type0＝Σ^0_1＝RE⊆Δ^0_1＝R＝RE∩co-RE＝CLH1⊆Type1＝IL⊆CLH2⊆Type2⊆Type3
Type0＝Σ^0_1＝RE⊇Δ^0_1＝R＝RE∩co-RE＝CLH1⊇Type1＝IL⊇CLH2⊇Type2⊇Type3
- 687 名前：STS446 [2012/09/08(土) 16:15:31.75 ]
- それから注目すべき点は
Σ^0_1以降から圧倒的に形式体系の表現能力が拡張される点だね。
算術って言うとΔ^0_1を超えちゃう、つまり決定不能になるんだけど
それで高階の算術という解析的階層が出現する。
でも集合論の登場、つまりレヴィの階層と呼ばれる、
ZFなどに相対化された形式的な階層は遥かに高い表現能力を獲得するんだ。
最頂点の矛盾した体形への相対化へと向かって世界は広がっていく。
現実の物理学的な世界なんかをはるかに引き離してね！
- 688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 17:20:52.18 ]
- つーかSTS氏は自分で「専門書をちらっとかじっただけでろくに理解してません」って自分で暴露してなかったか？
- 689 名前：STS446 [2012/09/08(土) 17:26:15.09 ]
- >>688
そりゃメレオロジーの話。
再帰理論は俺の専門だし限定算術なんかもやっとるよ。
- 690 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/08(土) 17:34:10.64 ]
- >>689
限定算術の話で質問したいのですが、
素数が無限個あることの証明はどのくらいの限定で可能なのでしょうか？
- 691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 18:49:58.13 ]
- >>688
これのことだな？
289 ： STS446 ： 2012/04/29(日) 07:39:01.09
まず初めに謝罪します。
私は「考える人」であり「超越論的数学者」であり、
「山之内彰」であり、「超越論的数学天使」であり、
「おさーん」でありました。
様相論理の件で論破されてのも私でした。
それではなぜこのような悲劇に至ったのかをお話ししましょう。
まず私は数学の素人です、論理学もまだ不完全性定理まで進んでいません。
しかしそれでも計算機の本（とりわけ赤間先生や人工知能関連）を読んでいると、
すぐにわかったようなレスができるようになりました。
そこでメレオロジーやオントロジーや記述論理といった
形式化オタクの文化を学習していきました。
ですから私は何もしらない単なる素人でしかないのです。
- 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 19:25:09.04 ]
- ４ヶ月半前に不完全性定理を知らなかった奴が再帰理論の専門家になっているとは
衝撃的な速度の出世だな
- 693 名前：STS446 [2012/09/08(土) 20:50:57.65 ]
- 今は原論文も現代的証明も両方とも理解してる。
とはいえ不完全性定理はほとんど証明追ってたから。
どっちかというと
projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.lnl/1235416274
こいつで理解深めていたって感じだね。
再帰理論はその前からやってた、例のCooper本とか黄色の分厚いので学習した。
ランダムネスとかのも結構読んでるよ
- 694 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 21:06:00.29 ]
- いやいや、不完全性定理についてきちんと勉強していない
再帰理論の専門家とか論理的に不可能だから。自称専門家ならあり得るけど。
- 695 名前：STS446 [2012/09/08(土) 21:26:01.10 ]
- ここでいう不完全性定理の証明を追うってのは
算術化を完ぺきに自分で構成するってこと。
- 696 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 21:59:55.77 ]
- もういいだろ。
ご丁寧に本人がスルーすべき対象を識別してくれるんだから、
そいつは放置しといても無問題。
「STS446」って書いてあったらスルーすること。
あと新しく来た人が真に受けないように>>691のコピーを定期的に貼ること。
- 697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 22:13:22.52 ]
- 四か月で専門家になりましたってレスがおかしいことくらい
気付ける常識人になれると良いね
- 698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 22:14:37.82 ]
- 考えない人って選択公理の話題はこのスレでするのが適当って言って
スレ住人全員から失笑を買った奴だろｗ
- 699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 22:27:04.76 ]
- 155 名前：スレタイスレ446[sage] 投稿日：2012/01/07(土) 22:20:46.89
>>139
＞そういう解説がないと全く読解不能の文章を書く能力ってどうやって身につけられるの？
掲示板を読んでいる人間が、隣に座って同じ本を一緒に読んでいる様を想像して書きます。
また、投稿欄に書いた文章を決して読み返さないこと。
（レス数を減らしてじっくり書き込む時間をとるのがベストなのかもしれない。）
＞前スレの「考える人」と同じ臭いを感じる。
確かに文体が似ていますね。
考える人（＝考えない人）というコテハンは、このスレのその5辺りから時折出没していますよ。
>>140
以後、レスの数は減らします。
- 700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 22:39:45.98 ]
- ＳＴＳが現れ始めたのはこのスレの５か６あたりから
いろいろコテを変えて自演してることがばれているが
その５以降のこのスレでコテを名乗っているのはほとんどこいつ自身の
自演と思って間違いない。（修辞がほとんど同じで数学的な間違いもほぼ類似）
特徴として終始一貫して「どこか勘違いしてる」ことが挙げられる。
長文の上勘違いも甚だしいレスばかりなので読む意味は全くない。
にもかかわらずコテハンを自演に従ってコロコロ変えるのでいちいちＮＧするのも
