- 1 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/06(金) 09:00:00 ]
- 面白い問題、教えてください
- 174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/28(金) 12:17:25 ]
- >>169
立体は？
- 175 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/28(金) 13:08:34 ]
- 平面です
- 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/28(金) 13:55:48 ]
- 二本のマッチの尻と尻を合わせて正８角形がひとつできる。
とりあえずそれだけで42個
- 177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/28(金) 21:11:54 ]
- A , B⊂Nに対して、A＋B：＝{a＋b｜a∈A , b∈B}∪A∪B と定義する。
また、Aの元の個数を｜A｜で表すことにする。
(1)｜A∩{1,2,…,n}｜＋｜B∩{1,2,…,n}｜≧nならば、n∈A＋Bとなることを示せ。
(2)自然数列{xn}はliminf[n→∞]n/xn＞1/2を満たすとする。
X＝{xn｜n∈N}とおくとき、X＋Xに含まれない自然数は有限個であることを示せ。
(十分大きな自然数は高々2個のxnの和で表せる、ということ)
- 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/30(日) 15:05:31 ]
- (1)
ｎ∈A,もしくはn∈Bの時n∈A+Bは定義より明らかなので
AもBもnを含まない場合を考える
この時
｜A∩{1,2,…,n}｜＋｜B∩{1,2,…,n}｜
=｜A∩{1,2,…,n-1}｜＋｜B∩{1,2,…,n-1}｜≧nが成り立っている
以下、背理法でn∈A+Bを示す
あるA,Bが存在して、n∈A+Bではないとする
｜A∩{1,2,…,n-1}｜={a1,a2,...,ak}=kとすると
B∩{1,2,…,n-1}は{n-ak,...,n-a1}を含まない
(もし含むとするとn∈A+Bではないことに反する)
なのでB∩{1,2,…,n-1}は{1,2,…,n-1}から{n-ak,...,n-a1}を除いた元しか持ち得ず
これはn-1-k個以下である
しかしこれは
｜B∩{1,2,…,n-1}｜≧n-｜A∩{1,2,…,n-1}｜=n-k
なので矛盾する
従ってn∈A+B
無駄があるかも
- 179 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/02(火) 18:26:01 ]
- 正ｎ角形を一筆書きして出来る図形のパターンをp[n] 通りとする。
ただし、回転や鏡影を施して重なるものは同じパターンとします。
例 p[3]=1, p[4]=2
(1) p[5],p[6] を求めよ。
(2) p[n] を求めよ。
- 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/02(火) 19:07:12 ]
- >>179
>正ｎ角形を一筆書きして出来る図形
すべての正ｎ角形の頂点を通る一筆書き（頂点同士を直線で結ぶ）して出来る図形
星型etc
- 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/05(金) 04:38:29 ]
- 通信網の問題：
互いに離れたところにいくつかの通信基地がある。
これらの基地の間には通信ケーブルが張り巡らされており、
どの二つの基地もちょうど一本のケーブルで結ばれている。
ところがこのケーブルは一方通行でしか情報を送れない。
つまり、二つの基地の間で、どちらかの基地は他方へ情報を送信できるが、逆方向へは直接送信はできない
このような通信基地たちとケーブルによって構成された通信網を考える。
さて、Ａを通信基地のひとつとする。
もし以下が成り立つならば、このようなＡを通信網の要と呼ぶ
「任意の基地Ｂ(Ａ自身は除く)に対してⅰまたはⅱが成り立つ
ⅰ)ＡとＢの間のケーブルはＡが送信側でＢが受信側である
（これをＡ→Ｂと書くことにする）
ⅱ）ある基地ＣがあってＡ→Ｃ→Ｂである 」
つまり、Ａが要であるとはＡは自分以外のどの基地へも高々２ステップで情報を送信できる事を意味する。
問題：
どんな通信網も必ず少なくとも一つ要を持つことを示せ
- 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/05(金) 07:07:44 ]
- 同じ問題を出してもしょうがないでしょう。
- 183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/07(日) 04:03:50 ]
- >>181
N個の基地からなる通信網に要Aがあると仮定する。
Aから1ステップで到達できる基地をB={B1,B2,‥,Bm}とし、
残り全部をC={C1,C2,‥,Cn}とする。
仮定より、Cの基地は全て、あるBiから1ステップで到達できる。
ここに新たに基地Xを追加したとき、
・A→XならAが要。
・あるBiに対しBi→Xなら、A→Bi→Xとなるため、やはりAが要。
・X→A、かつ全てのBiに対しX→Biのときは、任意のCjに対し
あるBkがあってX→Bk→Cjとなるため、Xが要になる。
