- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/02/21 07:18]
- 代数に関する話題全般のスレッドです。
宿題の丸投げは止めましょう。
前スレ
代数学総合スレッド
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/l50
- 321 名前：１３２人目の素数さん [03/07/19 15:37]
- こんなに見えちゃってヤバクない？？？
抜いても抜いても また勃起しまくり・・・
↓ ↓ ↓
◆◇◆◇ 海外サイトだから安心無修正 ◇◆◇◆
upbbs.s2.x-beat.com/linkvp/linkvp.html
upbbs.s2.x-beat.com/linkvp/linkvp.html
◆◇◆◇ 本気汁丸出しのお○○こが！ ◇◆◇◆
- 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/19 19:16]
- ＞φ(H)=∑b_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0は、b_(0,･･･,0,δ)≠0の間違い？
これはこれでいいす。つまりxy^2+xyzみたいな元を座標変換でx^3+･･･の
形にできるという話です。
＞w(a_k)≧δ-k (for i≦δ)は、w(a_k)≧δ-k (for k≦δ) の間違い？
＞(1-r_1)(1-r_2)･･･(r_u)は、F(1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u) の間違い？
はい。まちがいっす。すんまそん。
あとClaimの主張で要求する条件に一つ追加です。
(Claim) Rの元の列1=r_0,r_1,r_2,･･･でv(b_i)≧i、F(1-r_1)(1-r_2)･･･(r_u)を
F(1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u)=∑a'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2･･･Xn]]と表示したとき
w(a'_k)≧δ-k (for k≦δ)、a'_k=0 (for δ+1≦k≦δ+u)、
w(a'_δ)=0 ←これ！
を満足するようにとれる。
これを示すには次がいえればいいっす。
補題 F∈RをF=∑a_k(Xn)^k、a_k∈k[[X2･･･Xn]]と分解したときδ+1≦v≦u+1について
w(a_k)≧δ-k (for k≦δ)、w(a_δ)=0、a_k=0 (for v＜k≦u+1)
を満足するときs∈Rを(1-s)F=∑a'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2･･･
Xn]]と分解したとき
w(a'_k)≧δ-k (for k≦δ)、w(a'_δ)=0、a_k=0 (for v≦k≦u+1)、v(s)≧u-δ
を満足するようにとれる。
(∵)w(a_δ)=0なのでa_kはk[[X2･･･Xn]]の可逆元ゆえ(a_δ)･b=1となるb∈k[[X2･･･Xn]]
がとれる。そこでsとしてs=b(Xn)^(v-δ)ととるとこれがもとめるものである。
- 323 名前：１３２人目の素数さん [03/07/19 22:54]
- >>322
残念だが、まだ分からない。
ひとまず、r_0をどうやって求めるのか説明してもらえると有り難い。
ただし、r_0はr_1の間違いかな、ひょっとして？
- 324 名前：１３２人目の素数さん [03/07/19 23:08]
- 気合入っているな。
読む気がしない・・。
- 325 名前：１３２人目の素数さん [03/07/19 23:11]
- まったくワシの教授は出て行ってしまったわな。後で聞いたら土建屋にゴツイ
いやがらせされてた話。いま週一で出て行った先に指導受けにいってる
けど、多元で学位は取れんな。ここ数年はマシな教授は出て行くだろうから、
もう多元もオシマイや。ついでにワシも。
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/20 21:10]
- すみません。modular formのスレよりこちらの方が読者
が多いと思って投稿させていただきます。
この板のmodular formのスレのフサギコ教授の説明から
ヒントを得てy~2=（xの重根を持たない3次式）って言うのを
考えた場合にもペー関数など考える時あそこで書いてある
個有値ってものに成るんじゃないかと思ったのですが。
違いますか？
つまり、Ｃ（複素平面）がぺー関数によってトーラス上
に何重にも重なって写像される。
間違っていたらすみませんが誤りも教えて下さい。
- 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/20 21:43]
- >>323
もういちどr_0,r_1,r_2,･･･のみたすべき条件を再確認します。
(Claim) Rの元の列1=r_0,r_1,r_2,･･･でv(b_i)≧i、F(1-r_1)(1-r_2)･･･(r_u)を
F(1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u)=∑a'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2･･･Xn]]と表示したとき
w(a'_k)≧δ-k (for k≦δ)、w(a'_k)=0、a'_k=0 (for δ+1≦k≦δ+u)
を満足するようにとれる。
ここでu=0の場合要求される条件は(for δ+1≦k≦δ+u)に相当するkが存在しないゆえ