面倒くさいというまことに迷惑極まりない存在である。
- 701 名前：701 mailto:sage [2012/09/08(土) 22:44:39.98 ]
- 7^0=1
- 702 名前：STS [2012/09/08(土) 23:09:24.53 ]
- >>700
なるほど。
では直近の再帰理論に関する書き込みの中から
「勘違い」に相当する個所を挙げ、
それが「どう」勘違いなのかを説明したまえ。
- 703 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 23:24:23.67 ]
- 俺はお前の担当教官でも何でもない。
どうしてもと言うなら相応の報酬を用意してから言え。
大体お前のレスははツッコミどころが多すぎて添削するにしても手に負えないんだよ。
- 704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/09(日) 00:02:03.45 ]
- >>620
亀レスだけど「関数である」を原子論理式と扱ってしまうと
∀ｘ∃ｙＡ(ｘ,ｙ) は ∃ｆ∀ｘ(ｆは関数である∧Ａ(ｘ,ｆ(ｘ))) と書けてしまう。
だから>>619で批判されているようなΣnの定義を使うと
どんな概念でもΣ2以下で表現できることになる。
>>619は「そう定義するのは自由だけど」と言っているけど、
こんな定義をしてもΣnの階層が崩壊するのでこんな定義しても意味がない。
- 705 名前：STS [2012/09/09(日) 00:37:41.73 ]
- >>704
スコーレム化がまちがっとるよ
∀ｘ∃ｙＡ(ｘ,ｙ) と等価なのは
∀ｘ(Ａ(ｘ,ｆ(ｘ))) だよ。
あなたの書いたものは2階述語論理への翻訳だね。
ところで
∀ｘ∃ｙＡ(ｘ,ｙ) がΠ_2だとすると、
∀ｘ(Ａ(ｘ,ｆ(ｘ))) もΠ_2だよ。
Ａ(ｘ,ｆ(ｘ)) がΣ_1だからね。
Ａ(ｘ,ｙ) がΔ_1でもスコーレム関数がΣ_1なので
Ａ(ｘ,ｆ(ｘ)) はΣ_1になるの。
- 706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/09(日) 02:21:55.37 ]
- これまたスルーのし甲斐のあるレスだな
- 707 名前：STS [2012/09/09(日) 06:51:43.12 ]
- >>704-705
おっと素面の状態で読んでみたら
全然ちがう話しだったなｗ失敬失敬＾＾；
- 708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/09(日) 18:54:37.68 ]
- >>704
言語なんて決めないでもΣnの階層は意味を持つ！
って言ってたゆとり君（だっけ？）は逃げちゃったみたいだよ
- 709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/10(月) 04:02:20.77 ]
- >>704
非標準的な定義をする前に標準的な定義がどうしてそうなっているのか理解しとけって話だな
新しい定義を提唱した直後にその定義が無意味だと指摘されることほど数学者にとっての屈辱はない
- 710 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/10(月) 07:53:38.74 ]
- しかしえてしてそういうことはよくあるんだな
学会で何度もそういう場面に出くわす
- 711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/10(月) 14:05:10.59 ]
- んだな
- 712 名前：STS [2012/09/10(月) 15:12:08.19 ]
- 俺もそういう状況には辟易している。
定義されている理由を知るのはいいかもね
- 713 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/10(月) 15:38:07.99 ]
- おま（略）
- 714 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/10(月) 16:01:39.38 ]
- この業界ではSTSは Structural Theory of Sets の略なんでなコテに使わんでくれるかな？
スレッドの綴りは thread であって S で略すのはおかしい
スレタイスレの積りならTTTだろが
- 715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/10(月) 16:26:26.20 ]
- それは以前も指摘されてたと思うが
基地外だからしょうがない
- 716 名前：TTT [2012/09/10(月) 18:53:50.75 ]
- STSってのは俺が考えたんじゃないよ。
以前誰かがスレタイスレ446を略して
STS446と呼んだので皮肉ってつけた名称さ、深い意味はない。
>>713
お前も似たようなものだろうと言いたいのだが、
俺はそれほど低レベルな部分では間違えない。
- 717 名前：TTT [2012/09/10(月) 18:54:58.26 ]
- 訂正
＞お前も似たようなものだろうと言いたいのだが、
お前も似たようなものだろうと言いたいのだろうが、
- 718 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine.co.jp [2012/09/10(月) 19:29:47.04 ]
-
また、お前か！ ２０代の、ニートの、女性恐怖症の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキ！
死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
- 719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/10(月) 20:36:17.24 ]
- TTTって桟橋みたいでかっこ悪い
- 720 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/10(月) 21:08:11.90 ]
- 目糞が鼻糞を嗤う
- 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/10(月) 21:14:46.82 ]
- 学会で朝一発表の人が次の発表者の批判をしてるの見たことある
