- 1 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/15(月) 19:00:00 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 19:31:59 ]
- 四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき
L / V ^ 2
の最小値を求めよ
x を正の実数 , n を正の整数とするとき
[ nx ] ≧ Σ [ k = 1 , n ] ( [ kx ] / k )
となることを示せ
ただし , [ x ] は x を超えない最大の整数を表す
- 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 22:31:16 ]
- >>489
前半は入試問題
- 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 18:31:27 ]
- 実数x,yが x≧0, y≧0, x^6+y^5≦x^5+y^4
を満たすとき、x^5+y^5≦2を示せ。
- 492 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 23:10:09 ]
- I＝[0，1]，f(x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f(x) | ) ( max [I] | f(x) | ＋ max [I] | f”(x) | )
ただし，M は f に無関係な定数とする．
- 493 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 05:41:58 ]
- >>490
大数の宿題
宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg…Ｆランク。自称30歳東大文学部中退の理Ⅰ志望。
空気の読めなさならお前がナンバーワンだっ!!
- 494 名前：猫は珍獣 ◆ghclfYsc82 mailto:sage [2009/09/27(日) 09:52:56 ]
- 空気の読めなさやったらワシの方が上じゃろうなァ
何でかっちゅうとやねェ、ワシは空気を読むんを
わざと放擲してるからや。
空気を読むっちゅうんはオリジナリティの最大の
敵やからな。
猫
- 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 19:45:09 ]
- >>491
相加･相乗平均より {あるいは >1 と <1 で場合分けして}
1 +5x^6 -6x^5 = (1-x)^2 (1+2x +3x^2 +4x^3 +5x^4) ≧ 0,
1 +4y^5 -5y^4 = (1-y)^2 (1+2y +3y^2 +4y^3) ≧ 0,
よって
x^5 = 1 + (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 +x +1) ≦ 1 + 5(x-1)x^5 = 1 + 5(x^6 -x^5),
y^5 = 1 + (y-1)(y^4 + y^3 + y^2 +y +1) ≦ 1 + 5(y-1)y^4 = 1 + 5(y^5 -y^4),
辺々たすと
x^5 + y^5 ≦ 2 + 5(x^6 -x^5 + y^5 -y^4) ≦ 2, (← 題意)
- 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/28(月) 05:26:30 ]
- >>495
同じことだが、
x-1 ≦ (x-1)x ≦ (x-1)x^2 ≦ (x-1)x^3 ≦ (x-1)x^4 ≦ (x-1)x^5,
y-1 ≦ (y-1)y ≦ (y-1)y^2 ≦ (y-1)y^3 ≦ (y-1)y^4,
よって
x^5 ≦ 1 + 5(x^6 -x^5),
y^5 ≦ 1 + 5(y^5 -y^4),
辺々たす、だな。フムフム･･･
- 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/28(月) 14:27:15 ]
- >>489 (下)
S_k = [kx] - (2/(k+1))･([x] + [2x] + …… + [kx])
= (1/(k+1))･Σ(j=0,k) ([kx] - [jx] - [(k-j)x])
≧ 0,
とおくと
(左辺) - (右辺) = [nx] - Σ(k=1,n) [kx] /k
= … …
= (1/(n+1))Σ(k=0,n) ([nx] - [kx] - [(n-k)x]) + Σ(0<i+j≦n) (2/(i+j)(i+j+1))([(i+j)x] - [ix] - [jx])
= S_n + Σ(k=1,n) S_k /k
≧ 0,
ぬるぽ
- 498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/28(月) 18:02:17 ]
- >>497
【補題】
[y+z] ≧ [y] + [z],
(略証)
y = [y] + {y},
z = [z] + {z},
∴ [y+z] = [y] + [z] + [{y}+{z}] = [y] + [z] + (0 or 1),
- 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/29(火) 23:03:28 ]
- >>496
x^5 = (x-1)x^4 + (x-1)x^3 + (x-1)x^2 + (x-1)x + (x-1) + 1 ≦ 1 + 5(x-1)x^5,
y^5 = (y-1)y^4 + (y-1)y^3 + (y-1)y^2 + (y-1)y + (y-1) + 1 ≦ 1 + 5(y-1)y^4,
だな。
- 500 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/30(水) 00:03:19 ]
- R上の任意の2数x,yについて,x>yならばx≦yとなり得ない事を示せ
って宿題が出ました
どこをどう示せばいいか分かりません
- 501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/30(水) 00:51:24 ]
- >>500
x>yである順序対(x,y)全体の集合をA、x≦yである順序対(x,y)全体の
集合をBとおいて、A∩B=空集合を示せばいいのでは
- 502 名前：未解決？ [2009/09/30(水) 07:08:32 ]
- I＝[0，1]，f(x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f(x) | ) ( max [I] | f(x) | ＋ max [I] | f”(x) | )
ただし，M は f に無関係な定数とする．
四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき L / V ^ 2 の最小値を求めよ
同一直線上にn個の点A[k](1≦k≦n)がある
点Pが以下の位置にあるとき
ΣPA[k]が最小となるには点Pをどのようにとればよいか
(2)点Pが点A[k]と同一平面上にあるとき
(3)点Pが点A[k]と同一空間上にあるとき
(1)
0<x<e，α=e-x，β=e+x
α^βとβ^αどちらが大きいか
(2)
0<x<1，α=ex，β=e/x
α^βとβ^αどちらが大きいか
f(x),f'(x),f''(x),g(x)は連続でf''(x)≧0とする
(∫[a,b]f(g(x))dx)/(b-a)≧f((∫[a,b]g(x)dx)/(b-a))
α＝ｅ＾π、β＝π＾ｅとする
ｅ＾α、ｅ＾β、π＾α、π＾βの大小関係を答えよ
p>1 なる実数に対して、以下の不等式を示せ：
∫_[0-->∞] p/(t^p +1) dt ≦ π/ sin (π/p).
