- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto: [03/01/25 00:45]
- について語りましょう。
- 830 名前：１３２人目の素数さん [04/01/20 02:40]
- R^n上の凸集合の境界をA、R^n上のルベーグ測度をμとおくとき，
μ(A)=0
となりますか？
なるのならどういう方針で証明すると思いますか？
- 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/20 17:40]
- >>830
eps^n の小箱で覆う方法が最初に思い浮かびますが
これでは証明できない簡単なありますか？
- 832 名前：１３２人目の素数さん [04/01/20 22:59]
- >>831
それって有限個の小箱で覆うのですか？
また、どのような定理から覆えることが補償されるのでしょうか？
- 833 名前：１３２人目の素数さん [04/01/25 13:27]
- age
- 834 名前：１３２人目の素数さん [04/01/25 20:15]
- L^2(Ω)の定義をおしえてくらさい。
- 835 名前：１３２人目の素数さん [04/01/25 20:58]
- うん？ルベーグ？なつかしい。
- 836 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU mailto:sage [04/01/25 21:21]
- >>834 （・３・）工エェー
Ｌ²（Ω）が定義できるためには、前提として、Ωには可測集合と測度が定義されていることが必要だＹｏ。
（Ω，Ｂ，μ）がこの測度だとするＹｏ。
ＫはＲまたはＣとし、ｐ≧１とするとき、
Ｌ＾ｐ（Ω）：＝｛ｆ：Ω→Ｋ｜ｆはＢ可測∧∫_Ω|ｆ|＾ｐｄμ＜∞｝
だＹｏ。
- 837 名前：834 [04/01/25 21:29]
- >836 ｔｈｘ。
一応自分なりにも調べてみました。
測度空間Ｘ上の可測関数 f(x) が
∫ |f(s)|^p dx < ∞
Ω
を満たすとき f(x) はＬp(Ω)に入るという．ただし，1≦p＜+∞ である.
こんな感じでいいですかね？
- 838 名前：１３２人目の素数さん [04/01/25 21:33]
- パロマ湯沸器は世界初の不完全燃防止装置を開発。以来今日まで、25年間不完全燃焼無事故！！
www.paloma.co.jp/products/kettle/kettle.html
の謳い文句を見て中古の湯沸し器を買った漏れなわけだが・・・ 今のところ快適ﾓﾅｰ
- 839 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU mailto:sage [04/01/25 22:29]
- >>837
誤字を除けば、それでいい。
＞測度空間Ｘ上の可測関数 f(x) が
⇒測度空間Ω上の可測関数 f(x) が
＞∫ |f(s)|^p dx < ∞
⇒∫ |f(x)|^p dx < ∞
等
ちなみに、Ωの測度がμのとき、∫|f(x)|^p dx は、μを明示して ∫｜ｆ｜＾ｐｄμ、∫｜ｆ（ｘ）｜＾ｐｄμ（ｘ） 等と書く方が無難
- 840 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E mailto:sage [04/01/25 22:30]
- フーリエ・ラプラス変換と演算子法、微分方程式での応用ついて、
コンパクトで原理的な解説の教科書って無いですか？テストまじかなので。
- 841 名前：１３２人目の素数さん [04/01/26 21:46]
- スペクトル定理わからん。なにが言いたいんだ。
- 842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/26 22:40]
- スペクトルマン 変身せよ
- 843 名前：１３２人目の素数さん [04/01/27 00:46]
- 空手踊り
- 844 名前：１３２人目の素数さん [04/01/27 11:04]
- >>839
積分における測度の明示の仕方って、
∫ |f|^p dμ、 ∫|f(x)|^p dμ(x)、 ∫|f(x)|^p μ(dx)
のどれがbestと思う？
- 845 名前：１３２人目の素数さん [04/01/27 11:29]
- >>840
本当の意味で「原理的な」解説はみたことない。（だから自分でまとめようとした
ことはあるが）
テストのレベルならまあ適当でもいいんだろうけどさ…
漏れの認識はこうなので↓
・フーリエ変換とラプラス変換は実は同じ（実軸上のξで定義されたフーリエ変換
を上半平面に解析接続したものがラプラス変換）
・フーリエ展開とローラン展開は実は同じ（単位円の周上で定義されたξを内部
に解析接続）
・ミクシンスキー演算子法と漸化式（差分方程式）の生成関数法は実は同じ
・微積分法と和差分法（組合せ解析）は実は同じ。ラプラス変換とＺ変換（生
成関数法と同値）が対応し、超関数のレベルまでいくと演算子法（ミクシンス
キーはもちろん、線形微分方程式の一般解を求める演算子法）やグリーン関数
のレベルまですべて対応
・上記全ては同じ原理で統一できる
- 846 名前：１３２人目の素数さん [04/01/27 11:50]