事実上要求されるのはw(a'_k)≧δ-k (for k≦δ)、w(a'_k)=0だけでこの条件はもとの
a_kがすでにみたしているのでr_u=0ととれば十分です。
いささかしょぼい例ですがr_uを構成してゆく例をしめしてみます。
n=2としX1=X、X2=Y、F=XY^2+(1+X)Y^3+(X/(1-X))Y^4+･･･
のような例でやってみます。この場合v(F)=3でw(X^2)=2、w(1+X)=0ゆえ
前提条件をみたしてます。r_0はでよいことはすでに述べたとおり。
r_1はY^4の係数を消すためにr_1=X/((1-X)(1+X))ととります。
これはY^3の係数である1+Xがk[[X]]の可逆元なので可能です。
そしてFに(1-r_0)(1-r_1)をかけてみると
F(1-r_0)(1-r_1)
=XY^2+(1+X)Y^3+(X/(1-X))Y^4+･･･
-X^2/((1-X)(1+X))Y^3-X/(1-X)Y^4-X^2/((1-X)^2(1+X))Y^5+･･･
=XY^2-{(1+X)-X^2/((1-X)(1+X))}Y^3+(1+X)Y^3+0+･･･
となりY^4の係数を消すことができ、またY^3の係数も変化はしますがもともと
要求されていた条件をみたしている範囲内での変化にとどまっています。
もちろん(1-r_0)(1-r_1)･･･とかけていくとどんどん変化していきますが全体がCauchy列で
あるためyに関するべき展開の係数もやっぱりCauchy列になることがしめせるので
それは収束してその収束先でもa_δは可逆元、とくにa_δ(0･･･0)≠0であることが
示せます。
あってるような気がしてまふ。確認してよかったらつかってやってくさい。
- 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/20 21:46]
- >>326
わーたーしのきおくがたーしかならばー。
たしかそれは正しい。(とおもふ。)
- 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/20 21:47]
- >>328
どうもありがとうございます。
- 330 名前：１３２人目の素数さん [03/07/21 17:15]
- >>327
正しいような気はするが、一つ疑問があります。
>0≠F∈R、v(F)=δであるものをとる。Fのδ次の斉次部分をHとする。
>補題により座標変換φをφ(H)=∑b_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0
>と表示できるφ=idとして一般性をうしなわない。
この事実はどこで使ってるのかな？
- 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/21 17:54]
- >>316-318の証明まちがってました。ただし補題の部分はあってるとおもいます。
それ以外の部分を以下にさしかえます。すんまそん。
以下(S,w)をCDVRとする。(wは付値イデアルでなく付値。）
R=S[[X]]に付値vを
v(∑c_iX^i)=min{w(c_i)+i}とさだめることにより(R,v)もCDVRになる。
Rの元F=∑c_iX^iにたいしT_i(F)をT_i(F)=c_iX^iでさだめる。
Rの元FがT_v(F)(F)≠0を満足するときFをよい元とよぶ。
F=∑c_iX^iが次数pのよい元のとき
w(c_p)=0、w(c_i)≧p-iを満足する。とくにs_pはSの可逆元である。
容易にF,Gがそれぞれ次数p,qのよい元のときFGは次数p+qのよい元である。
Rの元Fと非負整数の組p≦q≦rについて次の条件をかんがえる。
(P1)Fは次数pのよい元である。
(P2)v(T_i(F))≧r-1 (p+1≦i≦q)
(P3)v(T_i(F))≧r (q+1≦i≦r)
この条件を(p,q,r)条件とよぶ。
補題１ Fがよい元ならばFは(p,p+1,p+2)条件をみたす。
(∵)自明である。□
補題２ Fがよい元で(p,p,r)条件をみたすならば(p,r,r+1)条件もみたす。
(∵)自明である。□
- 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/21 17:54]
- 補題３ Fがよい元で(p,q,r)条件をみたし、p≦qであるならあるG∈Rで
v(G)≧r-p-1、F'=F(1-G)が(p,q-1,r)条件をみたすものがとれる。
(∵)F=∑c_iX^i (c_i∈S)とする。Fは次数pのよい元なのでc_pは
可逆元である。そこでG=(c_q/c_p)X^q-pと定める。
仮定よりw(c_q)≧r-1-qゆえv(G)≧r-1-p。
よってF'=F(1-G)が(p,q,r)条件を満足することを示せばよい。
1-Gは次数0のよい元ゆえF'は次数pのよい元である。よって(P1)は成立。
またv(F)≧pゆえv_i(FG)≧r-1 (∀i)。
さらにp+1≦i≦q-1についてFが(p,q,r)条件をみたすという仮定から
v_i(F)≧r-1であるからv_i(F(1-G))≧r-1。よって(P2)も成立。
最後に(P3)をチェックする。i=qについてはT_q(F(1-G))=0ゆえよい。
q+1≦i≦rをとる。T_i(F(1-G))=(c_i-c_(i-q+p)c_q/c_p)X^i。
p+1≦i-q+p≦r-q+pゆえw(c_(i-q+p))≧r-1-(i-q+p)≧r-i。
また仮定よりv(c_i)≧rであるのでv(T_i(F(1-G)))≧rである。
以上で(P3)を満たすことがしめされた。□
- 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/21 17:55]
- 非負整数の組について半順序≦を
