- 81 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/11/26(日) 20:45:26 ]
- 命題
I = [a, r + ω] を２次体 Q(√m) の原始イデアル(>>17) とする。
ここで a ＞ 0 で a = gh, g ＞ 0, h ＞ 0 とする。
このとき、J_1 = [g, r + ω], J_2 = [h, r + ω] はそれぞれ
イデアルで I = (J_1)(J_2) となる。
証明(高木の初等整数論講義)
θ = r + ω とおく。
N(θ) は a で割れる(>>35)から g と h でも割れる。
よって [g, θ] と [h, θ] はイデアルである(>>19)。
(J_1)(J_2) = (gh, gθ, hθ, θ^2) ⊂ I である。
>>25 より N(I) = a = gh = N(J_1)N(J_2) である。
>>70 より N((J_1)(J_2)) = N(J_1)N(J_2) である。
よって I = (J_1)(J_2) である。
証明終