F,Gを[0,1]→[0,1]を満たす実連続関数であるとし、Fを単調増加関数であるとする。
∫[0,1] F(G(x))dx ≦ ∫[0,1] F(x) dx + ∫[0,1] G(x) dxを示せ
- 503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/30(水) 13:39:35 ]
- ＞F,Gを[0,1]→[0,1]を満たす実連続関数であるとし、Fを単調増加関数であるとする。
＞∫[0,1] F(G(x))dx ≦ ∫[0,1] F(x) dx + ∫[0,1] G(x) dxを示せ
0≦x≦1とする。t∈[x,1]のときF(x)≦F(t)だから、両辺をxから1までtで積分して
(1－x)F(x)≦∫[x,1]F(t)dt
が成り立つ。変形してF(x)≦xF(x)＋∫[x,1]F(t)dt となる。F≧0だから
∫[x,1]F(t)dt≦∫[0,1]F(t)dtであり、また、x≧0，F(x)≦1よりxF(x)≦x
である。これらを用いて
F(x)≦x＋∫[0,1]F(t)dt
を得る。これは任意のx∈[0,1]で成り立つから、(Gの値域)⊂[0,1]であることから
x＝G(y)，y∈[0,1] と置いても上の不等式は成り立つ。つまり
F(G(y))≦G(y)＋∫[0,1]F(t)dt
が任意のy∈[0,1]で成り立つ。この不等式をyで0から1まで積分すればよい。
- 504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/30(水) 14:23:51 ]
- ＞I＝[0，1]，f (x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
＞( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f (x) | ) ( max [I] | f (x) | ＋ max [I] | f”(x) | )
＞ただし，M は f に無関係な定数とする．
簡単のためA＝max [I] | f (x) |，B＝max [I] | f ' ' (x) |とおく。
A＝0のときはf≡0だから、既に成り立っている。以下、A≠0とする。
a∈[0,1]を任意に取り、固定する。各x∈[0,1]に対して、適当なθ＝θ(x)があって
f (x)＝f (a)＋f ' (a)(x－a)＋f ' ' (θ)(x－a)^2/2
とできる。x≠aのとき、両辺を(x－a)で割って変形して
f ' (a)＝(f (x)－f (a))/(x－a)－f ' ' (θ)(x－a)/2
となるから、特に|f ' (a)|≦2A/|x－a|＋B|x－a|/2となる。
ここで更にt＝|x－a|/2 とおけば
|f ' (a)|≦A/t＋tB …(*)
となる。aを固定したままでxを[0,1]－{a}の範囲で任意に
動かすとき、tの動く範囲は
0＜t＜1 (a＝0,1)
0＜t≦max{ |a| , |1－a| }/2 (a≠0,1)
である。a≠0,1の場合については、簡単な議論によって
1/4≦max{|a|,|1－a|}/2であることが言えるので、結局、tは少なくとも
0＜t≦1/4の範囲を動くことになる。また、a＝0,1の場合は、tは0＜t＜1の
範囲を動くから、tは当然0＜t≦1/4の範囲も動く。よって、いずれの場合も、
tは少なくとも0＜t≦1/4の範囲を動く。
- 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/30(水) 14:30:43 ]
- \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
訂正します(＾o＾)
aを固定したままでxを[0,1]－{a}の範囲で任意に
動かすとき、tの動く範囲は
0＜t≦1/2 (a＝0,1) (←これが正しい)
0＜t≦max{ |a| , |1－a| }/2 (a≠0,1)
である。
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
504の続き：
そこで、t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} と置いてみる。このtは0＜t≦1/4
を満たしている(A≠0だからt≠0であることに注意)ので、このtに対して
(*)が成り立つ。このとき
(*)の右辺＝4√{A(A＋B)}＋(1/4)B√{A/(A＋B)}
≦4√{A(A＋B)}＋(1/4)(A＋B)√{A/(A＋B)}
＝(4＋1/4)√{A(A＋B)}
となるので、結局、|f ' (a)|≦(4＋1/4)√{A(A＋B)}…(**)となる。
これが任意のa∈[0,1]で成り立つから、max [I] | f’(x) |≦(4＋1/4)√{A(A＋B)}
となり、両辺を2乗して題意の不等式を得る。
- 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/01(木) 16:52:28 ]
- >>504-505
流石にこのスレはレベルが高いですね．
t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} 辺りが肝だと思いますが，
どうやって思いついたのですか？
とりあえず 2A/|x－a|＋B|x－a|/2 のうちどちらを const.√{A(A＋B)}
の形にするかで，前者を選んだと言うことでしょうか？
- 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/01(木) 19:00:08 ]
- >>504-505 さんの解答をほとんど同じですが，より平易に書いて見ました．
文字は>>504-505 さんのものを使用します．
x，a∈[0，1]，a を固定し x≠a とする．
{f(x)－f(a)}/(x－a)＝f’(c) となる c が x と a の間に存在
|f’(c)|≦( |f(x)|＋|f(a)| )/|x－a|≦2A/|x－a|．．．①
f’(c)－f’(a)＝∫[a，c]f”(t)dt より
|f’(a)|≦|f’(c)|＋|∫[a，c]f”(t)dt|≦|f’(c)|＋|c－a| B≦|f’(c)|＋B|x－a| ．．．②
①，② より |f’(a)|≦2A/|x－a|＋B|x－a| ．．．③
( i ) 0≦a≦1/2 のとき
x＝a＋(1/2)√{A/(A＋B)} とおくと 0≦x≦1 で ③ より
|f’(a)|≦4)√{A(A＋B)}＋(1/2)B√{A/(A＋B)} ≦(4＋1/2)√{A(A＋B)}