(p,q,r)≦(p',q',r') iff p=p' ＆ (r＜r' or (r=r' ＆ q≧q'))
で定める。上の３補題から次が成立する。
主張４ Fが次数pのよい元であるならば非負整数の組の列
(p,q_1,r_1)＜(p,q_2,r_2)＜(p,q_3,r_3)＜･･･とRの元の列G_1,G_2･･･で
以下をみたすものがとれる。
(1) v(G_i)≧r_(n)-p-1
(2) F(1-G_1)･･･(1_G_n)は(p,q_n,r_n)条件を満たす。
(∵)補題１～補題３により帰納的にさだめていけばよい。□
このとき列((1-G_1)･･･(1_G_n)は(p,q_n,r_n))_nはCauchy列でRは完備ゆえ
極限Uが存在する。このときUが可逆であることとF'=FUがT_i(F')=0 (i≧p+1)
をみたす次数pのよい元であることは容易に確認できる。よって以下が成立する。
定理５ Fが次数pのよい元であるとき単元UをT_i(FU)=0 (i≧p+1)を満足する
ようにとれる。
さらに次の補題を利用する。
補題６ S=k[[X1･･･Xn]]のときv(F)=pである元にたいしRの座標変換φによって
φ(F)が次数pのよい元であるようにとれる。
(∵)>>317の補題□
よってこのとき次が成立する。
定理７ S=k[[X1･･･Xn]]のときv(F)=pである元にたいしRの座標変換φと
単元Uをφ(F)Uが次数pのよい元でT_i(φ(F)U)=0 (i≧p+1)を満足する
ようにとれる。
- 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/21 17:57]
- >>330
次数δの元Fにたいして(Xn)^δの係数はもし０でなければその係数は
可逆元ですが０であるかもしれません。０でないように可逆元をかける調整
だけでは不可能です。これが０にならないようにするには座標変換を
する必要がありまんもす。
- 335 名前：１３２人目の素数さん [03/07/23 07:40]
- >>331
時間が無くてまだ証明を読んでない。もうチョット待ってください。
- 336 名前：１３２人目の素数さん [03/07/23 21:52]
- 全スレがこのように機能すればなあ・・・。
- 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/23 22:20]
- 今月号の数学セミナーで森脇さんの記事によると広中さんの講義録が再版されるそうですが、
「書店で手にとってください」などとが書いてあったから、普通の出版社から出版されるのですか？
大学図書館のような一部の場所でしか手に入らないものではなく。
- 338 名前：１３２人目の素数さん [03/07/23 22:44]
- >>331
CDVRって何？ DVRが離散付値なのは知ってるが。
- 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/23 22:45]
- C=complete
- 340 名前：１３２人目の素数さん [03/07/24 07:58]
- >>331
>Rの元FがT_v(F)(F)≠0を満足するときFをよい元とよぶ。
>F=∑c_iX^iが次数pのよい元のとき
>w(c_p)=0、w(c_i)≧p-iを満足する。とくにs_pはSの可逆元である。
T_v(F)(F)≠0の意味が分からない。V(F) = i としたとき T_v(F)= c_iX^i
だから、T_v(F)(F) はc_iX^iとFの積を表すのかな？
それとs_pは何を表すのかな？
- 341 名前：１３２人目の素数さん [03/07/24 19:06]
- >>331
>以下(S,w)をCDVRとする。(wは付値イデアルでなく付値。）
>=S[[X]]に付値vを
>(∑c_iX^i)=min{w(c_i)+i}とさだめることにより(R,v)もCDVRになる。
(R,v)はDVRとはならないんだが。例えばkを体としたときk[[X, Y]]はDVRでは無い。
何故なら、DVRなら極大イデアルが単項イデアルだが、k[[X, Y]]の極大イデアルは
単項ではない。
- 342 名前：_ mailto:sage [03/07/24 19:15]
- homepage.mac.com/hiroyuki44/hankaku04.html
- 343 名前：１３２人目の素数さん [03/07/24 19:21]
- >>311
Weierstrassの定理は、未定係数法により簡単に証明出来る。
従って補題が証明できればいいんだが、君の補題の証明は良く分からん。
もう少し丁寧に、正確に証明してくれんかね。
どうも君の証明はケアレスミス(例えば記号の書き間違い)が多いし、
論理の飛躍がある。お互いの時間を無駄にしないためにも丁寧な証明を望みます。
- 344 名前：１３２人目の素数さん [03/07/24 19:25]
- 上の>>311は>>331の間違いでした。
他人の事言えんね。
- 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/25 19:55]
- ＞T_v(F)(F)≠0の意味が分からない。V(F) = i としたとき T_v(F)= c_iX^i
＞だから、T_v(F)(F) はc_iX^iとFの積を表すのかな？
＞それとs_pは何を表すのかな？
c_pはs_pの間違い。T_v(F)(F) はc_iX^iとFの積です。
v(F)=3のときa+bX+cX2+dX^3+･･･とかいたときw(a)≧3、w(b)≧2、w(c)≧1、w(d)≧0、
ですがw(d)=0、つまりdが可逆元になるときよい元とよびます。
＞もう少し丁寧に、正確に証明してくれんかね。
＞どうも君の証明はケアレスミス(例えば記号の書き間違い)が多いし、
