ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

1 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/01(水) 09:57:08.60 ID:2b7XvZNh.net] 前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/ 前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです 関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります） 資料としては、まずはこれ https://sites.google.com/site/galois1811to1832/ ガロアの第一論文を読む 渡部 一己 著 （2018.1.28） PDF https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0 ＜乗数イデアル関連＞ ガロア第一論文及びその関連の資料スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照 https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik ＜層について＞ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 層 (数学) https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics) Sheaf (mathematics) https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques) Faisceau (mathématiques) あと、テンプレ順次 つづく 604 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/24(金) 10:23:09.93 ID:BCvEAUed.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>10より再録 ・自然数 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 　『形式的な定義 自然数の公理 　以上の構成(注 ノイマン構成)は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。 　例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、 　0 := {} 　1 := {0} = {{}} 　2 := {1} = {{{}}} 　3 := {2} = {{{{}}}} 　と非常に単純な自然数になる』 ・0＜1＜2＜3＜・・・ 　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・ 　ここで 　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ 　と書ける 　何が言いたいか？ 　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を逆に辿れば 　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・ となり 　0＜1＜2＜3＜・・・ となる ・つまり、{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ において 　∈を＜に書き換える 　そうして、{}→0、{{}}→1、{{{}}}→2、{{{{}}}}→3、・・・ 　と順序数の背番号がついていると思え 　あるいは、例えば {{{}}}→2 ならば、括弧{}の多重度を基準に整列していると考えれば良い（括弧{}の多重度-1が、順序数に相当している） ・このように、列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を、順序関係＜に置き換えて 　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・ として、整列集合と考えることができる（整列可能定理の主張はこれ） ・おサルさん、なにをとち狂ったか、列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ が、整列していることを否定する 　上記『{}∈{{{}}} は偽』とか、勝手な妄想を沸かす。ほんと、エンタの王で笑いを取る名人だね 　私には、単なるアホとしか思えないがｗ ；ｐ） (引用終り) 605 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/24(金) 10:36:52.84 ID:BCvEAUed.net] >>501 >基礎論の権威が六甲山のあたりにいるようだ 遠隔レスですが ここは、知る人ぞ知るの 渕野 昌 (Sakaé Fuchino)氏 伯母野山日記 のこと fuchino.ddo.jp/obanoyama.html ”篠原伯母野山町（しのはらおばのやまちょう）は兵庫県神戸市灘区の町名”（下記） えーと、ネット地図で見ると、渕野氏が勤務していた 神戸大に近いところです 六甲山の麓ですね (参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AF%A0%E5%8E%9F%E4%BC%AF%E6%AF%8D%E9%87%8E%E5%B1%B1%E7%94%BA 篠原伯母野山町（しのはらおばのやまちょう）は兵庫県神戸市灘区の町名。現行行政地名は篠原伯母野山町一丁目から篠原伯母野山町三丁目。 地理 灘区の地理的中央部に位置する 606 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/24(金) 11:09:46.20 ID:Y9e4pxHo.net] >>558 >では、集合Ｒの性質はどうか？ >・>>547にあるように、ZF＋可算選択公理と、下記がEquivalent こじつけ 選択公理無しで言える性質もいくらでもある 選択公理有りで言える性質もいくらでもある 恣意的に後者を持ち出したところで只のこじつけに過ぎない どれほど言い訳を重ねても 「ZFで実数は存在しない」 が正しくなることはありません　残念！ 607 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/24(金) 11:14:58.08 ID:Y9e4pxHo.net] >>561 >『{}∈{{{}}} は偽』とか、勝手な妄想を沸かす。 いや事実だよ {{{}}}の元は唯一{{}}のみだから 近所の高校生に聞いてごらん　『{}∈{{{}}} は真』なんて言う高校生はいないから 608 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/24(金) 11:18:42.62 ID:BCvEAUed.net] >>450 >競技人口は >将棋が450万で >囲碁は120万 >あと10年で囲碁人口は０になるだろうと >今日の大会でコメントした人がいた 一応 テンプレ>>1より 「関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります）」 とお断りをいれて （＾＾ さて、ID:D3v/mpAJ は、御大か この話で、月刊碁ワールド 10月号 2024 『危機に立ち向かう 韓国囲碁界─後編 記・大島正雄』 などにも書かれていますが、いま韓国が世界戦で勝ちまくって 世界囲碁界でナンバーワンの座を享受していますが その韓国でさえ、”危機”とあります 記事を読んでみると、要するに 韓国でも コンピュータゲームやネットゲームに押されているらしい ”将棋が450万”ですが、藤井聡太ブームも いまや、彼が勝つのが当たり前になった （昔の 大山時代の再現か。大山時代より、もっと殺伐としているかも（一人が強すぎる）） ともかく、”琴棋書畫”(下記で棋が囲碁です)の時代は、遠い昔で 振興策が必要ですね 余談ですが、中国では 甲級リーグという 地域対抗プロ囲碁リーグ戦があり、それ囲碁振興策です 「ヒカルの碁」は、ブームになったのですが、そういうのも必要ですね (参考) www.nihonkiin.or.jp/publishing/go_world/goworld_202410.html 日本棋院 月刊碁ワールド 10月号 2024 目次 -特別現地取材- 危機に立ち向かう 韓国囲碁界─後編 記・大島正雄 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%90%B4%E6%A3%8B%E6%9B%B8%E7%94%BB 琴棋書畫（きんきしょが）、また琴碁書画とは、古代東アジアの文人・士大夫・官僚が嗜むべきとされた芸。四芸とも言う。 棋（圍棋、囲碁） →詳細は「囲碁の歴史」を参照 棋は圍棋とも呼ばれ、囲碁のことである。棋は既に『論語』の中に孔子の弁として述べられるほど古い遊びである。当初「棋」とは六博を意味していたが、廃れると弾棋を意味するようになり、弾棋が廃れると囲碁を意味するようになった。 囲碁は占星術から始まったが、後漢時ごろから兵法に類似しているとして武人がたしなむようになり、南北朝時代からは文人や雅士の間で流行した。 囲碁の静かに対局する姿は傍観者から見て詩的な風情を誘い、詩にいくつも詠じられている。白居易や蘇軾は石を打つときの音に魅了されて詩を詠じている。 唐以降は待詔のうち棋をもって仕える『棋待詔』が置かれるようになり、国手と呼ばれる名人が務めた。 609 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/24(金) 11:36:22.33 ID:BCvEAUed.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>563 (引用開始) >では、集合Ｒの性質はどうか？ >・>>547にあるように、ZF＋可算選択公理と、下記がEquivalent こじつけ 選択公理無しで言える性質もいくらでもある 選択公理有りで言える性質もいくらでもある (引用終り) じゃあ、何が言えるか書いてみて！ｗ ；ｐ） ＜先制攻撃＞ 下記 ZF＋可算選択公理では、下記 Equivalent ”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.” ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,” ”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる） archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545 Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich さて ”in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,” を平たくいえば、a subset A：x0,x1,x2・・・ ,x なる 610 名前：加算無限長の集積列が作れて A＝{x0,x1,x2・・・ ,x} は、可算無限集合 とできる ということだね ところが、 ZFだけだと A＼{x}＝{x0,x1,x2・・・ }（任意有限長の集合） しか言えない つまり、ZF＋可算選択公理 の方が、集積点 x が明確になって、言えることが増えるってことでは？ 繰り返すが A＼{x}＝{x0,x1,x2・・・ }（任意有限長の集合）だけだと、集積点 x が明確でない それで何が言える？ｗ ；ｐ） 追伸 　>>564は、テンプレ>>10に入れたし、勝負ありでしょ？ｗ ；ｐ） [] [ここ壊れてます] 611 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/24(金) 12:29:10.69 ID:Y9e4pxHo.net] >>566 >じゃあ、何が言えるか書いてみて！ｗ ；ｐ） 愚問 選択公理の要否は命題毎の各論 612 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/24(金) 12:40:21.50 ID:Y9e4pxHo.net] >>566 >x0,x1,x2・・・ ,x なる 加算無限長の集積列が作れて xの左隣の項は何？ >>>564は、テンプレ>>10に入れたし、勝負ありでしょ？ｗ ；ｐ） 「ABC予想を証明した」と言ったら証明したことになると？ 613 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/24(金) 14:16:28.69 ID:BCvEAUed.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>567 >選択公理の要否は命題毎の各論 おっさん 某私大 数学科修士を鼻にかけて 基礎論自慢をして 弥勒菩薩氏から、”基礎論婆”と呼ばれるも その実、大学１年の基礎論から詰んでいたってこと？？ｗ ；ｐ） 敵前逃亡かよ 口先の言い訳だけ、一人前 >>x0,x1,x2・・・ ,x なる 加算無限長の集積列が作れて >xの左隣の項は何？ アタマ腐ってんのか？