( ii ) 1/2≦a≦1 のとき
( i ) とまったく同様
- 508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 19:14:40 ]
- >>506
＞どうやって思いついたのですか？
この問題は、以前読んだ数学書に書いてあった不等式そのもので、
証明も載ってた。それを引っ張ってきただけ(＾o＾)
ただし、その本では(偶然にも)>>507と全く同じやり方で
やっていて、個人的にはこのやり方は気に食わない。
何で気に食わないかと言うと、(*)の不等式への道筋が
見えにくいから。でも、テーラー展開しておけば一瞬で見える。
それで、504～505の形で書いた。
＞t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} 辺りが肝だと思いますが，
何も分かってない！そこは肝でも何でもない。
表面的な技巧に目が行って本質が見えてない。
504～505では、行数の節約のために、本にならって
t＝(1/4)*√{A/(A＋B)}と置いたが、こんな技巧的な操作は
本来は必要なくて、(*)まで行ければ何をしたって証明できる。
つまり、肝は(*)の不等式だ。
- 509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 19:33:14 ]
- もし(*)の不等式でtが実数全体を動けるなら、t＝√(A/B) と置けば
||f ' ||^2≦ 4||f ||*||f ' ' || …(★)
という(より強い)不等式が示せる。t＝√(A/B)と置く理由は、
相加相乗平均から。
あるいは、(*)の不等式の両辺にtをかけて整理すれば
Bt^2－|f ' (a)|t＋A≧0
と変形できるので、tが実数全体を動けるなら、(判別式)≦0 を計算して
同じく(★)の不等式が得られる。
ここまで来ればもう分かると思うが、この手法はコーシー・シュワルツの
不等式の証明と同じものなのだ。そういう理解をしなければいけない。
ある文字について二次の多項式になっていれば、そこには
コーシー・シュワルツの手法が使える可能性があるのだ。
今回は、f(x)をaのまわりで2次までテイラー展開すれば、
「|x－a|」 について二次の多項式になっているのだ。
しかし、>>507の書き方だと、二次の多項式で書けることが
見えないのだ。
- 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 19:50:27 ]
- で、一応
＞(*)まで行ければ何をしたって証明できる。(>>508)
の詳細も書いておく。
今回問題となるのは、tは実数全体を動けるわけでは無いということ。
ならば、普通に(*)の右辺の最小値を泥臭く計算すればいい。
g(t)＝A/t＋Bt と置くと、(*)の不等式は|f ' (a)|≦g(t) と書ける。
以下、簡単のためB≠0とする。
√(A/B)≦1/4のとき：
0＜t≦1/4におけるg(t)の最小値は2√(AB) (t＝√(A/B))
なので、このtを(*)に代入して|f ' (a)|≦2√(AB)
となり、よって(★)の不等式を得る。
√(A/B)＞1/4のとき：
0＜t≦1/4におけるg(t)の最小値は4A＋B/4 (t＝1/4)なので、
t＝1/4を(*)に代入して|f ' (a)|≦4A＋B/4 を得る。
あとは、4A＋B/4≦C√{A(A＋B)} を満たす定数Cが存在することが言えればよい。
変形して(4A＋B/4)/√{A(A＋B)}≦Cとなるから、要するに左辺が有界ならよい。
で、√(A/B)＞1/4だったからB＜16Aであり、
(4A＋B/4)/√{A(A＋B)}＜(4A＋4A)/√{A(A＋B)}＝8√{A/(A+B)}≦8
となって、C＝8と置けばいい。
(B＝0の場合が残っているが、これも泥臭く計算すれば出る。)
- 511 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/02(金) 21:59:37 ]
- 質問です
任意の実数ｘ、ｙ、ｚに対してつねに ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２－２ｐｘｙ－２ｑｙｚ－２ｒｚｘ≧０
となるための、ｐ、ｑ、ｒについての条件を求める
ｐ、ｑ、ｒは与えられた正数とする。任意の実数ｘ、ｙ、ｚに対してつねに
ｐ√（ｘ＾２＋ｙ＾２）＋ｑ√（ｙ＾２＋ｚ＾２）＋ｒ√（ｚ＾２＋ｘ＾２）≦Ｋ√（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２）
が成立する定数Ｋの最小値を求める（コ－シー・シュワルツの不等式を使わずに）
ｐ、ｑ、ｒは与えられた実数で、ｐｑ＋ｑｒ＋ｒｐ＞０かつ（ｐ＋ｑ）（ｑ＋ｒ）（ｒ＋ｐ）≠０とする
任意の実数ｘ、ｙ、ｚに対してつねに
（ｐｘ＋ｑｙ＋ｒｚ）＾２＋Ｋ（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２－２ｘｙ－２ｙｚ－２ｚｘ）≧０
が成立する最大な正数Ｋをｐ、ｑ、ｒで表す
お願いします
- 512 名前：507 mailto:sage [2009/10/03(土) 00:11:41 ]
- 「より平易に」と書いてあるように，高校の範囲で解けるようにという意図がありました．
平均値もテーラー展開も本質的には同じで，みえやすさにそれほど大差はないと思います．
|f ' (a)|≦A/t＋tB の評価が肝だとも書かれていますが，これは，平均値やテーラー展開を
使う限り自ずと出てくるものだと思います．
|f ' (a)|≦A/t＋tB がでて来ればおっしゃるとおり泥臭くやれば，2次関数の問題に帰着され
結果的に解けます．
僕が興味を持ったのは，それらの事を踏まえた上で，何故唐突に t＝(1/4)*√{A/(A＋B)}
という値が出てきたか知りたかった訳です．
後，、｢|f ' (a)|≦A/t＋tB まで行ければ何をしたって証明できる。｣とありますが，
|f ' (a)|≦A/t＋tB の時点で評価が甘くなっているリスクがまったくないとは言えないとも
思いますが．
- 513 名前：507 mailto:sage [2009/10/03(土) 00:22:30 ]
- 僕個人では，A/t＋tB≦C√{A(A＋B)} を示すのに，t は上限があり，
いくらでも小さくなれるので，
A/t を まず C√{A(A＋B)} で上から評価するために，t＝p√{A/(A＋B)} といて
（p は後から調整） という発想からでたものかと思っていました．
