- 1 名前：1 mailto:age [2010/03/06(土) 12:44:09 ]
- [２つの封筒問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？
この問題・類題に関する意見・質問のスレです。専用スレ立てました。
この問題を他のレスで質問したりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くようお願いします。
こんな確率求めてみたい その1/8
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
から派生しました。
- 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 20:50:15 ]
- >>326
その、分布は存在しないという証明に
このスレで
＞ なぜなら1が入っている確立をxとすると、2が入っている確立、３が、４が、、、全てxとなる。
＞ 確立の全事象が起こる確率は1なので、
＞ x+x+x+x+,,,,,,=1
＞ これはありえない。
このような説明がなされているけれども、
もしかしてこのスレでは、連続一様分布は存在しないという立場なの？
- 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 20:53:00 ]
- >>336
親視点 子視点そのものは不自然でもなんでもない。
この問題は子視点の話であって
親視点と混同していると違う問題になるというだけ。
- 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 20:55:10 ]
- >>344
＞ 「上限もなく、一様に金額を入れるという仮定のもので考えてるから1/2」
上限がないことそのものには問題はないと思うんだが、
なぜあえてそのような書き方にしているのだろう？
- 351 名前：240 [2010/03/16(火) 21:49:23 ]
- >>348
ja.wikipedia.org/wiki/連続一様分布
連続一様分布はもちろん存在する。しかい、上限の無い連続一様分布は存在しない。
連続一様分布U(a,b)の確率密度関数の値は1/(b-a)
上限がない、つまりb=無限大のときこれは意味をなさない。
>>350
上限が（たとえば）100円のとき、一方の金額が90円なら、
他方の金額が二倍である確率は0。
確率1/2だという（誤った）結論を導くためには、上限が無いという条件が必要。
- 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 22:11:05 ]
- 学がない人（俺も）でも正解にたどり着くチャンスは十分にある。
逆にいうと間違いをさまよい続ける人は
学がなくて かつ 現実に置き換えてみる労力を惜しんでいる人だろうね。
- 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 22:19:19 ]
- ＞逆にいうと間違いをさまよい続ける人は
逆必ずしも真ならず。
＞現実に置き換えてみる労力を惜しんでいる人だろうね。
現実に置き換えるのは危険な行為。数学から離れて
奇妙キテレツな哲学に変化して間違いの上塗りを繰り返す
可能性が高い。
学が無ければ学を身につければよい。
- 354 名前：352 mailto:sage [2010/03/16(火) 22:31:10 ]
- 現実に置き換えてみるって言っても大したことじゃないよ。
Ｑ１ 無限集合から何かを等確率で選ぶことが可能か？
→上で散々言われているように不可能。よって、有限集合を考えざるをえない。
有限集合で、上限の数字と下限の数字は１枚、以外の数字は２枚の紙を用意する。
ただし、それぞれにはペアの数字も（小さい字）で書かれている。
これらの紙をルーレットに貼り付けて統計を取るとする。
Ｑ２ 十分に上限を大きくすれば、ルーレットで出た数字と、そのペアの数字の比は
1.25であるか？
→NO。単なる統計のマジックでそんな気になるだけ。ペアの数字のほうで統計
とってみればよく分かる。
Ｑ３ それでも1.25が正しい気がする。
→比の平均を考えていませんか？何かの前提がないと比の平均は無意味です。
例：ある会社に事業部が２つあり、
Ａ事業部は前年比売上110％、Ｂ事業部は前年比売上105％だった。
この会社全体の前年比売上は何か考えてみてください。
- 355 名前：326 mailto:sage [2010/03/16(火) 23:30:16 ]
- >>351
前半
そこは本質じゃないと思う
封筒の金額を(A,2A)と置く。
この時選んだ封筒の中身の期待値は
1/2 ( A + 2A ) = 3A/2
他方の封筒も同じ
つまりAの値や「封筒の中身がAである確率」によらず、どちらの封筒を選んでも期待値は等しい。
この命題を(1)としよう
もうこの時点で
＞「任意の金額c円に対し、
＞選んだ封筒の金額がc円のとき、もう一方が２倍である確率が1/2である。」
＞という確率分布は存在しない。
っていうことの証明になっている。
なぜなら、
選んだ封筒の金額がc円であった時、もう一方の封筒の金額が2c円である確率をP(c)とする
このとき他方の封筒の期待値は (1 - P(c) ) * c/2 + P(c) * 2c で表される。コレを式(2)とする。
(1)は前述の通り金額に依存しない命題です。一方、式(2)は金額=cの場合の「条件付き確率」。
ここで、金額=cの条件を外して、封筒の期待値を求めるにはどうすればいいか？
選んだ封筒の期待値は 「 c * (cの出現確率) をcの定義域全体で積分したもの 」 。
同様に、他方の封筒の期待値は 「 式(2) * (cの出現確率) をcの定義域全体で積分したもの 」。 この二つは(1)より等しい。
なんで下の式も(cの出現確率)を掛けているの？って思うかも知れないが、今は行数不足で書ききれない。理解できなかったら質問してくれ。
もしP(c)が任意のcに関して1/2だとしたら、(2)は 5c/4 と書ける。よって積分の結果は明らかに等しくならない。つまりP(c)が任意のcに関して1/2になることはない。
>>336で親視点とか子視点が不自然って言ったのはこういうこと。
詳しく読んでないから違うかもしれないけど、子視点ってつまり「金額=cの場合の条件付き確率」でしょ？
金額で積分しちゃえば親視点（？）になるんだから、分かりにくい考え方だと思うけどなー。
- 356 名前：326 mailto:sage [2010/03/16(火) 23:43:22 ]
- すまん
＞つまりAの値や「封筒の中身がAである確率」によらず、どちらの封筒を選んでも期待値は等しい。
は語弊があるかもしれない。
どう言ったらいいか分からない。
(2)の金額=cという条件を取り去る（積分して均す）と(1)と同値になるっていうことが言いたかった。
もっと明快な説明が出来るように統計学の教科書引っ張り出して統計学の言葉で証明してみるわ。
暇なときに。
- 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 23:48:07 ]
- >>343
＞もし真剣に数学をやりたいなら、もう少し考えてから発言した方が良いと思うぞ。
ここは考えない人用スレ。
数学的な準備が整ってないにもかかわらず
まず準備を整えろという忠告に従わない人が最終的に残った隔離スレ。
いくらかログを追えばすぐ分かると思うけど。
- 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 23:50:24 ]
- >>353
元の問題から乖離したことに無反省無自覚なまま
そういう奇妙キテレツな試行を次から次に考えるというのが
このスレに残った人にほぼ共通する傾向だな
- 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 23:52:30 ]
- >>358
俺のことか？
- 360 名前：352 mailto:sage [2010/03/17(水) 00:38:15 ]
- このスレはIDないから、俺って言っても分からんのか。面倒だな。
- 361 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 01:09:16 ]
- ちょっとまた質問、というかアンケート。
>>1とは全く別の問題で、しかも金額の確率分布が有限の問題なんだけど
次のゲームを考える。
Nは２以上の自然数とする。
賞金の組は{2500*2^n,5000*2^n}(n=1,2,3,…,N)のどれかで、どれが
選ばれるかは同様に確からしいとする。賞金の組が決まり、金額を２つの封筒に
入れる。参加者A君に、一方の封筒の中身の金額を確認させる。
(確認させる封筒をどちらにするかは、同様に確からしいとする)
A君が確認すると金額は5000円,5000*2^N以外の金額であった。
この時、A君は交換した方が良いか？
交換してもしなくても同じか？
それ以外か？
- 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:15:04 ]
- >>361
＞ この時、A君は交換した方が良いか？
こういう書き方すると、「A君にとって、確実にもらえる10000円を5000円に減らしてまで20000円を狙う理由があるか分からない」とか言われるよ
「交換した方が期待値が大きいか？」みたいな書き方にしとけば？
- 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:21:02 ]
- >>361
>5000円,5000*2^N以外の金額であった。
変な表現だな。なんかの間違いだろ。
- 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:24:46 ]
- やっと分かった。最小と最大を除外したのか。
交換すると1.25倍になる。
- 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:25:28 ]
- 期待値で計算するとね。
- 366 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 01:35:02 ]
- >>355
君の計算をまじめに読んでないが、
計算で矛盾が生ずることを示しても無意味だよ。
他方の封筒に変えても期待値は変わらないはずなのに、
1.25倍になってしまうという矛盾（パラドックス）はなぜ起きるのか？という問いを
考えていた訳だ。
その答えとして、
>(*)「任意の金額c円に対し、選んだ封筒の金額がc円のとき、
>もう一方が２倍である確率が1/2である。」という確率分布は存在しない。
存在しない確率分布に従って計算したから矛盾が起きたんだよ。と説明しているわけ。
さてここで、(*)を証明して見せよう。もしそのような確率分布が存在したとすると、
1.25倍の矛盾が起きてしまう。よって背理法により(*)が示せた。
この文脈においてこの証明は無意味だろ。
君のやってることも（違う計算ではあるが）同様に無意味なことだろ？多分ね。
いずれにせよ、(*)の本質は
>上限の無い連続一様分布は存在しない。
の本質と同じだよ。
- 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:38:20 ]
- あれ？ 1.25倍になること自体が矛盾なのか？
金額に上限が無いという仮定がある以上、普通に起こりうる現象だと思うんだが
- 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:54:26 ]
- >>367
成立しない仮定は前提にできないよ。
- 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:56:56 ]
- 難しい数学を考えなくても当初の命題で、
「１万円だった」が有用な情報かどうか、有用な情報ならどう役に立ったのかを
考えれば、期待値：12500 はなんかおかしいぞ？と思うのが正常な人間。
- 370 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 01:58:01 ]
- >>354はあまりにむちゃくちゃすぎて、
なんて突っ込みを入れれば良いのか分からんなぁ。
- 371 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 02:02:44 ]
- >>368
いや、金額に上限が無いというのは成立しない仮定ではないよ
金額に上限のない一様分布はありえないけど、一様分布でなくて良いならいくらでもある
- 372 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 02:09:44 ]
- >>362
＞「交換した方が期待値が大きいか？」みたいな書き方にしとけば？
そこはわぞと濁してあるのだけど
一応、訊き方を変える。
交換後の金額の期待値が交換前の金額の1.25倍であることは
A君が交換するかどうかの判断に
関係があると思う？
- 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 02:10:52 ]
- >>370
そうか？中学生にも分かる説明を考えたんだが。
- 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 02:12:23 ]
- >>372
さっきは条件追加してたのに、今回はそこを濁すのか？
はっきり書けよ。ズルイ奴だな。
- 375 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 02:26:09 ]
- >>374
正しいか正しくないかではなくて、
どう思っているかを訊きたいから、訊き方を変えただけ。
ズルイ奴であることは認める。
ところで、"さっき"ってどれのこと？
- 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 02:36:12 ]
- 金額が全部分かってる観測者を置いても変わらない。
判断が関係あるってのはオカルトだね。
- 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 02:57:47 ]
- >>366
No
コメントするなら、ある程度読んでからにしてくれ
と言っても、かなり読みにくいのは承知してる
明日、統計学の言葉で書き直すから待ってて。
- 378 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:07:15 ]
- >>377
俺は>>366ではないんだが、>>355は間違ってる
封筒の期待値が発散している場合を考慮していないからだ
あらかじめ言っておくが、俺は
＞「任意の金額c円に対し、
＞選んだ封筒の金額がc円のとき、もう一方が２倍である確率が1/2である。」
＞という確率分布は存在しない。
という主張自体は正しいと思っている
ただ、>>355では証明になっていないと言いたいだけだ
