- 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/26 12:45]
- >>347-348
昨日ねながらかんがえた。前補題
G=GL(n,K),V_t=(K[x]のt次斉次多項式のなすG加群)
とするとき任意のv∈V＼{0}に対しvx=∑c_tx^t (c_t≠0 for some t=(0,･･･,0,*)
は反例がある。
－反例－
k=(2元体)、t=3、F=xy^2+x2yとおくときFはGの作用にかんし不変である。
よってもとめる形に変形することは不可能。
ちなみにF∈k[[x,y]]=Rとみたとき任意の座標変換φとRの単元uについて
uφ(F)の３次までの項は(x,y)=(0,Y)を代入したときk[[y]]の元として０になってしまう。
ただし３次以上の項までしらべれば０でない。前補題はkが無限体のときは成立してるので
結局まとめるとこうなった。
－定理－
kを体、R=k[[x1･･･xn,y]]とし0≠f∈Rをとる。v(f)=pとするとき座標変換φと単元u∈Rを
とってuφ(F)=P(x1･･･xn,y)∈k[[x1･･･xn]][y]となるものがとれる。
さらにP=∑c_ty^t (c_t∈k[[x1･･･xn]])と表示するときあるc_tは単元にとることができる。
とくにkが無限体のときはdegP(x1･･･xn)=pであるmonic多項式をとることができる。
ところでk[[x,y]]ってDVRじゃなかったっけ？どうかんがえてもI=xk[[x,y]]+yk[[x,y]]
ってuniqueな極大イデアルにおもえるんだけど。
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