- >>841
有限次元の場合を理解すればいい。
線形作用素というのは、無限次元線形空間の上の線形写像だから、有限次元線
形空間の場合は行列のことになる。
単純な場合、対称行列（orエルミート行列）Aは、固有値をλ1,…,λn, 各固
有空間への射影行列をP1,…,Pnとすると、A = λ1P1 + … + λnPn とあらわせる。
これがスペクトル展開。
ちなみに、適当な境界条件をつけた関数空間で、ベクトルと思った関数を「直交基
底」sinnx,cosnxで成分表示したのがフーリエ展開だが、二階微分作用素A=d^2/dx^2
が（適切な設定のもとで）「エルミート」になり、その固有値nの固有空間が{sinnx,
cosnx}になる。フーリエ展開と二階微分方程式の相性がいいのは、作用素の「対角
化」になってるから。
（細かい問題はいろいろあるが、認識論だけなら小針「確率・統計入門」（岩波）の
真中へんに「フーリエ変換」という短い解説がある。あと、志賀30講シリーズ
の「固有値問題」あたりもわかりやすい。）
- 847 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/01/27 17:07]
- Re:>>837
それはp乗可積分の説明でしかない。
L^pというのは、p乗可積分関数全体のなす集合の、{殆ど至る所0となる関数}による類別によって定義される。
どうしてこんな面倒なことをするかと云うと、L^pにノルムの構造を入れたいからだ。
L^pの元[f]の代表元をfとするとき、汎関数
||[f]||_p=(∫|f|^pdμ)^(1/p)
によってノルムが与えられる。同値類をとらないと、セミノルムにしかならない。
(ちなみに、通常はL^pの元は同値類らしい書き方がされていない。通常の関数と同じに書くことが多い。これは初心者が引っかかるところだ。)
- 848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/28 00:12]
- ほとんどいたるところ一致する関数を同一視するのって、ルベーグ測度論やったあと
ではかなり自然に思えるけど、リーマン積分できない関数として有名な、[0,1]の有理
数全体の定義関数（有理数で1,無理数で0）も、なんのことはない、いたるところ0と
いう連続関数と同値になってしまうんだよね。
初学者の頃ってこういうあたりの感覚的理解があいまいだったりするかも。
- 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/28 15:19]
- 伊藤清三の『ルベーグ積分入門』の定理4.2(p.19)の証明って
かなり飛躍がありませんか? 特に(第3段)のところで(4.21)式
を満足する区間J_nの存在は、I_nが非有界かつm(I_n)が有限な
場合には自明ではないと思う。右連続性とmの定義を使ってここ
を詰めるのは結構面倒な気がする。
- 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/29 00:08]
- >>849
>かなり飛躍がありませんか? 特に(第3段)のところで(4.21)式
>を満足する区間J_nの存在は、I_nが非有界かつm(I_n)が有限な
>場合には自明ではないと思う。右連続性とmの定義を使ってここ
>を詰めるのは結構面倒な気がする。
なんで？ あるνで、区間の左は議論に関係ないから∞でも問題なく、区間の右が∞のと
きはそのまま同じ∞。したがってν成分については同じ区間のままだが、測度も同じま
まだからべつにかまわない）。
- 851 名前：１３２人目の素数さん [04/01/29 02:44]
- >>849
飛躍はないと思うけど、伊藤清三のこの部分の運びは気に入らないな。
この定理（定理4.2）はユークリッド空間のルベーグ測度構成の基本部分（一般に、
有限加法族F上の測度mが完全加法的ならば、mをFの生成する完全加法族σ(F)上の
完全加法的測度に拡張できるので、ユークリッド空間の場合は区間塊が作る有限
加法族F上で普通の体積mがF上完全加法的であることを示すことが基本になる）。
（なお、この証明にはどうしても(4.21)式＋有界閉集合のコンパクト性が必要で、
その部分がもっとも本質的。コンパクト概念のひとつの起源にもなった。）
それを、最初から非有界な区間塊を扱い、しかもいきなりスティルチェス測度の場合でや
るものだから、証明がいたずらに長くなってて、本質が見えにくい。
第一に、mが有限加法的測度であるとき
「mが完全加法性をもつ ⇔ mが完全劣加法性をもつ ⇔ mが完全被覆劣加法性をもつ」
で、これらは一般論で簡単に言えるので、そのことは分離したほうが見通しがいいの
に、伊藤清三は定理4.2の中でまとめてやっている。
（(第3段)をみると分かるように、結局は完全被覆劣加法性を示す。）
第二に、有限加法族Fとして有界な区間塊だけ考えても、どうせσ(F)は同じボレル集
合族になるのに、なぜわざわざ最初から非有界を含めて話を面倒にするのかがわからん。
- 852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/29 09:53]
- >>850
> なんで？ あるνで、区間の左は議論に関係ないから∞でも問題なく、区間の右が