- 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/03(土) 00:51:01 ]
- >>512
＞「より平易に」と書いてあるように，高校の範囲で解けるようにという意図がありました.
個人的には、それは平易とは思わない。使われているツールは
原始的(＝平易)かもしれないが、それが証明の見通しのよさに
繋がるとは限らない。
＞|f ' (a)|≦A/t＋tB の時点で評価が甘くなっているリスクがまったくないとは言えないとも思いますが．
それは俺の書き方が悪かったかもしれない。
少なくともt＝(1/4)*√{A/(A＋B)}を(*)に代入すれば題意の不等式は
出るのだから、(*)の時点で評価が甘いということは無いわけだ。
これを踏まえた上で「何をやっても証明できる」と書いた(天下り的な感じ)。
- 515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 09:41:00 ]
- >>376, >>502(7)
1/(t^p + 1) = x とおくと、
t = (1/x - 1)^(1/p),
p･dt = (-1/x^2)(1/x - 1)^(1/p - 1) dx,
(左辺) = ∫[0,1] (1/x)(1/x -1)^(1/p -1) dx
= ∫[0,1] x^((1 -1/p)-1) (1-x)^(1/p -1) dx
= Ｂ(1 -1/p, 1/p)
= Γ(1 -1/p)Γ(1/p) / Γ(1)
= π/sin(π/p),
等式の希ガス…
- 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 10:08:33 ]
- >>406 , >>502(5)
x_0 =a, x_n =b, x_i - x_(i-1) = ⊿x_i >0, ととる。
f "(x) ≧ 0 だから、Jensenの不等式より
Σ[i=1,n] f(x_i)⊿x_i /(b-a) ≧ f( Σ[i=1,n] f(x_i)⊿x_i /(b-a) ),
ここで Max{|⊿_i|; 1≦i≦n} → 0 を満たすように n→∞ とする。
(応用例)
>>478 (上), >>481
- 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 10:18:51 ]
- >>516 訂正…
Σ[i=1,n] f(g(x_i))⊿x_i /(b-a) ≧ f( Σ[i=1,n] g(x_i)⊿x_i /(b-a) ),
- 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 11:53:57 ]
- >>472 , >>502 [3]
点Pが問題の直線の外にあるときは、最小にならない希ガス。
∵ 点Pからこの直線に下ろした垂線をPQとすれば、 PA[k] > QA[k] となるから。
∴ (2),(3) も結局 (1) に帰着され、>>475 と思われまする。
- 519 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/04(日) 20:34:50 ]
- x,y≧0,x+y=1のとき
(x^5+y^5)/(x^3+y^3)の最大値最小値を求めよ。
- 520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 22:32:25 ]
- >>514
いきなりの t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} のびっくりしましたが，熊ノ郷先生の発案でしたか。
- 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/05(月) 01:05:53 ]
- >>519
4(x^5 +y^5) = 2(x^2 +y^2)(x^3 +y^3) + 2(x^2 -y^2)(x^3 -y^3)
≧ 2(x^2 +y^2)(x^3 +y^3)
= (x+y)^2･(x^3 +y^3) + (x-y)^2･(x^3 +y^3)
≧ (x+y)^2･(x^3 +y^3),
最小値 1/4, 等号成立は x=y のとき。
(x+y)^2･(x^3 +y^3) - (x^5 + y^5) = xy(2x^3 +x^2･y +x･y^2 +2y^3) ≧ 0,
最大値 1, 等号成立は xy=0 のとき。
- 522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/05(月) 20:10:07 ]
- >>519
〔類題〕
x,y≧0、0≦m≦n のとき
{(x+y)/2}^(n-m) ≦ (x^n + y^n)/(x^m + y^m) ≦ (x+y)^(n-m),
{1/(x+y)}^(n-m) ≦ (x^m + y^m)/(x^n + y^n) ≦ {2/(x+y)}^(n-m),
- 523 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/08(木) 03:20:04 ]
- 鋭角三角形ABCについて次の不等式を示せ
2(sinA+sinB+sinC)＞3(cosA+cosB+cosC)
sinA+sinB+sinC＞2+min{A/4,B/4,C/4}
www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1102511185/l50
より
- 524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 09:25:06 ]
- >>519
>>521 で答えでてるけど、別解。
丁寧というか、馬鹿正直に長ったらしく書いたけど、やりかたは、高校生チックで素直？
（てか、>>521 の回答、いきなり４かけたりよくそんなの思いつくなぁ）
x^5 + y^5
= (x^3+y^3)(x^2+y^2) -{(xy)^2}(x+y)
= (x^3+y^3)(x^2+y^2) - (xy)^2
= (x^3+y^3){(x + y)^2 -2xy} - (xy)^2
= (x^3+y^3)(1 - 2xy) - (xy)^2
∴ 与式 = 1 - 2xy - {(xy)^2}/(x^3+y^3)・・・≪１≫
また、
x^3+y^3
= (x+y)^3 - 3xy(x + y)
= 1 - 3xy
ゆえに、
与式 =≪１≫ = 1 - {2a + (a^2)/(1-3a)}・・・≪２≫
（※a=xyとおいた。