よって、N+1個のときも要がある。
- 184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/07(日) 04:10:06 ]
- >>117
直径１以上の円形の穴。円周上も立入り禁止。
鬼が近付いて来たら、円の中心Oについて対称な点に逃げる。
- 185 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/07(日) 12:23:15 ]
- ABCDに正の整数を入れて等式を成立させて下さい
(A÷B)の3乗＋(C÷D)の3乗＝17
- 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/07(日) 12:31:51 ]
- 「の３乗」なんて書くやつの問題がおもしろい確率を答えよ。
- 187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/07(日) 12:45:39 ]
- ｢面白い｣の定義を答えよ
- 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/07(日) 13:30:21 ]
- 顔の表面が明るい無彩色
- 189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/08(月) 00:36:40 ]
- 〔問題〕
a = logφ = log((1+√5)/2) ≒ 0.481211825 とおく。
次の双曲線函数
(1) y = cosh(ax),
(2) y = sinh(ax),
(3) y = 2cosh(ax),
(4) y = 2sinh(ax),
(5) y = (2/√5)cosh(ax),
(6) y = (2/√5)sinh(ax),
が通る格子点をもとめよ。
なお、(1)の格子点は(3)の格子点、(2)の格子点は(4)の格子点.
- 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/08(月) 02:00:14 ]
- >>183
俺も解いたけど、解き方が違ったので書いてみる。
背理法で証明ので、要がないと仮定する。
1ステップで到達できる基地の数がもっとも多い基地のうちの一つをＡとする。
Aから1ステップで到達できる基地をB={B1,B2,‥,Bm}とし、
残り全部をC={C1,C2,‥,Cn}とする。
要がないという仮定から、Ci -> Bj (任意のi,j) という経路があることと、
Ci -> A (任意のi) を言って、Aの定義に矛盾することを示してＯＫ。
- 191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/08(月) 03:04:56 ]
- >>190
下から2行目だけど、
「要がないという仮定から、あるCiが存在し、任意のBjに対しCi -> Bjとなることと 」
じゃない？
- 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/08(月) 08:45:36 ]
- >>191
証明のためだけなら、あるCiについて述べればそれで十分だけど
どのCiをとってもそうなっているのだから別にめくじらたてるほどのことでもない。
- 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/08(月) 10:14:22 ]
- なってねぇだろ
- 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/08(月) 11:12:30 ]
- ああ、Bのどの基地からも１ステップでいけない残り全部がCだ。
要がないと仮定したのでCは空でない。
- 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/08(月) 16:33:19 ]
- 結局、1ステップで到達できる基地の数が最も多い基地が
自動的に要になるってことか。
- 196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/08(月) 20:06:07 ]
- ABCDEの5人に◯×試験をしたら下の様な回答が帰ってきました
これより各問の正解が◯×どちらであったかを推測して下さい
※abcdefghij
A:OxxOxOxOxx 8点
B:xxOOOxxOOx 7点
C:xxxOxOxxOO 6点
D:OOOOOxOxOx 5点
E:xOOxxOOOxO 4点
- 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/08(月) 20:32:45 ]
- oxooxoxoox
- 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/08(月) 22:35:00 ]
- OxOOxOxOOx
- 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/09(火) 08:44:43 ]
- 長さ2009cmの紐があります.
コレを二人が交互に切るというゲームをします.
ひもは一本に付き一箇所だけ, cm単位でしか切れません.
# つまり, (5,2004)に切るのはokで(5.5,2003.5)に切るのはNG
また紐を好きなだけ何本でも重ねて切ることもできます.