- 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:15:17 ]
- >>363
要するに普通のサイコロふったら０の目が出たというような
ありえないことが起こったってことじゃないか？
- 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:16:20 ]
- >>379
>>364
- 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:17:18 ]
- いろんな人がいるけど
分かりやすいねえｗ
今度は積分で遊んでるｗ
生兵法は怪我の元
- 382 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:21:23 ]
- >>381
御説ごもっともですね
茶々入れるだけのレス見ると真面目に説明するのが阿呆らしくなるなあ
- 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:31:05 ]
- そう言わずに真面目に説明するといい
アホらしくても間違っててもあえて使ってみるスタンスでしょ
- 384 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:36:02 ]
- >>383
いや、俺はマジレスしつつも長文は書かないでいるんだけど
- 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:42:35 ]
- そもそも真面目な数学じゃないでしょ
付き合うならアホらしいとか言っちゃおれんでしょ
- 386 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:44:16 ]
- ちらっと書いた事があったのを思い出した
ttp://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1265293548/616
そもそもの立場がこれだから、一様分布が存在するしないであんまり議論してもなあ、って感じなんだよ
間違ったレスを見つければ、>>378程度の説明はするけどね
てか、俺は>>382で「茶々入れてないでマジレスつけろ」って言ったつもりだったんだけど、何で俺に>>383が返って来ちゃうんだろう
- 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:52:22 ]
- マジでないものにマジレスをつけるの？
>>367自身はまともかもしれんが
- 388 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:58:52 ]
- こういうスレはマジレスつけてなんぼのもん、と俺は思うんだけど、楽しみ方は人それぞれなのかな
>>377が寝ちゃったみたいだから、俺も寝るわ
- 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 04:09:04 ]
- >>388
マジレス要員も必要かもしれないな
それがどういう解釈で帰ってくるかを楽しむには
比率的に見て
基本的に我流数学を鑑賞する場だと思ってるよ
新しい道具があるとそっちに引きずられる様子とか
退屈しない変化球が次から次に飛び交うから
- 390 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/17(水) 06:20:38 ]
- >>342
サー、お金が増えれば得、減れば損です、サー。
昨日3/15からの17連勤が確定しました。
昨日までは3/26までの12連勤だったんですが
事後条件＜27、28も仕事受注＞で期待値が17になりました。
まあ、事後条件＜倒れる＞や＜4/1仕事受注＞でいくらでも変化するんですが
冗談はさておき
もしかして、親目線で、期待値分からない→期待値15000→期待値分からない（子が次をひくかどうか分からない）→期待値（語弊あり確定してるから）10000もしくは20000
こんな考え方もあり？
確率が0、1に偏った段階で期待値と言う言葉は使えないの？
話に参加したいよ・・・
- 391 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/17(水) 06:33:10 ]
-
そうそう、昨日の幾何で解く！！
も条件付けを間違ってたね。
＜必ず交換する＞と＜必ず交換しない＞は同じ形で同面積になりそう
重複部分をどう処理していいか分からんよね
あとは条件をきちんと考えれば、解け・・・ないか・・・
- 392 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 08:06:24 ]
- >>370
待ってる。
>>373
Q2への答えの、「マジック」ってどんなマジック？
「そんな気になるだけ」と言われても、、、どこがおかしいか指摘してくれなきゃ、、、
「統計とれば分かる」って、君はルーレットで統計取ったの？
僕もルーレット買ってこなきゃでめ？統計取らずには説明できないの？
Q3「何かの前提がないと」って、間違ってる人はその人なりに、
正しい前提のもとで計算してるつもりなんだから、おかしいところを指摘しなきゃ。
ほとんど理由を説明せづに、「君は間違いだよ」と言っているだけに見える。
そもそも、君が設定している有限ルーレットの問題設定では、いくら上限を十分大きく
とっても期待値の比がが1.25にならず、1のままだ。
二つの封筒のような難しいパラドックスは起こっていない。
このことは高校生の知識で簡単に計算出来るよ。
今回ここで議論すべき問題じゃないだろ。
それと、「現実」の世界には「点」や「三角形」、「自然数」は存在しない。抽象概念は、
我々の頭の中に存在するもので、それを現実世界に投影しているに過ぎないんだよ。
そもそも>>354のどこが「現実に置き換えてみる」なんだ？
「具体例をいろいろ考えてみる」とか言ったほうが良いんじゃないかい？
- 393 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 08:14:17 ]
- >>367
もし金額によらずに、封筒変えれば1.25倍になるのなら、封筒を開けずに、
「こっちにする」「やっぱりこっちにする」「やっぱりやぱりこっちにする」
て変えていけば、どんどん期待値があがるけど、それが真だと思っているの？
上限が無いような確率分布なんていくらでもあるよ。
それらをもちいるたびにこんなパラドックスが現れたら、確率論が成立しなくなっちゃうよ。
「上限が無い」「一様」二つ合わさって初めてありえない設定となって、
このようなパラドックスが起こるんだよ。
どちらか一方なら、普通に解ける普通の確率の問題だよ。
- 394 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 08:22:53 ]
- >>372
>>327にかいたとおりA君の性格による。
- 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 09:07:42 ]
- >>392
交換したほうが得に見えるというパラドックスの説明なら、
順番はともかく、常に両方オープンすると考えても違いはないはず。
上限下限を除くと1.25に見えるけど、全てのケースを書き出していけば、
それは錯覚だとすぐ気づく。
>二つの封筒のような難しいパラドックスは起こっていない。
同意しかねる。難しく考えすぎじゃないか？面白い問題ではあるけど。
- 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 09:43:14 ]
- この命題を「統計でウソをつく方法」として捉えている。
難しい問題だと考えちゃうと一般の人がダマされるのも仕方ないとなっちゃう。
簡単に説明する方法はあるはず、というのが俺の考え。
どこでダマされたかを考えてもらうには、全部のケースを考えてもらうのが一番だと思う。
- 397 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 10:38:52 ]
- >全てのケースを書き出していけば、それは錯覚だとすぐ気づく。
だから有限の場合は何の不思議もないんだよね。
（なぜか、有限の場合にこだわっている人がこのスレにはいるが、、、）
有限の場合は、ほとんどの場合1.25に見えるけれど上限下限の場合も計算すれば、
結局全体では1だと気づく。不思議はどこにも無い。
しかし、無限の場合には上限や下限が無いからすべての場合について1.25に見える。
もしそれが本当だとすると、>>393のように不思議な結果になる。
なんでだろうね？ってのがこの問題な訳で。
有限の場合の説明をいくらしたところで、
>>1の問題の不思議さの説明にはなっていないの。
- 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 10:47:39 ]
- >>397
無限の話は終わったのかと思っていた。
話を分ける必要がありそうだね。
有限だとしても錯覚するのが一般のレベルなんで。
- 399 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 10:51:21 ]
- 上のような書き込みをすると誤解する人がいるかもしれないから、
嫌味な書き方で気分悪くするかもしれんが断っておく。
私自身は、このパラドックスについては完全に理解しており、
何の疑問点も無い。
おかしな書き込みがあるから、
それはどういう意味で言っているの？
もしそうだとしたら、こうなるんじゃないの？それはおかしいんじゃない？
と指摘しているだけ。
正しい書き込みをしているひとに対して、質問したり否定したりはしていない。
- 400 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 11:12:04 ]
- >>398
Q1を削除して、>>1とは別の有限の問題の説明をしているというなら、
君の言うことは正しい。変な指摘をしてすまなかった。
しかし、有限にした時点で>>1のパラドックスの主要部がなくなっているので、
>>1の説明をしていることにはならないよ。ＯＫ？
もちろん、有限の場合すら理解できない人に対しては君の説明はいみがある。
しかしこれは、足し算が出来ない幼稚園児に対して>>1の解説をするにあたって、
足し算の説明をしているようなものだ。
何度も言ってるが、「二つの封筒問題」は難しい問題だよ、
無限に関するパラドックス、よく知られているパラドックスはすべて、
完全に理解しているという人に対して出題しても、
えっ何でだろう？と迷うレベルの問題だよ。
通常のパラドックスや確率計算すら出来ない人にとっては、
他のパラドックスと同程度の難易度に感じるかもしれないがね。
それと、有限レベルの問題に興味ある人は、別すれを立てた方が良いのではないかな？
上で述べたとおり、>>1とは別の問題だからね。
- 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 11:16:07 ]
- 有限に興味があるというよりは、どこで錯覚を起こしやすいかを考えているだけ。
- 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 11:23:00 ]
- >>393
＞「上限が無い」「一様」二つ合わさって初めてありえない設定となって、
＞このようなパラドックスが起こるんだよ。
上限が無く一様でない確率分布で、同様のパラドックスが起きる例がある。
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
の「An even harder problem」の項。
- 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 11:57:51 ]
- >>351
>>348の論では連続一様分布も存在できないと思うがどうか？
- 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 12:03:51 ]
- >>403
348の論を使って、連続一様分布が存在できないことを
実際に証明してごらん(348のようには行かないことが分かるだろう)。
- 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 12:35:41 ]
- ＞ Ｑ１ 無限集合から何かを等確率で選ぶことが可能か？
>>354の これとかも 連続一様分布を否定しているように見える
- 406 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 12:59:26 ]
- >>393
>>402が指摘してくれたように、
＞ 「上限が無い」「一様」二つ合わさって初めてありえない設定となって、
＞ このようなパラドックスが起こるんだよ。
＞ どちらか一方なら、普通に解ける普通の確率の問題だよ。
に対しては反例がある
君も俺も上限のない一様分布は否定してるが、それでこの問題が解決する訳じゃないってことだ
＞ もし金額によらずに、封筒変えれば1.25倍になるのなら、封筒を開けずに、
＞ 「こっちにする」「やっぱりこっちにする」「やっぱりやぱりこっちにする」
＞ て変えていけば、どんどん期待値があがるけど、それが真だと思っているの？
そんな事は無いよ
1.25倍（>>402のリンク先の分布ならば1.1倍）というのは、最初の封筒の金額が10000円であるという条件の下での期待値だ
従って、もう一度交換すれば、当然10000円の封筒が手に入る
この問題では、条件付き確率の計算をしているからこそ、1.25倍（resp. 1.1倍）になるのだと言う事を忘れてはならない
- 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 13:41:24 ]
- >>405
無限集合から何かを等確率で選ぶことが可能と思うなら、
その具体的な方法を提示してみな。
- 408 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 13:42:56 ]
- たしかに、>>393での表現はの「初めて」というのは、そこだけ見ると誤解を招くが、
>>367の「金額に上限が無いという仮定がある以上、普通に起こりうる」とか
とか「一様密度分布の存在を否定してるのか？」という意見があったから、
片方だけではだめ、「上限なし」と「一様」両方の条件がそろって初めて密度関数が存在し無い。と言っているんだよ。
もちろん「上限なし」かつ「一様」の両方がそろわなくても、「上限なし」かつ「正の周期分布」という条件でも、
確率密度分布は存在しないよ。
さらに言えば、
二つの封筒問題の確率密度関数は非減衰関数。必ずしも「一様」つまり、定数関数とは限らない。
そのことは知っているよ。だから、ひとつの封筒の例つまり、上限の無い一様な確率密度の例は、
あくまでも、「二つの封筒問題」を理解する上での一つのステップ（ただし問題の本質は同じ）として上げたんだよ。
はるか昔に書いたことだが、二つの封筒の問題を考えるには、二次元の確率密度関数の計算をする必要が
