- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto: [03/01/25 00:45]
- について語りましょう。
- 930 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/18 16:20]
- ああ、完全におかしい。B(Z)じゃなくてσ(B(X)×B(Y))だ。再び訂正。
箱型でも一般直積でも準基底から基底作って、その「任意個」の和集合を
開集合にする。可算和ならばσ(B(X)×B(Y))に入ることは定義から言える
けど、非可算和だとσ(B(X)×B(Y))に入らないZの開集合が存在する可能性
があるのでは？で、第2可算公理があれば、O(Z)の基底で開集合の直積から
なる可算なものが取れて、Z自身第2可算公理を満たすから、
O(Z)⊆σ(B(X)×B(Y)) ⇒ B(Z)⊆σ(B(X)×B(Y))
となって等号成立。
- 931 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/04/18 19:15]
- Re:>>930 ルベーグ測度のときは、ユークリッド空間が可分であることを使っていた。
第二可算公理を仮定する必要が無いような気がするが、どうか？
- 932 名前：１３２人目の素数さん [04/04/19 09:37]
- ルベーグ測度って案外難しいのね・・・。
- 933 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/04/19 12:50]
- Re:>>932 ボレル測度、ルベーグ測度、ともに難しい。
ジョルダン測度はどうだろう？
- 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/19 13:39]
- >>931
距離空間だから可分と第2可算公理が同値。一般の位相空間では
そうはいかないでしょう。勿論ヒルベルト空間やバナッハ空間の
ようなノルム空間ならば、可分であればいいわけですが。ええと、
取りあえず知りたかったのは
O(Z)⊆σ(B(X)×B(Y))
から位相空間(X, O(X)),(Y, O(Y))が第2可算公理を満足することを
言えるかどうか、です。あるいは、第2可算公理を満たさない位相
空間の直積位相空間でボレル集合族がボレル集合の直積全体から
生成されるような例があるのか。
- 935 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/04/20 14:00]
- ｜Ｚ｜＜｜Ａ｜でＢ⊂ＡがＢ＝Ａまたは｜Ｂ｜＜｜Ｚ｜のとき
ＢはＡの閉集合とするとＡは位相空間。
- 936 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/20 14:21]
- >>935
誤爆？それとも非可算濃度の集合を考えるとA×Aが>>934の例になるの？
- 937 名前：１３２人目の素数さん [04/04/20 17:14]
- ここのルベーグ測度論入門って、わかりやすくないですか？
www.s.fpu.ac.jp/u-sano/pdf.html
- 938 名前：１３２人目の素数さん [04/04/21 07:49]
- >>937
うん、非常に分かりやすい。カラテオドリーの可測性の定義の
導入方法が優れている。普通の測度論の本はここが説明不足だな。
- 939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/01 22:07]
- 712
- 940 名前：１３２人目の素数さん [04/05/06 21:29]
- せっかくなら１０００目指せよバカ。
- 941 名前：１３２人目の素数さん [04/05/06 21:30]
- せっかくなら１０００までがんばれよバカ
- 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/13 02:27]
- すみません、数学は全然専門外の者ですが…
ディラックのデルタ関数って、ルベーグ積分するとゼロになりそうな気がするのですが、
なぜ１になるのですか？？
いや、デルタ関数の定義の問題なのかもしれませんけど
- 943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/13 05:00]
- そもそも、どうやってルベーグ積分すればいいのですか？
- 944 名前：１３２人目の素数さん [04/05/13 18:26]
- >>942とは違いますが、最近全く同じ事を考えてます
超関数なんてまだ手もつけてませんが
