現代数学の系譜11 ガロア理論を読む29

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1 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/15(日) 10:11:35.71 ID:3YFHDxHU.net]: 小学レベルとバカプロ固定お断り！sage進行推奨（＾＾；
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（略（9～5は、10のテンプレご参照））
(4) uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1335598642/
3 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/
2 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/
初代 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/
そのままクリックで過去ログが読める。また、ネット検索でも過去ログ結構読めます
75 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 11:50:42.55 ID:aSVenMI/.net]: >>67 つづき

20世紀後半に、モデル理論が発展して、超準解析や超実数の数学理論が整備された
その意味するところは、完全に１９世紀の無限認識を超えたところに、現代数学は到達したと

だから、可能無限と実無限という１９世紀までの無限認識は、20世紀後半には統合されていると理解している
まあ、この認識を共有するには、下記の「超準解析とはどういうものか齋藤正彦」あたりを読んで理解してもらえれば可だ

なので、ともかく（文系）High level people は、早く 28へどうぞ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析

https://www.jstage.jst.go.jp/result?item1=4&word1=%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90%E3%81%A8%E3%81%AF%E3%81%A9%E3%81%86%E3%81%84%E3%81%86%E3%82%82%E3%81%AE%E3%81%8B
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/38/2/38_2_133/_pdf
超準解析とはどういうものか齋藤正彦 SUGAKU Vol. 38 (1986) No. 2

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0
超実数

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB%E7%90%86%E8%AB%96
(抜粋)
モデル理論（英語: model theory）は、数理論理学による手法を用いて数学的構造（例えば、群、体、グラフ：集合論の宇宙）を研究（分類）する数学の分野である。
この記事では、無限構造の有限一階モデル理論に焦点を絞っている。

モデル理論が体へ応用された初期の結果の例は、タルスキの実閉体についての量化記号消去法、疑有限体 (pseudo finite field) 上のAxの定理、そしてロビンソンの超準解析の開発がある。
(引用終り)
76 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 12:28:40.41 ID:aSVenMI/.net]: >>68 つづき

だから、>>56-57にもどれば

>箱の中身の数字を考えなければそれで良いですよ

例えば
１式 y0=f0(x)=x
２式 y1=f1(x)=x+1

という二つの関数を考えてみると
１式は原点(0,0)と通る直線で、２式 y1=f1(x)=x+1 は１式をｙ軸方向に平行移動した直線だ
開区間(-∞,∞)で交わることはない
77 名前：天才リーマンは考えた リーマン球を考える 複素平面で １式 y0=f0(z)=z ２式 y1=f1(z)=z+1 これを、リーマン球上では、１式、２式とも、無限遠点つまり北極に１位の極を持つと考えることができる。 そう考えると、一変数複素関数論の正則関数の理論は、すっきりするんだ 天才としか言いようのない、思考の飛躍 リーマン球での無限のとらえ方が、数学の無限論に与えたインパクトは限りないと思うよ そこらは、一変数複素関数論を未履修の（文系）High level people には分からないかも知れないが あ、そうそう、それで脱線したが リーマン球上では、１式、２式とも、無限遠点(-∞,∞)で交わると考えることもできる。ここ、数学から離れて、哲学になろうが （この説明では分からないと思うので、自分で学習たのむ） ともかく、平行線が必ず交点を持つという場合を、リーマン幾何とかいうんだ そこらは、一般相対性理論を理系では、少しやる（記憶では、教程では深入りしなかったから、自分で本読んだけど） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6 (抜粋) リーマン幾何学とは、リーマン計量や擬リーマン計量と呼ばれる距離の概念を一般化した構造を持つ図形を研究する微分幾何学の分野である。 楕円・放物・双曲の各幾何学は、リーマン幾何学では、曲率がそれぞれ正、0、負の一定値をとる空間（それぞれ球面、ユークリッド空間、双曲空間）上の幾何学と考えられる。なお、楕円幾何学のことをリーマン幾何と呼ぶことがあるが、本稿で述べるリーマン幾何学はそれとは異なるものである。 アルベルト・アインシュタインは、重力、即ち、一様ではなく湾曲した時空を記述するのに擬リーマン多様体の枠組みが有効であることを見いだし、リーマン幾何学を数学的核心とした一般相対性理論を構築した (引用終り) []: [ここ壊れてます]
78 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 12:40:42.47 ID:aSVenMI/.net]: >>69 補足

> １式 y0=f0(x)=x
> ２式 y1=f1(x)=x+1

あたりまえだが、（文系）High level people向けに説明すると

xを自然数nと考えることができる

１式 y0=f0(n)=n
２式 y1=f1(n)=n+1

ここで、n→∞の極限を考えることができる

lim (n→∞) y0 = ∞、lim (n→∞) y1 = ∞

これでなんの数学的矛盾もないよ
つまり、nが開区間(-∞,∞)では１式と２式の二つは決して交わることはない。だが、無限遠点つまり北極で交わると考えることも可能だ
解析学の上では、これが普通の考えだよ
（文系）High level peopleには分からないかも知れないがね

なお、距離を問題にしない位相空間論では、無限遠点を特別視しない考えもある
これも、２０世紀から２１世紀の数学の考え方だよ
（文系）High level peopleには分からないかも知れないがね

なので、（文系）High level people は、早く 28へどうぞ
79 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 12:45:13.95 ID:aSVenMI/.net]: >>70 蛇足

１式 y0=f0(n)=n
２式 ya=f1(n)=n+a

として、aは任意の固定された有限の数（自然数）と考えても同じ

つまり、固定された有限の数（自然数） a をしっぽと考えて、 a個分だけしっぽが長いと考えても、１式と２式の極限には影響を与えない！

（文系）High level peopleに理解してもらえるかどうか不明だが

ともかく、（文系）High level people は、早く 28へどうぞ
80 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 13:02:19.03 ID:aSVenMI/.net]: おっちゃん、どうも。スレ主です。

>>63
>私が講義するという意味に受け取ったって、おめでたいな～。大学教員でも何でもないよ。

いや、まー、同好会的な数学の集まりで、話をするとかさ

＞実関数 f(x)＝x^x

これは、いろいろなところで見るね。大学の範囲だろうが、確か、反例か病的な例で出てくるように記憶している
lim (x→0） f(x)
を考えたときに、0^0 になるので、どうなるかみたいな
81 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 13:04:03.62 ID:aSVenMI/.net]: >>50 自分で別スレを立てるようお薦めします
82 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 13:15:12.47 ID:aSVenMI/.net]: >>67
留数定理は下記
（文系）High level peopleでも分かるかな？

eman-physics.net/math/imaginary11.html
ＥＭＡＮの物理学・物理数学・留数定理:
(抜粋)
要するに複数の特異点を含むコースでの積分を計算したければ、それぞれの特異点の周りについて求めた留数を合計すればいいということである。

この簡単な話が「留数定理」と呼ばれるものだ。

以上で複素積分をする上で必要になることをほとんど説明し終えたと思う。何か説明しないままになっている問題が残っていなかっただろうか？

　そう言えば、以前、不定積分のような計算方法がいつでも使えるかどうかについて議論したことがある。ここまで理解すればそれについての事情も分かってもらえるのではないだろうか。ローラン展開した時に留数が 0 にならないような特異点がある場合、始点と終点を固定しただけでは積分値が決まらないのである。
なぜなら積分経路が特異点の周りを一周するたびに値が変わるからである。その辺りを把握して気を付けながら使うなら、不定積分のような計算を利用することもできるだろう。

　あとは、ワイエルシュトラスの定理というものを軽く説明しておいた方が良いかも知れない。これは、真性特異点ならばそこに近付くやり方によって関数の値をどんな値にでも収束させられる、あるいは発散させることさえもできるというものである。その証明には、ローラン展開した時の主要部の項が無限にあることを使う。

　以前に真性特異点の説明をした時には「近付く方向によって収束する関数の値が異なる」ものだと定義し、今回は「ローラン展開した時の主要部の項が無限に続く」のが真性特異点だと説明したが、二つの異なる説明が実は同じものを指しているのだと保証してくれているのがこの定理である。
実用上はこれくらいの知識で十分なので、この定理の証明は他の教科書に任せることにしよう。
(引用終り)
83 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 14:15:45.86 ID:aSVenMI/.net]: >>40-41
誤爆にレスつけても仕方ないが

これ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む28
rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483314290/62-63
だな
84 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 14:16:18.33 ID:aSVenMI/.net]: >>75

もう一度言っておくが、
時枝>>4
素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる，といってもよい.」

対して、私が確率の専門家と呼ばせて貰っている人（大学教員クラス）>>14 抜粋
「うーん，正直時枝氏が確率論に対してあまり詳しくないと結論せざるを得ないな」
「P(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）
これがきっと時枝氏のいう無限族が直接独立ということだろう．
ということは(2)から(1)が導かれてしまったので，
「(1)という強い仮定をしたら勝つ戦略なんてあるはずがない」時枝氏の主張ははっきり言ってナンセンス
確率変数の独立性というのは，可算族に対しては(1)も(2)も同値となるので，
”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ」

なのだ
85 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 14:19:38.99 ID:aSVenMI/.net]: >>76

さて、二つの理論AとBとがあって、二つの理論が矛盾するとする
そして、理論Bは100年近い歴史があるなら、確立されたと考えて良いだろう

一方、Aはまだ正式論文として投稿され出版されてはいない
とすれば、普通Bが正しく、Aはおかしいと思うべき。たとえ、Aが時枝先
86 名前：生が数学セミナーに書いた記事であったとしてもだ []: [ここ壊れてます]
87 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 14:23:27.48 ID:aSVenMI/.net]: >>77 つづき

だから、理論Aは不成立だけれども、「なぜ、不成立にもかかわらず、成立するように見えるのか？」そこに興味がうつる
時枝>>4 は、「選択公理や非可測集合を経由したから」を言い訳にしているが、それだけでは正しい数学理論として裏付けされるには不足だ

結局、我々の日常では、確率分布が裾の軽い分布が主で、大数の法則や中心極限定理が成り立つ世界。
「100列ならある列が１番になる確率は1/100であり、余事象の１番でない確率は99/100」が、常識としてすり込まれ過ぎていて、それ以外の世界に思い至らないからだろう