あ。そういう意味でも、「二つの封筒」問題は、上限の無い一次元一様密度関数の問題よりはるかに難しいよ。
- 409 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 13:49:43 ]
- >1.25倍（>>402のリンク先の分布ならば1.1倍）というのは、
>最初の封筒の金額が10000円であるという条件の下での期待値だ
最初の金額が10000円のときは本当に1.25倍なの？
じゃあ、最初の金額が20000円のときは何倍？
- 410 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 14:09:44 ]
- あらためて>>367に対するレスをかくよ。
「最初の封筒の金額が
10000のとき、交換すると1.25倍。
20000のときも、交換すると1.25倍。
金額がいくらであっても、交換すると1.25倍。」
これは正しくない。
金額に上限が無いという仮定だけではこんな正しくない結論は得られない。
「金額に上限が無い」＋アルファの条件があって初めてこういう矛盾が起こる。
＋アルファって言うのは、例えば、「一様」とか「正値周期密度」とかね。
- 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 14:39:46 ]
- あのさあ、基本的なことなんだけど、>>1を読んでどうして
選ばなかった封筒の中に5000円が入っている確率と20000円の入っている確率が
等しくならないのかがわからないんですけど、教えてくださいませんか？
- 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 14:50:05 ]
- >>407
何を勘違いしてるのか知らんが、そういう視点だと
「2つのボールから等確率(1/2ということ)で1つのボールを選ぶ」
という作業でさえ不可能だよ。偏りなく選ぶ"方法"を
どうやって具体的に提示するというのか？
「等確率で選んでくれる便利な装置」の存在を
予め仮定しておくしかないでしょ。その装置の中身が
どういう仕組みなのか説明することは不可能でしょ。
「コインを投げて、表か裏かで判断すればいいじゃないか」
と思うかもしれないが、それは「偏りなくランダムに選べばいい」と
言っているのと同じことで、全く説明になってない。
コインをどのように投げれば、偏りなく表・裏が出るのか
説明されていないからね。
- 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 14:51:32 ]
- コインを投げる場合は、投げ方はもとより、コインの形状はどうするのか？
テーブルの形状はどうするのか？そもそも物理法則はどうなっているのか？
…こういうのを1つ1つ細かく設定しなければならない。
そして、それらの設定が済んだとして、どうしてそれらの設定のもとで
偏りなく表・裏が出るのか証明しなければならない。当然ながら、
どの設定にも「ランダムに～」とか「適当に～」とか「気まぐれに～」とかの
言い回しは使ってはいけない。それは「等確率で選んでくれる便利な装置」の
存在を予め仮定していることになるから。
- 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 15:38:22 ]
- >>412
ひどい勘違いですね。有限ならばモデル化して統計とることは可能。
無限ではモデル化不可能。
- 415 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 15:42:13 ]
- >>410
もちろん、
＞ 金額に上限が無いという仮定だけではこんな正しくない結論は得られない。
は正しい。分布が与えられない限り、期待値の計算ができないからだ
そして、上限の無い一様な分布は無い
ここまでは君も俺も認めてる事だと思う
>>406でも書いたけど、一様でないが同様の現象が起こる分布が存在する
その例が>>402のリンク先で挙げられていて、この場合は1.25倍の代わりに1.1倍になる
これが、君が>>410で書いた「＋アルファ」にあたるもの
この分布は文句のつけようの無いもので、離散であり、全空間の測度が1になっている
だから、>>366で君が書いた
＞ その答えとして、
＞ >(*)「任意の金額c円に対し、選んだ封筒の金額がc円のとき、
＞ >もう一方が２倍である確率が1/2である。」という確率分布は存在しない。
＞ 存在しない確率分布に従って計算したから矛盾が起きたんだよ。と説明しているわけ。
は正しくない
最初に選んだ封筒の金額がいくらだったとしても取り替えた場合の期待値が1を超える、という分布は現に存在するんだから……
- 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:04:14 ]
- >>414
＞無限ではモデル化不可能。
どうしてそのことが、数学における一様連続分布の存在の否定に繋がるのか？
そもそも、そこで書いている「モデル化」の定義は何なのか？
・モデル化の定義は？
・その定義のもとでの、「無限ではモデル化が不可能である」ことの証明は？
・「無限ではモデル化が不可能である」ことからどうやって「一様連続分布は存在しない」ことを証明するのか？
- 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:08:10 ]
- >>416
空論だな。あほらしくなってきたわ。
- 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:09:54 ]
- 一所懸命考えて言葉遊びになってしまっている者
人が真面目に考えているのに言葉遊びに変えてしまう者
- 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:11:04 ]
- >>417
えっ？だって、君によれば「一様連続分布」は存在しないんでしょ？
おかしいなあ、数学では存在性が保証されてるのに。
一様連続分布が存在しないと言うのなら、そのことを「証明」してくれよ。
- 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:20:40 ]
- コインの形状とか言い出すレベルの低い奴の相手はしないよ。
悪いな。
- 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:23:54 ]
- >>420
証明できないんだね。
当たり前だよね。だって、数学では存在性が
保証されてるんだから。証明できっこないよね。
- 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:27:45 ]
- >>411
その通り。単なるヘリクツです。
確率分布がわからないとかぬかしているバカばかりです。
- 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:42:40 ]
- ある七面鳥が毎日9時に餌を与えられていた。
それは、あたたかな日にも寒い日にも雨の日にも晴れの日にも9時であることが観察された。
そこでこの七面鳥はついにそれを一般化し、餌は9時になると出てくるという法則を確立した。
そして、クリスマスの前日、9時が近くなった時、七面鳥は餌が出てくると思い喜んだが、
餌を与えられることはなく、かわりに首を切られてしまった。
- 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:57:35 ]
- >>399
指摘をされた受け手が受け入れる力があるとは限らないわけですが。
- 425 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 17:48:39 ]
- >>415
もしかして、君は
>(*)「任意の金額c円に対し、選んだ封筒の金額がc円のとき、
>もう一方が２倍である確率が1/2である。」という確率分布は存在しない。
は正しくない。つまり、(*)という確率分布は存在する。
と主張している？
- 426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 19:58:41 ]
- 10000円という具体的な数字が出ているにも関わらず
あいも変わらず無限について考えるのは言葉遊び
- 427 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 21:29:50 ]
- >>415
ごめん。>>378で「正しいと思ってる」って書いてたね。>>425は無視して。
じゃあ君はパラドックスの原因は何だと思っているの？
10000円のとき、他方の期待値は12500円。
同じ理由でA円のとき、他方の期待値は1.25A円。
金額によらずに変えれば、期待値が1.25倍。
じゃあ金額見る必要もなく、変えれば期待値1.25倍。
何度も変えれば期待値はどんどん増える。
なぜこんなおかしなことになるのだ？
私の答えはもちろん「(*)という存在しない確率分布を仮定して
計算しているから誤った結果になる。」
- 428 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 21:53:07 ]
- >>427
例えば
賞金の組が{5000*2^n,10000*4^n}(n=0,1,2,3,…)に選ばれる確率(99^n)/100^(n+1)
とすれば、最初に確認した金額が5000円の時のみ、交換後の期待値は２倍に
5000円以外を確認した時は交換後の期待値は148/199(≒1.246)倍になる。
つまり、どの金額を確認しても、交換後の期待値の方が１倍になる。
でも、このこと自体は矛盾でもパラドクスでもなんでもない。
確率分布もちゃんと存在するものである。
あくまでも
未確認の金額の期待値は確認済みの金額(金額の期待値ではない)の２倍か約1.246倍
になるのであって、金額確認前に何回も交換したからといって、期待値がどんどん
大きくなるわけではない。中身を確認してないのに一方の金額の期待値が他方の金額の
２倍か1.246倍とすることはできない。この辺のことは240自身が書いた>>345の
ジョークに通ずるものがあるだと思うのだが…。
- 429 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 22:35:05 ]
- >>428
君の考えてることがよくわからん。
きみは、「>>425の(*)の確率分布は存在する。」と考えているの？
- 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 23:16:16 ]
- 428
>に選ばれる確率(99^n)/100^(n+1)
ここが恣意でおかしい。
でも、そこの設定を自分が決めたせいでおかしくなる
そこを変数にすれば答えも変わる、ということを言ってるならあながち間違いではない
自分が決めたせいでおかしくなる、よって誤り、まで行ければ一段階クリア
- 431 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 23:19:15 ]
- >>428
１倍→１倍より大きい、と読み替えて。
その話は、封筒に入れる賞金の期待値が無限大であるというおかしな前提を利用して、
「確認した金額によっらずに交換すると期待値が増える」
という誤った結果を導くパラドックスであると思うが。
- 432 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 23:34:14 ]
- >>429
存在しないとは思うけど、正直わからん。
逆に質問なんだが
０以上１未満の実数を等確率に１つ選ぶ装置は
数学的に存在すると思う？
>>428で言いたいのは、>>427の
＞じゃあ金額見る必要もなく、変えれば期待値1.25倍。
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
に対する答えが
＞「(*)という存在しない確率分布を仮定して
＞計算しているから誤った結果になる。」
では、不適ではないかという指摘。
なぜなら、>>428のような確率分布は勝手に持って来たモノではあるが
確かに存在して
5000円を確認した時のみ、他方の期待値10000円で5000円の２倍になり
10000円を確認した時、他方の期待値は約12460円
20000円を確認した時、他方の期待値は約24920円
：
A円(ただしA≠5000)を確認した時、他方の期待値は約1.246 A
どんな金額を確認しても、他方の金額は２倍か約1.246倍になり
１倍よりも大きくなる。
＞じゃあ金額見る必要もなく
変えれば期待値１倍以上。
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
の答えとして
"存在しないから"は誤り。
- 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 23:36:55 ]
- >>430
そこは おかしくも何ともない。一様分布でない別の分布を設定して
議論してるだけだろ(>>1でない全く別の問題を設定して議論している、ということ)。
- 434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 23:40:18 ]
- >>432
数学的に なのに
装置の実在を問うのかｗ
- 435 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 23:49:21 ]
- まず、(*)の確率分布は存在しないよ。これは間違いないよ。
>０以上１未満の実数を等確率に１つ選ぶ装置は
装置っていう言葉使いが気になるが、存在するよ。
ランダムに時計を見れば、0:00から12:00までを等確率で指している。
この時刻の文字盤を変えてやればいいだけだ。
>>428のパラドックスに対して「存在しないから」はあやまりだよ。
しかし>>427に対して「存在しないから」は誤りではないのでは？
- 436 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 23:58:15 ]
- >>430
>>1の問題文からは
金額の確率分布はわからないだろ。
(>>240の１か２か３か４か判断できない。特に３はありえなさそう)
特定の確率分布(特に今回の様なかなり意図的な分布)を仮定した時点で
>>1とは別問題になるのは当然だろう。
それなのに、一々
"この問題は>>1とは別問題なんだけど～"と前置きしないと
わからない奴がいるのかい？
>>434
わかりにくい表現であることはあやまるが
"～の条件を満たす写像は存在するか？"みたいな意味での
"存在"であって、実在を訊きたいわけではない。
要は"０以上１未満の実数を等確率に１つ選ぶ"という行為を
してもいい(問題の仮定などに使っていいのか？)
>>435
＞>>427に対して「存在しないから」は誤りではないのでは？
誤りではないが
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