ここで、x,yは、tについての２次方程式「t^2-(x+y)t+xy=0・・・≪３≫」の２実解で、かつ非負整数であるので、
≪３≫の判別式 = (x+y)^2 - 4xy = 1 - 4a >= 0 ∧ x>=0 ∧ y >=0
∴ 0<=a<=1/4 ）
つづく。。。。。。。。。。。。。
- 525 名前：524 mailto:sage [2009/10/08(木) 09:26:32 ]
- このとき、aの増減と、2a, a^2 の増減は一致する。
また、aの増減と、1-3a の増減は反対となる。
ゆえに、 aの増減と≪２≫、つまり与式の増減は反対となる。
よって、≪２≫より、
与式の最小値は、a=1/4のとき（※）、1/4
（※ つまり、a=xy=1/4 ∧ x+y=1ゆえ、x=y=1/2のとき）
与式の最大値は、a=0のとき（※）、1
（※ つまり、a=xy=0 ∧ x+y=1ゆえ、(x,y)=(1,0) ∨ (x,y)=(0,1)のとき）
====
告白すると文系出身なので、≪２≫を微分するやりかたわすれましたｗ
- 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 23:00:11 ]
- >>519
〔類題〕
x,y≧0、0≦m≦n のとき
(n/m){(x+y)/2}^(n-m) ≦ (x^n - y^n)/(x^m - y^m) ≦ (x+y)^(n-m),
{1/(x+y)}^(n-m) ≦ (x^m - y^m)/(x^n - y^n) ≦ (m/n){2/(x+y)}^(n-m),
・参考
>>136 , [初代スレ.128, 132-135] Ingleby不等式
- 527 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/09(金) 04:01:26 ]
- >>525
宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg…Ｆランク。自称30歳東大文学部中退の理Ⅰ志望。
空気の読めなさならお前がナンバーワンだっ!!
- 528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/09(金) 11:46:34 ]
- >>502 (4)
β^α - α^β、β^(1/β) - α^(1/α) 、(1/β)log(β) - (1/α)log(α) は符号が同じ。
便宜上 (2) を先に解く。
0<x，α=ex，β=e/x のとき
(1/α)log(α) = (1/ex){1 + log(x)} = (1/e){1 + ∫[x,1] log(t)/(t^2) dt,
(1/β)log(β) = (x/e) {1 - log(x)} = (1/e){1 + ∫[x,1] log(t) dt,
辺々引いて
(1/β)log(β) - (1/α)log(α) = (1/e)∫[x,1] (1 - 1/t^2)log(t) dt,
ここで被積分函数は非負 (1 - 1/t^2)log(t) ≧ 0 だから、
(1/β)log(β) - (1/α)log(α) の符号は 1-x の符号と一致する。(終)
〔系〕
0 < α < e < β, αβ < e^2 のとき
(1/β)log(β) - (1/α)log(α) は β-α と同符号。
(1) αβ = (e-x)(e+x) = e^2 - x^2 < e^2 だから、(系) により成立する。
- 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/09(金) 15:37:38 ]
- >>389 , >>502 (6)
f(x) = (1/x)log(x),
は x=e に極大をもち、両側で単調だから
f(x) ≦ f(e) = 1/e,
f(π) < 1/e,
∴ π^(1/π) < e^(1/e),
∴ α = e^π > π^e = β,
∴ π^α > π^β, e^α > e^β,
問題は π^β > e^α であるが、これと同値な
β･log(π) > α,
を示そう。
e = 2.71828… > 2.7142857… = 19/7,
π^7 = 3020.293… > 2980.958… = e^8,
π > e^(8/7),
log(π) > 8/7 = 1/{1 - (1/8)} > 1/e^(-1/8) = e^(1/8),
β = π^e = e^(e･log(π)) > e^((19/7)(8/7)) = e^(3 + 5/49) > e^(3.1) ,
辺々かけて
β･log(π) > e^(3.1 + 1/8) > e^π = α,
- 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/09(金) 15:47:28 ]
- ふぅ・・・
- 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/09(金) 18:00:26 ]
- >>511
(上)
・問題の２次形式が半正値。
・行列
[ 1, -p, -r ]
[-p, 1, -q ]
[-r, -q, 1 ]
の固有値がすべて非負。
・固有多項式
t^3 -3t^2 + (3 -p^2 -q^2 -r^2)t -(1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr) = 0,
の根がすべて非負。
・ 3 -p^2 -q^2 -r^2 ≧ 0, 1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr ≧ 0,
(中)
a = √(x^2 +y^2), b = √(y^2 +z^2), c = √(z^2 +x^2),
とおくと (a,b,c) は鋭角△をなす。
∴ これは 条件付きの不等式である。
(p,q,r) が鋭角△をなすか否かで場合分け。 >>221
(下）
・問題の２次形式が半正値。
・行列
[ p^2 +K, pq -K, pr -K ]
[ pq -K, q^2 +K, qr -K ]
[ pr -K, qr -K, r^2 +K ]
の固有値がすべて非負。
・固有多項式
t^3 -(p^2 +q^2 +r^2 +3K)t^2 +{(p+q)^2 +(q+r)^2 +(r+p)^2}Kt -4(pq+qr+rp-K)K^2,
の根がすべて非負。
・ 0 ≦ K ≦ pq+qr+rp,
- 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/10(土) 17:35:58 ]
- >>511 (上), >>531 (上)