理論的にどの様に構成するのか教えてもらえませんか？
- 945 名前：１３２人目の素数さん [04/05/13 19:32]
- デルタ関数は関数ではありません。したがって、積分はできません。
デルタ関数をちゃんとした実体として捕らえたければ、
超関数をやるしかありませんし、超関数の理解にはルベーグ積分の
理解は欠かせません。今はとりあえず、連続関数と一緒に
「形式的に積分」したら積分の値が、連続関数の原点での値になる、
そんな、仮想的な「関数」と思って計算方法だけﾏｽﾀｰするのも
いいかと思います。
- 946 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/05/13 22:25]
- Re:>>944 超関数とは、Schwarzのdistributionでいいのかな？
無限回連続的偏微分可能でコンパクトサポートを持つ関数全体の集合を(D)としよう。
(D)の点列f_1,f_2,…が(D)の元fに収束することを、
supp(f_1),supp(f_2),…がある一定のコンパクト集合の部分集合で、
各偏導関数∂^αf_1,∂^αf_2,…が、∂^αfに一様収束することとして定義する。
distributionとは、(D)→Rの連続線型汎関数のことである。
(まぁ、初学者はこの説明だけでどうして「超関数」なのか理解できないとは思う。
その辺に関しては、先ずはf(x)→f(u)=∫f(x)u(x)dxという対応関係
から学んで慣れることを勧めよう。)
- 947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/13 23:33]
- スレを全部読みました。
今年からルベーグ積分（関数解析と確率過程論と熱方程式、全部別の講義）を習うことになったのですが、
測度論をやらずに、積分から始める先生で、
来週にH^+上でのα<∞倍、そして引き算をやれるようになるそうです。（これが『積分の加法性の証明』or『エゴロフ』なのでしょう）
「積分が先、測度が後」なら溝畑を読んでおけばいいのかな？
学校で探してみますが…
これからこのスレに厄介になります。
- 948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/14 01:28]
- >>947
いわゆるDaniell積分でしょうか？ブルバキの「積分」がこの方法ですね。
この方法でやる場合は、底集合には位相が入っていてしかも局所コンパクトであると仮定する
ことが多いですが、そう仮定しない（位相空間であることも仮定しない）方法もあります。
いわゆるDiniの性質、すなわち0に各点収束する単調減少な可積分関数の積分は0に収束する、
という性質を公理にすると、底空間に位相を入れなくてもルベーグ式の積分が展開できます。
講義で行われるのはどっちの方法でしょうか？
- 949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/14 02:09]
- Diniって言葉は出てきましたが、あなたのおっしゃっていることが正直全然理解出来ません。
学部３年の講義なので、その辺はお手柔らかに。
講義のノート見て、単語拾っておきます。
- 950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/14 07:26]
- >>いわゆるDaniell積分でしょうか
一番最初の講義でそれを書いてました、あれだけの情報でよく分かりますね…。
参考書として志賀浩二『ルベーグ積分３０講』が挙げられていました。
この先生の例え話が面白かったのでちょっと書きます。
Riemann積分は小さな丘で誰でも登れる、そしてLebesgueは大きな大きな山、エベレスト級なので登るにはそれ相応の覚悟が必要、
そして何よりRiemannとLebesgueの間には測度論という断崖絶壁があり、ここで命を落とす人が大半。
そこで、地図をよく見てみると、実はRiemannとLebesgueの山の尾根が小さな道ではあるがつながっているのを発見、
そこでRiemannからLebesgueへ山の頂上を介して行き、Lebesgueの山を下りて、最後に断崖絶壁の測度論へ向かおうと。
- 951 名前：１３２人目の素数さん [04/05/14 23:01]
- うまい表現だな
- 952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/15 00:50]
- 先生にも伝えておきます。(w
- 953 名前：948 mailto:sage [04/05/15 01:11]
- >>950
「位相空間」のような抽象的な概念は習ってなかったのですね。失礼しました。