ｗ 順序数との一対一対応 0, 1, 2・・・ , ω 　↓↑ x0,x1,x2・・・ ,x これで ωの左隣の項は何 だって？ｗ ；ｐ） お臍が茶を沸かすなｗｗ ωは、極限順序数で 前者を有しない だから、ωのすぐ左隣の項は ”無し”！！！！ｗ ；ｐ） 知らなかったんだｗｗｗｗ さすが、大学１年の基礎論から詰んでいた男だ！ｗ (参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 集合論および順序論（英語版）における極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。あるいは、順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。 例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。 順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。このとき、空でない順序数の集合が最大元を持たないならば、その和集合は常に極限順序数になる[1]。フォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる。 (引用終り) 追伸 >>568 ”>>>564は、テンプレ>>10に入れたし、勝負ありでしょ？ｗ ；ｐ） 「ABC予想を証明した」と言ったら証明したことになると？” もうお前との論争は不要だよｗ みんな、どっちが正しいか 分かっているだろうさｗｗｗ 614 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/24(金) 14:20:58.23 ID:Y9e4pxHo.net] >>569 >x0,x1,x2・・・ ,x なる 加算無限長の集積列が作れて >ωのすぐ左隣の項は ”無し” 矛盾ｗ 615 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/24(金) 14:23:20.69 ID:Y9e4pxHo.net] >>569 >もうお前との論争は不要だよｗ >みんな、どっちが正しいか 分かっているだろうさｗｗｗ みんな？ 『{}∈{{{}}} は真』が正しいって誰が言ってるの？ 616 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/24(金) 15:13:58.53 ID:BCvEAUed.net] >>526 追加 (引用開始) www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大 尾畑研 第13章 整列集合 定理13.18 (超限帰納法) 略す ふつうの数学的帰納法は超限帰納法の整列集合Xとして自然数Nをとったものである また超限帰納法は証明だけではなく定義にも用いられる たとえば整列集合を定義域とする写像f(x)を{f(y)|y≺x}を用いて定義する手法がある これを再帰的定義または帰納的定義という ここで正確な主張を述べるのは難しいが X=Nの場合は第15.2節で扱う (引用終り) 下記の近藤友祐 集合論ノート0003 「整礎クラス上の超限帰納法と超限再帰法」 が参考になるだろう なお、近藤友祐氏は、神戸大学 工学部出身らしい だれか、「工学部では、数学の難しいことを教えないだろう」とか、テメエのレベルも省みず宣うやつがいるが だれが見ても、おサルより>>7-10 近藤友祐氏のレベルが上でしょｗ ；ｐ） (参考) https://elecello.com/ 近藤友祐 2014 年 神戸大学 工学部 電気電子工学科 入学 （2011 年 11 月 03 日 第 12 回 日本数学コンクール論文賞 銀賞 受賞 　神戸大学数学研究会 POMB で代表を務めたり 略 していました） https://elecello.com/doc/set/set0003.pdf 集合論ノート0003 整礎クラス上の超限帰納法と超限再帰法 近藤友祐 初稿: 2017/09/05 整礎クラス上の超限帰納法と超限再帰法について述べる． 例えば，ONは整列クラスゆえに整礎クラスだから，ON上の超限帰納法や超限再帰法が正当化される．また，メタ数学的な注意を払った上で，整礎集合や整列集合上の超限帰納法や超限再帰法も正当化される． 整礎クラスに対する超限帰納法の証明の中で，推移的閉包を構成する．この構成は，自然数上の再帰によって行われる．超限再帰法を根拠づけるのに再帰を用いるのは循環論法ではないか？と思われるが，事前に順序数論を展開し，自然数全体を有限順序数全体として定義しておくと，の上で帰納法，再帰法が使えることがわかる． 617 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/24(金) 16:36:56.23 ID:BCvEAUed.net] >>572 >近藤友祐氏は、神戸大学 工学部出身らしい >だれか、「工学部では、数学の難しいことを教えないだろう」とか、テメエのレベルも省みず宣うやつがいるが >だれが見ても、おサルより>>7-10 近藤友祐氏のレベルが上でしょｗ ；ｐ） こんな優秀な人たちと、自分を比べるつもりはないが いまどき、学部数学科に行かなくとも、数学で 優秀な人はたくさんいるよ 例えば 武田 秀一郎氏：東京理科大機械工学卒で、アメリカの大学修士から、いま大阪大学 数学 Associate Professor 渕野 昌氏：早稲田 化学科卒の後、同数学科に学士入学して、後 ベルリン自由大学へ（学部数学科１〜２年は飛ばしてねｗ） 山下真由子氏：工学部計数工学科へ進学する ”4年次に進級せず修士課程への飛び入学”（つまりは、数学科学部の経験なしｗｗｗ） 望月 拓郎氏：1994年（平成6年）に理学部（物理？）３年から数学修士に飛び入学（多分 数学科学部の経験なし） 数学科学部で教えてもらってないから「こんなこと知らないだろう・・、理解できていないだろう」と言うが なぜか 昔から知ってますｗ。”おまえは、理解できていない”とか それ倒錯でしょｗ。だれが理解できてないのかなぁ〜！ｗ ；ｐ） (参考) sites.google.com/view/stakeda 武田 秀一郎 Associate Professor Department of Mathematics Osaka University Education Ph.D Mathematics,University of Pennsylvania,2006 M.A. Mathematics, San Francisco State University,2001 M.A. Philosophy, San Francisco State University,2000 B.E. Engineering, Science University of Tokyo,1997 researchmap.jp/read0078210/education 渕野昌 1979年4月-1984年3月Freie Universität Berlin, Fachbereich Mathemtatik(ベルリン自由大学) 1977年4月-1979年3月早稲田大学, 理工学部, 数学科 618 名前： 1973年4月-1977年3月 同, 化学科 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%B1%E4%B8%8B%E7%9C%9F%E7%94%B1%E5%AD%90 山下真由子 人物 桜蔭中学校を卒業して桜蔭高等学校から通信制東京都立新宿山吹高等学校へ編入学し、在学中に第54回国際数学オリンピックコロンビア大会日本代表選手として銀メダルを獲得する 2014年に東京大学教養学部理科一類へ入学し、工学部計数工学科へ進学するも、4年次に進級せず修士課程への飛び入学のために退学する 2017年に大学院数理科学研究科数理科学専攻修士課程へ入学し、2019年に博士課程へ進学する。2019年8月31日に5か月で博士課程を退学し、9月1日付で京都大学数理解析研究所に採用されて助教[6]となる。2022年に論文博士制度で東京大学博士（数理科学）を修得する ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%9B%E6%9C%88%E6%8B%93%E9%83%8E 望月 拓郎（1972年-）は、日本の数学者 来歴 1972年（昭和47年）生まれ 京都大学に進学した[1]。理学部にて学んでいたが[1]、在学中にトポロジーの本を読み、「計算で答えを出す高校までの数学からガラッと変わった」と述懐している 大学院の理学研究科に飛び入学で進学するため、1994年（平成6年）に理学部を中途退学した 1996年（平成8年）、京都大学の大学院における修士課程を修了した それに伴い、修士（理学）の学位を取得した [] [ここ壊れてます] 619 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/24(金) 18:01:46.14 ID:BCvEAUed.net] >>558 補足 (引用開始) >　それ、論点先取 >　問われてるのは、まさにある集合の濃度を持つかどうかだから そうかも いま、基礎論の教科書を書いているとする そうすると、整列可能定理の証明前に、任意集合Aが なんらかの濃度を持つという 集合の濃度の章（or 節）を、すでに書いているかどうか（書けるかどうか） (引用終り) ふと思いついたが 　>>404より 海賊版サイトより （.pdf 正確なリンクは貼らない。著作権問題は 各人の責任でお願いいたします） Set Theory T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics). P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) 冒頭 ”Proof. Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A . と始まり 途中は ほぼ上記と同じ（記法が少し異なっている） 最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.”となっている （enumerate ＝ 列挙 また、α は 順序数の添え字。α <θ は、ある順序数θ未満のα という意味だろう） これで、全752ページだが 目次を見ると 下記なので Theorem 5.1より前に ”2. Ordinal Numbers”と ”3. Cardinal Numbers”が終わっている が、よく読むと（実は ななめ読みｗ） 上記の２つの章は、ガチガチのZFではなく カントールなどの古典的な集合論の議論中心だった ；ｐ） ５章でまた、”Cardinal Arithmetic.”を取り上げている ともかく、T Jech の内心では、”of order type sup{α∣aα is defined}”の部分は、 テキストとして それなりに 納得できているのかもしれない ；ｐ） 　記 Part I. Basic Set Theory 1. Axioms of Set Theory Axioms of Zermelo-Praenkel. Why Axiomatic Set Theory? Language of Set Theory, Formulas. Classes. Extensionality. Pairing. Separation Schema. Union. Power Set. Infinity. Replacement Schema. Ex 620 名前：ercises. Historical Notes. 2. Ordinal Numbers Linear and Partial Ordering. Well-Ordering. Ordinal Numbers. Induction and Recursion. Ordinal Arithmetic. Well-Founded Relations. Exercises. Historical Notes. 3. Cardinal Numbers Cardinality. Alephs. The Canonical Well-Ordering of a x o. Cofinality. Ex ercises. Historical Notes. 4. Real Numbers The Cardinality of the Continuum. The Ordering of R. Suslin’s Problem. The Topology of the Real Line. Borel Sets. Lebesgue Measure. The Baire Space. Polish Spaces. Exercises. Historical Notes. つづく [] [ここ壊れてます] 621 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/24(金) 18:02:18.46 ID:BCvEAUed.net] つづき 5. The Axiom of Choice and Cardinal Arithmetic The Axiom of Choice. Using the Axiom of Choice in Mathematics. The Count able Axiom of Choice. Cardinal Arithmetic. Infinite Sums and Products. The Continuum Function. Cardinal Exponentiation. The Singular Cardinal Hy pothesis. Exercises. Historical Notes. 