0 ≦ 1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr >>531
= (1-p^2)(1-q^2) - (pq+r)^2
= (1-q^2)(1-r^2) - (qr+p)^2
= (1-r^2)(1-p^2) - (rp+q)^2,
から
(1-p^2)(1-q^2) ≧ 0,
(1-q^2)(1-r^2) ≧ 0,
(1-r^2)(1-p^2) ≧ 0,
よって 1-p^2, 1-q^2, 1-r^2 は同符号。
したがって
(1-p^2) + (1-q^2) + (1-r^2) ≧ 0, >>531
⇔ 1-p^2 ≧ 0, 1-q^2 ≧ 0, 1-r^2 ≧ 0,
⇔ |p|≦1, |q|≦1, |r|≦1,
・参考書[3]の第1部 例題１．
- 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 10:54:36 ]
- >>523
出題元の解答は･････
〔補題〕 A,B,C が鋭角△のとき、cos((A-B)/2) > cos(C/2),
(上)
min{A,B,C} = C とすると 0<C≦π/3 より,
2cos(C/2) -3sin(C/2) ≧ 2cos(π/6) -3sin(π/6) = √3 -(3/2) >0 だから
(左辺) - (右辺) = 2{sin(A) + sin(B) + sin(C)} -3{cos(A) + cos(B) + cos(C)}
= 2cos((A-B)/2){2sin((A+B)/2) -3cos((A+B)/2)} +2sin(C) -3cos(C)
= 2cos((A-B)/2){2cos(C/2) -3sin(C/2)} +2sin(C) -3cos(C),
> 2cos(C/2){2cos(C/2) -3sin(C/2)} +2sin(C) -3cos(C) (←補題)
= 2{1+cos(C)} -3sin(C) +2sin(C) -3cos(C)
= 2 -sin(C) -cos(C)
= 2 -(√2)sin(C + π/4)
≧ 2 - √2
> 1/2 [93] by シタカンダ
(下)
min{A,B,C} = C とする。 0<C≦π/3,
(左辺) = sin(A) + sin(B) + sin(C)
= 2cos((A-B)/2)sin((A+B)/2) + sin(C)
= 2cos((A-B)/2)cos(C/2) + sin(C)
> 2{cos(C/2)}^2 + sin(C) (←補題)
= 1 + cos(C) + sin(C)
≧ 1 + {1 - (3/2π)C} + {(3√3)/(2π)}C (←cos(x)+sin(x)は上に凸)
= 2 + {3(√3 -1)/(2π)}C
= 2 + 0.349528513857C,
= 2 + (1/3)C, [96] by だるまにおん
- 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 10:57:12 ]
- >>523
〔補題〕
A,B,C が鋭角△のとき、cos((A-B)/2) > cos(C/2),
(略証)
A-B < (π-A) - B = C,
B-A < (π-B) - A = C,
∴ |A-B| < C, (終)
- 535 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/12(月) 01:34:46 ]
- (1)
θが0≦θ＜2πの範囲を動くとき
15(sinθ)^2+12sinθcosθ+16(cosθ)^2
の最大値を求めよ。
(2)
θが0≦θ＜2πの範囲を動くとき
15sinθ+12sinθcosθ+16(cosθ)^2
の最大値を求めよ。
www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1102511185/l50
より
- 536 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/12(月) 02:59:02 ]
- >>438
www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1089292331/830
らしい
- 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 05:41:07 ]
- >>523 の〔類題〕
・1≦K≦√3 のとき
sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + 1 - (√2)(K-1),
・0≦K≦1のとき
sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + (2-K) + (1-K)(1/3)C,
(略証)
0≦K≦√3 と C≦π/3 より
cos(C/2) - K･sin(C/2) ≧ (√3 -K)/2 ≧ 0,
sin(A) + sin(B) > K{cos(A)+cos(B)-sin(C)} + 1 + cos(C),
sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + 1 + (1-K){sin(C)+cos(C)},
ところで、 C≦π/3 より
1 + (1/3)C ≦ cos(C) + sin(C) ≦ √2,
(終)
- 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 21:14:11 ]
- >>535 出題元の解答は…
〔補題〕
|a･cos(x) + b･sin(x)| ≦ √(a^2 + b^2),
(略証)
{a･cos(x) + b･sin(x)}^2 = a^2 + b^2 - {b･cos(x) - a･sin(x)}^2 ≦ a^2 + b^2, (終)
(1)
(与式) = (31/2) +6sin(2x) +(1/2)cos(2x) ≦ (31/2) + √{6^2 + (1/2)^2},
(2)
(与式) = 3sinθ(5+4sinθ) + 16(cosθ)^2
= 3sinθ(5+4cosθ) + 25 - (5-4cosθ)(5+4cosθ)
= 25 - (5 -3sinθ -4cosθ)(5+4cosθ)
≦ 25,
www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1102511185/111-112