に対して画一的な答えではないので、不適ではないかと言った。
また質問なんだけど
全ての実数から等確率に１つ選ぶということは数学的にしてもいい？
- 437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 23:59:41 ]
- >>435
無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させられるかい？
そのことを説明できるかい？
- 438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:11:15 ]
- >>437
Ω＝[0,1), F＝{A⊂Ω｜Aはルベーグ可測}, P＝[ルベーグ測度] として、
確率変数X：(Ω,F,P) → R をX(ω)＝ωで定義すれば、
Xは標準一様分布に従うから、XはΩの点を偏り無く選ぶ確率変数と解釈できる。
- 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:12:45 ]
- >>432
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
この問題では変えていない状態と1回変えた状態は異なるから。
もっというと変えていない状態と2回変えた状態が等しくなるという条件が含まれている。
なので期待値が2＾ｘ倍（xは初期値0でランダムウォーク）にはならない。
- 440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:15:31 ]
- >>438
もっと分かりやすく言ってくれますか？
無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させることができると決めました。
だから無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させることができます
に見えるんだけど。
- 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:23:09 ]
- >>440
＞無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させることができると決めました。
違う。先に対応だけを決めておくのだ。今回はX(ω)＝ωだ。この時点ではまだ、
Xが「偏りのない選び方をする確率変数」になっているのかは不明だ。
で、この後、実際にXの分布を計算する。A∈Fに対してP_X(A)＝P(X∈A)＝P(A)＝(Aのルベーグ測度)
となるから、Xの分布P_Xはルベーグ測度(のFへの制限)に一致すると分かる。
つまり、Xは標準一様分布に従うということ。ここまで来て初めて、
XはΩの点を偏り無く選ぶ確率変数だと解釈できる。
- 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:31:40 ]
- >>439
わかってると思うが封筒チェンジで全く状態が変わらないと仮定した時に
ランダムウォークするのは期待値でなくて金額の倍率のべき乗部分ね。
当然交換すればするほど期待値は上がっていく。
- 443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 01:09:04 ]
- >>441
ピンとこない
標準一様分布にあてはめることにしました、
だからあてはまります、と言ってるようにしか見えない
- 444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 01:24:37 ]
- >>443
これがピンと来ないなら、まずは標本空間が有限集合の場合で、
偏りのない選び方をする確率変数を作ってごらん。
君の論法によれば、そういう確率変数に対しても「ピンと来ない」ことになってしまうぞ。
- 445 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 02:38:14 ]
- >>437
あくまでも高校までの直感的な説明。これでだめなら測度論が必要。
それと、多分知ってるとは思うが、
すべての[0,1)上の数を等しい確率で選ぶって言っても、その確率は0だよ。
通常0以上0.1以下をさす確率は1/10などと用いるのであってね。
区間の長さに比例した確率になっていることが、等しい確率確率で指すことの意味。
- 446 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 02:47:34 ]
- >>436
それは不可能。
- 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 03:00:10 ]
- >>445
無理数まで扱うとね
全ての数に等価に対応させる、というのは変に思える
その場合
limｎ→∞ 1/n のイメージで
＞確率は0だよ。
の方が納得いきやすい
- 448 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/18(木) 06:48:21 ]
-
ちょっと質問なんだけど
２つの封筒を（A、B）として
aは実数とする
Aに入っている金額をa 、Bに入っている金額を2aとする
二つの封筒の中身の合計金額をX、得られる金額をYとすると。
得られる金額が多い方はY=2/3Xの直線
得られる金額が少ない方ははY=1/3Xの直線
得られる金額の期待値はY=1/2Xの直線
になるのは間違いないと思うんだけど。
質問、 aの変域を∞にすることは可能か不可能か
どうなんだろう？
このグラフを見てると1/2aなんかなかったんや！！って星野仙一風に叫びたくなる・・・
- 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 06:57:21 ]
- 「変域を∞」？
Ｘを限りなく大きくすることならできるだろう
定義域を負まで延長してもいい
で、何か意味があるのか
- 450 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/18(木) 08:14:19 ]
- 訂正
質問、aを限りなく大きくすることは可能か？
意味
>>1の問題を解く指標にしたい、無理そうだけどこのグラフから>>1の期待値のグラフを書きたい
- 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 19:53:39 ]
- >>447
有理数でも同じ？
>>435
時計を「観測」する例えでいいなら有理数と考えていい？
- 452 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 21:52:36 ]
- これは高校生向けに「イメージ」を話しているだけなので、厳密に議論する話ではないが。
針がカチカチ動くデジタルではなく、スーッっと動くアナログ時計をイメージしてくれ。
数直線の上に無理数があるのと同様、
文字盤の０時と１時の間にも無数の無理数が稠密に存在するとイメージしてくれ。
時間は連続的に変化するよね？
ルート２分という時間も存在するよね？
- 453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 22:12:43 ]
- >>452
無理数が稠密にって言われると余計分からなくなるけどｗ
質問の意図は有理数でよければそのほうが簡単かなと。
どうやら無理数が必要みたいですね。
＃どこかで観測した数値は有理数って書いてあるのを見た気がする。
- 454 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 23:02:32 ]
- 「観測」ってそういう意味で使ってたのか、、、
たしかにそういう意味では、無理数は観測できないね。
ルート２グラムのものの重さを測定したら、どんなに精密なはかりを使っても、
1.4142グラムになっちゃうしね。
時計の例は、連続的な値をとる確率変数の分布のイメージを、
直感的に説明してるだけ。数学的に厳密な話では無いから忘れてくれ。
wikiの確率分布の項でも読んだ方がちゃんと理解できるだろうから。
- 455 名前：367 mailto:sage [2010/03/18(木) 23:44:41 ]
- >>427
返事が遅くなって申し訳ない
＞ 10000円のとき、他方の期待値は12500円。
＞ 同じ理由でA円のとき、他方の期待値は1.25A円。
＞ 金額によらずに変えれば、期待値が1.25倍。
＞ じゃあ金額見る必要もなく、変えれば期待値1.25倍。
＞ 何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞ なぜこんなおかしなことになるのだ？
この議論は一見正しく見えるが、実は違う
封筒を見る前の期待値を計算してみれば、発散してるのが分かるはずだ
標語的な書き方になるが、∞の1.25倍は∞なので矛盾していない
- 456 名前：367 mailto:sage [2010/03/18(木) 23:49:54 ]
- ああ、多分240氏は分かってくれると思うけど、俺は例の分布は否定しているよ
- 457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 23:51:45 ]
- >>452
無理数にまで均等に対応させることはできる？
有理数の段階でそれぞれの確率→０は納得いくから
無理数に拡張する必要はないが念のため
- 458 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 00:18:12 ]
- 0以上1未満の実数を、2進数によって無限小数展開する。
有限小数については、0.1＝0.1000… のように、0が並んでいると
思って無限小数だと見なす。
無限小数の各桁について、0が選ばれる確率も1が選ばれる確率も1/2だとする。
このような選出方法を取れば、任意のx∈[0,1)について、xが選ばれる確率は
等しく0である。また、選ばれた実数が区間[a,b]⊂[0,1)に入る確率はb－aとなる。
よって、この選出方法は偏りのない選出方法だと見なせる。
0.1000…＝0.011111… のように2通りの表現方法を持つ実数があるから、
このような実数は若干選ばれやすいような感じがするが、確率を計算すると
どのみちゼロになるので、やはり等確率である。
- 459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 00:49:08 ]
- 0～1の実数を得たとしてどう正の数にもっていくのかが問題だ。
1/ｘ-1で写せばとりあえず正の数全体にはなるが均等にはならないよな。
理想分布関数は全領域の積分が1、任意の有限区間の積分が0、ｘ=0以外の任意のxでの微分が0だが。
- 460 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 02:15:07 ]
- >金額に上限が無いという仮定がある以上、普通に起こりうる現象だと思うんだが
期待値が有限の場合には、（上限があろうと無かろうと）起こらない現象だよね？
私は、期待値が無限大の場合は特別だと思っていたので理解できなかったが、
やっと理解できました。
確率論では期待値∞の場合も普通に扱うものなの？
たとえば、「これこれの期待値をxとする。このとき、、、、。よってx+1=xが得られた。」
みたいなことを何の注意書きも無く書いて良いものなの？
（私は、確率論は専門で無いので、、、）
実数の四則演算に∞を加えても、「∞*2=∞」とか「∞+1=∞」とか「∞ー∞は不定」などの
規則を導入すれば矛盾しないことには同意します。
これらの計算規則（たとえば∞＋１＝∞）に対応する確率の問題を作ったとしよう。
すると、一般的な感覚とはズレた不思議な現象が起こっている。
しかし、∞を認めて規則を導入する立場からすると、「何も矛盾が起こっていない。」という結論。
一方、∞を認めない（よってx+1=xはぜったに成立しないという）立場からすると、
「∞の期待値という誤った仮定のもと計算したから、x+1=xという矛盾が起こる。」という結論。
君が前者で、私が後者。
おそらくどちらの立場をとる場合も、この不思議な現象をパラドックスと呼ぶと思う。
- 461 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 02:22:43 ]
- >>459
それは不可能だって上の方で書いてあるでしょ。
[0,1]での積分値をxとする。均等だから任意の自然数に対して、[n,n+1]での積分がx。
よって全積分、つまり[0,\infty)での積分はx+x+,,,,=1。しかしこのような実数xは存在しない。
- 462 名前：367 mailto:sage [2010/03/19(金) 02:32:41 ]
- >>460
ああ、>>367で「普通に起こりうる」と書いたのがいけなかったのか
＞ 期待値が有限の場合には、（上限があろうと無かろうと）起こらない現象だよね？
同意します
＞ 確率論では期待値∞の場合も普通に扱うものなの？
＞ たとえば、「これこれの期待値をxとする。このとき、、、、。よってx+1=xが得られた。」
いや、そういう感じで書くのは背理法で期待値の発散を証明するときくらいじゃないかな
だからこの問題に対する俺の立場は、「よって期待値は発散している」だね（ずいぶん迂遠な証明だけど）
- 463 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 03:09:46 ]
- これで私も君も、お互いの考えをほぼ理解できたと思う。
残された見解の相違は、>>1の問題（と言っても「確率1/2なので」の部分や、これ以降の続きの部分が省略されているが）
の本質がどこにあるか？という点だと思う。
私は、この問題をただ単に「期待値無限大のパラドックス」の問題と捉えるのはどうかと思う。
「任意の金額に対して、他方が二倍となる確率が1/2というありえない仮定を信じさせること」が本質だと思う。
とは言っても前者を完全に否定している訳では無くて、後者の方が重要かな。くらいの意味だが。
- 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 05:08:14 ]
- 交換を続けてエスカレートしていく考え方は間違い
取りうる事象が無限まで発散すれば
確率を１におさめても
期待値が無限に発散するという意味の無限なら正しい
- 465 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/19(金) 06:38:36 ]
- そろそろ、>>1の問題に対して勝利宣言をして貰えないだろうか
例えば、
有限の場合は取り得る値の範囲が提示されていないので設問ミス
無限の場合は期待値が発散（5000と20000の間で）しているので期待値12500とするのは誤り
引いた方が得かどうかは分らない
みたいな感じで、
あとは>>463のパラドクスもしくはありえない仮定を信じさせる原因の究明で