# (5,2004) -> ((2,3),(1000,1004)) の様な切りかた
先に切れなくなった方が負けで, パスは出来ません
先手必勝でしょうか後手必勝でしょうか
p.s.
問題書きながら気になったんだけど
> ひもはcm単位でしか切れません.
という条件を緩めて"長さ1cm以下の紐を作っては良けません"にしても面白いかも
- 200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/09(火) 12:33:53 ]
- 直径1cm、重さ1g、密度一様の球が毎秒一回転の速さで回っている時の運動エネルギーはいくらか？
- 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/09(火) 15:29:33 ]
- 0
- 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/09(火) 15:32:05 ]
- 回るってのは自転するのか楕円軌道を描いているのかどっちよ？
- 203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/10(水) 12:37:47 ]
- >>200宿題にしか見えない･･･
- 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/11(木) 04:27:21 ]
- >200
KE = (1/2)Iω^2,
I = (2/5)ma^2
a: 球の半径[m],
m: 球の質量[kg],
I: 球の慣性モ－メント（中心を通る軸まわりの) [kg･m^2],
ω: 回転速度[rad/s],
KE: 運動エネルギー[J]
- 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/11(木) 22:34:25 ]
- >200
ω = 2πf,
f: 回転数 [Hz]
- 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/13(土) 04:19:51 ]
- >199
定義：
ｎを自然数とする。長さｎのひもで始めたゲームが
先手必勝のときｎを先手必勝型と呼ぶ。
そうでないとき後手必勝型と呼ぶ
場に二本のひもが存在し、それぞれが後手必勝型である場合を考える。
この局面はその時点での手番の負けである。
なぜならあなたは二つあるひもを別個に扱い、それぞれに対して必勝法を行えるからだ。
例えば二本の紐をＡ，Ｂとする。
ここで相手がＡだけに何か操作を行い、Ｂに何もしなかったとしよう。
この場合、あなたもＢには何もしない。
「元Ａだった部分」だけに注目して必勝法を一手進めるのだ。
この事はひもが三本以上のときも成り立つ。
即ち、後手必勝型のひものみで構成された局面はその時点での手番の負けである。
同様に、先手必勝型のひも(と長さ１のひも)のみの局面はそのときの手番の勝ち
さて、ここで具体的な値に対して、先手必勝型か後手必勝型か考えてみると
1は後手必勝で、2は先手必勝である。
また、２ｎ－１までの全ての奇数が後手必勝と仮定すると、２ｎ＋１は後手必勝である。
∵奇数を二数に分けると必ず偶数と奇数になる
この偶数を奇数＋奇数になるように分ければ２ｎ－１以下の奇数三つができる
後手必勝のひものみの状態で先手に手番が渡ったので２ｎ＋１は後手必勝型
従って全ての奇数は後手必勝であり、偶数は先手必勝。とくに2009は後手必勝
- 207 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/13(土) 19:25:03 ]
- (1)
ある商品を買うと6種類の内1種類がﾗﾝﾀﾞﾑでおまけとしてついてきます
このおまけを6種類全部集めるには平均いくつの商品を買えば良いでしょうか?
(2)
ある商品を買うとa種類の内b種類がﾗﾝﾀﾞﾑでおまけとしてついてきます
このおまけをa種類全部集めるには平均いくつの商品を買えば良いでしょうか?
- 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/13(土) 22:27:36 ]
- オタク的には箱買いすればいい
- 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/14(日) 00:24:03 ]
- （１）
すでにｋ(0≦k≦5)種類もっているとき、新たに一個買って
ｋ＋１種類になる確率は １-ｋ/6
よってｋ種類からｋ＋１種類にするのに平均で買う個数は
Σ[ｎ＝１から∞]ｎ・(ｋ/6)＾(ｎ-1)・(1-ｋ/6)
＝１/(1-ｋ/6)
従って
６種類そろえるまで買う個数の期待値
＝Σ[k＝0から5](ｋ種類からｋ＋1種類にするまでの期待値)
＝１ + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6
＝147/10
(2)
同様に考えると、おまけが1種類つく場合のａ種類そろえるまでの期待値は
ａ（1 + 1/2 + 1/3 + ・・・ + 1/a）
商品一個につきｂ種類のおまけがつく場合は、
「1種類のおまけがつく商品を常にｂ個セットで買う」と同じことだから
(ａ（1 + 1/2 + 1/3 + ・・・ + 1/a）) / b
- 210 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/14(日) 07:35:18 ]
- >>206
正解.