> ∞のときはそのまま同じ∞。したがってν成分については同じ区間のままだが、
> 測度も同じままだからべつにかまわない）。
m(I)はIが非有界な区間の場合には、それに含まれる有界区間Jに
ついてのm(J)の上限として定義されているのだから、Iが有界で
ない場合にもm(I)が成分毎の積で表されることが示されてなければ、
この成分に関する議論は通用しないでしょう。
- 853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/29 13:23]
- 続き。で、あるνについて区間左端が-∞、右端が実数b_νのとき、
その成分について、f_ν(b_ν) - inf f_ν(x)がf_νの単調増加
から出てくるわけだけど、やっぱり一言欲しいというのが感想です。
- 854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/29 15:11]
- >>852
ああなるほど。Iが非有界な場合のm(I)を、成分ごとのsupの積として定義してあれば
よかったのかな。
あるいは伊藤の定義とこの定義が同値であることを先に示しておくとか。
教科書は注意して書かないと非本質的なところでひっかかられるものなのだなあと
いう感想を持った。（非本質的部分だからこそ深く考えずに書いてしまうわけだが。）
- 855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/29 15:23]
- 折れの思い出。講義でルベーグ測度→ルベーグ積分のあと、変数変換公式の証明が
あった。ヤコビアンがかかるやつ。で、その証明中で平行四辺形の面積が行列式で
表されることを自明として使っているのが気になった。解析概論でその証明を調べ
ると、平行四辺形の面積の定義を底辺×高さとして証明していた。
しかし傾いた平行四辺形の面積のルベーグ測度は、座標軸に平行な長方形の合併
（区間塊）で覆って、その面積の下限で定義するんじゃなかったか？ とすると、
その定義と初等的な面積の定義が一致することの証明が先に必要では？
そのあたりの論理的整合性を深く考え始めるとだんだん混乱してきたので、講義
の先生に質問してみたが、「それは確かにそうだ」というだけで、具体的なことは
教えてくれなかった。「やればできる」が「たいしたことではない」ので「面倒」
だったのだろう。いまはわかる。
（有名な話として、lim(x→∞)(sinx/x)の証明は へたすると循環論法になるが、
それと似たようなものか）
- 856 名前：855 mailto:sage [04/01/29 15:26]
- 訂正。lim(x→0)(sinx/x) ね。寝ぼけてる…
- 857 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU mailto:sage [04/01/29 21:45]
- （・３・）
伊藤先生のLebesgue積分入門はとても良い本だと思うが、可測関数の説明は晦渋だ。可測関数を普通に
ｆ：（Ω，Ｂ）→（Ω’，Ｂ’）が可測 ⇔ ∀Ａ∈Ｂ’ ｆ＾（－１）（Ａ）∈Ｂ
と定義すれば、後の記述で結構簡単化できるところが各所ある。
伊藤先生は、なぜこの様な記述方法にしたのだろうか。
- 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/30 00:29]
- >>857
たしかに伊藤流（測度→積分）ではそのほうがスマートな気がする。
基礎的な部分がところどころ洗練されてないような…。
（ちなみに漏れが気に入っているのは岩波「現代数学概説２」。）
まあ積分の導入をどうやるかによって、可測関数の定義はベストな選択が変わるとは思うが。
（>>717の(1)-(5)すべてのパターンが実際にある。）
- 859 名前：ド素人 mailto:sage [04/01/31 21:50]
- 関数解析とルベーグ積分にどういう関係があるのですか？
- 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/31 22:09]
- ルベーグ積分だと話が上手くいく。
- 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/01 01:26]
- 積分で距離を定義した距離空間が完備になるというのが関数解析におけるルベーグ
積分の最大の意義かな。
- 862 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [04/02/04 04:31]
- 高村多賀子’函数解析入門’なかなかイイと思って購入したが、
なんとｐ25に、’ルベーグ積分を仮定しないわれわれの立場’などと言う
台詞が。この本の位置付けってどうなんでしょう？
結構レベル高めと思って買ったが、そう思ったのは実は俺だけ？
あと、この本のスレを立てるか上げて欲しいんだが、見つからない。。。。。。
- 863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/04 04:42]
- 君いつも本ばっか買ってるね。
- 864 名前：１３２人目の素数さん [04/02/04 15:18]
- >>862