２封筒問題は解決したことになる（のだろうか？）
そろそろ終わりが見えてきた？
私は240さんや367さんの言っていることに異論はありません（だいたい理解できた）
- 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 06:48:37 ]
- 勝利宣言ｗ
子供か
まあ勝利宣言と呼ぼうがどう呼ぼうが好きにするといいが
結果が出たのあとも２スレほどかかったあげく
それでも納得いかずに独立したスレだから
勝利宣言がなされようが
本来の問題からかけはなれた新たにつけたした部分から生じた疑問を
同じ問題だと思って迷い続けたり
学べば済む未習得の基礎知識を我流でこねくりまわす人は
今後も出てくるんじゃないですかね
- 467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 07:32:12 ]
- >>461
実数で無理なのは明らかだが、そこで議論終了しちゃうんですか。
超関数は考えないんですか。
- 468 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 07:46:05 ]
- 今、勝利宣言するのはs5179さんじゃないかい？
私は、>>240の時点で、って言うか10年以上前に勝利宣言しているつもりなのだが、、、
まぁ、>>367タイプの
「(*)の非存在をスルーして、1.25倍についても無限期待値を認める立場だから問題ないとする」
という考えは今回初めて知った。
おかげで誤解をしてしまい、長々と恥ずかしいレスを続けて申し訳なかったが、勉強になった。
そういう意味で、>>399の「完全に理解しており」というのは言いすぎだったな。
- 469 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 07:50:19 ]
- >>467
均等な場合うを考えているから考える必要があるのは定値関数のみ、超関数を考える必要はない。
- 470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 12:10:31 ]
- 超準解析を持ち出せば、どうなるか分からん。
正の無限小εを固定して、定値関数εを考えるとか。
(超準解析で確率論を展開する試みは実際にある。でも詳しくは知らない)
- 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 20:05:00 ]
- 常に交換しないAさんと、常に交換するBさんがそれぞれn回チャレンジするとする。
Aさんの獲得金額とBさんの獲得金額の比が1でないことを期待できる分布は存在しますか？
- 472 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/20(土) 09:09:31 ]
- >>468
私は
「期待値は分からない引いてよいかどうか分からない」
の答えまでしか認識していませんでした。
>>1 が大問１題のみのテストだったら30点ぐらいでしょう
240さんと367さんのそこに至る証明が出来ている答えとは雲泥の差があります。
>>465の例えが正しいか、間違っているかは、まだ確証はありませんが
少なくとも 「期待値は分からない引いてよいかどうか分からない」 より答えに近づいていると思います。
2つの封筒問題を通して数学の面白さを思いだしたので、数学書などを買って久しぶりに勉強したいと思います。
240さんはずっと大学生もしくは院生（理学部数学科）と思っていました、
私と同じか年上なんですね予想外です。
- 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 09:14:42 ]
- ＞2つの封筒問題を通して数学の面白さを思いだしたので
俺もここがきっかけで、数学じゃないけど理系の面白さを思い出したよ
本題そのものは興味深い新たなものは出てこなかったけど
そこから派生してくる正誤含めたさまざまなアイデアにいい刺激があった
- 474 名前：240 mailto:sage [2010/03/20(土) 12:52:41 ]
- >>471
期待値∞の分布で金額をいれれば、AもBも期待値∞。∞と∞の比（つまり∞÷∞）は不定。
無限大の期待値を利用すれば、こんなパラドックスもつくれる。
私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。君が封筒の金額を見てGetする。
封筒には１億円入っていた。期待値∞なのにたった１億円しかget出来ないなんて君はunluckyだ
もう一度やると100兆円入っていた。やはりunluckyだ。
何度繰り返しても、期待値よりはるかに少ない（差が-∞）金額しか得られない。
- 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 13:40:25 ]
- >>474
ありがとうございます。
Aさんの獲得金額とBさんの獲得金額の比が1.25とか1.1等の有限の値に
収束するケースがあるのかどうか知りたいです。
自分の勘ではなさそうなんだけど。
- 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 13:43:49 ]
- 1以外の値ということで。
- 477 名前：240 mailto:sage [2010/03/20(土) 14:17:36 ]
- 期待値有限の確率分布ではありない。
問題文のn回とか、収束とかは意味無い。一回の場合の期待値のみ考えた方が良い。
- 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 14:38:12 ]
- >>474
ペテルスブルクのパラドックスをいじったのか
＞私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。
この時点で破綻してるけど
- 479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 15:34:39 ]
- 一回だけだとパラドックスっぽいが、数多く行うとそんな感じがしない不思議
- 480 名前：7 mailto:sage [2010/03/20(土) 20:35:41 ]
- >>478
封筒に金額を入れる時、金額の確率分布を
封筒を開ける前の金額の期待値が＋∞に発散してしまうような確率分布で
考える、というようなことだろ。破綻してないと思うけど？
- 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 00:25:17 ]
- 具体的には?
- 482 名前：7 mailto:sage [2010/03/21(日) 01:33:14 ]
- >>481
具体的には、例えば>>428の確率分布(一部修正)
賞金の組が{5000*2^n,10000*2^n}(n=0,1,2,3,…)に選ばれる確率(99^n)/100^(n+1)
組を決め、決まった金額の組を２つの封筒に入れる。
２つの封筒のうち、どちらの封筒を受け取るか同様に確からしいとする。
(いつまでたっても混同してる人がいるので一応断っておくが、この分布を仮定した時点で
>>1とは別の問題であり、もちろん私もそのことを理解している)
簡単な計算で、この確率分布がありえないモノでないこと
(封筒を開ける前の)受け取った金額の期待値(の式)が＋∞に発散することが確認できる。
>>479
個人的な意見・感覚として、最終的に得られる金額を最大にしようとするなら
１回しかゲームをしない時
・２つの封筒の金額のうち、大きい方を選べばよい等と考える
→最初に受け取った方が大きい方である確率1/2,小さい方である確率1/2なので、交換してもしなくても同じと考える
・金額の期待値を計算できる時、金額の期待値の大きい方を選択すればよい等と考える
→未確認の金額の期待値が確認済みの金額(の期待値)より大きいなら、交換した方が良いと考える
と交換するかどうか判断する時に２つの考え方があって、どちらを採用するべきだと思うか感覚的には
決まらなくて、混乱しやすいのだと思う(そもそも論理的に判断できるようなものではない)。
一方、複数回ゲームをやる時は、"１回１回で大きい方を選ぶかどうか"という上の考え方よりも
"金額の期待値を参考にする(小さく損して大きく儲ける)"下の考え方の方がしっくり来やすいので
混乱しにくいのだと思う。(ギャンブルとして、最終的に交換するかどうか決めるのは
個人の感性・性格の問題であって、交換した方が正しいとか正しくないというようなことは言えないことには注意)
- 483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 02:20:52 ]
- >>482
前半
＞簡単な計算で
示してくれ。ｎを無限にしなくて発散するのかどうか
後半
＞個人の感性・性格の問題であって
感覚的な損得の話にもっていったら期待値とは関係なくなってる
（本来感覚的な損得は問題ではなかったところに、かってに損得感覚を持ち込んだ上で
それは関係ないと但し書きをつけるというような、本来の問題から見れば余計かつ無駄な行為をしている）と思うが
- 484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 02:31:07 ]
- 本来の問題なんて、ありがたがる価値あるの？
期待値不定で決着ついてるじゃん。
- 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 02:34:01 ]
- 有難がってはないわけだが。
- 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 04:32:17 ]
- >>474
＞無限大の期待値を利用すれば、こんなパラドックスもつくれる。
それのどのあたりがパラドックスなんですか？
なにか矛盾しているようには見えないんですが。
- 487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 04:36:15 ]
- 封筒に入れる金額を以下のような手順で決める。
１） １円用意する。
２） コインを投げ、表が出たら 用意した金額を封筒に入れ、終了。
３） 用意する金額を２倍に増やして、手順２）にもどる。
封筒に入っている金額の期待値は？
- 488 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 09:14:34 ]
- >>486
自然に感じられない結論が得られれば、矛盾が無くてもパラドックスと言う。
期待値∞を理解していない人は、
常に期待値を下回る金額しか得られないことを不自然に感じるはず。
>>484
期待値不定というのは、
「どのような確率分布でいれたか分からないから、どのような確率で２倍、1/2になるか
分からない」って答えのこと？
それが一番シンプルな答えではあるが、普通それだけじゃ納得しないと思うが。
- 489 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 09:38:08 ]
- >>484
普通は、「じゃぁ、確率分布は分からないけど1/2になるように入れた場合はどうなの？」
って聞かれると思うんだけど。
- 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 09:46:43 ]
- 「分布不明のところで期待値に何の意味がある？」
と聞き返せばおｋ。
- 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 09:50:03 ]
- >>489さんだったら、難しい数学の話をして説明するんだろうか。
- 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:04:05 ]
- 分布不明だって期待値に意味あるじゃん。
ただで賞金がもらえるとして期待値１円のと期待値１億円のどっちがいい？っ聞かれて
分布が分からないから分からないと答える人はほとんどいないと思うが。
- 493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:11:23 ]
- その前に分布不明のところで期待値を求める方法を提示してくれ。
話はそれからだ。
- 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:11:39 ]
- 知ったかが多いなぁ…
確率に色気を出した文系が集うスレか
- 495 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 10:14:51 ]
- >>493
だから、２倍の金額の確率が1/2、1/2の金額の確率が1/2ってことから求められないの？
って言われるとおもうが。
- 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:24:47 ]
- >>495
一般人はそんなツッコミしないよ。どんな人を想定してるんですか？
- 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:28:39 ]
- もし聞かれたら「このスレ嫁」だなｗ
- 498 名前：7 mailto:sage [2010/03/21(日) 11:16:40 ]
- >>483
＞ｎを無限にしなくて発散する
ってどういうこと？ちょっと意味がわからない。
＞本来の問題から見れば余計かつ無駄な行為をしている
そりゃあ本来の>>1の問題じゃなくて、>>479の
＞一回だけだとパラドックスっぽいが、数多く行うとそんな感じがしない不思議
という錯覚の原因として、個人的に考えた・感じた意見を書いただけだからなあ。
錯覚の原因が本当にそうかどうかは、もはや数学の分野の問題じゃないから
意味がないといわれれば確かに意味はない。
- 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 13:56:17 ]
- 引用部分の意味がわからなくてもいいから
とにかく期待値が無限になる式を例示してくれ
- 500 名前：7 mailto:sage [2010/03/21(日) 19:44:49 ]
- >>478で
＞ペテルスブルクのパラドックスをいじったのか
って気づいてるのに、説明する意味あるの？
>>487を少しいじって
１)３円用意する。
２)コインを投げ、表が出たら 用意した金額を金額比が1:2になるように２つ封筒に入れる。
裏が出たら用意する金額を２倍に増やす。表がでるまで手順２)を繰り返す。
３)２つ封筒のうち、どちらか一方を等確率に選んで受け取る。
という設定で、封筒を開ける前の受け取った金額の期待値を考えても
基本的には同じ。それとも封筒を開けた後の金額の期待値と混同してる？
>>482の確率分布で計算すると
最初に受け取った封筒の金額が
5000円である確率＝(1/2)*(1/100)=1/200
5000*2^k円である確率(k=1,2,…)
＝(1/2)*(99^(k-1))/(100^k)+(1/2)*(99^k)/(100^(k+1))=(199/20000)*(99/100)^(k-1)