"長さ1cm以下の紐を作っては良けません",
"長さ1cm未満の紐を作っては良けません"
のケースも暇があったら考えてみてください^^
- 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/15(月) 10:01:28 ]
- × 「良けません」
△ 「行けません」
○ 「いけません」
- 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/15(月) 23:02:50 ]
- >209
「ｂ種類のおまけ」と「ｂ個のおまけ」を勘違いしてないか？
- 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/16(火) 01:47:05 ]
- >189
チェビシェフの多項式より、
(1) (p,q) が格子点ならば (np, T_n(q) ) も格子点
(2) (p,q) が格子点ならば ((2n+1)p, q*U_(2n)(q) )
(3) (p,q) が格子点ならば (np, q*T_n(q/2) ) も格子点
(4) (p,q) が格子点ならば ((2n+1)p, 2*U_(2n)(q/2) ) も格子点
(5) (p,q) が格子点ならば (np, (2/√5)T_n((√5)q/2) ) も格子点
(6) (p,q) が格子点ならば ((2n+1)p, q*U_(2n)((√5)q/2) ) も格子点
- 214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/16(火) 03:30:30 ]
- >>212
なぜそう思う？
- 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/16(火) 04:08:32 ]
- >>214
おまえの脳を読んだからさ！
- 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/16(火) 04:15:13 ]
- いや俺は考えていないからそうは思っていないはずだ。
それとも深層心理まで読み取られてしまったのだろうか？
- 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/16(火) 19:08:54 ]
- 任意の実数aに対して
f(a,a^2,a^3)=f(a^2,a^3,a)=f(a^3,a,a^2)=f(a,a^3,a^2)=f(a^3,a^2,a)=f(a^2,a^3,a)=0
を満たすようなx,y,zの多項式f(x,y,z)を求めよ。
- 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/16(火) 23:17:13 ]
- >>210
１未満を作ってはいけない場合：
まず、>>206で定義した先手必勝型、後手必勝型に加え、「作ると負けになる長さ」を
禁止型と呼ぶことにする。禁止型は広い意味では後手必勝型に含まれると考えられそうだが
これらを区別した方が後の議論に都合がいいので。
>>206の議論は切断位置を実数にした場合にも自然に拡張され
「場に存在するのが後手必勝型のみの局面はその手番の負け」、さらに
「場に少なくとも一本先手必勝型が存在すれば勝ち」が言える。
後者は整数ルールのときから言えたことであり、ここから
「全ての先手必勝型ｘに対して、少なくとも一つあるｙが存在し、ｙとｘ-ｙはともに後手必勝型」
が言える。
さて、半開区間(1,2]の要素はそれ以上切断できない。(切断しようとすると禁止型を生じる)
よってx∈(1,2]のとき、xは後手必勝型
またこの区間の要素の和で表せる(2,4]の要素は全て先手必勝型
ここで、ε＞０に対して4+εを先手必勝型とする。
先手必勝型の性質から4+εはある後手必勝型の和で表せるはずだが、既知の後手必勝型は最大でも２なので
可能なのはなにか未知の後手必勝型4+δが存在して4+ε→(4+δ,ε-δ)と分解されるときだけ
ここでε-δ＞1であり、とくにε＞１
まとめると「4+εが先手必勝型ならばεは１より大きい」
対偶を取って「ε≦1ならば4+εは後手必勝型」
よって半開区間(4,5]の要素は全て後手必勝型
こうしてまた新たに後手必勝型が見付かったので、それらの和で表せる(5,7]や(8,10]は先手必勝型
同様の議論を続けていくと、結局k＝0,1,2,3,・・・に対して
(3k+1,3k+2]は後手必勝型であり、(3k+2,3k+4]は先手必勝型
とくに2009＝3・669+2は後手必勝型
１以下を作ってはいけない場合もほとんど同様にして半開区間の向きだけ変わり、
2009は今度は先手必勝型になる
- 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/17(水) 04:04:21 ]
- >217
f(x,y,z) = (xy-z)(yz-x)(zx-y)g(x,y,z),
f(x,y,z) = (xy-z^2)(yz-x^2)(zx-y^2)h(x,y,z),