6. The Axiom of Regularity The Cumulative Hierarchy of Sets. G-Induction. Well-Founded Relations. The Bernays-Godel Axiomatic Set Theory. Exercises. Historical Notes. 7. Filters, Ultrafilters and Boolean Algebras Filters and Ultrafilters. Ultrafilters on cj. /^-Complete Filters and Ideals. Boolean Algebras. Ideals and Filters on Boolean Algebras. Complete Boolean Algebras. Complete and Regular Subalgebras. Saturation. Distributivity of Complete Boolean Algebras. Exercises. Historical Notes. (引用終り) 以上 622 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/24(金) 18:23:12.69 ID:BaT80re5.net] 全く、世の中には余計な法律を制定して、 された側にとっては生活上余計な時間を奪う手続きを踏ませる 本来しなくてもいいような余計なことで コンピュータを使っているバカな人間がいて呆れた 何で銀行口座を10年使わないと休眠口座になって使えなくなるんだよ 少なくとも政界の人間はこれだから… 623 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/24(金) 19:53:14.90 ID:U1RMCmJs.net] >>576 スレ主です これは、おっちゃんかな？ もし おっちゃんなら お元気そうでなによりです。 これからも、よろしくね 624 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/24(金) 20:19:29.50 ID:U1RMCmJs.net] >>346 >fuchino.ddo.jp/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf >実数の集合論の基礎の基礎　渕野昌(Saka´ eFuchino) >2002年8月24日軽井沢にて起稿 関連文献 二つ貼っておきます (参考) fuchino.ddo.jp/notes/ch.pdf 連続体仮説と数学渕野昌(Saka´e Fuchino) (21.01.05(火), 23.12.13(水) に付記を補筆) fuchino.ddo.jp/misc/set-theory.pdf 集合論は矛盾する？！1渕野昌 1『数学セミナー』2002年2月号，52–56 掲載． ただし，本稿は『数学セミナー』掲載予定のテキストからは削除されたリマークや，その後の補筆を，幾つか含むものとなっている．[last updated on: March 21, 2024] 625 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 05:07:59.18 ID:AIirwIxg.net] >>572 >整列集合を定義域とする写像f(x)を{f(y)|y≺x}を用いて定義する Jechの証明では a(α)＝{a(ξ)∣ξ<α}　ではなく a(α)＝f({a(ξ)∣ξ<α})　なんですがね aの定義域は順序数でいいけど fの定義域は？　Aの空でない部分集合でしょ fはAの空でない部分集合から要素を選ぶ関数で この関数の存在を選択公理で保証してるんでしょ 626 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 05:13:04.05 ID:AIirwIxg.net] >>574 >いま、基礎論の教科書を書いているとすると、 >整列可能定理の証明前に、 >任意集合Aが なんらかの濃度を持つ >という集合の濃度の章（or 節）を、 >すでに書いているかどうか（書けるかどうか） ？ 順序数の全体が集合でないことを証明しておけば 整列定理で上限がない場合 Aが順序数の全体を”部分”として含むので Aが集合であることに矛盾するから上限がある といえるだろ 627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/25(土) 06:13:38.71 ID:vfu59oac.net] >>577 >>576は私(おっちゃん)ではない 恐らくAIによるレスだろう 628 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/25(土) 08:29:59.60 ID:vKwDmbNO.net] >>581 おっちゃん、どうも スレ主です 了解です お元気そうでなによりです。 今後ともどうかよろしくお願いいたします。 629 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/25(土) 09:00:51.33 ID:vKwDmbNO.net] >>580 うーん (引用開始) >>557 ID:knZwyXgJ さん >>553 > いま Jechの証明 の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね） 　それ、論点先取 　問われてるのは、まさにある集合の濃度を持つかどうかだから > そうすると、その濃度から決まる 順序数の上限が存在することが言えるだろう > それは、任意集合Aの冪集合の濃度を超えない > つまり、任意集合Aの冪集合の濃度によって押えられる > 集合Aが持ちうる順序数の上限があるのでは？ 　逆に上限がない場合、それは集合でない、と言えればいいんじゃね？ (引用終り) だった つまり、 en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem >>404 (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. Notes 9^ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7. あるいは 海賊版のThomas Jechの 証明を 転記>>464 if A-{aξ：ξ<α} is nonempt. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ここで order type sup{α∣aα is defined} と Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. とが対応して、同じ意味だと思う いまの議論で、選択公理→整列可能定理 の証明中で ”order type sup{α∣aα is defined}”を使って良いかどうか？ 整理すると ZFCで、任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えて 一方で、順序数の理論体系が出来ていれば 集合Aの濃度は、冪集合P(A)の濃度を超えないから ”order type sup{α∣aα is defined}”が言える（なにか上限があるってこと） 但し、整列可能定理を陽に使っていないこと それ以外にも、 任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えれば ”order type sup{α∣aα is defined}”がなければ、それはクラスでしょ？ （背理法） も考えられる 630 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 09:19:47.09 ID:AIirwIxg.net] >>583 > 任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えれば 　それ論点先取 　集合が濃度を持つ、というために整列定理を使ってるので 　sup{α∣aα is defined}が存在しなければ集合ではない、というのは 　整列定理と無関係に順序数の全体が順序数でない、ということから言えるだろ 　集合の全体が集合でない、というのが整列定理を用いずにいえるのと同じく 631 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/25(土) 09:24:30.11 ID:vKwDmbNO.net] >>579 まず (引用開始)>>572より www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大 尾畑研 第13章 整列集合 定理13.18 (超限帰納法) 略す ふつうの数学的帰納法は超限帰納法の整列集合Xとして自然数Nをとったものである また超限帰納法は証明だけではなく定義にも用いられる たとえば整列集合を定義域とする写像f(x)を{f(y)|y≺x}を用いて定義する手法がある これを再帰的定義または帰納的定義という ここで正確な主張を述べるのは難しいが X=Nの場合は第15.2節で扱う 下記の近藤友祐 集合論ノート0003 「整礎クラス上の超限帰納法と超限再帰法」 が参考になるだろう elecello.com/ 近藤友祐 2014 年 神戸大学 工学部 電気電子工学科 入学 （2011 年 11 月 03 日 第 12 回 日本数学コンクール論文賞 銀賞 受賞 　神戸大学数学研究会 POMB で代表を務めたり 略 していました） elecello.com/doc/set/set0003.pdf 集合論ノート0003 整礎クラス上の超限帰納法と超限再帰法 近藤友祐 初稿: 2017/09/05 整礎クラス上の超限帰納法と超限再帰法について述べる． (引用終り) さて a(α)＝f({a(ξ)∣ξ<α})　 で Jechの証明 >>583で 任意集合A a∈A で α=0, a(0) ← A∖Φ α=1, a(1) ← A∖{aξ∣ξ<1} α=2, a(2) ← A∖{aξ∣ξ<2} 　・ 　・ とやって a(0)≠a(1)≠a(2)・・となる これで、Aの要素 a(i) 達に、順序数の番号付けができて これに、最後があれば良い （”order type sup{α∣aα is defined}”>>583） そうすれば、整列順序をAに導入できたってこと そして、上記の”←”の部分が、 選択関数であって それは選択公理で保証されるってこと 632 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 09:43:34.98 ID:AIirwIxg.net] >>585 選択関数の定義域は？ 「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？ 決して{A,A∖{aξ∣ξ<1},A∖{aξ∣ξ<2},…}ではないよね だって、後者の場合aξを定義するのに選択関数使っちゃうから あくまで{A,A∖{aξ∣ξ<1},A∖{aξ∣ξ<2},…}はP(A)-Φの部分集合で しかも、選択公理と超限帰納法の適用の結果として分かるだけ 選択公理に先立って、定義域として示せるわけではない だから、Jechの証明は可算選択公理では使えない （ちなみに彌永の「数の体系（上）」岩波新書を読んでたら 　選択公理による整列定理の証明で同様の説明があったから 　元はErnst Zermeloの証明だな） 633 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 10:30:40.33 ID:Gj5NB1tI.net] >>585 >これに、最後があれば良い 有ることはどう示すつもり？ >そうすれば、整列順序をAに導入できたってこと 分かって言ってる？ 634 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/25(土) 11:39:29.19 ID:vKwDmbNO.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>586 >選択関数の定義域は？ >「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？ だれもそんなこと書いてないｗ 指数関数の定義域 e^x= 635 名前：exp(x) 指数関数の定義域は、複素数全体 C である 複素数Cから実数Rと 考えることはできる？ 面白いね 独自説でしょ？ｗ ；ｐ） >>587 >>これに、最後があれば良い >有ることはどう示すつもり？ あなたは Jechに聞きなさいよｗ その上で、各人がおのおの納得すればいいことだ そこはクリティカルじゃないぞｗ ；ｐ） いろんな考え方があるでしょｗｗｗ >>そうすれば、整列順序をAに導入できたってこと >分かって言ってる？ お前がな！ｗ ；ｐ） [] [ここ壊れてます] 636 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 11:43:56.26 ID:Gj5NB1tI.net] >>588 ただ聞いただけなのに何をそんなにイラついてんの？ それで結局答えず逃げてるしｗ 637 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 11:45:24.81 ID:Gj5NB1tI.net] >>588 要するに誰かがこう言ってるよと言ってるだけでその中身はぜんぜん理解できてないんだね ならそう言えばいいのに　何を誤魔化そうとしているのか 638 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 11:48:23.90 ID:H1/C2Rtq.net] 理解しているかどうかは問題ではないのだから 誤魔化すべき何物も存在しない 639 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/25(土) 11:50:26.07 ID:vKwDmbNO.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>584 (引用開始) >>583 > 任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えれば 　それ論点先取 　集合が濃度を持つ、というために整列定理を使ってるので 　sup{α∣aα is defined}が存在しなければ集合ではない、というのは 　整列定理と無関係に順序数の全体が順序数でない、ということから言えるだろ 　集合の全体が集合でない、というのが整列定理を用いずにいえるのと同じく (引用終り) それ、Jechに言えよｗ ；ｐ） あるいは、てめえで 「Jech 間違っている」論文書いて投稿しろよ！ｗ Jechの教科書は、随分ながく 定評ある教科書として、その評価が定着しているよｗｗｗ　；ｐ） アホ晒すだけと思うよ 640 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 12:04:59.24 ID:Gj5NB1tI.net] >>592 >Jechの教科書は、随分ながく >定評ある教科書として、その評価が定着しているよｗｗｗ　；ｐ） いかにも自分の頭で考えられない馬鹿が言いそうな発言 641 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/25(土) 13:11:40.55 ID:vKwDmbNO.net] >>593 ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” 　>>404より 海賊版サイトより （.pdf 正確なリンクは貼らない。著作権問題は 各人の責任でお願いいたします） Set Theory T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics). P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) いま手元の 海賊版 ”The Third Millennium Edition, revised and ... 2002.” で、初版が 1978年とある 随分 いろんな人の目に触れたと思うよ 問題点は、殆ど出尽くしじゃない？ （＾＾ そして、”Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)” この ”5.The Axiom of Choice and Cardinal Arithmetic ” より前に ”2.Ordinal Numbers”と”3.Cardinal Numbers”と 二つの章を先行しておいてある Jech氏に『論点先取りで、順番間違っています！』って、手紙書きなよｗ きっと喜んでくれるだろうぜｗｗ ；ｐ） 642 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 13:37:35.65 ID:Gj5NB1tI.net] >>594 >随分 いろんな人の目に触れたと思うよ >問題点は、殆ど出尽くしじゃない？ （＾＾ いかにも自分の頭で考えられない馬鹿が言いそうな発言 643 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/25(土) 13:57:36.04 ID:vKwDmbNO.net] >>593 ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>595 (引用開始) >随分 いろんな人の目に触れたと思うよ >問題点は、殆ど出尽くしじゃない？ （＾＾ いかにも自分の頭で考えられない馬鹿が言いそうな発言 (引用終り) まあ、経験則だな よくある話だが 数学書で、初版のあと 改訂版までの間に 正誤表が、アップされる （後で正誤表が出るのに、何時間も証明が分らない・・・と 悩んだ人もいるかもね ；ｐ） そして、改訂版では 正誤表が 改訂に反映されるとともに 読者からの意見を入れるとか 時代の進歩を入れて 内容が改訂されるものです 　>>594の ”P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)” の箇所も同様だろうという 推定がはたらくｗ （＾＾ ”The Third Millennium Edition, revised and ... 2002.” で、初版が 1978年, 2nd edition が、1997年 そして、今回の Third Millennium Edition 2002年で Preface を May 2002として、書いている ぶどう酒やウィスキーのようなもので 年月で熟成されるものもあるだろう ；ｐ） 644 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 14:07:45.53 ID:Gj5NB1tI.net] >>596 >まあ、経験則だな いかにも自分の頭で考えられない馬鹿が言いそうな発言 645 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/25(土) 15:14:25.13 ID:vKwDmbNO.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” (引用開始) >>586 選択関数の定義域は？ 「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？ 決して{A,A∖{aξ∣ξ<1},A∖{aξ∣ξ<2},…}ではないよね だって、後者の場合aξを定義するのに選択関数使っちゃうから あくまで{A,A∖{aξ∣ξ<1},A∖{aξ∣ξ<2},…}はP(A)-Φの部分集合で しかも、選択公理と超限帰納法の適用の結果として分かるだけ 選択公理に先立って、定義域として示せるわけではない (引用終り) ＜サルの循環論法＞ 1）集合Aの冪集合P(A)に、順序数の割当ができるという （つまり、P(A)の順序数割当に上限がある） 　そうすると、当然 集合Aでも、順序数の割当ができるぞ！ 2）もし、集合Aに 順序数の割当ができないとすると 　当然、P(A)の順序数の割当ができない！！ｗ 必死で、集合Aの順序数の割当に 突っかかるサル アホじゃん！ てめえが、循環論法やってんじゃんか！！ｗ ；ｐ） 646 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 16:35:10.99 ID:Gj5NB1tI.net] >>598 >P(A)の順序数の割当ができない で引用を否定してるつもり？ 意味不明過ぎるんですけど [] [ここ壊れてます] 648 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 16:36:06.39 ID:Gj5NB1tI.net] ぜんぜん見当はずれのこと言ってない？ 引用を間違えたとか？ 649 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 17:28:36.17 ID:AIirwIxg.net] >>598 ＜六甲山のサルの藁人形論法＞ >集合Aの冪集合P(A)に、順序数の割当ができるという 　六甲山のサルの幻聴 　選択公理を適用する集合族がP(A)‐Φだといったが 　P(A)-Φが整列できる、とはいってないし 　Jechの証明はもちろんそうなってない 　サルが勝手に「集合族そのものが整列される」と 　何の根拠もなく思い込んでるだけ 　その思い込みは全く初歩レベルの誤解 >必死で、集合Aの順序数の割当に 突っかかるサル 　必死で突っかかってるのは六甲山のサル　貴様だよ 　「集合Aの冪集合P(A)に、順序数の割当ができるという」ってなんじゃそりゃ 　ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ!!! 650 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 18:07:29.02 ID:AIirwIxg.net] Aが有限集合{1,2,3}だとしよう Jechの証明の方法ではP(A)-{}に対して選択関数fが存在する 例えば f({1,2,3})=1 f₍{1,2})=1 f({2,3})=2 f({1,3})=1 f({1})=1 f({2})=2 f({3})=3 f({})=undefined 上記のfでは結果としてできるAの整列は f({1,2,3})=1 f({2,3})=2 f({3})=3 しかし、別に f₍{1,2,3})=3 でもいいわけだから、その場合には f({1,2,3})=3 f({1,2})=1 f({2})=2 でもいいし、さらに f({1,2})=2 でもいいわけだから、その場合は f({1,2,3})=3 f({1,2})=2 f({1})=1 になる P(A)-Φの可能な選択関数に対して得られるAの整列を考えてみてもおもろしいだろう もちろん、1対1対応はしない筈である 651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/25(土) 19:15:10.93 ID:X5Ca4Lbk.net] >>602 >P(A)-Φの可能な選択関数に対して得られるAの整列を考えてみてもおもろしいだろう 選択函数fがAの同じ整列関係を定めるとき同値とすることで、選択函数全体の集合に同値関係が入る。 各同値類には、各整列関係から定まる「特別な選択函数」が一つだけ含まれている。 652 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/25(土) 19:24:01.66 ID:vKwDmbNO.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>598 補足 (再掲)>>504より en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem Proof from axiom of choice The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9] Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　注）＊ For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated). Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. Notes 9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7. 注）＊ That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. (引用終り) 1）このJech氏証明のキモは、集合Aから 要素を 　a0,a1,a2,・・と取り出して 　そのときの選択関数の入力の集合が 　A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・となって 　選択関数f：A∖{aξ∣ξ<α}→aα（つまりaα= f(A∖{aξ∣ξ<α})のこと） 　と書ける 2）これは、選択公理 により、選択関数fの存在が保証されているから、許される 　ここで、要素 a0,a1,a2,・・ 達は、順序数 0,1,2,・・ による添え字付けが出来ているのです 　この順序数 添え字の 整列を使って、 a0,a1,a2,・・ 達に 整列順序が導入できている 　また、同時に 要素 a0,a1,a2,・・ の整列も得られている 　これぞ、選択公理→整列可能定理の証明だ ってこと 3）sup{α∣aα is defined}の部分は、集合Aの濃度から決まる上限　Aの冪集合P(A)の濃度を超えないので 　証明が終わる■ では、Aの冪集合P(A)の整列で 同じことをやると P(A)で”sup{α∣aα is defined}”の相当� 653 名前：ｷる部分が どうなるかが問題となる 同じように考えると、P(A)の冪集合P(P(A))を考えるべしとなって 繰返しが起きる。これはまずい 集合Aの整列順序のために、べき集合P(A)の整列順序を考えるべき そうすると、そのまた冪集合P(P(A))を考えるべき・・ と無限後退してしまう それ、面白すぎじゃね？ だから、A自身の整列可能性と Aの冪集合P(A)の整列可能性は、切り離すのが良さそうだね そういう結論ですなｗ [] [ここ壊れてます] 654 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 19:57:34.19 ID:Gj5NB1tI.net] >>604 >3）sup{α∣aα is defined}の部分は、集合Aの濃度から決まる上限　Aの冪集合P(A)の濃度を超えないので >　証明が終わる■ ゼロ点 君supって何か分かってる？ 