＞論理の飛躍がある。お互いの時間を無駄にしないためにも丁寧な証明を望みます。
まあ、ミスが多いのはみとめます。けど代数専攻の学生なら十分行間うめられると思うけど。
主張はまちがいがない(と思う)からオイラの証明よむより自分でやったほうが早い思います。
というかオイラの主張
定理 Fがk[[X1･･･Xn,Y]]のv(F)=pである元のとき単元uと座標変換φとk[[X1･･･Xn]]係数の
多項式Pでuφ(F)=P、Pの最高次の係数はk[[X1･･･Xn]]の可逆元であるものがとれる。
はあなたの望むものなの？そうならもすこし詳しく書く気にもなるけど。どうなの？
これそんなに証明むずかしくないと思うんだけど。なんか勘違いしてるのかな？
- 346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/25 22:52]
- >>343
あ、なるほど。補題がおかしいと。つまり
－問題－
kを体、G=GL(n,F)、Vをk[x]のtじ斉次式のなすベクトル空間とするとき
GをVに自然に作用させたときv∈V＼{0}をとるときGv=V＼{0}か？
たしかにこれFが有限体のときあやしいっすね。たしかに証明まちがってます。
おさわがせでした。
ちなみに
＞Weierstrassの定理は、未定係数法により簡単に証明出来る。
これはどういう意味っすか？つまり
－問題－
Fがk[[X1･･･Xn,Y]]のv(F)=pである元のとき単元uと座標変換φとk[[X1･･･Xn]]係数の
多項式P(Y)でuφ(F)=Pであるものがとれる。
ならば簡単に証明できるということ？
- 347 名前：１３２人目の素数さん [03/07/26 08:24]
- >>346
Weierstrassの予備定理というのは
Fがk[[X1･･･Xn,Y]]の元でF(0,...,0,Y)が0でなければ、
uF = Y^s + h_(s-1) Y^(s-1) + ... + h_1 Y + h_0
と一意に書けるということ。ここで、uはk[[X1･･･Xn,Y]]の単元で、
h_iはk[[X_1, .., X_n]]の元。
これは、未定係数法で簡単に解ける。
私が問題にしているのは、Fがk[[X1･･･Xn,Y]]の任意の0でない元としたとき
座標変換φでφ(F)(0,...,0,Y)が0でないように出来るかということ。
これが証明出来れば、k[[X1･･･Xn,Y]]の構造はk[[X1･･･Xn]]上の多項式環
の問題に帰着できる。
- 348 名前：１３２人目の素数さん [03/07/26 08:47]
- >>347
因みに、この場合の未定係数法による証明のヒントを示します。
簡単の為に２変数のベキ級数の場合を考えます。３変数以上の場合も
記述が面倒なだけで同様です。
F(X, Y) = ∑a(i, j)(X^i)(Y^j)
u(X, Y) = ∑b(i, j)(X^i)(Y^j)
と置いて、uFをYのベキで整理したときY^n(n > s)の係数が0に
なるようにb(i, j)を決めていくことが出来ることを示せばよい。
- 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/26 12:45]
- >>347-348
昨日ねながらかんがえた。前補題
G=GL(n,K),V_t=(K[x]のt次斉次多項式のなすG加群)
とするとき任意のv∈V＼{0}に対しvx=∑c_tx^t (c_t≠0 for some t=(0,･･･,0,*)
は反例がある。
－反例－
k=(2元体)、t=3、F=xy^2+x2yとおくときFはGの作用にかんし不変である。
よってもとめる形に変形することは不可能。
ちなみにF∈k[[x,y]]=Rとみたとき任意の座標変換φとRの単元uについて
uφ(F)の３次までの項は(x,y)=(0,Y)を代入したときk[[y]]の元として０になってしまう。
ただし３次以上の項までしらべれば０でない。前補題はkが無限体のときは成立してるので
結局まとめるとこうなった。
－定理－
kを体、R=k[[x1･･･xn,y]]とし0≠f∈Rをとる。v(f)=pとするとき座標変換φと単元u∈Rを
とってuφ(F)=P(x1･･･xn,y)∈k[[x1･･･xn]][y]となるものがとれる。
さらにP=∑c_ty^t (c_t∈k[[x1･･･xn]])と表示するときあるc_tは単元にとることができる。
とくにkが無限体のときはdegP(x1･･･xn)=pであるmonic多項式をとることができる。
ところでk[[x,y]]ってDVRじゃなかったっけ？どうかんがえてもI=xk[[x,y]]+yk[[x,y]]
ってuniqueな極大イデアルにおもえるんだけど。
- 350 名前：１３２人目の素数さん [03/07/26 13:55]
- >>349
>ところでk[[x,y]]ってDVRじゃなかったっけ？どうかんがえてもI=xk[[x,y]]+yk[[x,y]]
>ってuniqueな極大イデアルにおもえるんだけど。
確かにuniqueな極大イデアルだけど、DVRではない。
DVRであるためには、それが単項イデアルであること、即ちただ一つの元で生成
されなくては成らない。
- 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/26 16:32]
- >>350
ああ、そうだった。Thx。
- 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/26 17:38]
- local ringとDVRを混同しては、いけません。
- 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 13:20]
- 基本的なことでお恥ずかしいのですが，教えてください。
「Ｈを群Ｇの部分群とする。Ｈを法とする任意の２つの左剰余類