など。
- 220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/17(水) 20:01:48 ]
- (x-yz)(y-xz)(y-x^2)
- 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/18(木) 19:15:11 ]
- f(x,y,z) = 0 で十分。
- 222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/19(金) 11:09:34 ]
- >>215
人の脳を(ry
- 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/19(金) 12:09:56 ]
- 媒介変数tを用いて表される二曲線(i),(ii)がある。
(i)x=e^(-t)cost,y=e^(-t)sint
(ii)x=e^(-t)cos2t,y=e^(-t)sin2t
この二曲線で囲まれる部分の面積を求めよ。
- 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/19(金) 18:14:30 ]
- >>223
t≧0 でいいんかな。1/2 になったけど。
- 225 名前：224 mailto:sage [2007/10/19(金) 23:35:07 ]
- 1/4だた
- 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/21(日) 13:27:37 ]
- >223
囲まれる部分はたくさんあるが･･･
(i)のtと(ii)のtは
- 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/21(日) 20:38:30 ]
- 自然数列{an}(n∈N)は狭義単調増加であって、さらに、あるC＞0とあるt≧1に対して
an＜Cn^t (n＝1,2,3,…)を満たしているとする。自然数mに対して、mの素因数の
最大値をp(m)とおくとき、limsup[n→∞]p(an)＝∞ となることを示せ。
- 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/23(火) 05:31:39 ]
- >>227
limsup[n→∞]p(an)<∞と仮定する。
いずれかのanの素因数であるような素数を小さい順にp1, …,pkとする。
g∈N, g≧pkとするとき、g以下であるような(p1)^(i1)*…*(pk)^(ik) (i1,…ikは０以上の整数)の形の数の個数は
[log(g)/log(p1)]*…*[log(g)/log(pk)]≦[log(g)/log(p1)]^k以下。右辺をrとおく。
以上よりg≦ar＜Cr^t≦C[(log(g)/log(p1))^(kt)であるが、この不等式は十分gが大きいとき成立しない。
- 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/23(火) 18:49:05 ]
- >>207
>(2)
>ある商品を買うとa種類の内b種類がﾗﾝﾀﾞﾑでおまけとしてついてきます
>このおまけをa種類全部集めるには平均いくつの商品を買えば良いでしょうか?
平均 E(a,b) 個の商品を買えば良いとする。
a=b のときは、E(a,b)=1.
以下では、a＞b≧1 のときを考える
このおまけを k(≧1) 個買ったとき、a種類のおまけが全部そろっている確率を p(k)
とすると、包除原理より、
p(k)=((C(a,b))^(-k))*Σ[m=0,a-b]C(a,m)*((-1)^m)*(C(a-m,b))^k.
( C(n,m)=n!/(n!*(n-m)!) )
よって、
E(a,b)=Σ[k=2,∞] k*(p(k)-p(k-1))
=Σ[m=1,a-b]((-1)^(m+1)*(a!*(2*a!^2*(a-b)!*(a-b-m)!^2*(a-m)!-a!*(a-b)!^2*(a-b-m)!*(a-m)!^2)/(m!*(a-m)!*(a!^3*(a-b-m)!^3-a!^2*(a-b)!*(a-b-m)!^2*(a-m)!))))
計算例：
E(5,4)=9/4,
E(50,40)=(185670706054169305015849546598666174081288628096161)/(55278965274533097503396347784510411985680743479276)
=3.35879…,
E(500,400)=4.72880….
- 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/25(木) 16:13:32 ]
- P_1 = {1,1}
P_2 = {1,2,1}
P_3 = {1,3,2,3,1}
P_4 = {1,4,3,5,2,5,3,4,1}
....