となっているので、全てのk(=0,1,2,…)で
0<(最初に受け取った封筒が5000*2^k円である確率)<1
Σ_[0,∞]{(最初に受け取った封筒が5000*2^k円である確率)}=１
となっている。
封筒を開ける前の金額の期待値の式は
5000*(1/200)+Σ_[1,∞]{(5000*2^k)*(199/20000)*(99/100)^(k-1)}で
全てのk(=1,2,…)に対して
(5000*2^k)*(199/20000)*(99/100)^(k-1)=(199/2)*(198/100)^(k-1)>1
であるから、封筒を開ける前の金額の期待値の式は(絶対)収束せず
正の無限大に発散する。
- 501 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 19:56:54 ]
- しかし、>>484の答えで終わりにするなら、こんな問題考える必要ないよね？
封筒二つとかまったく答えに関係ないし。
確率分布がわからないから分からないって答えは、正しくはあるけど、
もっともこの問題の主旨から外れた答えだとおもうが。
まぁそれで満足する人がいるならそれで良いけど。
私は、分からないって答えも押さえた上で、>>489の仮定のもとでも考える
べきだと思うが。
- 502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 20:25:09 ]
- >>501
なんだか、いかにも気に入らないふうな書き方ですね。
同じところをグルグル回るのは止めよう、必要なら明示的に条件追加したらって考えだけど。
>>489の仮定だって、上限がないと発散するで決着ついたと思ったけど違うのかな。
- 503 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 21:12:26 ]
- うん。>>484は気にいらないよ。
そこまでで考えを止めるなら、問題の価値なんてほとんど無いからね。
- 504 名前：7 mailto:sage [2010/03/21(日) 21:34:50 ]
- >>501
なにかしら確率分布を仮定した時点で>>1とは別の問題になるんじゃないの？
>>1とは別の問題を考えること自体は非難しない(私も条件を追加したりして>>1とは別の問題を考えている)けど
勝手に(ありえない)確率分布を仮定しときながら「この問題の本質は
ありえない分布を仮定して考えてしまうことだ！」と言ったり
「他の分布を仮定したら、まったくの別問題だ！」
という主張は、ちょっと私には受け入れられない。
- 505 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 21:57:02 ]
- たとえば「実は入れた人は10000円以上持ってなくて10000円20000円の確率0と仮定すると、
交換しないほうが得です。」ってのはこの問題の本質を離れすぎだと思う。
「必ず他方の金額が二倍の確率が1/2とすると、、、」という仮定は、
問題文を離れすぎていないし、普通に考える疑問だと思う。
もちろん主観的な意見だが。
それと一つ疑問なのは、２つの封筒問題とは普通>>1よりもう少し問題文が長いと思うが、
それらを考慮しないで、純粋に>>1だけを問題として考えるのがこのスレの立場なのか？
- 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 22:09:02 ]
- 分布によって面白い性質があるにしろ、それは分布別に考えればいいことじゃないか
と自分は思うけど、240さんはそれでは満足できないんだね。
その部分にどんな面白さを240さんが感じているのかは自分には理解できない。
- 507 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 22:21:19 ]
- >それは分布別に考えればいいことじゃないか
そりゃそうだよ。しかし、>>505の冒頭の答えだけで解けたことにするのは納得いかないだろ？
それと、通常この問題は、>>1の後に
「もしこの考察が正しいなら、他の金額の場合も同様に1.25倍になる、
金額によらず1.25倍になるなら、金額を見なくても、交換するだけで1.25倍になる、、、」
と続く。だから、>>505三行目の仮定を私は考えているのだが。
- 508 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 22:44:30 ]
- それと私は、
「確率分布を、、、とする」というように一意には仮定していないよ。
あくまでも、問題文の続きを考慮して、「>>505三行目を満たす確率分布とする」
というように分布の性質を仮定しているだけで。
- 509 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 01:44:36 ]
- 読み返すと>>495に対する>>496は誤解されているような気がするな。
>>495で言いたかったのは、
「分布不明だからわからない」
に対して、
「えっ、でももし確率1/2なら12500円じゃないの？」
ってこと。一般人もそう考えると思う。問題文にもそう書いてある訳だし。
- 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 03:11:20 ]
- この問題、俺の中では完全解決してるんだけど
今は何で揉めてるの？
まあそれをまとめるのが数学と言うものか。
- 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 06:34:28 ]
- >>500
式をかいてくれてありがとう
＞＞私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。
＞この時点で破綻してるけど
の確認ができたし
>>474のパラドックスがパラドックスになってないこともわかった
それとも１+１＝３という偽の命題でも
扱ってる人間が理解してなくて偽と気付きにくいなら
何でもパラドックスと読んでいいのかな
- 512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 08:35:58 ]
- 封筒を開ける前の期待値が有限に収束しないケースについて、
その不可能性を定理化するとどういう表現になるんだろう？
- 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 09:57:29 ]
- その不可能性を定理化ｗ
- 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 11:08:15 ]
- [２つの値札]
買いたい商品の値段を聞いたら、店員がシールで数字を隠した値札を
２枚出して、こんなことを言いました。
「只今お得なキャンペーン中。この2枚の値札には、『定価』と『定価の半額』
が書いてあります。一枚好きな方のシールをめくって下さい、そこに書かれた
値段で購入頂けます。さらに二枚目をめくって頂いても構いませんが、
その場合は二枚目に書かれた方を値段とさせて頂きます」
客が一枚めくると『一万円』と書いてありました。どうしても必要なものなので
五万円以上用意していた客、二枚目をめくろうかちょっと計算してみました。
「もう１枚には五千円か二万円の値段が書いてあって、その確率は五分五分。
二万円でも私にとっては安いけれど……二枚目をめくった時の期待値は
一万二千五百円か。だったら二枚目めくらずに今の一万円で買った方が
得だな」
↑↑
この客の考え方は違ってるでしょうか？
お店としては二枚目をめくって欲しいか、欲しくないか、関係ないのか……
- 515 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 11:11:17 ]
- >>511
いいと思うけど。多くのパラドックスにおいて文章中のどこかでは偽の主張をするじゃん。
その部分に気づいてそこが偽だと指摘するのがパラドックスに対する答えになるんでしょ。
ただし>>474に偽の命題なんて書かれて無いけどね。
- 516 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 11:19:18 ]
- >>514
>>243
たとえばその商品がこしひかり10ｋgなら二枚目をめくる。
それでもし二万円が出たら、そんなぼったくり店には二度といかない。
- 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 11:25:21 ]
- >>514
両方めくって安いほうで交渉する。
- 518 名前：日向 mailto:sage [2010/03/22(月) 13:03:57 ]
- 自分なりの答えを出したんだが、
正しいか正しくないか、正しく無いならどこが間違っているか
指摘してくれ。
前のスレにレスしたから読み辛いがよろしく
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/l50
の６８２～６８４辺りだ。
- 519 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 13:32:27 ]
- >>242
- 520 名前：7 mailto:sage [2010/03/22(月) 13:35:17 ]
- >>505
>>1の後半に書いてある通り、類似の設定の問題も考えても良い場
であると思うけど、どんな設定を加えた問題が普通だと思うかとか
どこがパラドクスの原因だと思うかは人それぞれ。
>>507
＞通常この問題は(略)と続く。
そんな問題はあまり見ないし、少なくとも私にはそれが通常だとは思わない。
私は通常だとは思わないけど、240が考えたいと思ったのなら別の問題として
勝手に考えればいいんじゃない？私は私でさらに別の設定の問題を勝手に考えるだけだし。
>>511
>>515
＞私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。君が封筒の金額を見てGetする。
ここまでは問題ない(強いて言うなら"∞の期待値の確率分布"や"無限大の期待値"という
表現が気になるけど、私にはたぶん意味は通じてると思う)。
(Σ{x*P(X=x)}が絶対収束しないことなんて例は無数にある。一般的な流儀かどうかは知らないけど
Σ{x*P(X=x)}が絶対収束しない時は期待値E[X]は存在しない、と私は習った)
＞封筒には１億円入っていた。期待値∞なのにたった１億円しかget出来ないなんて君はunluckyだ
＞もう一度やると100兆円入っていた。やはりunluckyだ。
この文に数学的な意味がない(unluckyの意味が不明なので真とも偽とも言えない)ことと
＞何度繰り返しても、期待値よりはるかに少ない（差が-∞）金額しか得られない。
で「どんな金額が入っていたとしてもunluckyだ」という(意味のない)文を結論として誘導してそうなとこ
が、>>474(や聖ペテルスブルグのパラドクス)のパラドクス(？)の正体だと私は思ったんだけど、>>511は違うの？
人によっては最初から不思議でもなんでもないモノとか、タネ明かしされ
解消されてしまったパラドクスとかをパラドクスと呼ぶかどうかは
知らないし、どっちでもいい。
- 521 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 14:54:45 ]
- まず君がどんな設定を加えたか教えてくれ。
今ちょっと「二つの封筒」でgoogleってみた限りでは（数ページしか見てないが）、
続くのが通常みたいだぞ。
もちろん何を通常と感じるかは人それぞれだが。
それと、どこか気に食わない点があるように感じるのだが、
もしそうなら具体的にどのレスが気に食わなかったか教えてくれ。
場合によっては謝るから。
- 522 名前：7 mailto:sage [2010/03/22(月) 17:20:34 ]
- >>520に付け足し
(離散型の)確率空間・確率分布の定義に
"期待値が存在しない(Σ_[i∈I]{a(i)*P(X=a(i))}が絶対収束しない)モノは確率分布
として考えてはいけない"というような条件はないはずだから
>>482のような確率分布はちゃんと認められているはず。>>482の確率分布を仮定したら
破綻する、ということはないよ。
聖ペテルスブルグのパラドクスも
[(k=0,1,2,…に対して)賞金が(2^k)円である確率を1/(2^k)とする]
という仮定は偽ではなくて、[じゃあ、期待値計算すると無限大だから
参加費がどんなに高くても参加した方が得で、参加するべき！？]という
部分が、誤った推論なだけ。
- 523 名前：7 mailto:sage [2010/03/22(月) 17:25:57 ]
- >>521
別に謝る必要ないと思うが、ただ
>>1の問題は"期待値わからない"ということを認めていて
金額の確率分布が上限が存在する場合や一様じゃない場合など
"確率分布を～とする"という問題は別問題だと言っておきながら、
>>425の(*)の確率分布や>>505三行目の仮定に固執したり
ありえない設定を自然に受け入れさせることがこの問題の特有の面白い所・本質
であるという主張や考えは、私には受け入れられないだけ。
>>431の"おかしな前提"や>>313の"ほぼ確率１で得する代わりに非常に少ない確率で
大損するというタイプのパラドクス"というのが何を意味してるかも私には良くわからない。
存在しないモノを存在するとしてしまうという類のパラドクスは
封筒問題に限ったことではないと思うし
確認すると10000円だった時に他方の袋に入っている金額が5000円である確率1/2
20000円である確率1/2となる(存在する)確率分布は(上限のあるもの・ないもの合わせて)たくさん
あるのに、(存在しないと思われる)上限なしの一様分布を仮定することが普通だとは私は思わない。
個人的には>>479の
＞一回だけだとパラドックスっぽいが、数多く行うとそんな感じがしない不思議
や、"期待値１倍以上なら交換した方がよい？"というような錯覚が
封筒問題の面白い所であると思う(当然このこと自体は封筒問題に限ったことではない)が
どこを面白いと思うかは個人の主観であって、数学の問題じゃないから
その部分を言い争う気はない。私はこの錯覚を意識しやすいような問題を考えたい
だけ(例えば、組が{5000,10000}になる確率1/100,{10000,20000}になる確率99/100とする等)
で、この設定が自然であるかどうかとか、本来の問題と違うかどうかには興味ない
(むしろ、無限に関するパラドクスなど他の錯覚が起きないような問題を
考えようとしてるのだから、本来の問題とは違う問題を作ることが目標の１つと言える)
- 524 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 18:30:13 ]
- まず、私が考えている「通常」の問題では、上限を設けた場合や、
「常に確率1/2」では無い場合を考えると、
問題の主旨に合わないということは同意してもらえたと思うが、OK？
次に、>>1の問題のみ考える。