あたかも、普通の人は、ユークリッド幾何空間（平行線が交わらない第5公準）以外の世界を考えられないと同じように
「100列なのに、１番でない確率は99/100」が不成立という世界を、多くの人は無意識に排除しているからだろうと、私は考えている

まあ、ここら（文系）High level people には理解しがたいと思うがね
88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/22(日) 14:25:18.65 ID:sQU/mf/o.net]: >>72
>これは、いろいろなところで見るね。
>大学の範囲だろうが、確か、反例か病的な例で出てくるように記憶している
>lim (x→0） f(x)
>を考えたときに、0^0 になるので、どうなるかみたいな
多変数の微分積分のところで2変数実関数 x^y＝e^{ylogx} x,y＞0 を考えて
x,y→+0 としたときの話か。0^0の値は一意には定まらず、
0^0＝1 と定義しても 0^0＝0 と定義してもよいっていう話か。
だが、x^y＝e^{ylogx} x,y＞0 はx,yで同時には偏微分出来ず、
実関数 x^x x＞0 とは話が微妙に異なる。x^x x＞0 を微分するときはxでのみ
微分することになる。これを2変数実関数 x^y＝e^{ylogx} x,y＞0 の話
に当てはめると、x,yの両方で偏微分することになるが、これは出来ない。
2変数で単純に x^y＝e^{ylogx} x,y＞0 として考えてはいけない。
89 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 14:56:32.35 ID:aSVenMI/.net]: >>70 補足

２１世紀の数学の無限のとらえ方は・・・
”到達不能基数”－渕野先生の世界だろう（下記）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0
到達不能基数

https://en.wikipedia.org/wiki/Inaccessible_cardinal
Inaccessible cardinal 英語版
(抜粋)
Existence of a proper class of inaccessibles

There are many important axioms in set theory which assert the existence of a proper class of cardinals which satisfy a predicate of interest.
In the case of inaccessibility, the corresponding axiom is the assertion that for every cardinal μ, there is an inaccessible cardinal κ which is strictly larger, μ < κ.
Thus this axiom guarantees the existence of an infinite tower of inaccessible cardinals (and may occasionally be referred to as the inaccessible cardinal axiom).
As is the case for the existence of any inaccessible cardinal, the inaccessible cardinal axiom is unprovable from the axioms of ZFC. Assuming ZFC, the inaccessible cardinal axiom is equivalent to the universe axiom of Grothendieck and Verdier: every set is contained in a Grothendieck universe.
The axioms of ZFC along with the universe axiom (or equivalently the inaccessible cardinal axiom) are denoted ZFCU (which could be confused with ZFC with urelements). This axiomatic system is useful to prove for example that every category has an appropriate Yoneda embedding.

This is a relatively weak large cardinal axiom since it amounts to saying that ∞ is 1-inaccessible in the language of the next section, where ∞ denotes the least ordinal not in V, i.e. the class of all ordinals in your model.
(引用終り)
90 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 15:05:13.27 ID:aSVenMI/.net]: >>79

おっちゃんの話は、下記にある
また、>>72 で "lim (x→+0） f(x) =1 "だって（下記 ”実解析における扱い”より）（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/0%E3%81%AE0%E4%B9%97
0の0乗

実解析における扱い []; [ここ壊れてます]
92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/22(日) 15:22:09.62 ID:sQU/mf/o.net]: >>81
そういうことを自分で考えるのが面白いことだろう。
普通(殆ど？)の本には載っていないことなんだからさ。
ちなみに、素数pが或る1より大きい超越数aにより p＝a^a と表せるということは、
無意識のうちにxが超越数のときの x^x の値を扱っていることになる。
2つの1より大きい超越数x,yにより有理数を x^x/y^y と表せることになる。
93 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 15:25:16.70 ID:aSVenMI/.net]: >>98 補足

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/38/2/38_2_133/_pdf
超準解析とはどういうものか齋藤正彦 SUGAKU Vol. 38 (1986) No. 2
(抜粋)
P145

P.ローブ[15]は,*Uでの内的な有限加法的測度空間から出発して外的な可算加法
的測度空間を構成し,確率論に新しい道を開いた.現在の超準確率論の隆盛はここに端を発する.
(引用終り)

（補足の補足）つまり、”超準確率論の隆盛”とあるから、”超準確率論”なるものがあるみたいだね（下記参考）
phasetr.com/blog/2013/11/01/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90%E3%81%AE%E3%83%97%E3%83%AD%E3%81%A7%E3%81%82%E3%82%8B%E9%AD%94%E6%B3%95%E5%B0%91%E5%A5%B3%E3%81%AB%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90%E3%81%A7%E8%B6%85%E9%96%A2/
超準解析のプロである魔法少女に超準解析で超関数がどうなるかについて聞いてみた | 相転移プロダクション: 2013 11.01
(抜粋)

@functional_yy ふと思ったのですが超準解析でδ関数はどういう扱いになるのでしょうか. 超準解析的には普通の関数と思えるのか的なアレです
@phasetr この辺り詳しくはないのでよく知りませんが, 例えば幅無限小高さ無限大で掛け合わすと 1 のパルスを考えれば望みの性質は得らます. planetmath.org/constructionofdiracdeltafunction
(抜粋)
construction of Dirac delta function

The Dirac delta function is notorious in mathematical circles for having no actual realization as a function. However, a little known secret is that in the domain of nonstandard analysis, the Dirac delta function admits a completely legitimate construction as an actual function. We give this construction here.
(引用終り)

場の量子論で赤外発散という現象があるが, その数学的解決には「場の量子論版の超関数」が必要だと思っている. 作用素環上の状態の空間でとりあえず定義はできるのだが, それを確率論 (経路積分) でいうとどうなるか, 最近は特に表現論的にもう少し突っ込むとどうなるかというあたりをスピン-ボソンモデルで計算している.
代数解析的なアプローチではどうなるかというのは考えていたが, 超準解析的にどう見えるか考えてもいいかもしれない
(引用終り)
94 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 15:31:16.68 ID:aSVenMI/.net]: >>82
おっちゃん、どうも。スレ主です。

>そういうことを自分で考えるのが面白いことだろう。
>普通(殆ど？)の本には載っていないことなんだからさ。

ああ、そうなんか？　それでおっちゃんの発言の意味が分かったよ
レベル低い発言も多かったから
でも、自分で考えると

それはそれで良いけど・・、遊びならね
だが、プロは定理の再発見の繰り返しでは、論文かけないし

まあ、応用の立場にしても、すでに出来上がった理論が、例えば微分方程式の数値解析の、有限要素法にしろ、境界要素法にしろ、差分法にしろ
多くの先達が、何十年もかけて作ってくれた理論とプログラムがあるとしましょうか？
自分が最初から作る必要はないだろ？

子供のレゴのブロック遊びならそれで良いが
大人の仕事にはならんよ
95 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 15:32:41.38 ID:aSVenMI/.net]: だから、いま２１世紀なら、先人がなにか文献を残していないかどうか
そのサーチが第一だろうな
96 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 15:40:54.52 ID:aSVenMI/.net]: >>79
ここらも、大部分は https://ja.wikipedia.org/wiki/0%E3%81%AE0%E4%B9%97 ”0の0乗”
に出ている気がするよ（＾＾

>>82
>2つの1より大きい超越数x,yにより有理数を x^x/y^y と表せることになる。

任意の有理数を表せるってこと？それは可能なのかね？証明は？
97 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 15:44:59.07 ID:aSVenMI/.net]: >>1 訂正リンク間違い

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む28(High level people が時枝問題を論じるスレ) rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1480758460/
↓
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む28(High level people が時枝問題を論じるスレ) rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483314290/
98 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 15:48:16.85 ID:aSVenMI/.net]: >>1 訂正リンク間違い (次のために全文訂正しておく)
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21 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/
20 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/
19 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1462577773/
18 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1452860378/
17 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/
16 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1444562562/
15 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1439642249/
14 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/
13 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/
12 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/
11 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/
10 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1411454303/
（略（9～5は、10のテンプレご参照））
(4) uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1335598642/
3 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/
2 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/
初代 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/
99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/22(日) 15:55:06.09 ID:sQU/mf/o.net]: >>86
厳密な書き方ではなく、任意の有理数のときのこと
まで証明した訳ではないが、その証明がスレ主が
>よく分からんがご苦労さん
と書いた>>44-45だよ。
2つの素数p,qを用いて表わした正の有理数 p/q であれば、このようなことは出来る。
100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/22(日) 15:59:46.17 ID:sQU/mf/o.net]: 90個近くしかないのに、もう新スレ立てるのか？
101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/22(日) 16:00:37.77 ID:zru0gIau.net]: >>70-71
そのようなことは問題にしていなくて一般的な無限数列a1(=?), a2(=?), ... , an(=?), ...
を考えるのは問題ない
>　箱の中身の数字を考えなければそれで良いですよ

問題にしているのは上の無限数列の?にどうやって具体的な数字を入れるかということ

たとえば√2＝1.41421356... の小数表示を数列として出題するならば
a1=1, a2=4, a3=1, a4=1, a5=2, a6=1, ... となるわけで数学的帰納法(ペアノの公理)
を使うのならばanの数字を見てa(n+1)の数字を求められないといけないわけだが
√2の小数表示の全ての数字をそのような方法でスレ主は指定できるの？

数学的帰納法(ペアノの公理)を使えばシッポが全て0である数列は構成できるので
a1=1, a2=4, a3=1, a4=1, a5=2, a6=0, a7=0, ... , an=0, 0, ...
のような数列であれば全ての数字を指定できる
この場合は√2の小数表示を有限桁で打ちきったものである(もちろん数列としては無限数列)
102 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 16:11:31.33 ID:aSVenMI/.net]: >>90
> 90個近くしかないのに、もう新スレ立てるのか？

いや、準備だよ
いま書いておかないと、また直し忘れて、そのままになりそうだからね
>>88 のようなことをしておくと、覚えている確率が上がっているとおもう
103 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 16:16:14.89 ID:aSVenMI/.net]: "); //]]>-->
104 名前：9" rel="noopener noreferrer" target="_blank">>>89