P_nはP_(n-1)に隣り合う２数の和の値をその間に付け加えるようにして生成していきます。
(1) P_n の要素の数、最大値、要素の和を求めてください。
(2) 互いに素な自然数の順列(a,b)はあるP_kで隣り合う二数に一回だけなることを示してください。
(3) P_(n) にはk (1≦k≦.n)はいくつあるか？
- 231 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/28(日) 06:12:35 ]
- age
- 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/28(日) 21:20:30 ]
- Zagier's problems
www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~john/Zagier/Problems.html
- 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/29(月) 20:55:45 ]
- >>230
(1)
[解] 要素数をA(n)とすれば、A(n+1)=A(n)+A(n)-1よりA(n)=(2^n)+1。
[解] 総和をS(n)とすれば、S(n+1)=S(n)+2(S(n)-2)+2よりS(n)=(3^n)+1。
[予想] 最大数は1,2から始まるフィボナッチ。
(2)
[略証] aとbが互いに素のとき、写像 (a,b)├→ if a>b then (a-b,b) else (a,b-a)
を考えると、互除法の原理から、これを繰り返し適用すれば必ず有限ステップNで
(1,1)に到達し、その経路は一通りである。すなわち、これを(1,1)から逆に
辿ることにより、唯一の(a,b)が問題文の手続きに従って生成されることがわかる。
よってP_Nは順序対(a,b)を含み、それが唯一である。
(3)
[予想] P_(n) に k (1≦k≦.n) はφ(k)個含まれる。ただしφ(k)は、
1≦i≦kであって、kと互いに素になるようなiの個数。
- 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/30(火) 01:06:02 ]
- >>233
> (1)
> [予想] 最大数は1,2から始まるフィボナッチ。
最大数をM(n)とするとき、P_n (n≧2)に順列(M(n-1),M(n))および(M(n),M(n-1))が含まれていることを示せばいい。
n=2のときは明らかだから、2以上のnについてそうだと仮定する。
まず、生成規則より、P_nの偶数番要素の最大値はM(n)、奇数番要素の最大値はM(n-1)なので、
M(n+1)≦M(n)+M(n-1)であることに注意する。
P_n内の順列(M(n-1),M(n))および(M(n),M(n-1))からP_(n+1)内の順列
(M(n-1),M(n)+M(n-1),M(n))および(M(n),M(n)+M(n-1),M(n-1))が生成される。
先の注意より、M(n)+M(n-1)がP_nの最大値M(n+1)に等しいことがわかるから、
P_(n+1)には順列(M(n+1),M(n))および(M(n),M(n+1))が含まれていることになり、n+1のときも成立する。
以上によって、数学的帰納法から2以上のすべてのnについて成立する。
M(n+1)=M(n)+M(n-1), M(1)=1, M(2)=2から一般項を求めると
M(n)=((α^(n+1))-(β^(n+1)))/√(5), ただしα=(1+√(5))/2, β=(1-√(5))/2。
> (3)
> [予想] P_(n) に k (1≦k≦.n) はφ(k)個含まれる。ただしφ(k)は、
> 1≦i≦kであって、kと互いに素になるようなiの個数。
n≧2として、P_(n-1)からP_nを生成するときに(a,b)からk=a+bが生成されているとすると
(2)における議論で(a,k)あるいは(k,b)から(1,1)に至るステップ数Nはn-1以下。
よって、2≦k≦nであれば、k=a+bとなるような互いに素な2自然数の順列(a,b)はすべて
P_1,...P_(n-1)のいずれかに含まれていることになる。
このような順列(a,b)は、k以下であってkと互いに素な自然数aと一対一に対応する。
よって、2≦k≦nならば、P_nに含まれるkの個数は、
φ(n)=nΠ(1-(1/p)) (積はnのすべての素因数にわたる)。
ただし、1はP_nに2個(≠φ(1))含まれる。
- 235 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/06(火) 12:09:07 ]
- H ：= { (x,y)∈R^2 ； |xy|≦1 } とする。
H に含まれる三角形の面積の最大値はいくつか。
- 236 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/08(木) 09:49:15 ]
- スレ違い承知で。
15秒程度で答えて下さい。
７の８乗はだいたいいくつですか？
紙やペン、電卓などの道具は使わず暗算で答えて下さい。
- 237 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/08(木) 10:00:49 ]
- >>236
7*7=49≒50
50*50=2500