の積が，Ｈを法とするある左剰余類となると仮定する。このとき，任意の
a,b\in Gに対して，(aH)(bH)=abHであることを示せ。」
これって明らかですか？
- 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 14:07]
- 「Ｈを法とする任意の２つの左剰余類の積」というのが
剰余群 G/H の演算という意味なら
(aH)(bH)=abH は定義であっては示すことではありません。
むしろ示すのはうまく定義できていることです。
- 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 15:01]
- >>354
お答えいただき，ありがとうございます。
G/Hが剰余群であるためには，Ｈが正規部分群である必要がありますが，
ここではＨが正規部分群であるとは仮定していません。
それにも関わらず，(aH)(bH)=abHは成り立つのでしょうか？
- 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 15:22]
- >>355
成り立つよ
- 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 15:24]
- いや、成り立たない・・・
- 358 名前：355 mailto:sage [03/07/28 15:57]
- >>356
証明を教えてくださいませ。
>>357
反例をお願いします。
- 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 20:28]
- まずaHの定義は大丈夫かい？
- 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 20:30]
- aHbH=cHとする。
c∈cH だから∃h, k∈H s.t. ahbk=c.
するとaHbH=cH=ahbkH=ahbH.
両辺に(ah)^(-1)をかけると HbH=bkH=bH.
よってaHbH=abH.
これでできてるかな。なんか自分でもすっきりしないんだけど･･･
- 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 20:38]
- >>360
きみは根本的にヤヴァイ
- 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 20:45]
- 確かにヤヴァイな・・・
- 363 名前：360 mailto:sage [03/07/28 21:05]
- やっぱり？
でも何がヤヴァイのかわかんない。
冷静にもう一回見直してみます。
- 364 名前：剋目せよ mailto:sage [03/07/28 22:31]
- ＞aHbH=cHとする。
- 365 名前：360 mailto:sage [03/07/28 22:34]
- >>364
それはない
>>353には
>Ｈを法とするある左剰余類となると仮定する。
とある。
- 366 名前：360 mailto:sage [03/07/28 22:41]
- ちゃんと証明書こうかと思ったんだけど・・・
それ以外に変なところがないならやめる
何かまだ問題ある？
- 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 22:59]
- >>366
ちょっとまづいとおもう。
＞両辺に(ah)^(-1)をかけると HbH=bkH=bH.
ここ。それよりこうやったほうがいいとおもう。
aHbH=cHとする。 ab∈aHbH=cHだからab=chとなるh∈Hがとれる。
∴abH=chH=cH。
- 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:01]
- >>353も当然おかしいのだけど、そのおかしさにそのまま乗ってしまっている。
というか>>354で終わりだと思うけど。（具体的には定義通り計算してwell defを確認するだけ）
- 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:02]
- >>367
うわぁ・・・
- 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:04]
- >>367
＞ちょっとまづいとおもう。
＞両辺に(ah)^(-1)をかけると HbH=bkH=bH.
どこがまずいの？
- 371 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:06]
- >>368
353のどこがおかしい？
- 372 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:07]
- >>367
どうまずいのかよくわかんないけど･･･
確かにそのほうが簡潔でいいね
- 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:09]
- 何を出発点にして何を示す必要があるのか
もう一度じっくり考えたほうがいいよ
出発点は独自性０でいいっていうか
むしろ０じゃなきゃ駄目なわけで
つまり教科書を読め、と
- 374 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:16]
- やっぱりちゃんと確認しながらいきますか
方針は>>367を拝借することにした。
以下Gは群、eをその単位元とする。
定義：
一般にH,K⊂Gとg∈Gに対して
HK:={hk | h∈H, k∈K}
gH:={gh | h∈H}
命題
1 h∈H、H<Gのとき、hH=H.