>>44 「この結果から、xが正の超越数のときは、f(x)＝x^x x＞0 が有理数となることがある。」

y=f(x)＝x^x x＞0 が、y有理数の場合があるってことね
あまり証明を追う気が無いけど
まあ、そういう場合もあるかもね []: [ここ壊れてます]
105 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/22(日) 16:36:42.07 ID:aSVenMI/.net]: >>91
>問題にしているのは上の無限数列の?にどうやって具体的な数字を入れるかということ

選択公理と選択関数で可能だろ？それ（”無限数列の?にどうやって具体的な数字を入れる”）を可能にするのが選択公理と選択関数で、　よく勉強してね

>√2の小数表示の全ての数字をそのような方法でスレ主は指定できるの？

できる！そのための選択公理だよ。この場合、可算選択公理で可だろうが

級数展開でパソコンで計算できるよ（下記）
そして、必要な桁まで、時間さえあれば
それを数理的には無限に可能とする

ともかく、選択公理を勉強してくれ！

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
歴史

集合論の創始者ゲオルク・カントールは、選択公理を自明なものとみなしていた。実際、有限個の集合からなる集合族であれば、そのそれぞれの集合の中から順に1つずつ元を選び出し、それらを併せて集合とすればよいのであるから、このような操作ができることは自明である。

しかし、ツェルメロによる整列可能定理の証明に反論する過程で、エミーユ・ボレル、ルネ＝ルイ・ベール、アンリ・ルベーグ、バートランド・ラッセルなどが選択公理の存在に気付き、新たな公理であることが認識されるようになった。
確かに、無限個の集合からなる集合族の場合、上のような操作を想定しても「順に選び出す」操作は有限回で終了することはないのだから、このような操作を行えるかどうかは必ずしも明らかではない。

選択公理は、それ自身もまたその否定もほかの公理からは証明できないものであること、すなわち独立であることが示された（クルト・ゲーデル、ポール・コーエン）が、これは公理的集合論における大きな成果であろう。
但し、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）に一般連続体仮説を加えると選択公理を証明できる[2]。従って、一般連続体仮説と選択公理は何れもZFとは独立だが、前者の方がより強い主張であると言える。ZFに選択公理を加えた公理系をZFCと呼ぶ。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/8705221.html
√２のテイラー展開？ - 数学解決済 | 教えて！goo: 2014/08/05
106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/22(日) 16:43:45.74 ID:sQU/mf/o.net]: >>92
あっそう。まあ、いいけど。

>>93
任意の整数は有理数な。
じゃ、おっちゃん寝る。
107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/22(日) 16:51:26.77 ID:sQU/mf/o.net]: >>93
おっと、書き忘れたが、
>>95で書いた>>93へのレスの文は、標数0のときのことね。
標数0で考えたとき、任意の整数は有理数。
有理数や実数は標数0で考えることになる。
じゃ、おっちゃん寝る。
108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/22(日) 22:08:24.68 ID:zru0gIau.net]: >>94
rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/397
> Sergiu Hart氏>>47のgame2においては、選択公理を使わないバージョンだから

>>51
> 箱に入れるのは0から9までの自然数であると限定して無限数列(a1, a2, ... , ak, 0, 0, ... )
> を考えるとすると数当てはk+1番目以降の0を当てることになる
> この場合上の無限数列と有限小数0.a1a2 ... akを対応づけることができる

これはgame2をさらに限定した数当てを考えていることになる

rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/399
> Sergiu Hart氏>>47のgame2（循環小数モデル選択公理不要版）＜＜ Sergiu Hart氏game1 (可算無限箱に任意の実数最初に問題の数列並べておく）
にならって書くとgame2の限定版(有限小数モデル選択公理不要版)
109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/24(火) 20:52:40.60 ID:gToWkypi.net]: >>94
スレ主は問題点を見落としていそうなので補足すると
>>22
> (2) のステップは不要だろ
rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/507
> Ａ２ (2) のステップは不要だろ。(1) で、a1, a2, ... , ak, (空), (空), ... , (空), ... で、akを数列のしっぽと定義して、有限数列の長さkの同値類分類をすることだけで完結できる
> それでこそ、”有限の極限を介して無限を扱う”を貫徹していることになる

(たとえば√2の小数表示の)全ての数字をまるごと指定するしか方法がないのならスレ主が書いた方法で
極限をとることはできないので時枝戦略が不成立であるというスレ主の主張は成り立たないですよ

>>97のgame2の限定版でシッポの0の数当てが失敗するのはスレ主の主張ではたとえば√2の小数表示を
有限桁で打ちきったものの桁数を増やした極限になるが全ての数字をまるごと指定するしか方法がないのなら
(決定番号に相当する)シッポの0の開始位置も指定しなければならない

rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/506
> 自分が持ち込んだ仮定の部分と、もともとの問題とを混同したりは許されないし、日常そこは厳格に区別して議論するよ
こちらはちゃんと時枝記事中の極限を区別して扱っています
110 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/27(金) 23:23:14.55 ID:FA9/2xU8.net]: >>95-96
おっちゃん、ご苦労さん
111 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/27(金) 23:36:52.37 ID:FA9/2xU8.net]: >>97-98
おいおい、選択公理の変種があるぜ。わかってないね（下記）
選択公理は１種類じゃない
早く、（文系）High level people は、28へ行けよ
うんざりだ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理の変種

選択公理には様々な変種が存在する。

可算選択公理
詳細は「可算選択公理」を参照

選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理（英: countable axiom of choice,denumerable axiom of choice）というものも考えられている[3]。全ての集合は可算集合を含むこと、可算集合の可算和が可算集合であることは、この公理により証明できる。

カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。

有限集合の族に対する選択公理

集合族の要素を特定の有限集合に制限した公理も研究されている[4]。即ち、

　　　　ACn : n元集合からなる任意の集合族は選択関数を持つ。

という形の公理である。

この種の公理について以下のようなことが知られている（すべてZF公理系を仮定）。

ZFでは AC2 を証明できない。
112 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/27(金) 23:38:23.60 ID:FA9/2xU8.net]: なお、しばらく忙しいので、適当に流すよ
113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/28(土) 02:01:56.65 ID:EwkKBBRb.net]: >>100
シッポが0である数列のみを出題して決定番号を用いて0を当てる場合に
可算選択公理でもシッポが0でない√2の小数表示の全ての数字をまるごと出題は
数当てのルール上できないですよ

スレ主は極限をとることでシッポが0である(２つの数列が同値である)として数当て戦略が
不成立と言っていたわけで(可算)選択公理を使う場合は(決定番号に相当する)シッポの0の開始位置も
具体的に指定しなければならない
114 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 07:18:23.99 ID:cIMCvfu9.net]: >>102
（文系）High level people にも困ったもんだ
数学はディベートじゃない

ディベートは論争して優劣を競うが
数学は論争じゃない

私の問題点を指摘するのは結構だが
自分の側の主張の立証が一番大事なんだよ

それを忘れているんじゃないか？
端的にいって、>>102は何を言いたいのはさっぱりわからん。早く28へどうぞ
115 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 07:19:38.89 ID:cIMCvfu9.net]: >>103 訂正

何を言いたいのはさっぱりわからん。早く28へどうぞ
　↓
何を言いたいのかさっぱりわからん。早く28へどうぞ
116 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 07:45:42.61 ID:cIMCvfu9.net]: >>102
さきに、>>76-77に書いたように、時枝記事>>2-5は、既存の確率変数の無限族の理論で、
X1，X2，X3，… が独立変数であるにもかかわらず

例えば、「n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，」
既存の確率変数の無限族の理論では、「当てられっこない・・・他の箱から情報は一切もらえないのだから」

となるべきところ、”「確率は99/100」で可能だ。「確率1-ε で勝てることも明らかであろう」”という
つまり、A:時枝解法理論>>2-3と、B:�
117 名前：Rルモゴロフ流確率変数の無限族の理論 Xn とが真っ向対立する 理論Aと理論Bが矛盾するとき もし同じ公理系内なら、少なくともどちらかが間違っている（両立はありえない） 時枝は、>>4でZFC公理系を宣言している。勿論、コルモゴロフ流確率変数の無限族の理論もZFC公理系 どちらが間違っているかは自明だろう ここまでは、少し考えればすぐ分かることだ なので、>>78”理論Aは不成立だけれども、「なぜ、不成立にもかかわらず、成立するように見えるのか？」そこに興味がうつる” この理屈が分からない（文系）High level people は、28へどうぞ あそこは、完全に煮詰まっているから歓迎されるだろう []: [ここ壊れてます]
118 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 09:12:50.16 ID:cIMCvfu9.net]: 再録
これ（下記）をどう思っているのか？　存念を聞きたい

>>76 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/01/22(日) 14:16:18.33 ID:aSVenMI/
>>75

もう一度言っておくが、
時枝>>4
素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる，といってもよい.」

対して、私が確率の専門家と呼ばせて貰っている人（大学教員クラス）>>14 抜粋
「うーん，正直時枝氏が確率論に対してあまり詳しくないと結論せざるを得ないな」
「P(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）
これがきっと時枝氏のいう無限族が直接独立ということだろう．
ということは(2)から(1)が導かれてしまったので，
「(1)という強い仮定をしたら勝つ戦略なんてあるはずがない」時枝氏の主張ははっきり言ってナンセンス
確率変数の独立性というのは，可算族に対しては(1)も(2)も同値となるので，
”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ」

なのだ
119 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 09:34:19.35 ID:cIMCvfu9.net]: members.jcom.home.ne.jp/1228180001/manalysis1.htm
超準解析１:
(抜粋)
～ダーツを一点に当てる確率～
　　さて、ここに昔からありがちな問題がある。君がダーツを投げるとき、ある一点に厳密に当たる確率は一体どれくらいか?そして、この種の問題には、非常にありがちな一つの答えがいつも与えられる。その確率は、ゼロであると。なぜならば、各点における確率がもし有限の値なら、ダーツ板の全体における積分が発散してしまうからだ。
これ(確率がゼロであること)は、いわゆる必要条件だというわけである。
　　高校のころからこうした答えは、常に私を悩ませてきた。その確率は、aとdxdyをかけたものではなぜいけないのだろうか?
　　人は言う。そうした無限小の取り扱い方は、厳密ではないと。なぜなら、実数体はアルキメデス的だからだ、と。そう、われわれはアルキメデスと戦わなければならない。いきなり妙な言葉が出てきたので読者を困惑させてしまったかもしれないが