25*25=625より
2500*2500=6250000
7*7=49
49*49=2401≒2400
24*24=576より
2400*2400=5760000
二桁の数の二乗がある程度サッと出てくるという前提で。
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/08(木) 10:03:58 ]
- 15秒でレスできねえよ
- 239 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/08(木) 11:08:53 ]
- >>236は面接で頭の回転の速さを見るための問題と予想。主に外資系。
この手の問題は15秒じゃなくて10秒で答えろって言われるな。
- 240 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/08(木) 21:47:09 ]
- このような数学の問題がたくさんのっている書籍ではなにがおすすめでしょうか？自分はまだ高校生で頭もよいほうではないのでなるべく簡単な問題がのっているものがよいです。よろしくお願いします。
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/08(木) 23:15:09 ]
- 56764801が10秒以内に出てきた俺は・・・
- 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/08(木) 23:16:03 ]
- 打ち損じた
5764801だ
- 243 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 00:13:11 ]
- >>242
どうやって考えたのよ
- 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 00:20:40 ]
- >>243
49^2=2401だから7^8=2401^2=5764801
下2桁が01だから計算が楽々
- 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 00:21:23 ]
- 「暗算の鬼」参上
- 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 00:46:26 ]
- 面接官( ｀∀´)：15秒程度で答えて下さい。7^8は大体いくつですか？暗算で答えて下さい。
>>244 ( ´∀｀)：7^8＝5764801 下2桁が01だから計算が楽々。
面接官( ・д・)：
面接官( ・д・ )：
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 00:51:37 ]
- 面接官( ｀∀´)：15秒程度で答えて下さい。7^8は大体いくつですか？暗算で答えて下さい。
>>244 ( ´∀｀)：56764801。言い間違えた。5764801だ。下2桁が01だから計算が楽々。
面接官：
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／ノ (●)＼ ・
. ｜ (●) ⌒）＼
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/´ ｀＼
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/ （⌒ (●) /
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- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 00:57:51 ]
- むしろ
7*7=49≒50
50^4=6250kくらい
と思ったらかなり数字ちがっててびびった
ある程度は小さくなるだろうけど6000k下回ることはあるまいと思ってたら…
俺数学的センスないなｗ
- 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 01:14:46 ]
- >>248
お前は俺か！
- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 01:34:49 ]
- 1桁の自然数の常用対数くらい頭に入っているけどな。
log_10(7)≒0.85 の8倍は 6.8 なので
7^8＝10^0.8×100万≒600万 (3秒で終了)
もちろん log_10(7)≒0.85 自体は 7^2 ≒ 50 から出せるが、
log_10(7)＝0.84509804… (梯子を配れよ)が頭に入ってるしなあ。
- 251 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 08:08:37 ]
- インド人なら簡単なのかな？
- 252 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 08:12:21 ]
- 49≒50の誤差は何乗かすれば一気に膨らむわけか
- 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 10:14:18 ]
- 4乗すれば相対誤差は約4倍。
(εが微小なら (1+ε)^n ≒ 1+nε .