2 x, y∈G、H<G のとき、x(yH)=(xy)H.
主張(>>353はこれから従う)：
a,b∈G, H<Gとするとき、
あるcがあって(aH)(bH)=cHとなるならば(aH)(bH)=abHである。
証明
まずHは部分群だからe∈Hなので、ab=(ae)(be)∈(aH)(bH).
(aH)(bH)=cH の仮定により、ab∈cH.
cHの定義から
∃h∈H s.t. ab=ch. (以下h はこれを満たすものとする)
再び(aH)(bH)=cH の仮定を使うと
(aH)(bH)=(abh^(-1))H=(ab)((h^(-1))H)=(ab)H. //
- 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:27]
- 釣りじゃなさそうなんでレスするか・・
>>353
>「Ｈを群Ｇの部分群とする。Ｈを法とする任意の２つの左剰余類
>の積が，Ｈを法とするある左剰余類となると仮定する。このとき，任意の
>a,b\in Gに対して，(aH)(bH)=abHであることを示せ。」
↑この文章を素直に上から読んでいくと
>Ｈを法とする任意の２つの左剰余類の積が
と、ここですでに「集合」G/Hに積が入っていることを前提としている
ところがそもそもその積の定義というのは
>(aH)(bH)=abH （←この式を☆とする）
であって
これ自身は証明すべき対象ではない
問題というか確認すべきことは☆が定義となっているか否か（well defined）
つまり剰余類の積が類の代表元によらずに定まるかどうかを見る必要がある
それにはc,dをそれぞれa,bと同値なGの元（すなわちaH=cH,bH=dH）として
(aH)(bH)=abH ならば (cH)(dH)=abH となることを確認すればよい。
（この確認作業のときにHが正規であることが生きてくる）
つまり>>353は主張になってないわけです
- 376 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:32]
- >>375
374の定義のところに書いたのを左剰余類の定義としたのだが・・・
- 377 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:33]
- 間違い
正しくは左剰余類の積の定義
- 378 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:35]
- いや、それも違った
部分集合同士の積の定義だ
それで、二つの左剰余類を部分集合としてかけたとき
たまたまその結果がまた左剰余類になっていた、という仮定でしょ？
- 379 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:38]
- 連続でｽﾏｿ
374の命題2でHは部分群ではなくて部分集合だった
- 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:40]
- ＨＫってのはただの集合の話（演算ではない）
aH・bHってのは集合G/Hに新たに導入した積「・」の話
cがあるもないも、(aH)(bH)と表記した時点で
新しい演算を用いてるんだよ。で、その新しい演算の定義が
(aH)(bH)=abHそのものなの。
(aH)(bH)=何々=abHなんてイコールの間に何かあっちゃダメなの
- 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:44]
- あーだから見た目の親しみ易さから離れて
写像Fを
F：G/H × G/H → G/H
F(aH , bH)：=abH
と定義するって書けばいいのかな
このときFがG/H × G/H上の写像として定義されるためには
a,bによらないことを示せば良い
ってこう書いたほうがいいか
- 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:45]
- 後は他の人に任せる
- 383 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:47]
- でも、G/HはGの部分集合族でしょ？
だからaHとbHの部分集合としての積が考えられる。
その積はまたGの部分集合になるが、
それがある左剰余類に一致していたと仮定している。
だからそれをcHとおいた。
それで何がまずいのかよく分からない。
そもそもG/Hの演算なんて始めから考えていない。
- 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:50]
- 群論というより、同値類や商集合のお勉強からしたほうがよいのでは？
- 385 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:52]
- わかった
>>375の
>>Ｈを法とする任意の２つの左剰余類の積が
>と、ここですでに「集合」G/Hに積が入っていることを前提としている
ここが間違い。
- 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:53]
- そもそも、どういう文脈で出てきたの？
教科書名は？
- 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:53]
- >>383
他の人に任せると言ったが、こんなレスを見ては・・・
嫌味じゃなく本当に勉強し直したほうがいい
ルールを知らず参加してもしょうがない
能力の問題ではなく参加する姿勢の問題
- 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:55]
- あのね、集合が二つあったときに自然に積が考えられるなんて
どの数学の本にも載ってないと思うよ
- 389 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:59]
- >>375
あと
>ところがそもそもその積の定義というのは
>>(aH)(bH)=abH （←この式を☆とする）
>であって
ここもたぶん違う
>>388
Euclid空間では普通に部分集合の和を考るし
一般の群でも正規部分群の積なら考えられる。
そのアナロジーで>>374のように定義するのは自然だと思ったんだけど･･･
自然かどうかは感覚の問題だからあまり拘ることじゃないかもしれないが
- 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 00:01]
- >>388は>>383に対するレスね
- 391 名前：360 mailto:sage [03/07/29 00:08]
- まあ、一般の部分集合の積を考えることを否定するというのなら
>>353の質問が意味をなさないという主張は当然だと思うけど、
そういう考え方は全く思いつかなかったもので。
あとはもう質問者本人が登場してくれないとしょうがないですな。
- 392 名前：360 mailto:sage [03/07/29 00:16]
- 今線形代数のプリント見たら
群Gの部分集合S, Tが与えられたとき、Gの部分集合STを
ST={st; s∈S, t∈T}
と定義する。
と書いてあった。
これが頭のどこかにあったのかな。
- 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 00:17]
- >>388
群の場合は？Ｇを群としてＨ，Ｋをその部分群としたら
ＨＫは自然に積を考えるでしょ。
- 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 04:01]
- 非常にどうでも良い事で盛り上がってるな・・・
- 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 08:24]
- 4次の対称群 S_4 を考えたときに、その位数は 4! = 24 あると思うのですが、
4 はその対称群にとって、何という名前の数ですか？
次元?次数?