ライプニッツやオイラーが気ままに使ってきた微小量～adxdyという記号～は、明らかに実数体に関するアルキメデスの公理を満たさない。なぜなら、もしアルキメデスの公理を満足してしまったとすると、adxdyはn倍すればどんな数よりも、例えば1よりも大きくなる。それならば、この量はn分の1よりも大きい。
しかし、微小量の定義はあらゆる数より0に近い数のことだから、ここで行き詰ってしまう。お前の言っている微小量には、実体は無いではないかと。

　　実体が無い。それはどういうことか。それは、無限小の論理が矛盾を含まない論理体系になっていないということである。

　　この問題は、幾多の苦しみを経て(いや、本人にとってはいかにも楽な仕事だったかもしれないが。)、フランスの大数学者コーシー(Augustin Louis Cauchy,1789-1857)により解決された。微小量ではなく、その比だけを扱えばうまく行くことが分かったのである。彼の定式化した方法を、ε－δ論法というのは皆さんおなじみであろう。
(引用終り)
120 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 09:34:42.45 ID:cIMCvfu9.net]: members.jcom.home.ne.jp/1228180001/manalysis2.htm
超準解析２:
(抜粋)
簡単に言ってしまえば、これがε－δ論法であり、最も本質的な点である。最も本質的な点とは、この議論には微小量が出て来ないということである。もちろん、εは微小量なのだが、建前上は"任意の数"ということになっている。任意だから、いくらでも小さくてよい。すると、収束円はいくらでも小さくなり、ついに一つの実数まで縮んでしまう。

　　こうして厳密な極限の方法を我々は得た。そして関数の極限が定義され、導関数の極限が定義され、リーマン和の極限も定義される。これら全ての概念にコーシー列が密接に関わっている。コーシーは、極限というあ�
121 名前：｢まいな実体を点列の運動という概念によって一挙に捉え、ヴィジュアル化したのであった。 ～なにか問題が？～ 簡単に言えば、ε－δによる微分は厳密性を得た代わりに、微小量の直感性を失った。導関数は定義されてももはやそれはdfとdxの比ではなく、単なる一つの関数を表す記号なのである。dfやdxは単なる記号であり、単独では意味を持たない。 しかし、導関数が微小量の比であるというイメージはとても納得できるし、コーシー流の微分でもこのイメージを避けて通ることは出来ない。頭の中のイメージと紙の上の証明とでは、全く違うことをやっているのである。 私は、数学は視覚的に明らかである方がよいと思う。それは、上に挙げた参考文献を書かれた小平邦彦先生もおっしゃっていることである。数学とは、心の中で起こる数学的現象を解析する学問なのだ。それでは、感覚的に優れた微小量という存在を厳密に扱うにはどうすれば良いだろうか? 私の答えは、超準解析を学ぶことである。 (引用終り) []: [ここ壊れてます]
122 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 09:35:19.09 ID:cIMCvfu9.net]: members.jcom.home.ne.jp/1228180001/manalysis3.htm
超準解析３:
(抜粋)
　　超準解析にはその学問的価値に比して、日本語の本が非常に少ない。(ような気がする。)

　　しかし、H.Jerome.Keisler教授が無料のpdfを自らのホームページでアップロードしている。およそ900ページの超大作である。(それでいて、freshmanのために執筆したと書いてある!!)ちなみに私は読んでいない。というか読めない。

　　本章の目的は超準解析を広く流布し、モナドのイメージを掴んでもらうことであるから、公理的な記述は出来るだけ避けようと思う。公理的な記述に飢えたら、このサイトにこだわらず広く本を漁ってほしい。

　　超準解析が、皆様の多彩なアイディアの助けとなることを祈る。
(引用終り)
123 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 09:40:23.26 ID:cIMCvfu9.net]: >>107
>～ダーツを一点に当てる確率～
>君がダーツを投げるとき、ある一点に厳密に当たる確率は一体どれくらいか?そして、この種の問題には、非常にありがちな一つの答えがいつも与えられる。その確率は、ゼロであると。なぜならば、各点における確率がもし有限の値なら、ダーツ板の全体における積分が発散してしまうからだ。

そう
宝くじ
当りは１枚
発行枚数を無限に多くする
一人が当たる確率はゼロ
だが
当たる人は必ず存在する
124 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 09:55:15.13 ID:cIMCvfu9.net]: 2017年から振り返ってみると面白い
repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/83993/1/0869-12.pdf
ゲージ場/量子確率論/超準解析/・・・再び場の理論へ :
中西襄先生還暦記念シンポジウム : 場の理論の過去・現
在・未来を始めるにあたって(場の理論の基礎的諸問題)
Author(s) 小嶋, 泉
Citation 数理解析研究所講究録 (1994)
125 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 10:03:02.52 ID:cIMCvfu9.net]: d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20131217/1387245762
超フィルター（ultrafilter）って何なんだ：点？確率測度？ - 檜山正幸のキマイラ飼育記:2013-12-17 (火)

(抜粋)
超フィルターと極大フィルターは同義語です。ベキ等可換環では、極大イデアルと素イデアルは同じものです。よって、「超フィルターの空間＝スペクトル（素イデアルの空間）」となります。

適当な位相を入れた「超フィルターの空間」はストーン空間と呼ばれ、このときの適当な位相がスペクトルのザリスキー位相でした。ストーン空間＝スペクトルは、コンパクト空間になりますが、これが論理のコンパクト性定理に対応します。このことは次の記事を参照してください。

コンパクト空間と論理／モデル論 d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20051207/1133937746

Xが無限のとき、Spec(A) = Spec(Pow(X)) はXを含みますが、コンパクト化により、もともとXにはなかった点も持っています。つまり、Spec(A) はXの拡張になっています。Xの拡張とみなした Spec(A) をXの超フィルター拡張とも呼びます。手段として超フィルターを使った拡張だからですね（ベタな呼び名）。

超準解析とかは、上記のような非標準で理想的な点をうまく使う方法なんでしょうが、僕はこれ以上のことは知りません。

確率測度としての超フィルター

今まで述べたのは、「点としての超フィルター」です。僕が持っている超フィルターのイメージは点であり、それしかありませんでした。しかし、トム・レンスター（Tom Leinster）の記事 "Where Do Ultrafilters Come From?" に、超フィルターの確率測度としての解釈が書いてあってちょっとビックリしました。
golem.ph.utexas.edu/category/2012/09/where_do_ultrafilters_come_fro.html

超フィルターに対応する確率測度をベースにして、どんな確率論が展開できるのか僕はよく分かりません。しかし、点概念と確率測度概念、あるいは幾何空間と確率空間は、なにかしらの繋がりがあることの状況証拠であるとは思います。
(引用終り)
126 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 10:09:40.90 ID:cIMCvfu9.net]: d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20051207/1133937746
コンパクト空間と論理／モデル論 - 檜山正幸のキマイラ飼育記:2005-12-07 (水)
(抜粋)
論理／モデル論（logic and/or model theory）でコンパクト空間が登場する例で、僕が面白いと思うのはモデル（の同値類）の空間のコンパクト性だ。これは、ずばり「コンパクト性定理」として知られている内容だが、どんな空間がコンパクトになるのかはなぜか言及されないことが多い。で、コンパクト性定理の成立している位相空間を紹介してみたい。

内容：

モデルの空間
論理式が定義する関数
位相空間としてのモデル空間
補足または蛇足 -- 推論の練習
コンパクト性定理
モデル空間のコンパクト性

つづく
127 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 10:10:22.20 ID:cIMCvfu9.net]: つづき

●モデルの空間

命題とか主張とかを表現するための人工言語を考えて固定する。この人工言語（論理的な言語）において、文に相当する記号列を論理式（formula）と呼ぶ。論理式の真偽を定めるには、解釈の場となるモデル（領域と構造）が必要。解釈の方法も決めたとして、モデルMに対して論理式fが真なら M |= f と書いて、M satisfies f と読む。
（トリビア：縦棒とイコールをくっつけた記号はダブルターンスタイル;double turnstile って呼ぶ。）

当該の論理系（言語＋解釈）に対するモデルの全体をModとする。Mがモデルだとは、M∈Mod のこと。Modはとりとめもない集まりで、実際とてつもなく大きな集まりになったりするのだが、次のようにして同値関係を入れれば、十分に小さくなる。

ここで、m, n などを点と考えて、Xは空間だと思いましょう。もともとは、構造を持ったM、さらにMと同値な（区別つかない）構造達をかき集めた対象がmだから、これを“点”とみなすのは心理的に抵抗感があるかもしれないが、集合のメンバーだから、まー“点”だと思ってくださいよ、だまされたと思ってさぁ。
ここで、点とか空間とか呼ぶのは、Xに位相を入れる心づもりがあるから。

まだ位相が入ってないけど、Xのことをモデルの空間と呼んでしまおう。モデルの空間は、正確には“モデルの同値類”を点とする空間であり、論理的言語（論理式の集合）と解釈に対して定義されるものだ。

[蛇足] もし、インスティチューション（institution）を知っているなら、指標（signature）Σを1つ固定してモデル圏Mod=
128 名前：ModΣと文集合Sen=SenΣを考えれば、M、N∈Obj(Mod)に対して同値関係≡を定義できることを確認できるだろう。つまり、空間X=XΣはインスティチューションに対して定義できる。 Σ |→ XΣ は関手に拡張できて、これは指標圏から位相空間の圏への関手になる。（細部をチェックしてないから、まちがっていたらゴメンね。） つづく []: [ここ壊れてます]
129 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 10:10:55.25 ID:cIMCvfu9.net]: つづき