俺は「お前らどっちもトンデモだよ」と思ったけどいい大人だから
声には出さなかった。
- 722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/11(火) 00:25:30.01 ]
- 実数以外に実関数に関する量化を考えているのだから、
たとえば任意の関数 f が与えられたときに別の関数 g := F(f) が存在してA(f, g)が成り立つ、
（たとえば「任意の連続関数に対してそのフーリエ変換が存在する」とか）、
みたいなものも出て来るわけで、「どんな概念でも」というのはおかしいと思うんだけど。
それに実数値のみに関する量化を考えても、かなり強い形の
選択公理が公理として入っていないと同値にならない。
- 723 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/11(火) 00:43:45.05 ]
- 何か年内にとんでもない事態が
発生するんじゃないか？
最近そんな夢ばかり見る。
- 724 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/11(火) 01:20:15.93 ]
- , '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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- 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/11(火) 02:43:00.35 ]
- >実数以外に実関数に関する量化を考えているのだから、
>たとえば任意の関数 f が与えられたときに別の関数 g := F(f) が存在してA(f, g)が成り立つ、
>（たとえば「任意の連続関数に対してそのフーリエ変換が存在する」とか）、
>みたいなものも出て来るわけで、「どんな概念でも」というのはおかしいと思うんだけど。
実数値関数は考えてもよくて実数値関数の関数は考えてはいけないの？
超準解析をやるときは普通は任意の有限階の関数考えると思うけど。
>それに実数値のみに関する量化を考えても、かなり強い形の
>選択公理が公理として入っていないと同値にならない。
あれー、これまで「普通の数学では」って言ってなかった？
「普通の数学」で選択公理は認めるんじゃないの？
教養の授業では連続と一様連続の違いをδ(ｘ,ε)とδ(ε)関数使って教えてたけどね。
都合が悪くなると基礎論の考え方持ち出すのかな？
- 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/11(火) 04:51:19.76 ]
- 普通の数学の議論をロジックの言葉で表現してみるとって話なんだから
選択公理を認めるのは確かに当然だ罠
- 727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/11(火) 12:11:59.33 ]
- >>722はスコーレム化とか勉強しとくべきだな。
- 728 名前：TTT [2012/09/11(火) 18:30:35.34 ]
- 衝撃的な事実が判明した。
つまりメレオロジーは現代で言う記述集合論なのだ！
- 729 名前：TTT [2012/09/11(火) 18:32:37.69 ]
- 基本的にメレオロジーとかでやりたい部分ってのは
位相にうまく論理学をのせるという話しだったが、
記述集合論は集合位相から測度まですべてを統括してしまったのだ。
- 730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/11(火) 19:21:38.77 ]
- TTTって桟橋みたいでかっこ悪い
- 731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/11(火) 19:34:59.62 ]
- まず、Σ2の形の論理式と同値であることが示せる論理式を全てΣ2論理式扱いする用語法では、
どの理論の上でのΣ2論理式なのかが問題になる。だから理論が少し違えば違う概念になる。
その時点で、既にメタ数学的な基礎論の話であって、普通の数学の話ではない。
その上で、別に選択公理を認めちゃいけない、と言っているのではなくて、
∀ｘ∃ｙが∃ｆ∀ｘに変わってしまうから問題だ、と言っても
「そういう操作を可能にする公理を採用してしまっているのなら」当然でしょ、という話で。
私は725さんと違って超準解析についてこれは普通のやり方、これは別法、
これは普通じゃないやり方だ、と言えるくらいいろいろ知っている訳じゃない。
それでも、言語を決めてそのモデルを考えることはどのformulationでもやるけど、
関数の関数の関数に対しての選択公理とかの公理を数え上げて、
一つの理論として考えるということは（個人的には）あまりやらない気がするんだけど。
超準解析では普通many-sortedな言語で任意の有限階の関数考える、というのは
あなたが勉強した本ではそうなっていました、というだけの話じゃないの？
- 732 名前：TTT [2012/09/11(火) 20:24:16.69 ]
- >>731
＞まず、Σ2の形の論理式と同値であることが示せる論理式を全てΣ2論理式扱いする用語法では、
＞どの理論の上でのΣ2論理式なのかが問題になる。だから理論が少し違えば違う概念になる。
＞その時点で、既にメタ数学的な基礎論の話であって、普通の数学の話ではない。
本来Σ2論理式はメタ理論的な定義だよ。
ある理論Tと論理式Fを持ってきて、
FがTの定理であるかを判定することが計算可能か、再帰的加算かというメタ定理がある。
これらのメタ定理がΔ1とかΣ1とか呼ばれる。
そしてそのメタ定理そのものを判定するメタ定理をΣ2とかΣ3とかで定義するわけさ。
だから「どの理論の上でのΣ2論理式なのかが問題になる」というよりも、
ある理論が「Σ2論理式を表現できるか否か」が問題なわけです。
- 733 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/11(火) 22:50:56.37 ]
- TTTって桟橋みたいでかっこ悪い
- 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/12(水) 04:22:27.63 ]
- >>731
お前が自分の用語法をはっきり説明できればいいだけ。
お前が意味不明な用語法（実数と実数値関数がある言語でΣnとか）使ったから
