- 412 名前：１３２人目の素数さん [03/07/30 11:01]
- >>353
貴方の主張は、NがGの正規部分群のときのみ成立します。
『Gを群、Hをその部分群、{a,b,…}をHを法とする左完全代表系とする。
このとき、代表系の任意の元a,b に対して aH・bH = abH が成り立つならば、
H はG の正規部分群である。』
証明） 上の関係式より (b~Hb)H ＝ H を得る。（但し、b~はｂの逆元を表す)
H は G の部分群より、b~Hb は H に含まれる。これより、代表系の元は
Hの正規化群の元であることがわかる。
次に、Gの任意の元ｇを取ってきて、ｇ＝ah とする。（すなわち、
ｇはHを法とするaのcoset の元とする） このとき、
g~Hg = (ah)~ H(ah) = h~a~Hah = h~Hh = H .
よって、ｇもHの正規化群N(H)の元となり、G=N(H) といえる。これは、
H は G の正規部分群であることを示している。
メデタシ、メデタシ！！ (完）