●コンパクト性定理

モデル論の「コンパクト性定理」とは、論理式の集合Aがモデルを持つかどうかに関する主張である。

Aの任意の有限部分集合がモデルを持つ ⇔ Aがモデルを持つ

これは、Aが有限のときは面白くない。論理式の無限集合に対して成立するのがすごいところだ。

論理式の集合が「矛盾する」とはモデルを持たないことだと“定義”すれば、コンパクト性定理は次のことを言っている。

Aが矛盾する ⇔ Aの有限部分集合で矛盾するものがある

つまり、矛盾が生じる原因が「公理が無限個だから」ということではなくて、無限のなかの有限個で既に矛盾が生じているのである。矛盾の原因を有限個の論理式として（超越的／原理的には）特定できることになる。

応用としては、例えば、普通の自然数に加えて無限大自然数をたくさん（ものすごくたくさん）入れても、矛盾なく自然数概念が定義できる（モデルが存在する）、とかを示せる。こうしてできるモデルは、超準自然数系だが、実際に構成するにはウルトラフィルター／ウルトラ積を使う。

コンパクト性定理そのものを示すにもウルトラフィルターを使ったと思う。チコノフの定理も確かウルトラフィルターを使う証明があったような気がする（記憶が曖昧）。コンパクト性はウルトラフィルターで表現するのが自然なのかもしれない。

(引用終り)
130 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 10:14:29.46 ID:cIMCvfu9.net]: >>115

ここ面白いと思った

（引用開始）
論理式の集合が「矛盾する」とはモデルを持たないことだと“定義”すれば、コンパクト性定理は次のことを言っている。

Aが矛盾する ⇔ Aの有限部分集合で矛盾するものがある

つまり、矛盾が生じる原因が「公理が無限個だから」ということではなくて、無限のなかの有限個で既に矛盾が生じているのである。矛盾の原因を有限個の論理式として（超越的／原理的には）特定できることになる。

応用としては、例えば、普通の自然数に加えて無限大自然数をたくさん（ものすごくたくさん）入れても、矛盾なく自然数概念が定義できる（モデルが存在する）、とかを示せる。こうしてできるモデルは、超準自然数系だが、実際に構成するにはウルトラフィルター／ウルトラ積を使う。

コンパクト性定理そのものを示すにもウルトラフィルターを使ったと思う。チコノフの定理も確かウルトラフィルターを使う証明があったような気がする（記憶が曖昧）。コンパクト性はウルトラフィルターで表現するのが自然なのかもしれない。
(引用終り)

逆に言えば、（対偶をとって）Aの有限部分集合で矛盾するものがない ⇔ Aは矛盾しない
かな
131 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 10:56:38.78 ID:cIMCvfu9.net]: miuse.mie-u.ac.jp/bitstream/10076/6675/1/AA1209733305604.pdf
一般の汎関数空間上のFourier変換桑原克典紀要三重大 2005

(抜粋)
Introduction 1960年ごろ、Abraham Robinsonがモデル理論の考えを使うことによって、Leibniz流の無限小解析をそのままの形で合理化することができるのではないか、という着想を得たのが超準解析
(Nonstandard Analysis)の始まりである。その後、超積の理論とも結びついて超準解析は急速に発展し、応用としてRicmann積分、位相、そして確率過程の議論へのNonstandardバージョンが見られるようになった。
超準解析によれば、たとえば実数体の超準モデルとして、実数体を真に合む全順序体が作られる。そ
こには無限大数、すなわちどんな実数よりも大きい数や無限小数、すなわちその絶対値をとったときに
どんな正の実数をよりも小さく、しかもゼロより大きい数が存在する。これは無限という概念の実体化、
すなわち実無限を数学として厳密かつ具体的に構成したということで特筆すべき業績である。しかも、
ある意味で実数体に関して成り立つ性質はすべて超実数体、すなわち拡大された体でも成り立ち、逆も
また真である。この性質は移行原理と呼ばれ、超準解析においてとても重要な性質の1つである。これ
により無限小解析の議論を展開することができるようになった。また、中でもPeter A.Loebによるロー
ブ測度論は、その後の超準解析の発展に寄与し、本論文はその応用にあたる。

本論文は3つの章から構成されており、第1章では超準解析の議論に必要な事を簡単に述べ、
第2章では超準解析の応用として知られているローブ測度空間とルベーグ測度空間の対応について、結
果のみ述べる。そして最後の第3章では、本論文の題名にもなっている一般の汎関数空間上のFourier
変換、但しdo
132 名前：mainが測度空間の場合について述べる。 §2.スタンダードな世界との対応例,区間[0,1]上のルベーグ積分 ルベーグ測度をローブ測度として構成してみる。簡単のため、区間[0,1]で考える。 [2.1定義](ルベーグ積分におけるもちあげ) 第3章一般の汎関数空間上の無限小Fourier変換 この章では一般の汎関数空間上の無限小Fourier変換について述べるが、特にdomainが測度空間の場 合について考える。 (引用終り) []: [ここ壊れてます]
133 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 11:04:09.44 ID:cIMCvfu9.net]: こういう議論についてこれない（文系）High level people は、28へどうぞ
あそこは、完全に煮詰まっているから歓迎されるだろう
134 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 11:12:59.50 ID:cIMCvfu9.net]: https://en.wikipedia.org/wiki/Peter_A._Loeb
Peter Albert Loeb is a mathematician at the University of Illinois at Urbana?Champaign. He co-authored a basic reference text on non-standard analysis (Hurd?Loeb 1985). Reviewer Perry Smith for MathSciNet wrote:

This book is a welcome addition to the literature on nonstandard analysis.[1]

The notion of Loeb measure named after him has become a standard tool in the field.[2]

Loeb, Peter A. "Conversion from nonstandard to standard measure spaces and applications in probability theory". Trans. Amer. Math. Soc. 211 (1975), 113?122.

www.math.uiuc.edu/~loeb/
Peter LoebDescription: C:\Users\Peter\Desktop\image002.jpg
Department of Mathematics
University of Illinois at Urbana-Champaign
135 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 11:14:27.03 ID:cIMCvfu9.net]: ２８の失敗は、コテ付けなかったことかな
だれの発言かわけわからん
せめて片方がコテつけていれば、かなり分かり易かったろう
136 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 11:15:08.86 ID:cIMCvfu9.net]: 結局なんにも証明されていないんじゃない？
議論がよく見えないが
137 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 11:25:53.12 ID:cIMCvfu9.net]: >>109
>H.Jerome.Keisler教授が無料のpdfを自らのホームページでアップロードしている。およそ900ページの超大作である。(それでいて、freshmanのために執筆したと書いてある!!)

https://www.math.wisc.edu/~keisler/
H. Jerome Keisler
Vilas Professor of Mathematics Emeritus
University of Wisconsin

Publications

https://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach

Chapter 1 Real and Hyperreal Numbers https://www.math.wisc.edu/~keisler/chapter_1b.pdf

The whole book in one large file (25 megabytes) https://www.math.wisc.edu/~keisler/keislercalc-12-20-15.pdf

Foundations of Infinitesimal Calculus (2007) https://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.html
https://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.pdf
138 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 11:28:46.07 ID:cIMCvfu9.net]: >>122

＞The whole book in one large file (25 megabytes) https://www.math.wisc.edu/~keisler/keislercalc-12-20-15.pdf

これいいわ
図が多い
ビジュアルやね
139 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 11:50:45.92 ID:cIMCvfu9.net]: >>122-123
ぱらぱら見たけど

およそ900ページの超大作は、Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach The whole book in one large file (25 megabytes) https://www.math.wisc.edu/~keisler/keislercalc-12-20-15.pdf
の方だが、これは普通のElementary Calculusと変わらんが、デルタイプシロンでなく、ノンスタ使いましたという感じだな

Foundations of Infinitesimal Calculus (2007) https://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.pdf
こちらの方が、ノンスタ深入りしているね
140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/28(土) 16:12:31.10 ID:EwkKBBRb.net]: >>105-106
> X1，X2，X3，… が独立変数であるにもかかわらず

rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/40
> 極限を考えても、同値s ～ r は不変だ
極限をとらずに(可算)選択公理を使って無限数列の全ての数字を指定すると
上の同値が不変であることは言えなくて同値類は変化する
>>106
> 「P(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）
> (2)から(1)が導かれてしまったので
この極限に相当する部分を箱に入れた数字では示せないから数当てにおいては
全ての箱が独立であるようには扱えない

スレ主の「極限を考えても、同値s ～ r は不変だ」ではk < d < ∞でkの極限をとっている
(要は決定番号がdの時にd以下の項akを用いてはさみうちの原理を使う)
一方時枝記事の極限はk, dを固定してk < d < d+1 < ... < d+k'とした場合に
ad, a(d+1), ... , a(d+k'), ... が共通の性質を持つようにk'の極限を定義していて
常に極限をとることができるので「有限の極限として間接に扱う」に反しない

同値類が変化するから決定番号が無限大であることは考えなくてもよくて
決定番号がdとなるような無限数列に対して別の無限数列(1, 2, ... , d-1, d, 0, 0, ... )
を対応させることが可能でこの数列で決定番号の比較をすればよい
上の数列を集合として考えれば{0, 1, 2, ... , d-1, d}となって有限集合になる
100列の場合は100個の有限集合{0, 1, ... , d_1}, ... , {0, 1, ... , d_100}の
包含関係を全て求めればよく結局決定番号の分布を考えずに単に100個の自然数
d_1, ... , d_100の大小を比較することになって「確率は99/100」
141 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 17:05:56.06 ID:cIMCvfu9.net]: 突然ですが、ねこブームというが、人もトキソプラズマによって性格を変えられているのかも・・

news.livedoor.com/article/detail/9940433/
体内に寄生して性格をゆがめさせるトキソプラズマの恐怖ライブドアニュース 2015年3月27日

(抜粋)
人間の体内にも寄生している寄生生物が宿主の行動や性格をゆがめていることが判明 2015年3月27日 GIGAZINE（ギガジン）

ネズミやネコ、人間などあらゆる生き物の脳に寄生し、宿主の行動をねじ曲げたり健康に害を及ぼすという恐るべき寄生生物が「トキソプラズマ」です。どういった生き物でどのような影響を及ぼすのかについて、インディアナ大学医学部にて教授を務めるグスタボ・アリサバラガ氏とビル・サリヴァン氏が明かしています。