英語では何というのでしょうか？
- 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 08:57]
- >>395
たぶん次数でいいと思う
英語ではdegree
- 397 名前：360 mailto:sage [03/07/29 11:47]
- レス読み返して勝手に纏めてみる
群Gのべき集合P(G)には元同士の積全体のなす集合として積が入る。
これによりP(G)は半群となる。
このとき>>353の問題は、G/HがP(G)の部分半群ならばその積は
通常の剰余類群の積(aH)(bH)=abHとなることを示せ、と読める。
漏れはここまでは暗黙の了解とみなして言及せず、>>360を書いた。
>>361以降でそれはおかしいという人が出てきた。
彼（等？）の主張はそもそもP(G)に演算など自然には入らず
>>353は問題として成立してしないというものだったようだが
漏れは彼等も上記の読みを了解していると思い込んでいたので
話がまったくかみ合わなかった。
こんなところか。
しかし>>383とか>>389とか、かなり必死だなｗ
- 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 13:10]
- で、結論は？
- 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 15:03]
- >>396
どうも。
degree っぽいですね。
- 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 22:32]
- >>397
Hがnormalじゃないときの
(aH)(bH)∈G/H の証明をおながいします
- 401 名前：３６７ mailto:sage [03/07/29 22:34]
- なんかすごいことになってるね。
「Ｈを群Ｇの部分群とする。Ｈを法とする任意の２つの左剰余類
の積が，Ｈを法とするある左剰余類となると仮定する。このとき，任意の
a,b\in Gに対して，(aH)(bH)=abHであることを示せ。」
ともかくさ。この文章が要求してることは
∃c (aH)(bH)={xy|x∈aH,y∈bH}=cH⇒cH=abH
を示せっていってるとしか思えないけどね。つまりまあ、>>397さんのいうとおりなんだが。
“問題文中に(aH)(bH)の定義がない！”とかいえないこともないけどこれはさすがに
{xy|x∈aH,y∈bH}以外かんがえられないし左剰余類といえばcHの形にかけるGの部分集合と
いうのが一般的解釈だろう。たとえばこれが定期試験ででてできなかったとき
さっきみたいないちゃもんつけてもふつうとりあってもらえんだろな。
- 402 名前：360 mailto:sage [03/07/29 22:34]
- >>400
？？？
それは一般には成り立たないでしょ
- 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 23:48]
- >>401
＞＞両辺に(ah)^(-1)をかけると HbH=bkH=bH.
ここのどこがまづいの？
- 404 名前：３６７ mailto:sage [03/07/30 00:01]
- >>403
いや、いま読みなおしたら問題なかった。へんないちゃもんつけてｺﾞﾒｿ。
- 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 00:13]
- そろそろその話は止めない？簡単な問題だけど、口直しになる事を期待。
（問）Gを有限群、Hを部分群とし、a,b,c∈Gを固定する。
double cosetsをHaH=∪_iHa_i, HbH=∪_jHb_j, HcH=∪_kHc_kと表す時、
#{(i,j)|Ha_ib_j=Hc_k}はa,b,cに依存する事を示せ。
- 406 名前：訂正 mailto:sage [03/07/30 00:14]
- a,b,cに「のみ」依存する
- 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 02:09]
- >>402
ではもう一つ
集合Ａが半群であることの定義は？
- 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 02:14]
- ３６０と３６７は本当にもう一度勉強したほうがいいよ
数学の方法論がわかってないから
- 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 02:29]
- まだわかってないのがひとりいるね。
- 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 02:58]
- >>408
オマエガナー
- 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 08:48]
- >>360 >>367のほうがまともだね。彼らがおかしいと言ってるやつらは
「剰余群の定義」の話と混同してるんだろ。それで「漏れはちゃんと定義しって
るもんねー」見たいな感じでいい気になってるんだろ。
>>408がその口の代表！
最初の問題（>>353）よく読め！
- 412 名前：１３２人目の素数さん [03/07/30 11:01]
- >>353
貴方の主張は、NがGの正規部分群のときのみ成立します。
『Gを群、Hをその部分群、{a,b,…}をHを法とする左完全代表系とする。
このとき、代表系の任意の元a,b に対して aH・bH = abH が成り立つならば、
H はG の正規部分群である。』
証明） 上の関係式より (b~Hb)H ＝ H を得る。（但し、b~はｂの逆元を表す)
H は G の部分群より、b~Hb は H に含まれる。これより、代表系の元は
Hの正規化群の元であることがわかる。
次に、Gの任意の元ｇを取ってきて、ｇ＝ah とする。（すなわち、
ｇはHを法とするaのcoset の元とする） このとき、
g~Hg = (ah)~ H(ah) = h~a~Hah = h~Hh = H .