みんなでなんとか補完して意味を取ろうとしてるがうまく行かないと議論している。
お前がきちんと説明できればいいだけのことだ。
- 735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/12(水) 14:05:09.92 ]
- >まず、Σ2の形の論理式と同値であることが示せる論理式を全てΣ2論理式扱いする用語法では、
>どの理論の上でのΣ2論理式なのかが問題になる。だから理論が少し違えば違う概念になる。
通常の数学で出てくる概念はどれだけ複雑になるかって話だったと思うが、
通常の数学では同値で区別しない概念を区別して論理式の選択によって複雑さが変わるのなら
Π3とか複雑になるのは簡単に書ける概念なのにわざわざ複雑になる論理式を選んだから当然という以上のものではない。
普通の数学で区別しない概念を同じ複雑さにするには、
通常の数学で認めるもの（選択公理など）が含まれる理論の上での同値を考えるのは当然だろう。
（理論を設定してその上での同値を考えるという君の好きな考え方に立てば。
数学的には同値だが、「標準的」なモデルでの同値で考えてもいいので。）
普通の数学を反映していない理論を持ち出した反論にどんな意味があるんだね？
>超準解析では普通many-sortedな言語で任意の有限階の関数考える、というのは
>あなたが勉強した本ではそうなっていました、というだけの話じゃないの？
部分集合や関数が出てくる普通の数学を表現できる言語として
「超準解析でやるような」言語を君（ら）が出してきたと記憶しているが、
それが君の言うとおり関数の関数（汎関数）も表現できないような言語だったら
そもそも「定式化をしづらいような性質・対象も平気で考える」普通の数学を
表現できないことになるんだがね。
- 736 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/12(水) 19:13:03.88 ]
- ABC予想は証明されたのか。
京大数理研の望月新一さんの５００ページの大論文についての、
ネイチャー誌のニュース記事：
「もし正しければ、２１世紀数学の最も驚くべき成果の一つとなるであろう」
www.nature.com/news/proof-claimed-for-deep-connection-between-primes-1.11378
- 737 名前：TTT [2012/09/12(水) 19:20:08.90 ]
- 補足しとくけど、論理的同値な命題はすべて同じ算術的階層だよ。
算術的階層を定義するときに、対象の論理式の量化子の繰り返しを直接数えるのでなく、
対象の論理式と論理的同値な論理式の量化子の繰り返しを数えるとなっているから。
例えばダミー量化子付きの命題とそれを外した命題があったとき、
それらは論理的に同値だから量命題は階層を共有する。
Σ3とΠ2だったらそれぞれΣ3かつΠ2になる。
そうすると∃∀∃文がΠ2になるし∀∃文がΣ3になる。
それからチャーチの提唱で計算側に移ろう。
ある命題がチューリング機械でYesかNoで判定が可能なこと、
ある命題がチューリング機械でYesの判定だけが可能なこと、
ある命題がチューリング機械でYesかNoで判定が可能かどうかをYesかNoで判定可能なこと、...。
計算可能な集合のジャンプの階数 ＜----＞ 算術的階層
- 738 名前：TTT [2012/09/12(水) 20:27:11.50 ]
- そうだな、ΣｎとΠｎがメタ理論上の概念であることの分かりやすい例をあげよう。
存在例化限定2階述語論理では∀文が全く証明できない。
とはいえ、この場合は例えば存在例化限定2階述語論理における論理式が、
2階述語論理でΠｎとなる論理式である場合は、この∀文はΠｎとなる。
また別の例がある。
Tで∀ｘ∃ｙ（ｘ＜ｙ）が証明可能で、∃ｙ∀ｘR（ｘ、ｙ）が証明不可能としよう。
そして、Tの拡大T'で、∀ｘ∃ｙR（ｘ、ｙ）＜--＞∃ｙ∀ｘR（ｘ、ｙ）が証明可能としよう。
するとT'で∀ｘ∃ｙR（ｘ、ｙ）がΔ2になる。
これはTではΔ2ではないというか？
否、TにおいてもΔ2なのである。
- 739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/12(水) 23:21:25.39 ]
- いや、あなたが∀ｘ∃ｙで始まる論理式と∃ｆ∀ｘで始まる論理式が同値になるから
全ての論理式はΣ2になってしまう、と言ったんでしょ。
これは「Σ2の形の論理式と同値であることが示せる論理式を
全てΣ2論理式扱いする用語法」だと思う
（私にはそうとしかとれないけど、もし違うなら違うと言ってください）。
一方であくまで冠頭標準形の形だけに注目する定義の仕方もあって、
算術に関する本でもそういう定義をしていることは普通にある。
PA-Σ1論理式、Q-Σ1論理式、IΣi-Σ1論理式とか
ZF-Σ1論理式、ZFC-Σ1論理式、ZFC+「Mahlo基数の存在」-Σ1論理式とか
そういう風に似たようで少し違う概念が山のように出て来ても困る場合だって普通にあるでしょう？
私はこっちの流儀で考えている。それだけの話。
数学的な公理と、論理記号や等号に関する純粋に論理的な公理には身分の違いがある。
論理に関する公理だけを用いて冠頭標準形に直せることには意味がある。
これは私は、通常の数学がどうとかいう問題じゃなくて、普通の数学でも
数学的な公理なのか純粋に論理的な帰結なのかは一応区別すると思う。
- 740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/12(水) 23:33:42.66 ]
- Σ1⊂Σ2⊂Σ3⊂Σ4⊂…
- 741 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 03:27:34.85 ]
- >>739は>>735の後半への反論は諦めたの？前半にしか反論してないけど
- 742 名前：TTT [2012/09/13(木) 08:01:51.00 ]
- >>739
例えば理論Ｔの中に、∃ｘＲ（ｘ）があったとして、
述語Ｑで、∃ｙＲ（ｘ、ｙ）＜--＞Ｑ（ｘ）となっているとすると、
Ｔ-Σ1論理式を考えると、∃ｙＲ（ｘ、ｙ）が証明不可能なので、
Ｑ（ｘ）も証明不可能となって結局丸く収まるんですね。
ですから一つの算術的体系の中だけならば冠頭標準形の形だけに注目しても問題ないわけなんです。
しかしこの定義ではメタ理論に広げると、Σ1＜--＞Σ0となりおかしくなってくるわけですね。
こういった定義は個別の体系内での狭い議論でしか通用しないんです。
- 743 名前：TTT [2012/09/13(木) 08:17:18.19 ]