それでは実数の区間 [a, b] 上の積分で説明しましょう。
[a, b] 上で連続な関数の全体を F と書き、f∈F のRiemann積分を I(f) と書くことにします。
{ f_n } を F の元の単調減少列で、各点で 0 に収束するものとします。
このとき、解析学で有名なDiniの定理により、{ f_n } は一様に 0 に収束し、したがって I(f_m)
も 0 に収束します。
この性質を用いると、F の（単調減少とは限らない）列 { f_n } で、Σ I(|f_n|) ＜ ∞ となるよ
うなものに対する Σ f_n という級数を考えると、これに x を代入した Σ f_n(x) という級数は、
x の値によって収束したりしなかったりしますが、絶対収束する点でその極限値、それ以外の点で
任意の値を与えて得られる関数 f のことをDaniell積分可能な関数といって、f の積分を Σ I(f_n)
で定義します。上のDiniの定理の性質によって、この定義がell-definedであることが証明できます。
このDaniell積分はLebesgue積分と同一のものであることが知られていますが、Daniell積分では
測度の概念を導入せずに積分が定義できるので、初心者にはとっつき易いと思います。
- 954 名前：１３２人目の素数さん [04/05/28 12:33]
- 109
- 955 名前：１３２人目の素数さん [04/06/03 03:59]
- 683
- 956 名前：１３２人目の素数さん [04/06/10 16:16]
- 457
- 957 名前：１３２人目の素数さん [04/06/15 14:05]
- あげようかな。
- 958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/15 14:22]
- test
- 959 名前：１３２人目の素数さん [04/06/22 22:21]
- Bを反射的(B**=B)とは限らないバナッハ空間として、
D≡domain(A)がBでdenseなdomain(A)→Bなる非有界閉作用素とします。
D*={μ∈B*|あるη∈B*が存在してμ(Au)=η(u) for all v∈D}
と定めることによりB*の部分空間D*を定めることができますが、
Aのadjoint operator A*をD*→B*なる作用素でA*μ=η
で定めることにします。もちろんηは存在すれば一意なのでwell-defind。
こうすることによって非有界作用素のadjointを定義できますが、
このときA*もまた非有界になるというのはどうやって示したらよいですか？
ヒルベルト空間の場合については多くの本で言及されています。
また反射的バナッハ空間の場合も証明できると思います。
問題は反射的とは限らないバナッハ空間の場合で、主張が正しいかすら
わかっていません。ですがまだ反例も構成できていないので、
なんともいえません。ご存知の方いらっしゃいましたら教えてください。
A*はA^*を省略して書いたものです。A*μが少々ややこしい記述ですみません。
- 960 名前：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA [04/06/22 22:28]
- Re:>959
A*が有界ならば、A**も有界である。
そして、BをB**の部分集合であると見て、
A**の定義域をBに制限すると、それはAになる。
…とりあえず作戦を練ってから書き込むことにするか？
- 961 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/25 18:27]
- ルベーグ積分の「無矛盾性」を証明した人っているんだろうか？
- 962 名前：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA [04/06/25 22:32]
- Re:>961 それが知られていないことは確かだ。
- 963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/28 23:04]
- ルベーグ積分に矛盾があることが発見されたら一大事だな（ｗ
- 964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/28 23:29]
- ルベーグ積分の無矛盾性って意味がわからんのだが。
- 965 名前：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA [04/06/29 08:18]
- ルベーグ積分の土台となる(?)