655 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/25(土) 20:04:24.66 ID:vKwDmbNO.net] >>604 補足 >3）sup{α∣aα is defined}の部分は、集合Aの濃度から決まる上限　Aの冪集合P(A)の濃度を超えないので 　証明が終わる■ 1）集合の濃度については、下記のja.wikipediaの通り 2）つまり、集合の濃度の割り当てには 　ノイマン流（選択公理を仮定する）と 　スコットのトリック（選択公理なしで、正則性公理を使う） 　がある （これで「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」） 3）いま、>>604のように、選択公理→整列可能定理の証明だけ 考えるならば 　ノイマン流でも可だが 　逆の整列可能定理→選択公理 において 　「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」に、選択公理が必要だとなると 　循環論法の可能性がある*注 4）スコットのトリック（選択公理なしで、正則性公理を使う） 　ならば、「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」として 　整列可能定理→選択公理の証明に使っても 問題なし■ *注：『集合族の和集合において、その濃度が決まり、順序数の上限が決まる』とする部分が 　必要であるならば 　スコットのトリックを使う方がスマート (参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BF%83%E5%BA%A6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 濃度 (数学) 濃度（英: cardinality カーディナリティ）とは、有限集合における「元の個数」を一般の集合に拡張したものである[1]。集合の濃度は基数 (cardinal number) と呼ばれる数によって表される。歴史的には、カントールにより初めて無限集合のサイズが一つではないことが見出された[2][3]。 厳密な定義 （カントールによって暗に、フレーゲやプリンキピア・マテマティカにおいて明確に示されていた）集合 X の濃度の最も古い定義は、X と一対一対応のつくすべての集合からなるクラス [X] としての定義である。これは、ZFCや関連する集合論の公理系ではうまく機能しない。それは、X が空でないならば、一対一対応のつくすべての集合を集めたものは集合にしては大きすぎるからである。実際、X を空でない集合としたとき、集合 S に {S} × X を対応させる写像を考えることによって、宇宙から [X] への単射が存在し、サイズの限界（英語版）より、[X] は真のクラスである。 フォン・ノイマンの割り当て 選択公理を仮定すると集合 X に対し濃度 | X | を | X | := min{α ∈ ON : |α| = | X | } と定義できる 。 これをフォン・ノイマンの割り当てという。 スコットのトリック 正則性公理の元、任意のクラスに対し画一的に（そのクラスの部分クラスとなる）集合を割り当てる方法であるスコットのトリックを使うと、 整列可能とは限らない集合 X に濃度 | X | を以下のように割り当てることができる（詳しくはスコットのトリックを参照）。 | X | := {A : | A | = | X | かつ、任意の集合 B に対し「| B | = | X | → rank( A) ≤ rank( B)} 」 どのような定義を採用するにしろ集合の濃度が等しいのは、それらの間に全単射が構成できるちょうどそのときである。 656 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 20:09:57.55 ID:Gj5NB1tI.net] >>606 >「集合の濃度から、順序数の上限が決まる ゼロ点。 順序数ωとω+1はどちらも可算濃度だが、ω≠ω1。 君上限とは何か分かってないでしょ。 657 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 20:11:49.50 ID:Gj5NB1tI.net] ω≠ω+1 658 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 20:37:44.20 ID:AIirwIxg.net] ところでZFでは最小の無限順序数ωのべき集合P(ω)が整列不能なモデルが存在する （もちろん、このようなモデルでは選択公理は成立しない） CantorやZermeloがこれを聞いたら発狂するだろうな 659 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 20:40:41.47 ID:AIirwIxg.net] >>609で示したモデルはもちろん箱入り無数目も不成立である 尻尾同値類の代表を選択する関数が存在しないから 注）無限列を例えば有理数の無限小数展開に制限するとかなら 　　選択公理なしに代表が選べるから箱入り無数目はもちろん成立する 660 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 22:35:32.30 ID:Gj5NB1tI.net] >>606 上限とは上界全体の集合の最小元のこと。 よって|sup{α|aα is defined}|=|A|でなければならない。 一方|P(A)|>|A|だから、 >3）sup{α|aα is defined}の部分は、集合Aの濃度から決まる上限　Aの冪集合P(A)の濃度を超えないので >　証明が終わる■ は大間違い。 661 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/25(土) 23:26:07.16 ID:vKwDmbNO.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>606 補足 (引用開始) 2）つまり、集合の濃度の割り当てには 　ノイマン流（選択公理を仮定する）と 　スコットのトリック（選択公理なしで、正則性公理を使う） 　がある （これで「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」） (引用終り) 補足しておく 1）いま、簡単に自然数N={0,1,2,3,4,・・・}を整列させるとき 　一番単純には、0,1,2,3,4,・・・ と 普通の大小の順にすれば良い 　このとき、列長さはωになる 　ところが、0,2,4,・・・,1,3,5,・・・ と 　偶数を先にして、奇数をその後にすれば、列長さはω+ω=ω・2 になる 　もし、mod m m>2 で同じようにすると、列長さはω・m になる 2）そして、mはいくらでも増やせるが、いくら増やしても 　最小の非可算順序数 ω1（＝アレフ・ワン ℵ1）を超えることはできない 　到達することもない 3）自然数Nの冪集合P(N)=2^N の濃度は、アレフ・ワン ℵ1である （自然数Nの濃度は、アレフ・ゼロℵ0） 　これを一般化すると、無限集合Aがなんらかのアレフ number であったとして 　それを、整列させるやり方は、上記の自然数Nの例示と同様に、一つではなく 　また、整列の長さも異なるが、その列の長さは 一つ上の アレフ numberを超えることはない 　到達することもない■ (参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88 冪集合 冪集合の濃度 冪集合の濃度は元の集合の濃度より常に大きい（カントールの定理）。有限集合のときにはこれは自明である。一般の場合は、カントールの対角線論法によって示される。 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%83%95%E6%95%B0 アレフ数（英: aleph number）は無限集合の濃度（あるいは大きさ）を表現するために使われる順序数のクラスである。 自然数全体の集合の濃度はアレフ・ノート ℵ0（aleph-naught; アレフ・ヌル (aleph-null) あるいはアレフ・ゼロ (aleph-zero) とも）であり、それより一段階大きい濃度がアレフ・ワン ℵ1, 次はアレフ・ツー ℵ2 と以下同様に続く。このように続けて、すべての順序数 α に対して以下に述べられるように一般のアレフ数となる濃度 ℵα を定義することができる。 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 極限順序数 任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω 順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。このとき、空でない順序数の集合が最大元を持たないならば、その和集合は常に極限順序数になる[1]。フォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる。 可算順序数を超えて、最小の非可算順序数 ω1 は、これもまた極限順序数となる。同様に推し進めれば、以下のような系列（以下の列では項を追うごとに濃度も増大する）: ω2,ω3,…,ωω,ωω+1,…,ωωω,… が得られる。 662 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 00:49:18.27 ID:b1A8rVdb.net] >>612 >補足しておく 無駄。 663 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 00:49:58.12 ID:b1A8rVdb.net] なぜなら >これを一般化すると、無限集合Aがなんらかのアレフ number であったとして >それを、整列させるやり方は、上記の自然数Nの例示と同様に、一つではなく >また、整列の長さも異なるが、その列の長さは 一つ上の アレフ numberを超えることはない >到達することもない がトンチンカンだから。 664 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 00:50:10.44 ID:b1A8rVdb.net] なぜなら重要なのは >sup{α|aα is defined} であって、aαの並び方は選択関数で一意に決まり、他の並び方を考える必要がまったく無いから。 665 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/26(日) 08:41:01.73 ID:57hfZFiX.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>615 >なぜなら重要なのは >>sup{α|aα is defined} >であって、aαの並び方は選択関数で一意に決まり、他の並び方を考える必要がまったく無いから。 あたま腐ってない？ 　>>612に例示したように 自然数N={0,1,2,3,4,・・・}を整列させるとき 可能な列の最小長さは ωで あと任意 ω・m (m>2の自然数)と出来て ω・ω も可能なんだろうね だが、非可算のω1には 到達できない 並びは、一意ではない。>>583 "as desired" (en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theoremより) だよ >>611 >よって|sup{α|aα is defined}|=|A|でなければならない。 ??? なんだそれ？ >>609 >ところでZFでは最小の無限順序数ωのべき集合P(ω)が整列不能なモデルが存在する >（もちろん、このようなモデルでは選択公理は成立しない） >CantorやZermeloがこれを聞いたら発狂するだろうな ZFで可算選択公理さえ採用しなければ、当然だろ？ そもそも、可算選択公理なしでは 可算集合Aさえ整列できない Cantorは、暗黙に可算選択公理を前提としていたというが、かれの現役時代は選択公理を知らない しかし、Zermeloが選択公理を導入したから、Zermeloは すぐ理解するだろう >>586 >選択関数の定義域は？ >「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？ なんだそりゃ？ 選択関数が分ってない？ あのさ、数学科の学部1年か2年がいうなら、独創的な発想だね とか まだかわいいよ しかし、30年前に 数学科修士を卒業して よって あれから30年経つ人がいうか？ 「あなた、全く数学の才能ないね？！」でしょ それだと、大学数学科行っても、チンプンカンプンで終わったろうさ ；ｐ） やれやれ 666 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 10:09:13.10 ID:b1A8rVdb.net] >>616 >あたま腐ってない？ それが君 >並びは、一意ではない。 選択関数で並び A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・ が一意に定まる。 この並びが整列順序であることを示そうとしているのだから、他の並びが存在することを言ってもトンチンカンなだけ。