よって、ｇもHの正規化群N(H)の元となり、G=N(H) といえる。これは、
H は G の正規部分群であることを示している。
メデタシ、メデタシ！！ (完）
- 413 名前：360 mailto:sage [03/07/30 11:11]
- >>407
写像f:A×A -> A で任意のa,b,c∈Aに対して
f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))
を満たすものが与えられていること
まさかP(G)にそんな写像が与えられてないなんて言うんじゃなかろうな
- 414 名前：360 mailto:sage [03/07/30 11:15]
- >>412
>貴方の主張は、NがGの正規部分群のときのみ成立します。
その言い方は変では？むしろ
「G/HがP(G)の部分半群となることとHが正規であることが同値」
とか
｢主張が成り立つならばHは正規である｣
とでも言うべきだと思うのだけど。
- 415 名前：１３２人目の素数さん [03/07/30 11:16]
- >>353
明らか。
aH・bH ∋ab
仮定および上記より、aH・bH はabを含む左剰余系になる。
∴ aH・bH = abH
- 416 名前：360 mailto:sage [03/07/30 11:22]
- >>415
あ、ほんとに明らかだ
すっきりしますた
- 417 名前：４１２ [03/07/30 11:24]
- 訂正：１行目のNは、H の間違えです。どうもすみません。
- 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 11:39]
- お馬鹿な人達も増えてきたんでそろそろちゃんとした話を書きましょうか
G/H は一般にただの集合で、この集合の元 (aH)(bH) の積が G/H において閉じている
ためには H が正規部分群であることが必要十分。奇しくも >>402 において自分自身で
それを示しているのだが。ところで >>397 や >>374 などでは G/H を半群と仮定しているので、
実はその時点で H を正規部分群としているわけである。
ここで「 H が正規部分群である＝任意の a∈G に対して aH=Ha （※）」に注意
集合 G/H は H が正規部分群のときに限って、積 (aH)(bH) が再び G/H に属する
（積が閉じている）ので、このとき G/H に群構造を入れることができる。その積の定義が
(aH)(bH)=abH である。
ここで問題なのは積が well defind かどうかということのみ。 Hが正規部分群なので、集合と
して aHbH=abH なのは当たり前。実際 ahbh'∈aHbH とすれば、（※）よりある h''∈H があって
hb=bh'' となるから ahbh'=abh''h'∈abH 。逆も同様で abh∈abH に対して bh=h'b となる h'∈H
があるから abh=ah'b∈aHbH 。
（３６０派は一生懸命 aHbH=abH を計算していたが、Hの正規性を認識できていれば
こんなのは当然のこととすぐわかったはず）
また積が G/H 上で well defind であることを見るには、aH=cH , bH=dH である c , d に対して
c'HdH=abH となることを確かめれば良いが、これも H の正規性を用いればすぐわかる。
結局問題だったのは G/H の積が閉じているとはどういったことなのか
また G/H に群構造を入れるときには何を見ることが大事なのか
という非常に基本的な事柄である。
これがわかってないから >>353 を変に解釈して元々当たり前のことを
問題として設定してしまい、必要のない計算までしてしまう。
夏休みなので教科書を初めから読むなりして下さい。
- 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 11:46]
- >>397
＞このとき>>353の問題は、G/HがP(G)の部分半群ならばその積は
＞通常の剰余類群の積(aH)(bH)=abHとなることを示せ、と読める。
G/Hが半群＝積について閉じてる＝Hが正規＝剰余集合は剰余群
となるのだから↑の２行目は同じことを言ってるっていうか、すでに１行目に答えを含んでる
- 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 11:47]
- この場合は半群であることはイコール群ね
- 421 名前：360 mailto:sage [03/07/30 11:47]
- >>419
だからそれを証明しろという問題でしょ
|
 |