封筒に入れられた金額の確率分布が分からないのに、
確率1/2として期待値を計算している点が間違いである。
これが一つの答えであることも同意してるはずだ。
しかしこれだけで話を終わらせずにもう少し>>1の問題の主旨に沿った仮定をおく。
(*)「10000円のときには確率が1/2である」これを正しいとする。
これは君も自然だと感じていると思う。実際君もそうしているし。
君はさらにこの他の金額についても何らかの（というか全ての金額の確率分布を）仮定して
考えようとしている。
ここまで同意だと思う。
- 525 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 18:37:05 ]
- しかし、(*)を仮定した時点で>>1の問題に対する答えは期待値12500円。正しいよ。
となる。他の金額の確率分布なんてまったく関係ない。
それなのに君は他の金額の確率も仮定しようとしている。なぜだ？
他の金額の確率が必要となるのは、他の金額を引く場合も考えるからだろ？
そして、（これは>>1の問題に書いていないから意見が分かれるかもしれないが、）
他の金額の場合も確率1/2とするのがもっとも自然な仮定ではないか？
もしそれ以外の確率例えば1/3とかにするんなら、そもそも
なぜ>>1では10000円のとき1/2だと考えたのか？
もし理由があるならそれは他の金額でも同じではないか？
それともこれは1/3でも1/4でも何でも良い問題で、たまたま1/2と書いているだけなのか？
>この設定が自然であるかどうかとか、本来の問題と違うかどうかには興味ない
私は上記を理由に、この設定は>>1の問題の主旨とは違うと考える。
しかし、違うかどうか興味ないなら君にとってはどうでもいいんじゃない。
>上限なしの一様分布を仮定することが普通だとは
私は、初めに封筒に入れられる金額の確率分布が一様分布だなどと仮定していない。
あくまでも仮定しているのは425の(*)だ。
- 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 19:03:20 ]
- 12500は成立しないと言いつつ、12500に執着する。なぜだ？
- 527 名前：7 mailto:sage [2010/03/22(月) 20:03:21 ]
- ＞>>425の(*)の仮定
２つの封筒にあらかじめ金額を入れる場合を考えるなら
(つまり参加者が封筒を受け取った後に、もう一方の封筒を入れ替えたりしないなら)
そんな確率分布は存在しないんじゃなかったの？
存在するというなら具体例を。
それとも存在性を無視しても、それ以外には偽の命題や矛盾はないという話？
「>>425の(*)の確率分布は存在しない。でも>>425の(*)の確率分布を仮定するのが普通」
と言ってるように見えるのだが、他の人は知らんが少なくとも私にはそれが普通だとは思わない。
＞違うかどうか興味ないなら君にとってはどうでもいいんじゃない。
どうでもいいと思っているからこそ、>>520で勝手に考えればいいと言った。
(もし面白そうだと思ったら、その時は参加するかもしれない)
240は>>1の推論部分の[確認すると10000円だった時に他方の袋に入っている金額が5000円である確率1/2
20000円である確率1/2となる]という主旨に沿った問題を考えたいようだが
その主旨に沿わなくたって、私が封筒問題の面白いと思う所(>>523の後半に書いたような所)
は残るのだから、私はそんな主旨に沿った問題を考えたいと思わない(そもそもそれが主旨だと思わない)
だけ。240が考えたければ、私のことなど気にせずに勝手に考えればいいんだが
「とにかくこの設定が封筒問題の主旨・本質で、それ以外は別問題です。」
と言われても、そこは同意できない。
- 528 名前：>>240 mailto:sage [2010/03/22(月) 20:07:59 ]
- 12500に固執しているというより、1/2に固執している。
一般人だって、たまたま1/2なだけで1/3だったかもしれない、、、
なんて話を期待していないだろ。
- 529 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 20:52:02 ]
- >>527
この質問にはぜひ答えてくれ。
>>1において文章中には明示されていないが、確率1/2として計算していることは明らかだと思う。
ところで、この数字の意味は何だ？何でも良いのか？
この問題は、他の金額を選んだら1/3とかなんだけど、10000円のときだけたまたま1/2だったという問題なのか？
君は、主旨なんてどうでも良いようだが、私は主旨にこだわっている。
「私は主旨に沿った考えをしているが、7氏は主旨に沿っていない考えをしている」
これに反論がないなら何も議論することは無い。
しかし、例えば>>504では、「別の問題になるんじゃないの？」などと聞かれるから、
説明している訳で。
それと、君の書き込みには誤解がある。だから説明している。
まったく誤解がないにもかかわらず、意見が合わないというなら説明する余地が無いけどね。
>>525の最後の部分とか理解してくれたの？
>「>>425の(*)の確率分布は存在しない。でも>>425の(*)の確率分布を仮定するのが普通」
普通の人は(*)を満たす確率分布の不存在を知らない。
だから普通の人が分布の不存在を理由に>>425の(*)の仮定を躊躇するということは無い。
君は不存在を知っているから(*)を仮定することが普通じゃないと感じるだけなんでは？
- 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 22:31:57 ]
- 金額が3倍と1/3なら1.25倍にすら成らないのだが。
その場合は同じルールのなのに、2倍と1/2の時とは確率分布とやらが変るのか？
- 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 23:15:48 ]
- >>530
＞変わるのか
「１：ｎのときに（n^2+１）/2nを求めましょう」と言ってるだけだから
ｎが２のときに1.25になり、ｎが３のときに5/3になるというようにｎに依存して当然。
ただし、「１：ｎのときに（n^2+１）/2nを求めましょう」自体が根本的に間違いなんだけどね。
誤った土台から出発した理屈を追いかけてもあまり意味はない
- 532 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/22(月) 23:23:05 ]
- なんか連勤で少しスレ見なかったら凄く荒れてるね・・・
私は前に期待値が発散すると書きましたが振動するの間違えでした
謹んで訂正致します。
あと、みんな華麗にスルーしていますが
７さんの>>500の問題って
一方の封筒を見た後の他方の封筒の期待値って１倍ですよね
引く前は引く前で期待値∞と期待値∞で悩んで
引いた後は期待値１倍で悩む問題？
また計算間違ったかな？
- 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 00:44:38 ]
- 亀の歩みでも
蝸牛の歩みでも
正解に近付けばそれでいいのだｗ
しかし
あと500レス切ったけどこの調子で大丈夫だろうか
なかなか数学に着地できないね
- 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 15:38:01 ]
- >>493
分布がわかっている人が計算し
分布は公表せずに期待値だけを公表すればよい。
- 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 15:46:10 ]
- >>512
なにが不可能なんだって？
- 536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 15:48:39 ]
- >>515
＞ 多くのパラドックスにおいて文章中のどこかでは偽の主張をするじゃん。
どゆこと？ そんなの見たことないけど。
パラドクスのようなものの大半は、一見パラドクスに思えるけど
じつは間違っている主張が多いという意味なの？
- 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 15:59:13 ]
- >>530
＞ その場合は同じルールのなのに
金額が違うのは、同じルールとは言わない。
- 538 名前：240 mailto:sage [2010/03/23(火) 16:30:38 ]
- >>536
飛んでる矢は止まってる。アキレスは亀に追いつけない。
(矛盾しているように見えるが)実は正しかった。ってパターンをのを除けば、どこかに誤りがあると思うが。
- 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 16:40:26 ]
- >>538
＞ (矛盾しているように見えるが)実は正しかった。ってパターンをのを除けば
おいおい、そここそがパラドクスなんだから、そこをのぞいてしまっちゃあ
- 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 16:50:12 ]
- >>538
ゼノンもアキレスも論そのものには誤りはないだろ。
当時の公理系や数学の概念では扱えないことを論じているだけで。
それを論じたことそのものが誤りだとも言えなくはないが、それは偽の主張とは別のもの。
- 541 名前：240 mailto:sage [2010/03/23(火) 17:14:38 ]
- >論そのものには誤りはないだろ
私は、そんな高級な話をしているのではなくて、
「いつまでたってもアキレスは亀に追いつけないことになる」は正しくない。
文章中に正しくない主張がある。って言うレベルの話をしてるのだが。
>>539
とりあえずwikiでパラドックスを調べて見てくれ。図の右側の1,2,3とか。
もちろん言葉の使い方には色々な流儀があると思うけど。
- 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 17:17:45 ]
- >>541
＞ 「いつまでたってもアキレスは亀に追いつけないことになる」は正しくない。
それは、 現実と数学（物理）という公理の異なることを比較しているので、比較そのものが正しくない。
あの論の公理では、追いつけないのが正しい。 （もちろん現実とは異なる公理）
- 543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 17:25:55 ]
- >>541
そのwikipediaでの図の（１）や（２）は、誤りが発見され解決してしまっているのだから
（少なくとも数学的には）パラドクスではなくなってしまっている。
でなければ誤りを含む回答全てが（それが指摘されるまで）パラドクスだということになってしまう。
もちろん数学以外の分野での意味的にラフにつかうパラドクスならこの限りでない。
（が、この板ではあまりふさわしくない使い方かと…）
- 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 17:30:48 ]
- 声を出し数え上げを行うときに
「いち・にい・さん・しい・ごお・ろく・なな・しち・はち・きゅう・とお」
と数えると、案外気がつきにくいらしく
とお =１１個 という現象がしばしば起こる。 （実際にやってみるといい）
しかしこれをパラドクスとは言わないわな。
- 545 名前：240 mailto:sage [2010/03/23(火) 18:06:44 ]
- >>543
数学でのパラドックスの意味は狭いとのこと理解した。
>>515はラフな気持ちで書いたのだが、
この板にはふさわしくないとのことも理解した。
- 546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 18:47:26 ]
- >>545
数学では、さらに狭義には、矛盾が起きない限りパラドクスとは言わない。
直感に反するだけのものは擬似パラドクスと言ったりする。
- 547 名前：240 mailto:sage [2010/03/23(火) 22:46:48 ]
- >>1も数学的にはパラドックスと言わないわけですよね。
するとやはりこのスレではラフな意味で使いたい気もするが。
- 548 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/23(火) 23:27:10 ]
- 封筒Aには０～無限大の金額のうちのどれかを入れた。どの金額が入っている確率も等しくなるようにセットした
封筒Bには１／２の確率で封筒Aの半分、１／２の確率で封筒Bの２倍の金額を入れた。
その後、封筒はシャッフルシャッフル
↓科学技術政策に関する意見を募集しているようです。
www.mext.go.jp/b_menu/houdou/22/03/1291303.htm
科学技術政策に関するご意見募集について
平成22年3月10日
社会・国民とともに推進する科学技術政策の実現に向けて、皆様からのご意見を募集します。本意見募集の結果は科学技術週間中の4月17日に
行われるシンポジウムにおいて活用させていただくとともに、その成果とあわせて、今後、文部科学省として、より良い科学技術政策を推進していくために参考とさせていただきたいと考えております。
科学技術の力による輝きのある日本の実現に向けて皆様のご意見をお寄せ下さい
日本が科学技術を推進することの意義や必要性とは何であるとお考えになりますか。
日本や世界は、地球温暖化、資源・食料・エネルギー問題、経済危機、医療・福祉問題など様々な問題に直面していますが、科学技術を活用してどのような問題を解決してほしいとお考えになりますか？
科学技術によって、生命や宇宙の理解などの知的探究、宇宙の開発・利用、海洋探査など、人類にとって新たな挑戦が可能になると考えられますが、
これからの未来に向けて、どのようなことに挑戦してほしいとお考えになりますか？
科学技術を推進していくうえでは、大学における基礎的な研究活動の充実、小・中学校における理数教育の充実、研究者や政策担当者と
社会との間の相互理解など、必要なことがらはたくさんありますが、特に重点を置いて取り組む必要があるものは何だとお考えになりますか？
科学技術に関する国の予算や投資のあり方、目標・計画の立て方や評価のあり方、各省庁間の連携のあり方など、科学技術政策の進め方について、
改善すべきと考えられる点はどのようなことだとお考えになりますか？
その他、科学技術・学術審議会基本計画特別委員会がとりまとめた提言(我が国の中長期を展望した科学技術の総合戦略に向けて－ポスト第3期科学技術基本計画における
- 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 23:38:45 ]
- >>542
成程な
論理そのものの整合性や真偽と
それが現実や、現在扱っている問題と等価であるかどうかとは
分けて考えないといけないわけだな。
>>515も>>240の公理系（笑）の中では偽の命題はどこにもないのだろうな。
- 550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 23:43:10 ]