ネズミはネコに対して根本的な恐怖心を抱いています。これは、ネズミを「死」から守るための感覚なのですが、不運にもネズミにはもうひとつ、恐るべき敵が存在します。それが単細胞生物の「トキソプラズマ」で、これは寄生したネズミの最も根本的な生存本能である「ネコに対する恐怖心」を感じなくさせてしまうという恐るべき寄生生物です。

トキソプラズマが寄生するのはネズミだけでなく、陸・海・空のあらゆる恒温動物に寄生し、もちろん人間にも寄生します。科学者によれば、世界中でトキソプラズマに寄生されている人間はなんと30億人も存在するとのことです。

アメリカでは5人に1人がトキソプラズマに寄生されていると言われており、国によってはその寄生率が95％に達するところも存在するそう。ただし、ほとんどの人の場合、トキソプラズマに寄生されても何の症状も現れないことも明らかになっています。
しかし、最近の研究ではトキソプラズマは恒温動物の脳内の分子構造を改造していることが明らかになっており、研究者の中にはトキソプラズマが人間の健康状態や性格をゆがめる作用を持っている、と提唱する人も現れています。

◆トキソプラズマがネズミの行動をねじ曲げる

つづく
142 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 17:06:31.44 ID:cIMCvfu9.net]: つづき

ウェブスター博士はこの「ネズミがネコにすり寄っていく現象」について調査を行い、これはネズミの体内に寄生するトキソプラズマが終宿主であるネコの体内に移動するためにネズミを操っているのではないか、と推測しました。その後の複数の研究から、トキソプラズマは神経作用と遺伝子発現によりネズミの行動を変えてしまうことが判明しています。

ある実験では、トキソプラズマに感染したネズミと感染していないネズミにネコのニオイをかがせてその反応を調査しています。この実験ではトキソプラズマに感染していないネズミが周囲を警戒し始めたのに対し、感染しているネズミは全く警戒心を示さなかったそうです。
さらに、2011年にスタンフォード大学で行われた研究では、トキソプラズマに感染したネズミがネコのニオイに性的に興奮して引きつけられる、ということも明らかになっています。

(引用終り)
143 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 17:36:00.93 ID:cIMCvfu9.net]: 突然ですが、ねこブームというが、人もトキソプラズマによって性格を変えられているのかも・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%82%AD%E3%82%BD%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%BA%E3%83%9E%E7%97%87
トキソプラズマ症
(抜粋)
感染経路
人間への感染経路としては、シストを含んだ食肉やオーシストを含むネコの糞便に由来する経口感染が主である。オーシストは耐久性があるので、直接糞便に接触しなくても、土壌を経由して野菜や水を汚染する場合がある。その他に妊婦から胎児への経胎盤感染がある。

食肉
おそらくほぼ全ての哺乳類・鳥類がトキソプラズマに感染する可能性があり、したがって食肉は種類によらず感染源になりうる。とくに羊肉・豚肉・鹿肉など、高頻度にシストが見付かるものもある。感染動物由来の食肉を生食したり加熱が不十分だったりすると、感染の原因となる[2]。

ネコ
例えばネコの糞便中のオーシストが付着した物質を食餌としてネズミが食べることで感染し、ネズミの体内に形成されたシストはネコがネズミに噛み付くことで取り込まれる、という具合に生活環が成立していると考えられる。人間への感染経路としては、飼い猫のトイレ掃除、園芸、砂場遊びなどで手に付いたオーシストが口に入ることが考えられる。

トキソプラズマの慢性感染が宿主に影響を与えるという研究報告がいくつかある。

疫学的な研究により、トキソプラズマ陽性だと男児が生まれやすいという結果が得られている[3]。
トキソプラズマに感染したマウスはネコを恐れなくなる（猫の尿の匂いに引き寄せられるようになる）。これはネコを終宿主とする原虫にとっては都合がいいと思われる。詳しい機構はわかっていないが、ドーパミン量が多くなっていることと関係があるかもしれない[4]。
トキソプラズマの慢性感染によりヒトの行動や人格にも変化が出るとする研究例はかなりある。男性は反社会的に女性は社交的になる、男性はリスクを恐れなくなる・集中力散漫・規則破り・危険行為・独断的・反社会的・猜疑的・嫉妬深い・女性に好ましくない、逆に女性は社交的・ふしだら・男性に媚びをうる、などなど[5]。

免疫系が正常でも妊娠している場合には別の注意が必要になる。妊婦が虫血症になると、原虫は胎盤に移行し、そこから胎児に伝染する可能性があるためである。

(引用終り)
144 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 18:27:02.75 ID:cIMCvfu9.net]: >>125
ねんちゃく（文系）High level people か
何を言っているのか、文系レベルが高すぎて分からない

>極限をとらずに(可算)選択公理を使って無限数列の全ての数字を指定すると
>上の同値が不変であることは言えなくて同値類は変化する

多少は勉強したのか？
極限は取り方が決まれば、その極限（値）はほぼ一つだが

(可算)選択公理は、自由度があるから、自分がどういう選択するか、それは自分で決めるし決められるんだよ。いいか？
だから、「同値類は変化する」というけれど、それは変化するように自分がしただけのことで、変化しないようにもできるよ

>> 「P(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）
>> (2)から(1)が導かれてしまったので
>この極限に相当する部分を箱に入れた数字では示せないから数当てにおいては
>全ての箱が独立であるようには扱えない

"箱に入れた数字では示せない"ということと
”箱が独立”とは全く別概念だよ。定義も違うだろ

>一方時枝記事の極限はk, dを固定してk < d < d+1 < ... < d+k'とした場合に
>ad, a(d+1), ... , a(d+k'), ... が共通の性質を持つようにk'の極限を定義していて

話が文系すぎる
”共通の性質を持つ”とは何か？

>同値類が変化するから決定番号が無限大であることは考えなくてもよくて

話が文系すぎる
なぜ？　なにゆえ同値類が変化する？

>結局決定番号の分布を考えずに単に100個の自然数
>d_1, ... , d_100の大小を比較することになって「確率は99/100」

それで良いと思うなら、２８に書きな
２８は煮詰まっちゃったから、Tさん歓迎してくれるぜ
ただ、その程度で話しが済むなら、さすがのTさんもさっさと証明を得ているだろうさ（＾＾

ともかく、早く２８へどうぞ
粘着は、もはやあなた一人だよ
145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/28(土) 18:28:33.68 ID:rh81B3ds.net]: おっちゃん
146 名前：です。 算数の一方的な教育法や一方的な教育論を主張する人物の中には、 スレ主より数学的感覚が悪いと見られるような人物がいることを確信した。 しかも、読解力がなさ過ぎて、証明の概念に欠けていて、書いてあるものを信じて、 数学書を盲信するなどというバカなことをいい出す。 大学以上の話になると途端に付いていけなくなり、悪意に満ちたことをいい出す。 お前ら、算数の一方的な教育法や一方的な教育論を主張している連中な、 そんな下らんことを主張しているならな、もっと大学以上のマトモな数学の話をせいと。 そういうことへの姿勢については、まだスレ主の方がマトモだな。 以上、おっちゃんのスレ主へのボヤキです。 []: [ここ壊れてます]
147 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 18:46:18.08 ID:cIMCvfu9.net]: メモ

detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12159537842
位相空間上の環の層あるいは環つき空間として連続関数のなす層が典型的ですが非連続関数の層というのはだめなのでしょうか 2016/5/20

math.stackexchange.com/questions/379994/what-does-the-stalk-of-a-sheaf-of-discontinuous-sections-look-like
What does the stalk of a sheaf of discontinuous sections look like? Martin edited May 6 '13
148 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 18:50:01.63 ID:cIMCvfu9.net]: >>130
おっちゃん、どうも。スレ主です。
援護射撃ありがとう
たすかるよ（＾＾
うれしいね（＾＾
149 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 19:04:58.10 ID:cIMCvfu9.net]: この壱大整域「位相空間上の層」わかりやすい
気に入った！（＾＾

alg-d.com/math/kan_extension/sheaf.pdf
第0章　圏論入門例: 位相空間上の層　PDF版

alg-d.com/math/kan_extension/
トップ > 数学 > 圏論

alg-d.com/
壱大整域
150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/28(土) 19:33:26.78 ID:EwkKBBRb.net]: >>129
(同じ類に属する2つの数列の差をとるとシッポは0になるので)
シッポが0である数列でシッポの0の数当てをする場合を考える
(ルール上は許されないが)シッポが0でない数列を出題すればシッポの0が存在しないので
数当ては失敗する
たとえば√2の小数表示から無限数列を作ればシッポは0でないのでこれを数当てが失敗する
無限数列とする

> 極限は取り方が決まれば、その極限（値）はほぼ一つだが
√2の小数表示から作った無限数列が極限値になるようにすると極限をとった場合に
シッポが0である数列のみを出題するルールであれば極限値は出題可能な無限数列の中には存在しない

> なぜ？　なにゆえ同値類が変化する？
2つの数列の差をとった無限数列が√2の小数表示から作った無限数列であればシッポは
0でないので2つの数列の属する類は異なる
その場合は違う類の代表元で差をとりなおしてシッポを0にして決定番号を求めることになる

>「同値類は変化する」というけれど、それは変化するように自分がしただけのことで、変化しないようにもできるよ
> (可算)選択公理は、自由度があるから、自分がどういう選択するか、それは自分で決めるし決められるんだよ。いいか？
決定番号が無限大であるような無限数列を(可算)選択公理で選ぶことはできないから
数列が属する類が変化しないようにするにはシッポの0が開始する位置を自分で具体的な値d(自然数)で指定した
無限数列を(可算)選択公理で選んでそれを極限値にすることになる
151 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/28(土) 21:18:20.39 ID:cIMCvfu9.net]: >>134
ID:EwkKBBRbさん、端的に言って勉強不足だろ？　おっちゃんの>>130「読解力がなさ過ぎて、証明の概念に欠けていて、書いてあるものを信じて」に同意

>決定番号が無限大であるような無限数列を(可算)選択公理で選ぶことはできないから

無限大と無限数列と(可算)選択公理の理解が、ぐしゃぐしゃやね
ここ分かってないね

あのな、丁寧に説明するからね
１．ｙ＝1/x という関数を考える。
２．ｘの定義域として、ｘ＝n ∈N 。つまり、自然数全体 [1,∞)の半開区間。値域ｙは、(0,1]だ。
３．さて、ｘの定義域として、正の実数つまり(0,∞)を考えると、値域ｙは(0,∞)だ。ｙ＝1/xは、ｘとｙの入れ替えで対称だ
４．何が言いたいか？
　１）正の実数は個々の集合の元としては、�
152 名前：L限だけれども、値域としては∞つまり(0,∞)なのだ。 ２）自然数全体 [1,∞)で考えても同じだ。(可算)選択公理でいくらでも大きい数を選ぶことができる。勿論超準で∞の元が存在すれば、それも選択可。 ３）いま、勿論超準でなく∞の元は存在しないから、∞を考えるとき、極限を使うんだ まあ、理系なら常識だがね これが分かれば、あとは自力で分かるだろう []: [ここ壊れてます]
153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/28(土) 22:11:23.16 ID:EwkKBBRb.net]: >>135
> 極限を使うんだ
そのときの極限値となる無限数列はどうやって選びますか？

また2つの数列の差の極限値である無限数列を選んだときに2つの数列が同じ類に属すること
をどうやって示しますか?