- とはいえ通常の算術階層は
述語ＲやＱがΔ1であることを仮定していますから、
「冠頭標準形の形だけに注目する定義の仕方」
がどういったものかによりますが。
もしも述語部分がΔ1ならば、同値な定義はすべて同じ階層という私の定義と同じものでしょう。
そうでないなら同一体系内でしか使えない狭い定義でしょう（そんなものは見たことありませんがね）。
- 744 名前：TTT [2012/09/13(木) 08:41:12.95 ]
- >>743
それよりも計算量クラスがもうすぐ500種類を超えそうですな。
qwiki.stanford.edu/index.php/Complexity_Zoo
これからは、Δ1より下側の時代ですよね。
算術的階層など古い古い。
- 745 名前：TTT [2012/09/13(木) 10:48:30.22 ]
- >>744
私も何回かワード使って全体像をマッピングしようと試みたんですが。
Ａ３で入りませんね、図面用の紙幅じゃないと駄目でした。
数学者どもが次数構造とか二階算術とか巨大基数のマッピングに
現をぬかしている間に計算機屋どもが物凄い勢いでマッピングを広げちゃった。
だから数学者はΔ1より下は怖くて触れない。
Δ1より上と違ってシンプルじゃないんだよ。
- 746 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/13(木) 12:21:53.09 ]
- >>743-745
なにこれこわい
- 747 名前：TTT [2012/09/13(木) 13:25:12.16 ]
- >>745
ここにマッピングがあるね。
www.math.wisc.edu/~jmiller/Menagerie/ComplexityZoo.pdf
ＰｖｓＮＰとかの同値性が示されたら一気に階層が潰れる可能性もあるけど。
色つきなんかで見るとわかり易い
www.math.ucdavis.edu/~greg/zoology/diagram.xml
ただし再帰理論なんかもランダムネスなんかが登場してかなり大きくなってきた。
www.math.wisc.edu/~jmiller/Menagerie/bn1g.png
www.math.wisc.edu/~jmiller/Menagerie/bn1g.pdf
それに逆数学＆限定算術も結構頑張ってかなりのリスト化が完成した。
math.berkeley.edu/~damir/zoo/just_rm.pdf
図式も一つじゃおさまらないレベルに到達してるしね。
math.berkeley.edu/~damir/zoo/diag_rm.pdf
math.berkeley.edu/~damir/zoo/diag_rm_om.pdf
math.berkeley.edu/~damir/zoo/diag_rm_non.pdf
math.berkeley.edu/~damir/zoo/diag_rm_weak.pdf
math.berkeley.edu/~damir/zoo/diag_hs_2007.pdf
math.berkeley.edu/~damir/zoo/diag_dh_2009.pdf
意外と頑張ってるのが様相論理かな。
home.utah.edu/~nahaj/logic/structures/systems/
巨大基数は頑張りが足りないかな？
websupport1.citytech.cuny.edu/faculty/vgitman/images/diagram.jpg
- 748 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 14:21:11.17 ]
- >>739
>数学的な公理と、論理記号や等号に関する純粋に論理的な公理には身分の違いがある。
>論理に関する公理だけを用いて冠頭標準形に直せることには意味がある。
>これは私は、通常の数学がどうとかいう問題じゃなくて、普通の数学でも
>数学的な公理なのか純粋に論理的な帰結なのかは一応区別すると思う。
特に後半の一文は何を言いたいのか分からないのだけれども
∀∃で定義した連続性と modulus f continuity で定義した連続性が
別の概念であるという「普通の数学者」がいたら連れてきて欲しい。
彼らは論理式で表してから概念を把握するのではない。
概念が先にあってそれを基礎論屋が論理式で表示してるんであって
論理的公理だけで同値だったら同一の概念、
数学的公理が必要なら別の概念などと考えているわけじゃない。
- 749 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 18:14:08.62 ]
- つーか選択公理を論理的公理ではなく数学的公理とするのが標準的になったのは
ロジック業界でもかなり後になってからじゃないの？
ε計算とかあった（いまでも研究されてるのかもだけど）わけだし。
ロジシャンの間でも定まってなかった論理的公理と数学的公理の区別なんて
「普通の数学者」にとっては知ったことではないんじゃない？
- 750 名前：TTT [2012/09/13(木) 18:47:28.61 ]
- >>743
＞とはいえ通常の算術階層は
＞述語ＲやＱがΔ1であることを仮定していますから、
これは再帰理論での定義だねΔ1ってか計算可能関係で定義される。
構文論的に定義する場合は再帰的にＲがΣｎのとき∀ｘＲ（ｘ）がΠｎ＋1と定義する。
レヴィの階層とか言われている。
数学の命題ってのは集合論だとほとんどがΔ0とかΔ1になるね。
Δ1以下にならないと任意の推移的可算モデルで充足しないからね。
濃度とかモデルとか射影階層に言及すると一気に階層が上がるけどね。
- 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 18:52:45.03 ]
- 少し前に話題になってた論理主義は選択公理どころか
ヒュームの原理を使って算術を論理的公理から導くとか
果ては集合論すら論理的公理に還元できるとかいう主張
- 752 名前：TTT [2012/09/13(木) 19:26:23.18 ]
- そもそも数学と論理の公理ははじめ混同されてた。
ヒルベルトが一階論理を抽出したころには、
選択公理は整列可能定理やツォルンの補題との同値性もわかっていて
普通に数学の定理だった。
論理学の公理だと思われていた時代なんてないだろうな。
- 753 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine.co.jp [2012/09/13(木) 19:48:42.41 ]
-