その本の専用スレなんて需要ないだろ。
- 865 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/02/04 15:53]
- Re:>>862
吾は「測度論を介さずにルベーグ積分に類する演算を定義できる。」という話を知っている。
(Rietz(スペルが怪しい。)が導入した積分論らしい。)
- 866 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/02/04 15:54]
- RietzじゃなくてRieszだった。
- 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/04 22:06]
- 福田和也はちょっとねじゆるんでるとおもう。
- 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/05 01:38]
- で、結局さ、どのルベーグ積分を勉強するにはどの本がいいのさ？
伊藤清三よりいい本ってあるの？
- 869 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E mailto:sage [04/02/05 03:03]
- ３０講→伊藤でいいはず。俺はそうした。
- 870 名前：１３２人目の素数さん [04/02/16 22:07]
- リーマン積分は短冊をうーんと増やして足してるから
完全加法的測度ではないの？
DQNでスマソ・・・
- 871 名前：１３２人目の素数さん [04/02/16 22:36]
- >>861
それは違うだろ。抽象的な空間でも、測度空間ならなんでも
統一的に積分論が展開できることが ルベーグ積分の強みだろう。
>>869 「３０講→伊藤でいいはず。俺はそうした。 」
嘘だろ。その程度ですむのか？その程度ですむような
範囲でしか使わないなら構わないが。
伊藤清三は基本中の基本。あれは本当に基本的なことしか
書いてないから、あれだけで十分だと思ったら大間違いですよ。
- 872 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU mailto:sage [04/02/16 22:58]
- >>870
そういうこと。リーマン測度は、有限加法的測度。
- 873 名前：870 [04/02/16 23:57]
- >>872
レスありがとうございます。自分の表現がわるかったです。
リーマン積分は、短冊をうーんと（無限個まで）
増やしたのを足しているから完全加法的ではないかと思うのですが・・・。
ということなんです。
どうやらこの解釈は違うのですね・・・
- 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [04/02/17 00:48]
- あげ
- 875 名前：870 [04/02/17 06:21]
- リーマンは最初に有限個で覆ったのち、それを無限まで飛ばしてるだけだから有限加法的測度。
（だから[0,1]の有理数点は最初に有限個で覆えず、外測度と内測度が一致しない｡）
ルベーグはいきなり最初から加算無限個で覆えちゃう。これが完全加法的。
ということか！
間違ってたら指摘お願いします｡一人でうだうだすみません。
- 876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/17 10:16]
- >>875
いいんでない。
- 877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/17 11:42]
- >>871
>それは違うだろ。抽象的な空間でも、測度空間ならなんでも
>統一的に積分論が展開できることが ルベーグ積分の強みだろう。
それはどっちかっていうと関数解析における意義というより、確率論における意義だ
ろう。汎関数積分にしても確率論的色彩が強いし。
関数解析で抽象積分が要ることはないではないけどさ。（連続スペクトルの積分とか）
- 878 名前：１３２人目の素数さん [04/03/04 16:52]
- ２つ質問させていただきます。
(A)
「ほとんどいたるところで成立する」の定義が本によって違うのですが、
どちらが正しいのでしょうか?
測度空間(X,F,m)上で定義された可測関数列fn(x)がm-a.e.x∈Xで関数f(x)
に収束する、すなわちlim(n→∞)fn(x)=f(x) m-a.e.x∈Xを例に挙げます。
(1)A={x∈X:lim(n→∞)fn(x)≠f(x)}とおくと、m(A)=0が成り立つ。
(2)m(E)=0を満たすある集合E∈Fの点を除くすべての点x∈Xで
lim(n→∞)fn(x)=f(x)が成り立つ。
A⊂Eかつm(E)=0なので、Aがm-零集合であることが分かります。
(2)においては、(X,F,m)が完備測度空間またはf(x)が可測関数でなければ、
m(A)=0であることは言えないと思います。
そこで、次の質問です。
(B)
測度空間(X,F,m)上で定義された可測関数f(x)がm-a.e.x∈Xで関数g(x)に
等しい時、すなわちf(x)=g(x) m-a.e.x∈Xである時、
g(x)は可測関数である。これは正しいのでしょうか?