- 無限とか、条件付き確率が直観的にわかりにくい場合に
モンティホールや聖ペテルスブルクはパラドックス呼ばわりされるわけで、
＞多くのパラドックスにおいて文章中のどこかでは偽の主張をするじゃん。
条件文にあるかどうかは別として、数学的には正しくない直観を引き合いに出すところは
ある意味偽の主張のようなもんだから別に間違ってないと思う
- 551 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/24(水) 08:17:33 ]
- >>548
封筒Aに入ってる金額をaとする
1/2の確率で封筒Aを引く
1/4の確率で封筒B 1/2a版を引く
1/4の確率で封筒B 2a版を引く
封筒を一つも開けていない時の期待値は7/8a
封筒Aをはじめに引いた時は他方の期待値1.25aで引いた方が得
封筒B 1/2a版を初めに引いた時は２倍になり得
封筒B 2a版を初めに引いた時は1/2倍になり損
初めに開けた封筒が10000円だったとき
これはaなのか1/2aなのか2aなのかは分からない
十分な回数この試行を行うとして、
他方を引かない戦略
必ず他方を引く戦略
どちらが多くの金額を獲得するかは分からない
- 552 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/24(水) 08:46:33 ]
- >>548
こちらの方が分かりやすいか？
1/4の確率で初めに封筒Aを引く、他方の1/2aを引く（1/2a損）
1/4の確率で初めに封筒Aを引く、他方の2aを引く（a得）
1/4の確率で初めに封筒B 1/2a版を引く、他方のaを引く（1/2a得）
1/4の確率で初めに封筒B 2a版を引く、他方のaを引く（a損）
損得はイーブンだと思う。
引くか、引かないかは好きにすれば良いと思うよ
- 553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/24(水) 20:48:29 ]
- >>549、550
ある仮定の元では正しい、しかし現実には起こりえないような論について
その仮定がまるで現実を表しているかのように扱うことこそが
「偽の主張」なのであると言えるかもしれない。
- 554 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/24(水) 22:30:50 ]
- >>551の
>封筒を一つも開けていない時の期待値は7/8a
は計算ミスで誤り、正は1.125A
たびたびスマンです。
- 555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/25(木) 00:09:25 ]
- >>550
モンティーホールがパラドクスと言われてるのか？
- 556 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/26(金) 06:10:39 ]
- >>555
wikiの④の項目の完全な理解がされるまではパラドクスがあるように思われていたのでは？
まあ、２つの封筒問題は事後確率なんて関係ないけど
- 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/26(金) 13:06:27 ]
- 正しい知識を身につけて納得がいくまでは
当人にとってはパラドクスということだろ
- 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/27(土) 07:14:48 ]
- こういう立場てこと？
>>543 から
> でなければ誤りを含む回答全てが（それが指摘されるまで）パラドクスだということになってしまう。
- 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/27(土) 07:37:59 ]
- それらがパラドクスかどうかはさておき
不完全な記述のルールを直感で補わせたら
解釈が何通りも出てきてしまって
回答がひとつにまとまらないところはそっくりではある
- 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/27(土) 10:19:09 ]
- >>556
パラドックス＝事後確率ではないわけだがｗ
- 561 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/27(土) 20:22:27 ]
- >>560
>>556どこをどう読めば
>パラドックス＝事後確率ではないわけだがｗ
と言う発言ができるのだろう？
だって「パラドクスがあるように思われていたのでは？」だぜ
落ち着けよ12500円派
- 562 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/28(日) 08:08:10 ]
- >>1の問題が有限で一様な確率分布だったらよかったのにね
そしたら初めに選択した封筒が最大値の半分以下だったら期待値12500円で問題なくて
『封筒の中身を見るまでもなく、交換する方が得をする』の考えも否定できるし
封筒の中身を見ずに交換しつづけると期待値が増え続けると言うことも否定できるのに
（初めに選択した封筒が最大値の半分以下である必要がある為）
まあ、取り得る値が自然数だったら奇数、実数だったら１/∞を先に引けないけど（この場合期待値２倍だよね）
1/∞なんて絶対に選択しないと言うのなら『一様な確率分布』を否定することになる
- 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/28(日) 11:06:46 ]
- >>561
＞まあ、２つの封筒問題は事後確率なんて関係ないけど
パラドクスの話だったところを
勝手に封筒問題だけに限定してしまうのはおかしいね
- 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/28(日) 13:38:01 ]
- >>562
この調子では
まだまだ存在意義はありそうだな
この隔離スレ
- 565 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/28(日) 19:30:05 ]
- >>563
パラドクスの話がつづいていたので
それとなくスレの主題である２つの封筒問題に誘導したんだけど間違いだったかな？
>>556で低レベルな煽りを入れたのは認めるよ、すまなかった
でも２つの封筒問題にパラドクスは無いと思うし、事後確率の考え方も必要無いと思う
２つの封筒問題にパラドクスがあるように感じるのならば 『君は12500円派だ』
- 566 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/28(日) 21:21:14 ]
- ごめん、このスレの>>7もパラドクスが無いと感じているんだった
で>>7は12500円派なので>>565の発言は誤りです。
たびたび間違った書き込みをしてすまない・・・
しばらくは自重させて頂きます
- 567 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/29(月) 01:33:26 ]
-
トータルの期待値が1だとしても、
各々の期待値が1ではないということは許されるのか？
- 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/29(月) 06:54:42 ]
- サイコロを２つ別々のつぼの中に投げ伏せる
一方を選んで見ると１であった
２つのサイコロの合計の期待値は４．５
これを複数回やればサイコロ２つの合計の期待値は７だけど
この場合は４．５で間違いではない
- 569 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/29(月) 07:23:19 ]
- >>568
観測された値(実値)と期待値は足せるの？
そして、それを期待値と呼べるの？
- 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/30(火) 00:12:02 ]
- >>566
元々視野が狭い人なのは分かってる
自重する必要なし
>>569
独習が無理なら
中学の２～３年になれば扱い方を習うから
それまで待つといい
- 571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/30(火) 01:17:30 ]
- >>569
期待値の定義は、 （ 値×その値が得られる確率 ） の総和。
値が観測された（実値）場合にには、 その値×１ が期待値 （他の可能性は０)。
現在の持ち点が３点の人が、さらに期待値１のゲームを２度した後の持ち点の期待値は
３＋１＋１＝５
- 572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/30(火) 02:00:31 ]
- >>571
>>569が>>568を見て感じてる疑問は
そういうことじゃないと思うぞ
それに
＞２度した後の
こういう、期待値ではなく確定したような印象を与えかねない言い方も
>>569のような疑問を持っている相手に対しては不適切だと思う
- 573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/30(火) 02:53:41 ]
- >>569
２つのサイコロのうち、一方のサイコロが１と分かっている場合
２つのサイコロの目は
（１，１）（１，２）（１，３）（１，４）（１，５）（１，６）の６通りがそれぞれ確率1/6となる
和は
２，３，４，５，６，７、の６通りがそれぞれ確率1/6となり、期待値は4.5となる。
｛（１+１）+（１+２）+（１+３）+（１+４）+（１+５）+（１+６）｝/６ ＝4.5
変形すると
｛（１+１+１+１+１+１）+（１+２+３+４+５+６）｝/６
さらに
（１+１+１+１+１+１）/６ + （１+２+３+４+５+６）/６
これは
（確定している１の目） + （確定していないサイコロの目の期待値）
と見ることができる
ちなみに
（確定している１の目）は
１の目の出る確率が１（＝100％）、ということで、期待値と見ることができる。
>>571で書いてある「その値×１が期待値」はこのこと、
- 574 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/31(水) 07:37:23 ]
- なんかまた話が違う方向にずれてるから戻すけど
>>568
以降の議論の期待値4,5って十分な回数の試行をすると4.5に近づくじゃん
一方が１の条件付の２つのサイコロの期待値だから、７じゃないじゃん
567が言ってるのは
同じ試行条件において
『１回の試行の獲得金額期待値/初めに見た金額=1.25』・・・①
『十分な回数行った獲得金額合計/初めに見た金額合計=1』・・・②
①②が同時に成り立つかってことでしょ
本スレに書き込んだ人もそんなこと言ってたけど
普通は①か②どちらかが間違っている、
場合によっては①も②も間違っている。
２つの封筒問題においては①が間違っていると思うよ。
確率って単独試行では予想が外れたように見える場合が多いけど
十分な回数繰り返すと予想に近づくものじゃないの？
- 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/02(金) 02:46:50 ]
- 自分以外の人の疑問点はズレですかｗ
- 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/04(日) 14:51:54 ]
- スレを彩る錚々たる名物たちが
ぱったりといなくなったね
- 577 名前：s5179 [2010/04/06(火) 21:54:20 ]
- >>576
>>1の問題
つまり一般的な２つの封筒問題は
数学の問題として解くには不完全な問題であると
共通の認識がこのスレでは形成された
思考実験の材料としての価値は残っていると思うので
２つの封筒の取り得る値の上限が無限で一様な確立分布で存在すると仮定して
一方を選んで見たとき、中に入っている金額を認識出来るのだろうか？
アキレスや亀とそれを見る人間達が１/∞の時間を認識出来ないように
我々は∞の封筒の中身を認識出来ないのではないだろうか？
封筒の中身が確認し易い連続量に見えるとして
先に見た封筒が他方の封筒の２倍であった
交換して見た封筒が初めの封筒の２倍であった
これしか確認できない場合
5000が10000になる場合と
10000が20000になる場合は等価であると考えられる
どんなもんだろ？つっこみ所が満載だからもう少しスレ伸びるかな？
- 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 13:29:18 ]
- 解決済み問題に納得がいかない人間用スレだから
そこの住人に共通認識（笑）が芽生えて納得への一歩前進が図れたなら結構なことだ
- 579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 17:41:50 ]
- 統計学的に解決してるだけだろ
数学的には解決していない問題だ
数学は統計学の役に立つけど
統計学は数学の役に立たないんだよ
Aさんの５００円の封筒とBさんの１０００円の封筒を交換したとして
Aさんは２倍にBさんは1/2倍に、その効用は交換しない時の１．２５倍なんて反吐が出る
５００円得した人間と５００円損した人間がいるから損得は±0だろ
>>578は解決してると言うなら、その解を書き込んでみれば？
URLで示してくれてもいいよ
- 580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 19:10:25 ]
- ＞統計学的に解決してるだけだろ
ああ、実際に試行してみて、多数回試行してみて、という方に話がそれる人々の捉え方だな
この問題において数学と統計を対比させるところからして。
- 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 19:11:08 ]
- 579にとっては
統計学的にどんな解決を見たんだろう？
- 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 19:28:12 ]
- 240や367の様な賢者はもうこのスレには残っていない
残っているのは文盲ばかり
- 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 19:40:35 ]
- 自分の水準以上のツッコミから逃げた新天地での
お山の大将的賢者ですね
その賢者が飽きればそりゃツッコミどころが消えて相手する者もここの存在意義もなくなるだろうな
- 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 21:21:47 ]
- 統計不能でも期待値は存在する、なんて頭でっかちの奴がまだいるのか。
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