お前たちは、定職に就くのが先決だろがああああああああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
ニート・無職の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキどもがあああああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
- 754 名前：TTT [2012/09/13(木) 20:17:53.93 ]
- あと例の新論理主義者共が狙っていたのは
自然数の論理学的還元で
2階述語論理＋ヒュームの原理はペアノ算術より弱いからね。
- 755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 20:58:42.54 ]
- これだけ書いても誰にも相手して貰えないってのは
逆人徳がすごすぎると思う
って言うか出だしが出落ちに近かったから今更誰にも相手にしてもらえなくても
しょうがないよな
- 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 21:51:05.55 ]
- 2ちゃんでコテ名乗るようなやつは、実社会で認められることが少ないやつ。さらに自演なんかする奴に至ってはほとんど病気だわな。
数学板なんかよりVIPとかの方が相手してもらえるよ。さあいったいった。
- 757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 23:19:24.52 ]
- なんでTTTは自分と会話してるんだ
精神異常者なのか？
- 758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 23:49:37.06 ]
- 博士の愛したなんとかと同じ病気なんじゃね？
- 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 00:26:55.65 ]
- そだ |------､｀⌒ｰ--､
れが |ﾊ{{ }} ）））ヽ､l l ハ
が |､{ ﾊリﾉﾉﾉﾉﾉﾉ）､ l l
い |ヽヽｰ､彡彡ﾉﾉﾉ} に
い |ヾヾヾヾヾヽ彡彡} や
!! /:.:.:.ヾヾヾヾヽ彡彡} l っ
＼＿＿／{ l ii | l|} ﾊ､ヾ} ﾐ彡ﾄ
彡ｼ ,ｪ､､､ヾ{{ヽ} l|l ｨｪ=ﾘ､シ} |l
lミ{ ﾞｲｼﾓ'ﾃ､ミヽ}ｼｨ=ﾗ'ｧ､ }ﾐ}} l
ヾﾐ ￣~'ｨ''': |ﾞ:ｰ.￣ lﾉ/l | |
ヾヾ " : : !､ ｀ lｲﾉ l| |
>lﾞ､ ｰ､,'ｿ /.|}､ l| |
:.lヽ ヽ ｰ_ ‐-‐ｧ' /::ﾉl ﾄ､
:.:.:.:＼ヽ 二" /::// /:.:.l:.:.
:.:.:.:.:.::ヽ:＼ /::://:.:,':.:..:l:.:.
;.;.;.;.;;.:.:.:.＼｀ｰ-- '" //:.:.:;l:.:.:.:l:.:
- 760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 01:58:05.11 ]
- ε計算はいまでも研究されている：
www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0168007212000802
ヒルベルトによって導入されたらしいな。
- 761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 06:32:28.89 ]
- ε計算(Epsilon calculus)は確かに通常よりも強い形の選択公理を含んだ論理体系と言えるだろうね。
これに限らず証明論でよく使われるω規則を含んだω論理（WoodinのΩ論理ではなく）なんかも
このω規則は論理的公理の側面と数学的公理の側面があって両者の「身分の違い」ははっきりしない。
最近の入門書では論理的公理と数学的公理の区別が本によって食い違うことは（等号公理の扱いを除けば）ないだろうけど
そこから少し発展した内容を勉強してみるとその区別は結構曖昧なものだと気づかされると思うよ。
- 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 07:24:21.09 ]
- >>739が言ってるのは論理式だけを見て複雑さを定義して論理式間の同値を考慮しないって話で
>>748は「数学的な概念」（＝論理式の同値類？）に対して複雑さを定義しなければいけないって話ではないかと。
「普通の数学に表れる」と言ったときにどちらがまともかは言わずもがなだと思う。
前者の意味で複雑になってもそれは数ある論理式の表現の仕方の中でわざわざ複雑なものを選んできたからに過ぎず意味がないことになるわけで。
>>739は用語法の違いってことで逃げようとしているけど、場にそぐわない用語法持ち出しても正当化にはならないと思う。
なんか上の方のレスと同じこと言ってるけど。
- 763 名前：⊥⊥⊥ [2012/09/14(金) 11:43:58.16 ]
- >>744
ただしその中のほとんどが不当に水増しされた階層だということに注意。
例えばＥＥＥはＤＴＩＭＥ(2^2^2^o(n))といった具合に、
大抵はDTIMEやDSPACEの言い換えでしかない場合が多い。
こういった記述の仕方が素人への可読性を低下させている疑惑もある。
計算量ではそのクラスの特性に見合った名称をつける場合があるが、
これによって直感的な階層の高低の把握が邪魔されていることが多々ある。
- 764 名前：TTT [2012/09/14(金) 12:22:36.90 ]
- 基本的に決定性と非決定性（確率やランダム）なチューリング機械を
領域と時間で組合せ論的に作って分類しているだけだから。
それにオラクルを用いたものや論理体系の表現能力を組み合わせた図式だね。
確かに名称のせいで何をやっているのか分からくなってるね。
- 765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 14:44:49.84 ]
- >>762
なるほど。つまり
「たとえば有界な関数が〜〜と言っただけで、
（実数論として）Σ2の式が出て来るんだから
Σ3くらいの量化は普通に考えることになる」
というのはΣ2の式でも表現できるのに
あえてΣ3の論理式で表現したからΣ3の量化が出てきた
と>>739は言ってるわけね。
- 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 16:08:04.04 ]