(B)に関しては、正しければ証明をお願いしたいです。
「測度空間(X,F,m)上で定義された可測関数f(x)が各点で関数g(x)に
等しい時、g(x)は可測関数である。」は証明済みとします。
- 879 名前：878 [04/03/05 14:33]
- 追加です
｢ただし、(X,F,m)は完備測度空間でないものとします｣
- 880 名前：１３２人目の素数さん [04/03/05 14:59]
- >>877 ちゃうちゃう全然。関数解析だろうが確率論だろうが
関係ない。
汎関数積分？確率積分のことか？確率積分は
ルベーグ積分が前提だぞ。
連続関数の空間の上で積分するにはルベーグ（式）積分が必要だぞ。
関数解析での「抽象積分」ってなに？
連続スペクトルの積分？「スペクトル測度」による
ルベーグ（式）積分のことか？
ボホナー積分は関数解析では必須。その基礎となるのは
ルベーグ（式）積分論だよ。
- 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/05 15:04]
- 880は知識が狭いんとちゃう？
- 882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/05 15:31]
- >>878
(A)について
(1)の集合Aは、（測度空間が完備でなくとも）fnが可測関数ならば可測になる
ので、どちらの定義でもよい。
理由： A = ∪[ε>0] ∩[N≧1] ∪[n≧N] {x∈X ; |fn(x) - f(x)| >ε }
と書けることに注意すればわかる。（ε>0のところは、εn→0となる適当な可
算列で十分であることにも注意）
(B)について
測度空間が完備でない場合、成り立たない。
反例：Eを零集合とし、Eの部分集合で非可測なものをE'とする。gとしてE'の
定義関数をとれば、gは可測関数f≡0とX-Eで一致するが、非可測関数である。
測度論の理解を深める役に立つ良い質問と思いますが、ひとつだけ気になった
記述：
>「測度空間(X,F,m)上で定義された可測関数f(x)が各点で関数g(x)に
>等しい時、g(x)は可測関数である。」は証明済みとします。
各点で一致する関数というのは完全に同一物だから、「証明」するまでもなく
自明では？
- 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/05 15:45]
- (A)については
(1)のAは確かに可測でない場合がある。
m(A)=0というのは、
Aが可測であってさらにm(A)=0だといってるんだと思う。
これが成立すればf(x)は可測関数でもある
(2)のほうが普通の定義だと思うね
(2)が成立してもf(x)が可測関数とはいえないから、弱い定義。
P(x) a.e.の意味を普通は
m({x:P(x)でない})=0
ではなくて
∃A:可測集合 m(A)=0かつx∈AでないときP(x)が成立
と定義するのと同じこと
- 884 名前：１３２人目の素数さん [04/03/05 17:33]
- >>881
理由は？
- 885 名前：１３２人目の素数さん [04/03/05 17:43]
- ８８１ 君の知識を披露してくれ。何も知らないと思うが。
- 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/05 18:00]
- >>883は>>881と逆の主張をしている？
＞(1)のAは確かに可測でない場合がある。
＞(2)が成立してもf(x)が可測関数とはいえないから、弱い定義。
証明というか例キボン。
- 887 名前：886 mailto:sage [04/03/05 18:01]
- 間違えた
>>883と>>882の話ね
- 888 名前：883 mailto:sage [04/03/05 18:53]
- (1)はコピペですまぬが
Eを零集合とし、Eの部分集合で非可測なものをE'とする。fとしてE'の
定義関数をとれば、f≡0とX-Eで一致するが、非可測関数である。
さらに、fn≡0 on X とすれば
A={x∈X:lim(n→∞)fn(x)≠f(x)}={x∈X:0≠f(x)}=E'
なのでAは可測ではない。
というか>>882 が同じこと書いてる気がする
一方、(2)はこの場合でも成立する
- 889 名前：883 mailto:sage [04/03/05 18:58]
- ＞これが成立すればf(x)は可測関数でもある
ｽﾏｿ、これは嘘だ釣ってくる
- 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/05 20:20]
- なんかややこしくなってきたので、事実をまとめよう。
・fnが可測関数ならば、f=limfnも（存在する限り）可測関数である。（cf.伊藤清三 定理10.6）
・fn,fが可測関数ならば、A={x∈X:lim(n→∞)fn(x)≠f(x)}は可測集合である。cf.>>882
・fnが可測関数でも、fが可測関数でないならば、Aは可測集合とは限らない。cf.>>888
・P(x) a.e.の定義は、通常「∃A:可測集合 m(A)=0かつx∈AでないときP(x)が成立」とする。
・f=limfn a.e.を考えるときはfはX-E上でのみ定義されたものと考えるようである
（たとえば伊藤でegoroffの定理10.9の記述を、>>888の例を念頭において読むとよくわかる）。
伊藤のように「fとfnを別々に与える場合はつねに各点収束で考え、a.e.収束におい
てはfはlimfnにより定義された場合だけ考える」ようにして議論できるので、これで
問題はない。（一番上の主張のfは各点収束で定義されていることに注意）
しかしそれだと、「fとfnをX上の関数として別々に与えてa.e.収束を問題にする」よ
うな場合の記述が不便ではある。
P(x)a.e.を「A={x;P(x)が成立しない}とおくときAが可測でm(A)=0」と定義したほう
が本当はすっきりするように思うがどうだろう。（この定義だと>>878の質問(B)も真
になる。）
- 891 名前：883 mailto:sage [04/03/05 21:16]
- ＞この定義だと>>878の質問(B)も真になる。
漏れも一瞬そう思ったが、それは間違ってる。
例えば、B,C を互いに交わらない非可測零集合で、B∪Cは可測集合とすると
0=χ_B(x)-χ_C(x) a.e.
