- 72 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/22(日) 00:35:09.93 ]
- どんな形式体系ZFCでも（古典論理上ならば）その内部では、すべての命題φは
１、真である
２、偽である
のいずれかである。つまり排中律が成り立つ。
しかしすべての命題について１なのか２なのか我々人類が知ることができる訳ではない。
形式体系ZFCを外側から見たメタレベルでは
１、φが証明可能である
２、φの否定が証明可能である
３、φは独立である
４、ZFCが矛盾している
のいずれかである。
ここで注意しなければならないのは、
メタレベルでの排中律を仮定しているということである。
だからすべての命題について１から４の内どれなのか我々人類が知ることができる訳ではないのだ。
メタレベルを形式化して外側から見たスーパーメタレベルでは
１、「ZFCでφが証明可能」が証明可能か証明不可能か？
２、「ZFCでφが証明不可能」が証明可能か証明不可能か？
３、「ZFCで¬φが証明可能」が証明可能か証明不可能か？
４、「ZFCで¬φが証明不可能」が証明可能か証明不可能か？
のすべての組み合わせ、つまり 2^4=16 通りが考えられる。
ここにスーパーメタレベルでの排中律が必要であることは言うまでもない。
もう一つレベルを上げれば 2^16 通り、さらに上げれば 2^{2^16} 通りということになる。
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