- おまいら執拗すぐる。739の言い分がナンセンスだってのはもう十分分ったから。
- 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 17:01:39.61 ]
- じゃあ普通の数学を形式化したら多重量化はほとんど出て来ないって言いたい訳ね？
- 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/15(土) 19:18:35.22 ]
- ∃ｘ(ｘ＝ｘ)とか、等号がない場合には∃ｘ(Ａ∨¬Ａ)って論理的公理？
- 769 名前：TTT [2012/09/15(土) 20:21:26.72 ]
- Ａが述語変数なら論理公理（どういった公理の論理体系かによるけど）ですね。
述語が定数になると理論固有の公理になります。
- 770 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/15(土) 20:31:57.82 ]
- たとえそれと同値な論理式が公理に入っていたとしても
その論理式自身が公理に入ってなければ公理とは言わない
- 771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/15(土) 20:37:02.31 ]
- もし∃ｘ(ｘ＝ｘ)が論理公理なら
ＺＦＣの公理に空集合公理は要らないのでは？
分出公理があれば空集合公理は導けるはず
- 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/15(土) 21:03:19.23 ]
- >>771
どうやって導くの？
- 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/15(土) 22:04:43.91 ]
- どうも767もスルー対象に認定されたようだなｗ
専門用語を正しく使えないゆとり君は専門板の専門スレなんか来ちゃダメ。
- 774 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/15(土) 22:22:24.27 ]
- __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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- 775 名前：TTT [2012/09/15(土) 22:40:45.68 ]
- >>768
あなたの提示した論理式は、恐らく一階述語論理のものでしょうが、
一階述語論理の公理はいくつものタイプが考えられるんです。
基本的にそれらが証明する論理式はすべて同じなんですが、
何を公理とするかは決まっていないんです。
- 776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 00:08:02.26 ]
- >>761
等号公理に限らず、∃ｘ(ｘ＝ｘ)みたいなのでも食い違うのでは？
論理的公理（から導れること）と数学的公理（同）の区別は今でも流儀によるでしょう。
「普通の数学でも数学的な公理なのか純粋に論理的な帰結なのかは一応区別する」なんてのは論外で。
- 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 10:39:46.03 ]
-
- 778 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/16(日) 12:38:40.63 ]
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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- 779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 12:49:43.76 ]
- >>772の回答は？
- 780 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/16(日) 15:20:10.21 ]
- ∃ｘ(ｘ＝ｘ)は等号付き一階述語論理の論理的公理だけで出てくるよ。
空集合公理は内包性公理だけで出る。
内包性公理の任意論理式にｘ≠ｘを入れるだけ。
逆に等号なし一階述語論理でもZFCによって等号と同等のものが使えるようにもなる。
∀ｘ∀ｙ（∀ｚ（ｚ∊ｘ＜--＞ｚ∊ｙ）-＞ｘ＝ｙ）
∀ｘ∀ｙ（-＞∀ｚ（ｚ∊ｘ＜--＞ｚ∊ｙ））
ｘ≠ｘ-＞∀ｚ（ｚ∊ｘ＜--＞ｚ∊ｘ）
内包性図式により
∃ｙ∀ｘ（ｘ∊ｙ＜--＞ｘ∊ｚ∧ｘ≠ｘ）
∀ｘ（ｘ∊ｙ＜--＞ｘ∊ｚ∧ｘ≠ｘ）
よって
ｘ≠ｘ-＞∀ｚ（ｚ∊ｘ＜--＞ｚ∊ｘ）
ｘ∊ｚ∧ｘ∊ｙ-＞∀ｚ（ｚ∊ｘ＜--＞ｚ∊ｘ）
- 781 名前：TTT [2012/09/16(日) 15:24:09.42 ]
- >>780
の下半分の論理式はミス
- 782 名前：TTT [2012/09/16(日) 16:15:44.19 ]
- とはいえ内包性（分出）公理は見かけ上だけなので
実際には外延性公理によるユニーク性をもって
空集合が定義されたとする見方も多い。
さらに分出公理中の集合は無限公理で得られる集合を使う必要がある。
無限公理でなくとも集合の存在を示す∃ｘ(ｘ＝ｘ)を使うことが出来る。
例えこれが論理公理でも見かけ上区別できないから問題ない。
そこから>>771の発言が来ているのだろう。
- 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 16:16:14.54 ]
- 他の人がちゃんとスルーできるようにコテ付けとけ
- 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 18:23:02.31 ]
- ZFCだったら∃ｘ(ｘ＝ｘ)が純粋な論理的帰結であろうとなかろうと
無限公理Infと分出公理から空集合の存在は示せるので空集合公理は冗長。
集合論の入門書ではZF(C)-Infなども考えるから入れているんだと思う。
それでも∃ｘ(ｘ＝ｘ)がいえれば不要な訳で
∀xA(x) -> ∃xA(x) が論理的帰結になる自然演繹やヒルベルト流体系の入門書とは
異なる立場に立っているというか、
少なくとも∃ｘ(ｘ＝ｘ)の身分に関して中立であろうとしているといえると思う。
- 785 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/16(日) 21:53:42.62 ]