だけど、右辺は可測関数ではない
- 892 名前：890 mailto:sage [04/03/05 21:35]
- >>891
おおなるほど、おっしゃる通り。
- 893 名前：878 [04/03/06 02:56]
- 質問のお答えありがとうございます
>>882
(A)について
>(1)の集合Aは、（測度空間が完備でなくとも）fnが可測関数ならば
可測になるので、どちらの定義でもよい。
少し分かりづらかったかもしれませんが、f(x)が可測関数であるという
条件は付けていません。したがって、｢(1),(2)のどちらの定義でもよい｣
となるためには、｢f(x)が可測関数である，あるいは(X,F,m)が完備測度
空間である｣でないといけませんよね?
(B)について
>測度空間が完備でない場合、成り立たない。
その通りだと思います。
逆に、測度空間が完備な場合は成り立つと思います。
>各点で一致する関数というのは完全に同一物だから、「証明」するまでも
なく自明では？
すいません。少しぼけてました。
実は(B)のf(x)の部分はlim(n→∞)fn(x)だったのですが、勝手にf(x)に
変えたら、自明になってしまいました。
>>883
そう、(2)の方が弱い定義なんだよなあ。
だから、(2)を定義とするときは、上にも書いたように、｢f(x)が
可測関数である，あるいは(X,F,m)が完備測度空間である｣という
条件がなければ、よく本で使われている(1)を使うことはできない
と思います。
- 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/06 10:40]
- >>893を補足しておくと、
＞｢f(x)が可測関数である，あるいは(X,F,m)が完備測度空間である｣という
＞条件がなければ、よく本で使われている(1)を使うことはできない
というのはたしかにそうだけれども、本で(1)を使う場合は>>890にあるようにf(x)
はlimfn(x)によって定義されたものと考えているはずで、そのとき>>890の一番上
にあるようにf(x)は可測になる。
limfn(x)が定義できないxがある場合にどう約束するかとか、∞という値を許すか
どうかなどで、主張の記述に微妙な差が生じ、微妙だがtrivialでない問題を含む
のだが、そのへんを明確に書いてある本はほとんどない。>>893はそのあたりのひ
とつを浮き彫りにするいい指摘と思う。
（漏れも同様の問題意識から、｢単調収束定理」と「Beppo-Leviの定理」が本質的
に異なる主張であることに気づいたときは愕然とした）
- 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/09 01:43]
- f=g&g=h&f!=h
- 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/09 01:52]
- 435
- 897 名前：１３２人目の素数さん [04/03/11 12:26]
- ルベ－グ積分入門（州之内治男）で質問です
この本は階段関数の積分の拡張として（測度論を使わずに）積分を定義するのですが、
測度0の集合の定義を階段関数の列の積分で言い換えたものらしいのですが
集合 Ｚ⊂（a,b）が測度0 ⇔
任意のεに対し、階段関数の増加列
(3) 0≦φ1^(ε)≦φ2^(ε)≦φ3^(ε)・・・・
を選び、しかも
(4) ∫[a,b]φn^(ε)dx<ε
(5) (Sup_n)φn^(ε)≧1 x∈Z
とできる
と書いてあります
最後の(5)はSupではなくてInfのような気がするのですけど。
- 898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/11 12:30]
- 木の精。
- 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/13 06:54]
- >>144
無いけど、去年の話か・・・
- 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/13 15:22]
- >>899
不存在証明ってどうやるの？
- 901 名前：ペプシ工員 mailto:sage [04/03/13 17:31]
- >>900