ただしnが大きくなり過ぎるとε^2なども効いてくるが)
本来の49は50の2パーセント減だから4乗すると約8パーセント減となる。
625万から8パーセント(=50万)引くと575万。
- 254 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 10:34:10 ]
- この手の面接は正解に辿り着く為のプロセスを相手にきちんと説明できるかも問われる気がする。
- 255 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 10:39:16 ]
- 判定予想
×わからない
×数百万くらい
△6250k弱
△6000kくらい
○5800kくらい
ピタリ賞は暗算のプロかカンニングだな
- 256 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 10:42:21 ]
- 判定予想 訂正
×わからない
×数百万くらい
△625k弱
△600kくらい
○580kくらい
ピタリ賞は暗算のプロかカンニングだな
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 11:18:40 ]
- k=1000 でっせ
- 258 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 13:09:35 ]
- 2^(1/3) の近似値を暗算で計算せよ。
- 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 15:21:41 ]
- まず１よりデカくてルート２より小さいのはすぐわかる。
1.1^3 を考えると
1.1^2=1.21 でこれをさらに 1.1 倍しても
2 には全然足りないのも何となく分かる。
同様に 1.2^3 も全然足りない。
1.3^3 は 1.3^2=1.69 なのでこれをさらに
1.3 倍すると明らかにオーバー。
なので 1.2 よりデカくて 1.3 より小さい。
これ以上は暗算は大変なので適当に真ん中とって 1.25 。
- 260 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 18:36:44 ]
- 暗算シリーズ
- 261 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 20:12:53 ]
- 20までの三乗の値は覚えておくべきなのかな
- 262 名前：258 mailto:sage [2007/11/09(金) 23:45:44 ]
- 数学板なんだから数学的な工夫をしてくれー
- 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 00:07:44 ]
- 125^3=5^9=1953125だから1.25よりちょっと大きい
126^3=2744×9×9×9=24696×9×9=222264×9=2000376だから
1.26より微妙に小さい
誤差が0.019%ほどだから1.26×0.99994=1.2599244よりちょっと大きいくらい
- 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 00:08:31 ]
- >258
29^3 - 2*23^3 = 24389 - 2*12167 = 55,
より
2^(1/3) ≒ 29/23 =1.260･･･
- 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 00:24:15 ]
- >263
63^3 - 2*50^3 = 250047 -2*125000 = 47,
より
2^(1/3) ≒ 63/50 = 1.26
- 266 名前：258 mailto:sage [2007/11/10(土) 00:53:11 ]
- 出題者ですが、皆様の暗算力に付いて行けませんw
もっとショボい暗算力でも計算できるのですが…
- 267 名前：Sir I.Newton mailto:sage [2007/11/10(土) 01:05:04 ]
- >258
a_1 = 5/4,
a_(n+1) = a_n - {(a_n)^3 -2}/{3(a_n)^2} = (2/3){a_n +1/(a_n)^2},
により定義された有理数列 {a_n} は 2^(1/3) に収束するぽ。
a_2 = 63/50,
a_3 = 375047/297675,
･･････
- 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 01:15:38 ]
- >>267
ニュートン法を暗算でやれというわけだな
- 269 名前：258 mailto:sage [2007/11/10(土) 02:05:20 ]
- Taylor展開による解答を御用意しております。
- 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 02:24:15 ]
- ………
- 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 04:56:22 ]
- >269
それじゃぁ仕方ねぇなぁ･･･
ln(2^(1/3)) = (1/3)ln(2) = 0.6931･･･/3 = 0.2310･･･
2^(1/3) = exp(0.2310･･･) ≒ 1 + 0.231 + (0.231^2)/2 + (0.231^3)/6 + (0.231^4)/24 = 1.25985･･･
- 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 08:22:59 ]
- 【当スレローカルルール】
高２以上の知識はＮＧとする
- 273 名前：258 mailto:sage [2007/11/10(土) 08:46:33 ]
- 時間が10秒とか15秒程度なら次のようになる。
2^10/10^3 ＝ 1024/1000 ＝ 1.024 の両辺の1/3乗を計算すると、
左辺 ＝ (2*2^9/10^3)^(1/3) ＝ (8/10)*2^(1/3)
右辺 ≒ 1+(1/3)*0.024 (1次近似) であるから
(8/10)*2^(1/3) ≒ 1+0.008
である。両辺に 10/8 ＝ 1.25 を掛けると
2^(1/3) ≒ 1.25 + 0.01 ＝ 1.26
- 274 名前：258 mailto:sage [2007/11/10(土) 08:49:38 ]
- 時間が1分あれば、2次近似も暗算で何とかなる。
(1+ε)^(1/3)
≒ 1 + (1/3)ε + (1/2)(1/3)(-2/3)ε^2
≒ 1 + ε/3 - (ε/3)^2
だから これに ε ＝ 0.024 を代入すると
1.024^(1/3) ≒ 1 + 0.008 - 0.000064
である。これに 10/8 ＝ 1.25 を掛ければ 2^(1/3) の近似値になり
2^(1/3)
≒ 1.25 + 0.01 - 0.00008
≒ 1.25992
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