分る？ >"as desired" (en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theoremより)だよ 君、まったく読めてないね。 Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α|aα is defined}. すると「α<β（順序数の通常の整列順序において）のときそのときのみaα<aβ」で定義されるA上の順序関係<は、望み通りAの整列順序であり、sup{α|aα is defined}順序型のものである。 (A,<)が整列順序であることを示そうとしている文脈において、望み通り（"as desired"）整列順序であると言ってるんだよ。分る？ 667 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 10:22:22.84 ID:b1A8rVdb.net] >>616 >>選択関数の定義域は？ >>「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？ >なんだそりゃ？ なんだそりゃじゃないよｗ 集合族P(A)-Φに対して選択公理を適用（すなわち選択関数の定義域はP(A)-Φ）しなけりゃ A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・ が得られないだろｗ >選択関数が分ってない？ それが君 668 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/26(日) 10:36:17.51 ID:57hfZFiX.net] >>616 蛇足 (引用開始) >選択関数の定義域は？ >「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？ (引用終り) 選択公理は、下記では 任意の族Ａ でしょ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 選択公理 定義 空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、各要素（それ自体が集合である）から一つずつその要素を選び、新しい集合を作ることができる。あるいは同じことであるが、空でない集合の空でない任意の族Ａ に対して写像 f:Ａ → ∪A:=∪A∈Ａ A であって任意の A∈Ａ に対し f(A)∈Aなるものが存在する、と写像を用いて言い換えることが出来る （ここで存在が要求される写像 f を選択関数（英語版）という）。 669 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 10:46:19.69 ID:b1A8rVdb.net] >>616 >>よって|sup{α|aα is defined}|=|A|でなければならない。 >??? なんだそれ？ なんだそれじゃないよｗ sup{α|aα is defined}の特定によって Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α|aα is defined}. すると「α<β（順序数の通常の整列順序において）のときそのときのみaα<aβ」で定義されるA上の順序関係<は、望み通りAの整列順序であり、sup{α|aα is defined}順序型のものである。 が言えるんだよ。 sup{α|aα is defined}が特定されなきゃ、「α<β（順序数の通常の整列順序において）のときそのときのみaα<aβ」による(A,<)の定義がwell-definedと言えんだろ？ 「|P(A)|>|A|だから上限がある」とか言ってる君がまるで分かってないだけ。 670 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 10:49:53.29 ID:b1A8rVdb.net] >>619 やはり何も分かってないｗ 任意の族（ただし空でない集合の空でない族に限る）に適用できるからP(A)-Φにも適用できて、その結果として A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・ が得られるんだよｗ 君、もう発言しなくていいよ。まるで分かってない人が発言してもゴミレスにしかならないから。 671 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/26(日) 11:14:29.98 ID:57hfZFiX.net] >>619 補足 ja.wikipediaでは、Ａばかり出てきて 分りにくいので en.wikipediaより 下記ご参照 なお、下記のja.wikipedia可算選択公理と従属選択公理とを合わせると 要するに、取り扱える 672 名前：集合族が 非可算ならば フルパワー選択公理 可算の範囲で、単純なのが 可算選択公理 さらに、”従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということ”(下記) で、平たくいえば、フルパワー選択公理の定義域で 集合族の添え字を 非可算から、可算に制限すると 可算選択公理か従属選択公理になる ということ 大は小を兼ねるで、フルパワー選択公理は、可算選択公理が出来ること、従属選択公理できることは 全てできる。 繰り返すが、定義域の集合族の添え字を可算に制限すると、可算選択公理か従属選択公理になる 当たり前だが、関数の定義域は 都合により いろいろ制限してよい また、必要により 矛盾なく拡張できるならば、そうして良い （あたかも、指数関数e^x＝exp(x) は、歴史的には 自然数が考えられ、その後負のベキが考えられ、有理数のベキに拡大され、そして実数Rから複素数Cに定義域は拡張された。関数の定義域とは、そういうものよ ；ｐ） (参考) en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice Axiom of choice Statement A choice function (also called selector or selection) is a function f, defined on a collection X of nonempty sets, such that for every set A in X, f(A) is an element of A. With this concept, the axiom can be stated: Axiom — For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f that is defined on X and maps each set of X to an element of that set. Formally, this may be expressed as follows: ∀X[Φ not∈X ⟹ ∃f:X→⋃A∈X A ∀A∈X(f(A)∈A)]. ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 選択公理の変種 選択公理には様々な変種が存在する 可算選択公理 従属選択公理 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 可算選択公理とは、公理的集合論における公理のひとつで、空でない集合からなる可算な集合族があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 従属選択公理DCとは、選択公理の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である 形式的な言明 従属選択公理とは、次の言明である: 任意の空でない集合 X とその上の全域二項関係 R に対して、列(xn)n∈N を全ての n∈N. に対して xnR xn+1 であるように取れる 使用例 従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである。 公理 DC は AC の断片であって、超限帰納法の各ステップで選択をする必要があって、それまでの選択に独立した選択ができない場合に、可算長の列を構成するのに必要である [] [ここ壊れてます] 673 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 11:23:50.74 ID:b1A8rVdb.net] またトンチンカンなコピペか まったくナンセンス 674 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/26(日) 11:40:18.00 ID:57hfZFiX.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” 　（>>615より再録） 選択関数が分ってない？ あのさ、数学科の学部1年か2年がいうなら、独創的な発想だね とか まだかわいいよ しかし、30年前に 数学科修士を卒業して よって あれから30年経つ人がいうか？ 「あなた、全く数学の才能ないね？！」でしょ それだと、大学数学科行っても、チンプンカンプンで終わったろうさ ；ｐ） やれやれ 675 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 11:44:22.28 ID:b1A8rVdb.net] 言葉が分からないようだね サルだから仕方無いか 676 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 12:20:53.15 ID:b1A8rVdb.net] ていうか公開処刑って何だよｗ なんで自分が処刑されるのを公開したがるの？　馬鹿なの？ 677 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/26(日) 12:52:26.40 ID:57hfZFiX.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>586 戻る >選択関数の定義域は？ >「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？ >あくまで{A,A∖{aξ∣ξ<1},A∖{aξ∣ξ<2},…}はP(A)-Φの部分集合で >しかも、選択公理と超限帰納法の適用の結果として分かるだけ >選択公理に先立って、定義域として示せるわけではない ふっふ、ほっほ 1）いま、選択公理で整列したい集合Aとして、有理数Qを取ろう （空集合の扱いが面倒なので、空集合Φ=0として、Q＼Φを扱う ） 　A=Q＼Φね。さて、「Aの空でない部分集合全体」を考えるべしだとすると 　Qの空でない部分集合全体 P(Q)=2^Qで、2^Q＼Φを考えることになる 2）よく知られているように、非可算の実数R=2^N (Nは自然数)で 　明らかに 2^Q⊃2^N⊃Rです （⊃は等号を許す） 3）ということは、2^Q＼Φ ⊃ R＼Φ であって 　有理数Qの整列のために、まず 2^Q＼Φを考えるべしとすると 　それは R＼Φを含むから、� 678 名前：ﾜず 非可算の実数Rに なんらかの 　順序構造を考えるべし となる 　その順序は、通常の大小 ＜ であってはならない！ 　通常の大小 ＜ は、全順序を与えるが、QやR中では 決して 整列順序を与えない！ 　そのような 通常の大小 ＜ ではない、なんらかの順序を 実数Rで考える必要がある・・？ 結論として、そんな面倒なことやるならば Jechを含めた 多くの数学者がやっているように 直接 有理数Qの整列を考える方が簡単でしょ？ ；ｐ） 同様に、可算集合Aを考えるとき、冪集合 2^A を考えるなんてバカはやめて 直接 Aの整列を考える方が、賢そうだよｗｗｗ ；ｐ） [] [ここ壊れてます] 679 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 13:05:11.53 ID:b1A8rVdb.net] >>627 何をアホなこと言ってるのやら 考えてるのは言わずもがなAの順序関係であって、2^Aのそれではない。 一方、 A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・ を得るにはP(A)-Φを定義域とする選択関数が必要。 ほんとに何にも分かってないんだね君は なんでそんなに公開処刑されたいの？ 680 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 13:13:43.56 ID:b1A8rVdb.net] >>627 もういいから黙りなよ君 公開処刑されるのが趣味なの？　君はドMかい？ 681 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 13:34:27.57 ID:odIYHPQg.net] >>628 ＞１．考えてるのはAの順序関係であって、2^Aのそれではない。 ＞２．一方、A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・ ＞を得るにはP(A)-Φを定義域とする選択関数が必要。 この2点に尽きる 選択関数の定義域がP(A)-Φだからといって、 即P(A)-Φの整列と脊髄反射するのは思考力ゼロのサル 682 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/26(日) 14:09:16.80 ID:57hfZFiX.