時枝記事の極限はk'を自然数とすると
a1, a2, ... , a(d-1), a((d-1)+1)(=0), a((d-1)+2)(=0), ... , a((d-1)+k')(=0)
のk'に関して極限をとることと同じなので極限値のシッポはad=0, a(d+1)=0, ... となる
よって2つの数列の差をとった場合は決定番号はdであってシッポは全て0になるので
2つの数列が必ず同じ類に属することが示される
154 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/29(日) 00:09:12.25 ID:wuevzOHd.net]: >>136
その前に
自然数全体N=[1,∞)で、n∈Nで、ｎは有限だけれども、N=[1,∞)は無限集合
同様に、正の実数R＋=(0,∞)で、0<r∈R＋で、rは有限だけれども、R＋=(0,∞)は無限大まで伸びる数直線の半分の集合
これをまず、よく理解して
155 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/29(日) 00:14:07.55 ID:wuevzOHd.net]: >>136 つづき

これが理解できたら、決定番号 dも同じだってことを理解すること

つまり、決定番号 dは、集合の元としては有限だけれども、決定番号の集合としては、[1,∞)なのだ

つまり、決定番号の集合としては、可算無限であり、決定番号 dは自然数全体を渡るってこと

ここの理解があやふやだから、議論がかみ合わないし、議論のレベルが低いままなんだよ！
156 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/29(日) 00:22:35.25 ID:wuevzOHd.net]: >>138
つまり、時枝>>2「箱がたくさん，可算無限個ある」
だから、決定番号dは、集合の元としては有限だけれども、決定番号の集合としては、[1,∞)なのだ
決定番号の集合としては、可算無限であり、決定番号 dは自然数全体を渡るってこと

ここの理解があやふやだから、議論がかみ合わないし、議論のレベルが低いままなんだよ！
157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/29(日) 01:30:53.75 ID:8uKPaF5J.net]: >>139
> 決定番号の集合としては、[1,∞)なのだ
異なる決定番号が可算無限個ある状況を考えれば決定番号の最大値は存在しないので
[d_min, ∞)となるが有限個(100列の箱なら高々100個)なら最大値は必ず存在しますよ
158 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/29(日) 09:58:14.82 ID:wuevzOHd.net]: >>140
ねんちゃく（文系）High level people
結局、Tさんもそのレベルから脱することができなかった
どうぞ、２８へ。同じレベルで議論してください

>> 決定番号の集合としては、[1,∞)なのだ
>異なる決定番号が可算無限個ある状況を考えれば決定番号の最大値は存在しないので
>[d_min, ∞)となるが有限個(100列の箱なら高々100個)なら最大値は必ず存在しますよ

いいかな
あなたはいま、決定番号dの確率を考えるとき、決定番号dは任意の実数、つまり、d∈Nから任意に取ってくれば良いと考えている
だが、本当はそれでは足りないが、ここではまず、”d∈Nから任意に取ってくれば良い”としてみよう

100個の決定番号d1,d2,・・・,d100 を考えてみよう。d1,d2,・・・,d100の分布は、いわゆる裾の重い分布（下記）さえも超えている＊）
（注＊）いわゆる裾の重い分布は、∞で減衰するが、この場合でもd1,d2,・・・,d100の分布は減衰しない！）

だから、任意に選んだ決定番号d1,d2,・・・,d100の分布は、平均値も持たないし、分散も持たない
大数の法則も成立しないし、中心極限定理も不成立

ここらは、（文系）High level people ではもうついてこれないだろうが、先に進む

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A3%BE%E3%81%AE%E9%87%8D%E3%81%84%E5%88%86%E5%B8%83
裾の重い分布あるいはヘヴィーテイルとは、確率分布の裾がガウス分布のように指数関数的には減衰せず[1]、それよりも緩やかに減衰する分布の総称。また類似の用語に、ファットテイル、裾の厚い分布、ロングテール、劣指数的(subexponential)などがある。
(引用終り)

つづく
159 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/29(日) 10:02:08.49 ID:wuevzOHd.net]: >>141 つづき

ところで、「本当はそれでは足りないが、ここではまず、”d∈Nから任意に取ってくれば良い”としてみよう」と言ったことについて解説する

100個の決定番号d1,d2,・・・,d100の分布は、多項式の集合（多項式環）K[x]から、任意に選んだ多項式の次数と考えることが、もっとも適切な例えになっている
記号を用意しておこう。 m次多項式 p = p m X^m + p (m - 1) X^(m - 1) +・・・+ p 1 X + p 0, mの範囲は[１,∞)とする

イメージをクリアにするために、文字mを使って書き換えると
100個の決定番号m1,m2,・・・,m100の分布を考えることになる

ところで、いま簡単な考察のために、係数は0～9までの10個の数に限定されているとする
１次多項式 p 1 X + p 0は、100通り
２次多項式 p 2 X^2 +p 1 X + p 0は、1000通り
m次多項式 p = p m X^m + p (m - 1) X^(m - 1) +・・・+ p 1 X + p 0 は、10^(m+1)通り
　・
　・
　・
となる。つまり、多項式の集合（多項式環）K[x]から、任意に選んだ多項式の次数は、次数が高い場合が圧倒的に多い。ランダムに選べば、高い次数しか出ない
係数は0～9までの10個の数に限定してさえそれで、係数を0～99とか、自然数全部なら0～99・・・となる
となれば、作為的に選ばない限り、次数の低い多項式を選ぶ確率は、限りなくゼロだ

自然数全部という可算無限の係数でさえそれで、任意の実数だと非加算無限だぜ
だから、（文系）High level people のために、やさしく解説すれば
任意の実数を係数とする３次多項式の集合を考えて、そこから、ランダムに選べば、３次式以外は出ないってこと

つまりは、「多項式の集合（多項式環）K[x]から、任意に選んだ多項式の次数の分布は、裾が減衰しないどころか、発散してしまう分布なのだ」と

ここを、よく反芻して考えて下さい
分からない場合は、２８で（文系）High level people 同士でお願いしますよ

よろしく
160 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/29(日) 10:09:26.64 ID:wuevzOHd.net]: >>141 訂正スマソ

あなたはいま、決定番号dの確率を考えるとき、決定番号dは任意の実数、つまり、d∈Nから任意に取ってくれば良いと考えている
↓
あなたはいま、決定番号dの確率を考えるとき、決定番号dは任意の自然数、つまり、d∈Nから任意に取ってくれば良いと考えている
161 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/29(日) 10:58:58.83 ID:wuevzOHd.net]: >>142
>任意の実数を係数とする３次多項式の集合を考えて、そこから、ランダムに選べば、３次式以外は出ないってこと

＜補足＞
３次多項式 p 3 X^3 +p 2 X^2 +p 1 X + p 0は、10000通りで
p 3 ＝0のときは、２次多項式以下になって、その場合は一桁少ないということを言っている

本当は、細かくは、場合分けが必要だが
ここでは、概算で確率を考えているので、細かい場合分けは無視してよいとしている。あしからずご了承ください。
162 名前：１３２人目の素数さん [2017/01/29(日) 11:16:16.28 ID:YRy6neuZ.net]: ＞だから、任意に選んだ決定番号d1,d2,・・・,d100の分布は、平均値も持たないし、分散も持たない
＞大数の法則も成立しないし、中心極限定理も不成立
を仮定すると
＞最大値は必ず存在しますよ
を否定できるのは何故？
163 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/29(日) 11:28:23.00 ID:wuevzOHd.net]: >>133
> alg-d.com/math/kan_extension/sheaf.pdf
>第0章　圏論入門例: 位相空間上の層　PDF版

(抜粋)
"例1. U 2 OX に対してP(U) := {f : U → R | f は連続} とする．U, V∈Ox，U⊂V
のとき，f∈P(V ) に対してΡuv (f) := f|U と定義すれば写像Ρuv : P(V ) → P(V ) を
得る．このとき?P, ? は前層である．
例2. 今度はU∈Ox に対してP(U) := {f : U → R | f は定数関数} とするとこれも
例1 と同じにより前層となる．
例3. X がC1 級多様体の時，U∈Ox に対してP(U) := {f : U → R | f はC1 級
関数} とすればこれも例1 と同じΡ により前層となる．"