- 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/16(金) 03:13:04 ]
- △ ABC の周の長さを L とし , 角 A , B , C の二等分線の長さを x , y , z とすると
不等式
x + y + z ≦ { ( √ 3 ) / 2 } L
が成立する . さらに , 外接円と内接円の半径をそれぞれ R , r とすると
9 r ≦ x + y + z ≦ ( 9 / 2 ) R
が成立する
α , β , γ を複素変数とし , 次の式の分母が 0 とならない範囲での最大値を求めよ
また , 実変数の場合はどうか
| ( α - β ) ( β - γ ) ( γ - α ) ( α + β + γ ) | / ( | α | ^ 2 + | β | ^ 2 + | γ | ^ 2 ) ^ 2
( 数学セミナーより )
- 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/16(金) 03:15:51 ]
- フェラチオ＞シックスナイン
- 541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/16(金) 16:16:19 ]
- フェラチオという行為は女性から男性、または男性から男性に行うことのできる写像であるとすると、
この写像は男性という集合への単射である。また、シックスナインは同じ考えに基づき全単射の写像である。
いずれも、任意の性的快感を得る写像であることから、このふたつは同じ集合の元であると考えると、
単射э全単射といえることから
フェラチオ э シックスナイン
であると言える。
- 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/16(金) 16:17:31 ]
- ｗ
- 543 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2009/10/17(土) 02:14:08 ]
- age
- 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 04:22:24 ]
- >>539
(上) >>394-395
(下) 実変数のときは、 (与式) ≦ 0.397747488･･･,
等号成立は α:β:γ = -0.3590････ : 0.3204･･･ : 1
かな？
- 545 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 10:03:31 ]
- △ABCにおいて内心をI, 内接円の半径をr, 外接円の半径をRとするとき、
√(1+5r/(2R))≦sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)≦√(2+r/(2R))
を示せ。
- 546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 15:16:14 ]
- >>539
(下) 実変数のとき
最大値 9/(16√2) = 0.397747564････
α:β:γ = -(3/√2 - 1) : 1 : (3/√2 + 1)
= -(3-√2)/(3+√2) : (√2)/(3+√2) : 1
= -0.359245518････ : 0.320377241･･･ : 1
のとき
- 547 名前：546 mailto:sage [2009/10/18(日) 06:00:35 ]
- >>539 (下) (546の続き)
・複素変数のとき
3{|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2} = 3(αα† + ββ† + γγ†)
= |α-β|^2 + |β-γ|^2 + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2
≧ 4 |(α-β)(β-γ)(γ-α)(α+β+γ)|^(1/2), (← 相加･相乗平均)
∴ (与式) ≦ (3/4)^2 = 9/16,
等号成立は、|α-β| = |β-γ| = |γ-α| = |α+β+γ| のとき(正三角形)。
・実変数のとき
βはαとγの中間にあるとする。
|γ-α|^2 = (|α-β| + |β-γ|)^2 ≧ 4|α-β||β-γ|, ･･････ (*)
よって
3{|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2} = |α-β|^2 + |β-γ|^2 + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2
≧ 2|α-β||β-γ| + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2 (← 相加･相乗平均)
≧ 2|α-β||β-γ| + 2|α-β||β-γ| + (1/2)|γ-α|^2 + |α+β+γ|^2 (← *)
≧ 4･2^(1/4) |(α-β)(β-γ)(γ-α)(α+β+γ)|^(1/2), (← 相加･相乗平均)
∴ (与式) ≦ 9/(16√2),
等号成立は |α-β| = |β-γ| = (1/√2)|α+β+γ| のとき,
α:β:γ = -(3-√2)/(3+√2) : (√2)/(3+√2) : 1
- 548 名前：547 mailto:sage [2009/10/18(日) 06:50:01 ]
- >>539 (下) (547の続き)
・非負変数のとき
min{α,β,γ} = m ≧0, {α,β,γ} = {m,m+x,m+x+y}, x≧0, y≧0 とする。
|⊿| = xy(x+y),
α+β+γ = 3m +2x +y,
|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2 = 3m^2 + 2m(2x+y) + (2x^2 +2xy +y^2),
(1/4)(|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2)^2 ≧ m(2x+y)(2x^2 +2xy +y^2) + (1/4)(2x^2 +2xy +y^2)^2
= |⊿|･(α+β+γ) + m(4x^3 +3x^2･y +xy^2 +y^3) + {x^2 -(1/2)y^2}^2
≧ |⊿|･(α+β+γ),
(与式) ≦ 1/4,
等号成立は m=0, x=y/√2 のとき。