- __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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- 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 05:38:24.54 ]
- ∀xA(x) -> ∃xA(x) が論理的帰結にならないような証明体系ってどんなのがあるの？
- 787 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/17(月) 08:44:05.78 ]
- レベル堕ちたなこのスレ
- 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 14:32:19.88 ]
- >>786
∀xA(x) -> ∃xA(x) や、同じことだけど∃ｘ(ｘ＝ｘ)を妥当式にしない流儀は
空な構造も含めたいっていうモデル理論的観点からの場合が多い。
だから証明体系と言っていいのかだけど、
空構造を許す意味論での妥当式はすべて公理というようなモデル理論的に定義した体系が
「よく出てくる例」になるんじゃないかな。
- 789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 16:06:19.02 ]
- >>72
＞形式体系ZFCを外側から見たメタレベルでは
＞１、φが証明可能である
＞２、φの否定が証明可能である
＞３、φは独立である
＞４、ZFCが矛盾している
＞のいずれかである。
４が正しいなら１も２も正しくなるがね
逆にいえば、４でない場合に限り、任意の命題φについて
１，２，３の３つの場合がありえるというわけだ。
ところで実は、４でない場合、４を示すつもりのZFCの命題が３になる。
ここでわざわざ「つもり」と書いたのは、ZFC内では、ZFCの無矛盾性を
完全に表現できないのである。つまり、ZFCが無矛盾であっても、
それを表わしたつもりの式が偽となるモデルが存在し得るわけだ。
- 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 16:20:49.38 ]
- 「PAはモデルをもつ。したがって、完全性定理により無矛盾である。」
これって正しいですか？
- 791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 17:26:00.91 ]
- 話題を無理やり切り替えるために昔のネタを引っ張り出してきた？
- 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 18:53:44.41 ]
- >>786
きっとTTTが、君の求めるような体系について
半分正しくて半分勘違いに基づいた解説をしてくれるだろうよ。
色んな体系の解説を沢山読んではいるようだから。
読んだからって勘違いだらけなのは見ての通りだがｗｗ
- 793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 19:11:55.00 ]
- 人を貶すしか能のない792みたいなのはどうにかならんのかなあ
786の質問のどこに792みたいに言われなきゃならない要素があるんだか
- 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 16:45:31.20 ]
- >>784 >>788
集合論やモデル理論の人は∀xA(x)→∃xA(x)や∃ｘ(ｘ＝ｘ)を恒真とは考えないってことですか？
- 795 名前：TTT [2012/09/18(火) 22:53:11.57 ]
- >>794
∀xA(x)→∃xA(x)は恒真になる。
∃ｘ(ｘ＝ｘ)は述語論理の式なので恒真じゃない。
- 796 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/18(火) 23:00:50.33 ]
- 韓国を国際司法裁判所へ引きずり出す署名へご協力ください
staff.texas-daddy.com/
半角英数で本名でお願いします、漢字とかイニシャルはNGです
違うアドレスで家族の名前でもおkです ステアドでもおｋ
台湾の人も署名してくれてます
日本政府に圧力をかけましょう
- 797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 23:29:34.53 ]
- いくら署名したって韓国政府の同意がなきゃ駄目なんじゃ
- 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 23:30:41.02 ]
- >述語論理の式なので恒真じゃない。
？
- 799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/19(水) 00:54:29.17 ]
- ZFCGってなに？
- 800 名前：800 mailto:sage [2012/09/19(水) 01:10:44.35 ]
- うそ 800
- 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/19(水) 04:21:11.13 ]
- どこに書いてあったの？
たぶんその本なり論文なりに定義してあると思うよ
- 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/19(水) 05:16:04.23 ]
- generalized Cantor hypothesis
- 803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/19(水) 06:15:57.18 ]
- >>794
集合論者はZFCの公理（上で言われているように弱めることはよくあるが）の下でしか考えない。
集合論の公理を全部取っ払うことはまずないので「数学的な公理なのか純粋に論理的な帰結なのか」なんて気にしない。
- 804 名前：TTT [2012/09/19(水) 09:31:04.95 ]
- >>798
恒真ってのは命題論理で個々の原始論理式の真偽値と無関係に式全体が真になることだから。
∃ｘ(ｘ＝ｘ)が真になるには、モデルの領域中にこの式を満たす個体がないと駄目。
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