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・ >を得るにはP(A)-Φを定義域とする選択関数が必要。 妄想沸いてるよｗ ；ｐ） 下記 Jechの証明を2つ再録しよう 1） 　>>486より 再度転記しよう T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics) Thomas Jechの 証明 P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) 　Every set can be well-orderd. Proof： Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for everv α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempt. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■ 2） また (再掲)>>504より en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem Proof from axiom of choice The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9] Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　 For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated). Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. Notes 9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7. (引用終り) どちらも、aα=f(A-{aξ：ξ<α}) あるいは aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) つまり、関数で書くと ・ｆ：A-{aξ:ξ<α} → aα ・ｆ：A∖{aξ∣ξ<α} → aα "P(A)-Φを定義域とする選択関数が必要"? 妄想沸いてるよ ｗ ；ｐ） 定義域 A-{aξ:ξ<α} または {aξ∣ξ<α}■ 683 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 14:28:24.37 ID:b1A8rVdb.net] >>631 >"P(A)-Φを定義域とする選択関数が必要"? うん >using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A あるいは >let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A の通りだよ 君、英文読めないの？ 684 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 14:28:37.59 ID:b1A8rVdb.net] >どちらも、aα=f(A-{aξ：ξ<α}) あるいは aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) >つまり、関数で書くと >・ｆ：A-{aξ:ξ<α} → aα >・ｆ：A∖{aξ∣ξ<α} → aα >定義域 A-{aξ:ξ<α} または {aξ∣ξ<α} 君、関数も知らないの？ f(A∖{aξ∣ξ<α}) ってことは A∖{aξ∣ξ<α} はfの定義域の元だろ？ 君が言うように定義域の元が定義域なら x∈x だから正則性公理に反するぞｗ 君、呆れるほど分かってないんだね 処刑されるの公開されて楽しいかい？ 685 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 14:47:08.65 ID:b1A8rVdb.net] >>604 >1）このJech氏証明のキモは、集合Aから 要素を >　a0,a1,a2,・・と取り出して >　そのときの選択関数の入力の集合が >　A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・となって ああ、君ぜんぜん分かってないね Aの要素 a0,a1,a2,・・をどうやって取り出すつもり？ どうせ答えられないだろうから答えを教えると選択関数を使ってるんだよ a0=f(A) a1=f(A＼{a0}) a2=f(A＼{a0,a1}) ・・・ ってね。 それが可能なのは、P(A)-{}に対して選択公理を適用してるから。すなわち選択関数の定義域はP(A)-{}であってAではない。 君、端から分かってないね。それで分かった風に語っちゃったらそりゃ公開処刑されるわ。 686 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 14:55:20.40 ID:odIYHPQg.net] ◆yH25M02vWFhP　相手を処刑するつもりで書いた言葉が自分を処刑 687 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/26(日) 15:01:23.05 ID:57hfZFiX.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>633 >f(A∖{aξ∣ξ<α}) ってことは A∖{aξ∣ξ<α} はfの定義域の元だろ？ >君が言うように定義域の元が定義域なら x∈x だから正則性公理に反するぞｗ 688 名前：ふっふ、ほっほ 何を言っているのか、意味不明ですよ Jech の証明>>631 に イチャモンつけているの？ 『定義域の元が定義域なら x∈x だから正則性公理に反する』？？ それ 意味不明ですぅ〜！ ｗｗ ；ｐ） ところで、いまA=R(実数)の整列について Jech の証明を使って、Rを整列させるとするよ そのときに、仮に "P(A)-Φを定義域とする選択関数が必要">>628 ということは、或る意味 下記の ”実数全体の集合RからRへの関数全体の集合F”を考えることになるよ 集合Fは、その濃度は 連続体の濃度を超えている（下記） なんで 実数Rのために 連続体の濃度を超える べき集合2^Rを考えるの？ それで問題が簡単になるならばともかく、何もメリットないでしょ？！！ ｗ ；ｐ） (参考) nekodamashi-math.blog.ss-blog.jp/2018-03-31-4 ねこ騙し数学 nemurineko 第１１回　非可算集合　[集合論入門] （２）　関数の濃度 実数全体の集合RからRへの関数全体の集合Fの濃度 実数全体の集合RからRへの関数全体の集合Fと実数全体の集合Rとは対等ではない。 （証明終） RからRへの関数全体の集合Fの濃度を関数の濃度という。 実は、 ℵ0＜ℵ＜関数の濃度 という関係がある [] [ここ壊れてます] 689 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/26(日) 15:07:26.99 ID:57hfZFiX.net] ところで、下記 集合論の形成にみる「直観」の問題 中村大介 学習院大学 科学哲学46−1（2013） ”2 カントールの創造” を見つけたので、貼っておきますね これ 非常に興味深い いま、カントールの原論文に 注釈なしで 読む気もない（おそらく読む能力もない） から、下記はありがたい (参考) www.jstage.jst.go.jp/article/jpssj/46/1/46_53/_pdf 科学哲学46−1（2013） 集合論の形成にみる「直観」の問題 一カヴァイエスの立場から− 中村大介 学習院大学 (抜粋) 2 カントールの創造 2.1　1881年以前 ここでは再構成の出発点を，ゲオルグ・カントールの1872年の論文「三角 級数論の一定理の拡張について」に定める．タイトルから分かる通り，この時 期，カントールはまだ解析学の領域で仕事をしていた．この論文で彼は1870 年に考察した実関数の三角級数展開 f(x) = 1/2a0+(a1 cosx + b1 sinx)+・・・+(an cos nx +bn cosnx) + ・・・ の一意性の問題を，導集合の概念を導入して再考している． 今，あるｎ次導集合(n∈N)が空集合となるような集合を第(n- 1)種集合 と呼ぶことにすると，カントールは以下が成り立つことを示した．すなわち， 実関数が上の形に三角級数展開されるならば，区間[0,2π]内の，何らかのあ る第k種集合に属する点を除く全てのxに対して，この展開は一意である． ここで注意すべきは，導集合を作る手続きほいまだ有限の範囲にとどまっ ている，ということである．そして，この手続きを有限の範囲を超えて拡張 することが，集合論の形成に大きく貢献することになる．そして，カントー ルはこの時点で既に，この手続きを一般化することの重要性に気がついてい たように見える． この拡張が最初に見られるのはやや時代を空けて2，1879年のことである． この年から1884年まで，彼は「無限線状点集合について」と題された一連 の論文を執筆する．全六部まであるこの論文は，カントールがいかにして解 析学を超出して超限集合論を形成していくか，その経緯を雄弁に語ってくれ る． 1879年に発表されたこの第一部で注目すべきことは，1873-1877 年の間に集中的に検討された「濃度」概念とこの集合の類との関係が考察さ れ始める，ということである．カントールは既にこのとき，自然数全体の集 合の濃度と実数全体の集合（線状連続体）のそれとが異なる，という結果を 得ていた．そこで，集合をボトムアップ式に作りだしていくことで，これら 異なった二つの濃度をもつ集合に至れるかどうかは，彼にとって重要な関心 事であったのである．カントールはこの考察のために，「クラス」と呼ばれる 集合に対する別の区分を導入する．可算集合を全て含むクラスが「第一クラ ス」，連続区間と全単射対応する集合を全て含むクラスが「第二クラス」とさ れる 690 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 15:37:04.08 ID:odIYHPQg.net] >>636 > ふっふ、ほっほ > 何を言っているのか、意味不明ですよ 頭悪いな > Jech の証明 に イチャモンつけているの？ いや、可算整列定理は可算選択公理で十分とかいう キミの連想ゲームを無理やり正当化するための ”チート改変”にイチャモンつけてる > ところで、いまA=R(実数)の整列について > Jech の証明を使って、Rを整列させるとするよ > そのときに、仮に "P(A)-Φを定義域とする選択関数が必要" > ということは、或る意味 下記の > ”実数全体の集合RからRへの関数全体の集合F” > を考えることになるよ 「或る意味」という言葉でいい加減なウソ書くのやめてね この場合の選択関数fは 2^R-Φ　→　R >集合Fは、その濃度は 連続体の濃度を超えている Fは間違ってるので、2^R-Φに直すと 「集合2^R-Φの濃度は 連続体Rの濃度を超えている」 うん、そうだよ　それがどうしたの？ > なんで 実数Rのために 連続体の濃度を超える べき集合2^Rを考えるの？ 　なんで 実数Rのために 連続体の濃度を超える べき集合2^Rを考えちゃいけないの？ > それで問題が簡単になるならばともかく、何もメリットないでしょ？！！ 　それで整列できるんだからメリットだらけでしょ （整列することにメリットがないとかいう"ちゃぶ台返し"は禁止） 691 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 15:48:53.05 ID:b1A8rVdb.net] >>638 >うん、そうだよ　それがどうしたの？ わろた |2^A|>|A|はカントールが証明済み　「それがどうしたの？」に尽きるねｗ　雑談くんまた公開処刑されちゃったねｗ 692 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 15:54:22.60 ID:b1A8rVdb.net] >>634 >>集合Aから 要素を a0,a1,a2,・・と取り出して >Aの要素 a0,a1,a2,・・をどうやって取り出すつもり？ Aが有限集合なら数学的帰納法で証明できるから選択公理不要。 つまり、P(n)：「(取り出す元が残ってる限り)n元取り出せる」に対して簡単にP(1)、P(n)⇒P(n+1)ともに真であることを示せる。 しかしAが無限集合なら数学的帰納法は使えない。 超限帰納法もダメ。なぜなら、極限順序数λについて ∀n<λ.P(n)⇒P(λ)を証明できないから。（実際選択公理はZFと独立であることが分かっている。） だから集合Aから 要素を a0,a1,a2,・・と取り出すには選択公理が必要。不要と思ってた？　君、選択公理も分かってないんだね。 