- 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/18(日) 22:20:46 ]
- >>538 (2) 訂正
(与式) = 3sinθ(5 + 4ｃｏｓθ) + (4sinθ)^2
>>548
⊿ = (α-β)(β-γ)(γ-α), とおきますた(差積)。
等号条件は α:β:γ = 0 : 1 : (1+√2) = 0 : (√2 -1) : 1 及びその入れ換え。
- 550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/19(月) 03:59:44 ]
- 蒼井そら
- 551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/20(火) 02:10:33 ]
- www.551horai.co.jp/
551蓬莱
- 552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/20(火) 02:11:34 ]
- >>550
ja.wikipedia.org/wiki/河合曾良
dic.nicovideo.jp/a/河合曾良
ja.wikipedia.org/wiki/ギャグマンガ日和
- 553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/21(水) 01:00:05 ]
- |cos(θ+φ)-cosθ+φsinθ|≦(φ^2)/2
- 554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/23(金) 21:53:39 ]
- >>553
-1 ≦ -cos(θ+φ) ≦ 1,
φで積分して
-|φ| ≦ -sin(θ+φ) + sinθ ≦ |φ|,
φで積分して
-(1/2)φ^2 ≦ (左辺) ≦ (1/2)φ^2,
あるいは平均値の定理から
f(φ) - f(0) - φf '(0) = (1/2)φ^2･f "(kφ), 0<k<1,
ただし、f(φ) = cos(θ+φ),
- 555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/24(土) 02:24:55 ]
- >>502 の解答
(1) >>504-510 (2) 未 (3) >>518 (4) >>528 (5) >>516-517 (6) >>529 (7) >>515 (8) >>503
- 556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/24(土) 02:53:56 ]
- 問1
1.6 < ( √ 2 ) ^ ( √ 2 ) < 1.7
ただし
√ 2 = 1.414･･･
とする
問2
| Σ [ k = 1 , n] { a [ k ] sin ( kx ) } | ≦ | sin x |
のとき
| Σ [ k = 1 , n] k a [ k ] | ≦ 1
問3
自然対数の底eを
e = Σ [ k = 0 , ∞ ] ( 1 / k ! )
とする
( 1 )済
e < 2.721
( 2 )済
log ( 1 + x ) ≦ x / √ ( 1 + x )
( 3 )
1.0317 < e ^ ( 1/32 ) < 1.0318
ただし
2.721 ^ ( 1 / 16 ) < 1.064561
とする
問4
四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき
L / V ^ 2
の最小値を求めよ
- 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/26(月) 00:15:47 ]
- >>556
とりあえす問１だけ････
a = 2^(3/2) = 2√2 = 2.828････ とおくと、(与式) = a^(4/3a),
e^(1/a) < a^(1/a) < e^(1/e), (← a>e)
e^(4/3a) < (与式) < e^(4/3e),
8/3 < e < a < 17/6 より
1/2 - 1/34 = 8/17 < 4/3a < 4/3e < 1/2,
e^(4/3e) < √e = 1.64872･･･
e^(4/3a) > e^(-1/34)√e > (1-1/34)(√e) = (33/34)√e = 1.6002･･･
- 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/26(月) 02:59:25 ]
- さすがに√eの値を出すのは反則でない？
- 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/26(月) 10:35:04 ]
- >>556
問1
(√2)^(√2)=a とおく。
f(x)=x^(√2-1) とすると、f(x)はx>0で単調増加より
f(√2) < f(a)
よって、a/√2 < a^√2/a =2/a から
a^2 < 2√2 = 2.828...
2.56 < 2.828... < 2.89 より 1.6 < (√2)^(√2) < 1.7
- 560 名前：559 mailto:sage [2009/10/26(月) 10:41:03 ]
- 間違えた……
下の評価は、g(x)=x^(√2-3/2) とおいて
g(a) < g(√2) から示す。
- 561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/26(月) 20:59:26 ]
- >>438 (出題元 >>536 から)
(左辺) - (右辺) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) = F_1,
∴ (x+y)(x+z)(z+x)F_1
= (xy+xz)(x^2 -y^2)(x^2 -z^2) + (yz+yx)(y^2 -z^2)(y^2 -x^2) + (zx+zy)(z^2 -x^2)(z^2 -y^2)
= xy{(x^2 -y^2)(x^2 -z^2) + (y^2 -z^2)(y^2 -x^2)} + cyclic.
= xy(x^2 -y^2)^2 + yz(y^2 -z^2)^2 + zx(z^2 -x^2)^2 ≧ 0,
- 562 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/26(月) 22:42:47 ]
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