science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1039581014/732
- 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/13 21:00]
- >>901
(2) だけれど、空でない R の G_δ集合ではなく R で稠密な G_δ 集合が正しい。
- 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/13 21:50]
- >>897
その命題の証明をちゃんと読めば分かるはずだが、直観的にピンとこないというの
であれば、次のことに注意すればよい：
単調非減少を仮定しているから (Inf_n)φn^(ε)は有限個のφnにしか関係しないが、
(Sup_n)φn^(ε)は無限個のφnに関係する。
あるいは、limφn^(ε)=(Sup_n)φn^(ε)だから、と言えばよいか？
- 904 名前：|дﾟ) [04/03/18 04:24]
- 最近サイエンス社から出た吉田善章氏の「応用のための関数解析」は結構いいかも．age
- 905 名前：１３２人目の素数さん [04/03/18 20:41]
- 確率論以外では測度空間は大抵位相空間にもなっている。
だからラドン測度が重要だと思うんだが、これについて
扱ってる本って少ないよね？ さらにHaar測度も非常に基本的かつ
重要なんだが、これを扱った本も少ない。
- 906 名前：１３２人目の素数さん [04/03/19 05:59]
- 売れそうもないから
- 907 名前：１３２人目の素数さん [04/03/21 18:19]
- リーマン「おい、おまいら！！積分できない関数発見しますた。集合しる！」
ジョルダン「詳細キボンヌ」
リーマン「上積分と下積分の値が違いますが、何か？」
ジョルダン「積分不可能な関数ｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !!!!!」
カラテオドリ「ｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !!!!!」
ルベ－グ「リーマン積分ごときで騒ぐ奴は逝ってヨシ」
カラテオドリ「オマエモナー」
ジョルダン--------終了-------
リーマン --------再開-------
ジョルダン「再開すなＤＱＮが！それより積分の改善うｐキボンヌ」
ルベ－グ「外測度うｐ」
リーマン「↑誤爆？」
カラテオドリ「ルベ－グ可測集合キボンヌ」
ルベ－グ「ほらよルベ－グ可測集合age＞関数」
リーマン「神降臨！！」
カラテオドリ「可測集合の別定義age」
ルベ－グ「糞定義ageんな！sageろ」
カラテオドリ「より抽象化した測度論age」
ジョルダン「抽象概念uzeeeeeeeeeeee！！」
ルベ－グ「ageって言ってればあがると思ってるﾔｼはＤＱＮ」
グロタン「イタイ名前の数学者がいるのはここですか？」
カラテオドリ「氏ね」
ルベ－グ「むしろゐ㌔」
カラテオドリ「可測集合age」
グロタン「空 手 踊 り 、 必 死 だ な （ 藁 ）
2ch + 数学 = ?
science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1078753069/
- 908 名前：１３２人目の素数さん [04/03/23 11:36]
- 笑った
- 909 名前：１３２人目の素数さん [04/03/31 19:51]
- 洋書の入門書で、
Introductory Real Analysis (Kolmogorov and Fomin)
Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis (Kolmogorov and Fomin)
Real Analysis (Royden)
Real and Complex Analysis (Rudin)
Functional Analysis (Rudin)
みたいのがあると思うんですが、
読んだことある人います？
- 910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/31 19:56]
- 積読。実際に読んでる人もいっぱいいるだろうけど、何が訊きたいの?