"例5. 例1 の連続関数がなす前層の場合だと，条件1 は「局所的に値が一致する関数は
同じ関数である」という意味であり，条件2 は「局所的に定義された関数が，共通部分で
値が一致しているならば，それらを貼り合わせて全体で定義された関数を作ることができ
る」という意味である．よって連続関数がなす前層は層であることが分かる．同様に例3
の前層も層である．
例6. 一方，定数関数がなす前層(例2) は層でない場合がある＊）．例えば位相空間X におい
て，開集合U, V∈Ox でU ∩ V = Φ となるものが存在するとする．P を定数関数がなす
前層として，fU∈P(U)，fV∈P(V ) をfU とfV の値が異なるようにとる．U ∩ V = Φ
だから，fU とfV は「U ∩ V 上で値が一致」している．故にP が層だと仮定すると，層
の条件2 よりf∈P(
164 名前：U [ V ) でf|U = fU，f|V = fV となるものが存在しなければなら ないが，明らかにそのようなf は存在しない．故にP は層ではない．" (引用終り) 「例6. 一方，定数関数がなす前層(例2) は層でない場合がある」などについて 野口本「多変数解析函数論」では、P26「1.3.3 色々な層」の節で扱っているが 定数関数は、連続関数（もちろん微分可能）でもあるという立場で、扱っている＊） さらに、書きぶりが微妙に違う 野口本では、完備な前層が得られ、誘導されて層ができると 野口本が正確な記述だろう つづく []: [ここ壊れてます]
165 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/29(日) 11:29:37.39 ID:wuevzOHd.net]: つづき

つまり、前層は開集合（位相）によるが、層は開集合（位相）によらないという違いがある
前層は開集合（位相）により複数存在するが、層は一つである
だから、野口本が正確な記述だろう

＊）例6の主張がよくわからないが、「定数関数は、連続関数（もちろん微分可能）でもある」という立場であれば
例6は、不連続関数の例に変えるのが良いだろうと思う
あと、前層と層の違いも、野口本のように、明確にするのが良さそうだ

おわり
166 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/29(日) 11:36:14.11 ID:wuevzOHd.net]: >>145
そのレベルの議論は、２８でやってほしい
ねんちゃく（文系）High level people 同士で

>＞だから、任意に選んだ決定番号d1,d2,・・・,d100の分布は、平均値も持たないし、分散も持たない
>＞大数の法則も成立しないし、中心極限定理も不成立
>を仮定すると
>＞最大値は必ず存在しますよ
>を否定できるのは何故？

あのね
確率を考えるのだからさ
ある特定の例えば、｛1,2,・・・,100｝という集合を考えるのではなく、
全ての{m1,m2,・・・,m100}という組み合わせを、漏らさず考える必要があるんだよね
分かる？
全ての{m1,m2,・・・,m100}という組み合わせを漏らさず考えるならば、{m1,m2,・・・,m100}の平均値に上限はなく、従って分散も求められない
もちろん、個々の変数m1,m2,・・・,m100にしても、同じことが言えるんだよ
分かる？
167 名前：１３２人目の素数さん [2017/01/29(日) 12:09:01.56 ID:YRy6neuZ.net]: 任意に選「び得る」100個の自然数ならそうだが
任意に選「んだ」100個の自然数には最大値が存在するのでは？

＞だから、任意に選んだ決定番号d1,d2,・・・,d100の分布は、平均値も持たないし、分散も持たない
↑をどう読んでも後者に読めるんだが
168 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/29(日) 12:15:40.48 ID:wuevzOHd.net]: 大栗先生などもよく言及する（下記）”トイモデル”という考えがある
まあ、簡単な模型で考えようと
www.jps.or.jp/books/gakkaishi/2016/08/71-08trends.pdf
数え上げ不変量の母関数から見えてくるもの一方著日本物理学会 ?2016
(抜粋)
6.　おわりに
位相的場の量子論が提唱されてから，すでに4 半世紀以
上が経過しました．拡大された超対称性ゲージ理論から得
られる位相的ゲージ理論の最近の研究は，超対称ゲージ理
論のインスタントン効果や双対性が共形場理論や可積分系
の理論における量子群対称性のq-変形や楕円型拡張の問題
と深く結びつくことを明らかにしつつあります．7）また位
相的弦理論も量子重力理論のトイモデルとして示唆的な成
果をあげており8）位相的場の量子論の研究は当初の予想以
上の大きな拡がりを見せています．

(引用終り)
169 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/29(日) 12:42:00.70 ID:wuevzOHd.net]: >>149
そのレベルの議論は、２８でやってほしい
ねんちゃく（文系）High level people 同士で

>任意に選「び得る」100個の自然数ならそうだが
>任意に選「んだ」100個の自然数には最大値が存在するのでは？
>
>＞だから、任意に選んだ決定番号d1,d2,・・・,d100の分布は、平均値も持たないし、分散も持たない
>↑をどう読んでも後者に読めるんだが

トイモデル１
・>>144の３次多項式 p 3 X^3 +p 2 X^2 +p 1 X + p 0は、係数を0～9までの10個の数に限定して、10000通りで
・p 3 ＝0のときは、２次多項式以下になって、その場合は一桁少ない(1/10)
・さて、係数を0～k（k>>10）の自然数とする。同様に考えると、全体でk^4通りで、 p 3 ＝0のときは、２次多項式以下になって、その場合は1/kに過ぎない
・ここで、kを大きくしてk→∞の極限を考えると、２次多項式以下を選ぶ確率はゼロに近づく。つまり、３次多項式のみが選ばれる
・簡単のため、二つ、上記３次多項式の集合からランダムに選ぶとすると、どちらも３次多項式だから、{3,3}という組み合わせになる。この確率はほぼ100%。
・だから、もし裾の軽い例えば正規分布なら、二つに大小があって、片方が最大になる確率は50%になるべきところ、上記例ではそうならないのだよ

トイモデル２
・>>142 m次多項式 p = p m X^m + p (m - 1) X^(m - 1) +・・・+ p 1 X + p 0, mの範囲は[１,∞)とする
・いま、さらに簡単のために、mを有限の値に固定し、例えば1万とする。
・トイモデル１で考えたように、1万次以下の多項式の集合で、係数の集合を（0～9でなく）大きくして考えると、ランダムに選ぶ元（多項式）はほとんどすべて上限の1万次多項式を選ぶことになる
・ここで、mを大きくしてm→∞の極限を考えると、同様にランダムに選ぶ元はほとんどすべて上限のm次多項式を選ぶことになり、次数mは∞に発散してしまう
・だから、同様に簡単のため、二つ、上記m次多項式の集合からランダムに選ぶとして、時枝>>2のように「箱がたくさん，可算無限個」を前提とするなら、m→∞の極限を考えると、二つとも∞に発散して、二つの大小は考えられないよ

つづく []; [ここ壊れてます]
171 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/29(日) 12:42:21.85 ID:wuevzOHd.net]: つづき

これについては、過去なんども繰り返しTさんに説明したが、理解できなかったようだ
トイモデル１とトイモデル２を反芻して考えて下さい。もし、ここで議論する気があるなら

だが、おそらく貴方にはそれは無理だろうから、どうぞ、そのレベルの議論は、２８でやってほしい
私は、あそこには直接介入はしません。この場所から見ていますので、どうぞよろしく

おわり
172 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/29(日) 12:51:08.48 ID:wuevzOHd.net]: >>150 訂正
数え上げ不変量の母関数から見えてくるもの一方著日本物理学会 ?2016
　↓
数え上げ不変量の母関数から見えてくるもの菅野浩明〈名古屋大学大学院多元数理科学研究科　著日本物理学会 2016
173 名前：１３２人目の素数さん [2017/01/29(日) 13:18:05.80 ID:YRy6neuZ.net]: MaxN は存在しない
Max{n_i∈N|i∈{1,2,...,100}}は存在する
ここまで同意？
174 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/29(日) 14:43:19.94 ID:wuevzOHd.net]: >>154
ID:YRy6neuZ さん、悪いが、あなたはしょせん、（文系）High level people でしかないんだ
レベルが、理系から見て、理系の高校以下だよ

理系の大学教育を受けた人間なら、無限大にたいする感性も、もうちっとはましなセンスを持っているよ
悪いが、そのレベルの議論に時間を費やす趣味はない

今回で打ち切らせて貰う
あと、そのレベルの議論は、２８でやってほしい。（文系）High level people 同士で

> MaxN は存在しない

Yes and Noだ
Yes：通常の自然数、実数の範囲で
No：超実数あるいは拡張実数を考えることは可能だ（例えばリーマン球の北極を∞として、複素球面を実数の数直線に限定するモデル（大小は正の実数限定で定義）でも可）この場合Noだ

２１世紀の現代数学の立場では、必要とされる適切なモデルを選べばいいだけの話だ（下記参照）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0 拡大実数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0 超実数

>Max{n_i∈N|i∈{1,2,...,100}}は存在する
>ここまで同意？

Yes and Noだ

ある有限集合{n_i∈N|i∈{1,2,...,100}}に対しては、Yesだ。
但し、n_i＝n_j ∀ i,j∈{1,2,...,100} となる場合がありうる。>>151のトイモデル１だ
この場合、最大値を取る確率で、２列で1/2とか、１００列で1/100という確率計算は不成立

一方、Noの場合として、>>151のトイモデル２で考察したように、ある有限集合{n_i∈N|i∈{1,2,...,100}}についてこれをsi={n_i∈N|i∈{1,2,...,100}}と名前を付けたとして
すべてのsiの組み合わせを元として含む集合Sを考える必要があるよね、時枝>>2-3の確率を考える場合には
繰り返すが、>>151のトイモデル２で考察したように、 m次多項式モデルで考えると、>>148に示したように、全ての{m1,m2,・・・,m100}という組み合わせを考えると
次数m→∞の極限を考えれば、{m1,m2,・・・,m100}はすべて発散してしまうから、この場合はNoだ

以降、時間の無駄なので、この問題であなたには応答しない
あしからず
175 名前：１３２人目の素数さん [2017/01/29(日) 15:07:10.26 ID:YRy6neuZ.net]: ＞No：超実数あるいは拡張実数を考えることは可能だ（例えばリーマン球の北極を∞として、複素球面を実数の数直線に限定するモデル（大小は正の実数限定で定義）でも可）この場合Noだ
maxNが存在するという主張ですね？
ではそう仮定してみましょう
maxの定義から
maxN∈N、maxN+1∈/N
一方自然数の公理と maxN∈N から
maxN+1∈N
あなたの主張から矛盾が導かれましたが、これをどう説明しますか？

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