693 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 16:56:55.89 ID:odIYHPQg.net] 選択公理を使ってAを整列する方法は P(A)-Φから要素を選ぶ選択関数fを用いて A→f(A) A-{f(A)}→f(A-{f(A)}) A-{f(A)}ｰ{f(A-{f(A)})}=f(A-{f(A)}ｰ{f(A-{f(A)})}) … と続けていき {f(A),f(A-{f(A)}), f(A-{f(A)}ｰ{f(A-{f(A)})})…}=B として A-B≠Φならば、 A-B=f(A-B) A-B-f(A-B)=f(A-B-f(A-B)) … とさらに続けていくと、 まあいつかは空集合になるので それでAが整列できる このとき、P(A)-Φの全ての要素を使うわけではないが どの要素が使われるか、整列する前にはわからないので 選択公理としては集合族P(A)-Φを使わざるをえない 694 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/26(日) 17:49:43.97 ID:57hfZFiX.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ふっふ、ほっほ >>638-641 ふーん、ID:odIYHPQg と ID:b1A8rVdb と 箱入り無数目の あほ二人が、揃ったか ID:b1A8rVdb が、おサルさん>>7-10 ID:odIYHPQg が、おサルの連れ さて >>641より (引用開始) 選択公理を使ってAを整列する方法は P(A)-Φから要素を選ぶ選択関数fを用いて A→f(A) A-{f(A)}→f(A-{f(A)}) A-{f(A)}ｰ{f(A-{f(A)})}=f(A-{f(A)}ｰ{f(A-{f(A)})}) 略 このとき、P(A)-Φの全ての要素を使うわけではないが どの要素が使われるか、整列する前にはわからないので 選択公理としては集合族P(A)-Φを使わざるをえない (引用終り) 1）えーと、選択関数f で、関数fとは 現代的定義は、写像（対応）だよね 　で、関数fが定まるとは？ 定義域だけでなく、対応する 値域も定まっていなければならない！ 2）そこで 問う 　選択関数fが 定義域 集合族P(A)-Φ で、事前に定まっているというならば 　上記 A∖{aξ∣ξ<α}（>>631 Jech, Thomas (2002)）以外の 定義域 P(A)-Φの 　全ての 選択関数f の （値域の）値を 書け！！ｗ ；ｐ） 695 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 18:00:19.42 ID:b1A8rVdb.net] >>642 >定義域 P(A)-Φの全ての 選択関数f の （値域の）値を 書け！！ｗ ；ｐ） ∀B∈(P(A)-Φ)についてf(B)∈B⊂A なんでこんな当たり前のことが分からないの？　もしかして馬鹿？ 696 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/26(日) 18:07:44.19 ID:57hfZFiX.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>633 >f(A∖{aξ∣ξ<α}) ってことは A∖{aξ∣ξ<α} はfの定義域の元だろ？ >君が言うように定義域の元が定義域なら x∈x だから正則性公理に反するぞｗ 公開処刑のために聞くが もう少し説明してくれないかな？ あっ、いやならいいぞ ”アホや”の一言で済ますからｗ ；ｐ） 697 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/26(日) 18:19:56.61 ID:57hfZFiX.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>643 >>定義域 P(A)-Φの全ての 選択関数f の （値域の）値を 書け！！ｗ ；ｐ） >∀B∈(P(A)-Φ)についてf(B)∈B⊂A なるほど では、問う 1）>>642 A∖{aξ∣ξ<α}（>>631 Jech, Thomas (2002)） 　で、この選択関数 f：A∖{aξ∣ξ<α}→aα （>>631 より） 　ここで、Jech, Thomas の工夫は 　αという順序数を 選択関数 f に組み込んだことにあるよ 2）f(B)∈B⊂A だけだと 　i) Jech, Thomas の工夫（順序数の導入）が 無いけど それはどうしたの？ｗ ；ｐ） 　ii) f(B)∈B⊂A だけだと 選択公理のステートメントそのままじゃんｗｗ 　　”f(B)∈B⊂A” から、 Jech, Thomas の工夫 f：A∖{aξ∣ξ<α}→aαが出るかい？ｗｗｗ 　　繰り返すが もし、上記 Jech, Thomas の工夫 順序数の導入が導けないならば 　　それって、数学的に無意味（トリビアル）でしょ？ｗｗｗｗ ；ｐ） 698 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 18:36:34.02 ID:b1A8rVdb.net] >>644 そのまんまだけど？　何が分からないと？ 699 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 18:44:41.77 ID:b1A8rVdb.net] >>645 >ここで、Jech, Thomas の工夫はαという順序数を 選択関数 f に組み込んだことにあるよ 選択関数の定義域は2^A-{}、値域はAであって、どこにも順序数は無いんだが、「順序数を選択関数に組み込む」って何？ 何をどう勘違いしたの？ 700 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/26(日) 19:56:00.32 ID:57hfZFiX.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>646 >そのまんまだけど？　何が分からないと？ まあ そうやって逃げるのが賢明だねｗｗ ；ｐ） >>647 >>ここで、Jech, Thomas の工夫はαという順序数を 選択関数 f に組み込んだことにあるよ >選択関数の定義域は2^A-{}、値域はAであって、どこにも順序数は無いんだが、「順序数を選択関数に組み込む」って何？ >何をどう勘違いしたの？ ふっふ、ほっほ Jech, Thomas 下記だよｗｗｗ ；ｐ） ”We let for everv α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.” だよ 百回音読してねｗｗｗ ；ｐ） 選択関数fの 定義域を 集合族P(A)-Φ 全体に広げる必要性も、 必然性もないでしょ！！ｗｗｗ ；ｐ） 　>>630より 再度転記 T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics) Thomas Jechの 証明 P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) 　Every set can be well-orderd. Proof： Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for everv α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempt. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enume 701 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/26(日) 19:56:51.37 ID:57hfZFiX.net] ＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/ さて 『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』の前に Zorn's lemma を、取り上げようと思う まず、マクラです (参考) www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/ 東北大 尾畑研 いつもお世話になっております www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_12.pdf TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大 尾畑研 第12章 順序集合 12.3 ツォルンの補題 順序集合に極大元があるための使いやすい十分条件を与えておこう 定理12.18 (ツォルンの補題) 空でない順序集合Xにおいて すべての全順序部分集合が上界をもつならばにXは極大元が存在する すべての全順序部分集合が上界をもつような順序集合をツォルン集合と呼ぶ そうするとツォルンの補題定理はツォルン集合には極大元が存在することを主張する 証明は長いのでいくつかの段階に分割する 証明 途中略（原文ご参照） ツォルンの補題(定理12.18)の証明の完成 ・・・に矛盾する この矛盾はXに極大元が存在しないと仮定したことから生じたので Xには極大元が存在する■ 選択公理ツォルンの補題(定理12.18)の証明に選択公理(AC2)を用いたので選択公理からツォルンの補題が導かれたと言うことができる 実は逆も正しく次の主張が成り立つ 定理12.23 選択公理とツォルンの補題は同値である www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_11.pdf TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大 尾畑研 第11章選択公理 11.2選択公理 選択公理には同値な述べ方が何通りかある大まかには選択集合を用いるか選択関数を用いるかあるいは直積集合を用いることになるがそれぞれに多少のバリエーションがあるここでは使いやすく� 702 名前：ﾈ潔なものを採用しよう (AC2) Ω を空でない集合族とする 　もしΦnot∈ Ωであれば写像f：Ω→ ∪XですべてのX∈Ω に対してf(X)∈Xとなるものが存在する. 　この写像fを集合族Ωの選択関数という つづく [] [ここ壊れてます] 703 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/26(日) 19:58:17.37 ID:57hfZFiX.net] つづき ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C ツォルンの補題（英: Zorn's lemma）またはクラトフスキ・ツォルンの補題（クラトフスキ・ツォルンのほだい）とは次の定理をいう。 命題 (Zorn の補題) 半順序集合Pは、その全ての鎖(つまり、全順序部分集合)がPに上界を持つとする。このとき、Pは少なくともひとつの極大元を持つ。 この定理は数学者マックス・ツォルンとカジミェシュ・クラトフスキに因む。選択公理と同値な命題の一つ。 準備 この補題で使われている用語の定義は以下のとおりである。集合 P と順序関係 ≤ によって定まる半順序集合を(P, ≤) とする。順序関係において、元 s とt が s ≤ t かつ s ≠ t であるとき、s < tと表す。部分集合 T が 全順序 であるとは、 T の各元 s と t について、s ≤ t または t ≤ s が必ず成り立つことを言う。T が P に上界 u を持つとは、T の元 t がつねに t ≤ u を満たすことをいう。注意として、u は P の元であればよく、T の元である必要はない。P の元 m が 極大元 であるとは、P の元 x で、 m < x となるものは存在しないことをいう。 部分集合としての空集合は自明な鎖であり、上界を持つ必要がある。空な鎖の上界は任意の元なので、このことから 上記の命題においてP が少なくともひとつの元を持つこと、すなわち空集合でないことが分かる。よって、以下の同値な定式化が可能となる。 命題 Pを空でない半順序集合で、その任意の空でない鎖は P に上界を持つとする。このとき P は少なくともひとつ極大元を持つ。 これらの違いは微妙なものであるが、ツォルンの補題を使った証明において半順序として包含関係に代表されるような集合同士の関係を用いる場合、鎖を集合族として/その上界を鎖となった集合族の合併としてとる事があり、その際に空な族の合併は空集合になる一方で空なる鎖の上界は任意の「空でない集合」であるという不一致が、台集合に元として空集合が所属していない場合に起こるので、予め定義において空な鎖について考えなくてよいとの明言が議論を簡単にするという点で使い分けることができる。 ZF集合論において、ツォルンの補題は整列可能定理や選択公理と同値である。すなわち、ひとつを仮定すると残りを証明することができる。 (引用終り) 以上 704 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 20:29:03.17 ID:b1A8rVdb.net] >>648 >そうやって逃げるのが賢明だねｗｗ ；ｐ） 逃げてるのは、せっかく何が分からないか聞いてあげてるのに答えない君ね >”We let for everv α >aα=f(A-{aξ：ξ<α}) >if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.” >だよ 「選択関数に組み込む」がそれなの？ それでそれがどうしたと？ >選択関数fの 定義域を >集合族P(A)-Φ 全体に広げる必要性も、 >必然性もないでしょ！！ｗｗｗ ；ｐ） じゃあ定義域をAとしてAの元すべての並びを作ってみせて

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