- 911 名前：909 [04/03/31 20:13]
- 伊藤清三なんかと比べてどこが良いとか悪いとかですね。
- 912 名前：１３２人目の素数さん [04/04/02 14:31]
- 測度論では測度空間の定義に
集合Ｘ Ｘ上のσ体Ｍ Ｍ上の非負かつσ加法的な集合関数μ
が与えられた時この組（X,M,μ）を測度空間、μを測度（後は略）とよぶ
となってますが、
R^n上のリーマン測度などを考えると
明らかにリーマン可測な集合の全体の集合はσ環ではありませんし
リーマン可測な集合族に対してだってσ加法的ではないです
てことはＲ^n上のリーマン可測な集合全体の集合やリーマン測度の組
(R^n.M,μ)などは測度空間とはいわないのでしょうか
またリーマン測度μも一般的には測度のうちには入らないのでしょうか
- 913 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/04/02 14:40]
- Re:>>912 吾はジョルダン可測とルベーグ可測は知ってるが、リーマン可測って何？
- 914 名前：１３２人目の素数さん [04/04/02 14:50]
- ～を面積確定あるいはリーマン可測（あるいはジョルダン可測）と呼ぶ らしいです。
- 915 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/04/02 15:08]
- Re:>>912 リーマン測度の場合は、有限加法的測度空間になるだろう。
- 916 名前：１３２人目の素数さん [04/04/02 15:26]
-
測度空間──┬──完全加法的
│
└──有限加法的
ってことですか？
- 917 名前：１３２人目の素数さん [04/04/03 20:26]
- 複素関数のルベーグ積分はありますか？
- 918 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU mailto:sage [04/04/03 22:50]
- あります。
- 919 名前：１３２人目の素数さん [04/04/05 10:50]
- R^kにおいて
ボレル集合全体⊂可測集合全体⊂部分集合全体
ですよね
可側ではない集合に付いては色々考察されてますけど
ボレル集合ではない可測集合ってあるんですか？
あるとしたら具体的にどのような集合になるのでしょう
- 920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/05 16:07]
- >>919
吉田洋一著「ルベグ積分入門」新数学シリーズ23 培風館 1965
付録 反例そのほか §7. ルベグ可測な集合はボレル集合であるとは限らない
- 921 名前：１３２人目の素数さん [04/04/05 20:28]
- ∫fXQdx+∫fXQcdx=∫1XQdx+∫0XQcdx=1*m(Q)+0*m(Qc)=0
- 922 名前：１３２人目の素数さん [04/04/18 14:03]
- X, Yが位相空間でZ=X×Yが直積位相空間のとき、Zのボレル集合族が、
Xのボレル集合とYのボレル集合の直積全体から生成されるσ-集合族に
一致するためには、XとYが第2可算公理を満たせば十分だと思うんですが、
これって必要条件でもありますか？
- 923 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/04/18 14:17]
- Re:>>922 有限直積の場合は直積位相空間と箱型位相空間が一致する。
σ(B(X)×B(Y))⊆B(Z) を示せば十分なわけだが、
これをどうやって示せばいいのかを考察することにしよう。
- 924 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/18 14:51]
- >>923
> σ(B(X)×B(Y))⊆B(Z) を示せば十分なわけだが、
これは一般に言えますが、こっちは？
B(Z)⊆σ(B(X)×B(Y))
O(X), O(Y), O(Z)をそれぞれX, Y, Zの開集合系とすると、一般には
O(Z)は開集合の筒集合の必ずしも可算とは限らない任意個の和になる
ので、可算和と可算共通分、及び補集合演算(まとめてススリン演算で
良かったのかな？)で、そもそもO(Z)自身が得られるとは限らないような。
- 925 名前：１３２人目の素数さん [04/04/18 15:12]
- お前等こういう話してて面白いと思ってるの？
- 926 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/04/18 15:34]
- Re:>>924 箱型位相、直積位相で同じO(Z)が得られる。
- 927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/18 15:49]
- ￢（∀ｘ（Ａ（ｘ）⇒Ｂ（ｘ））≡∃ｘ（Ａｘ）∧￢Ｂ（ｘ）
- 928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/18 15:49]
- いやだから、箱型でも一般直積でも準基底から基底作って、その
「任意個」の和集合を開集合にするんでしょう？可算和ならばB(Z)
に入ることは定義から言えるけど、非可算和だとB(Z)に入らないZの
開集合が存在する可能性があるのでは？で、第2可算公理があれば、
O(Z)の基底(箱型だから筒集合からなる)として可算なものが取れて
Z自身第2可算公理を満たすから、O(Z)⊆σ(B(X)×B(Y))となって
等号成立となると。
う～ん。間違ってるのかなぁ？
- 929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/18 16:01]
- >>928
> O(Z)の基底(箱型だから筒集合からなる)として可算なものが取れて
「筒集合」じゃなくて「箱集合」だったかな？すんません。用語を忘
れてしまった。要するに開集合の直積。
- 930 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/18 16:20]
- ああ、完全におかしい。B(Z)じゃなくてσ(B(X)×B(Y))だ。再び訂正。
箱型でも一般直積でも準基底から基底作って、その「任意個」の和集合を
開集合にする。可算和ならばσ(B(X)×B(Y))に入ることは定義から言える
けど、非可算和だとσ(B(X)×B(Y))に入らないZの開集合が存在する可能性
があるのでは？で、第2可算公理があれば、O(Z)の基底で開集合の直積から
なる可算なものが取れて、Z自身第2可算公理を満たすから、
O(Z)⊆σ(B(X)×B(Y)) ⇒ B(Z)⊆σ(B(X)×B(Y))
となって等号成立。
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