測度論に対してのひとつの疑問。
σ加法性(互いに交わらない可測集合の可算列{E_{n}}に対して、∑m(E_{n})=m(∪(E_{n}))が成り立つ。)
は何故認められるのか？
[>961]の言うことには、これが関係しているのだろうか？
- 966 名前：１３２人目の素数さん [04/06/29 09:52]
- [0,1/2),[1/2,3/4),[3/4,7/8),[7/8,15/16),‥
の Lubesgue measure が1になってほしいとかいう願望が
あったりするのでは。
- 967 名前：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA [04/06/29 13:51]
- Re:>966 それは大して問題にならない。
どこかに同じ事書いてあるかもしれないが、
有理数全体を亘る列{q_{n}}(有理数全体の集合は可算集合だからそういう列ができる。)
をとって、区間の列(q_{n}-2^(-n-1),q_{n}+2^(-n-1))をとる。
これ全体の和集合のルベーグ測度が1以下になるということを貴方は認められるか？
- 968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 16:05]
- 認められる。
- 969 名前：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA [04/06/29 16:35]
- 私は有限加法性までなら認められる。
だが、σ加法性を素直に認めるのは少々危険である。
(しかしそうは言ったが、私も測度論からルベーグ積分に入った。)
- 970 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/29 16:37]
- ジョルダン測度では決して分かり得ないこと。
- 971 名前：１３２人目の素数さん [04/06/29 16:58]
- 学部２年の俺にはさっぱり
- 972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 17:08]
- >>969
区間 { －１ ,１ } において、区間 { －１/2 ,１/2 } 内の有理数全体を亘る列{q_{n}}について、
>>967 と同様のものを考えて、967 のものと比べて見たらどうなるか？
若干面倒かな。多分危惧は消えよう。
- 973 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 17:11]
- >>971
有理数の加算列を図形的にイメージできんのか？
学部２年だろう、しっかりしろ。
- 974 名前：１３２人目の素数さん [04/06/29 18:30]
- >>973
学部２年でルベーグ積分学ぶの？
- 975 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/29 18:36]
- Re:>972 それは、[>967]から逃げているだけだよ。
- 976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 18:57]
- >>975
そうは見えんが。
- 977 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/29 19:01]
- Re:>977
[>972]の考えをしたところで、[>967]が解消したわけではない。
- 978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 20:05]
- 測度論からではなく面積の考えから入っていくと自然に導かれたような…
＞σ加法性
- 979 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/29 22:05]
- Re:>978 詳細は？
- 980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 22:22]
-
ルベーグ積分の「無矛盾性」が証明されていないのなら、ルベーグ積分は将来つぶれることになる可能性が無くは無いわけだよね。
- 981 名前：１３２人目の素数さん [04/06/29 22:23]
- ルベーグ積分の「無矛盾性」って、どういうことなの？
- 982 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/29 22:25]
- Re:>981 私は文字通りに解釈しているのだが。
Re:>980 他の分野で無矛盾性が証明された例があるのか？
- 983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/30 09:23]
- 無矛盾性って普通「公理」に対して使われる言葉だろ。
で、ルベーグ積分の無矛盾性って何？
- 984 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/30 19:05]
- ルベーグ積分の場合、何が公理なのかがハッキリしてないな。 何が公理なのかを明確にせずして、数学理論と言えるのか？？？
- 985 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/30 19:31]
- Re:>984 ツェルメロの公理、実数の公理。他にはあるかな？
- 986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 04:48]
- >>980 >>984
ルベーグ積分論は通常の数学の体系の中で展開されてるわけで、
ルベーグ積分論に矛盾があったら数学に矛盾があるということ。
まあ、ルベーグ積分論を通常の数学よりも弱い体系
(ペアノの公理系を満たすものを作れない体系)で展開できるなら、
無矛盾性を証明できるのかもしれないけど。
- 987 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 05:19]
- ↓次スレ立ててくれや
- 988 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 09:50]
- 測度論を書き足せば不都合有るかのぉ？
- 989 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/07/01 16:05]
- 次スレはまだか？
- 990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:07]
- >>989
解析専門のおめぇが立てれ
- 991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:08]
- >>989
それとも最近糞スレ立てたから漏れみたく新しくスレを立てれないのか？
- 992 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/07/01 16:11]
- Functional Analysis, Lebesgue Integral II
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/
- 993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:14]
- >>992
乙
- 994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:15]
- それでは埋めるか
- 995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:15]
- Functional Analysis, Lebesgue Integral II
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/
- 996 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:15]
- Functional Analysis, Lebesgue Integral II
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/
- 997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:15]
- Functional Analysis, Lebesgue Integral II
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/
- 998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:15]
- Functional Analysis, Lebesgue Integral II
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/
- 999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:16]
- Functional Analysis, Lebesgue Integral II
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/
- 1000 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:16]
- Functional Analysis, Lebesgue Integral II
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/
- 1001 名前：１００１ [Over 1000 Thread]
- このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
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