- 19 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/11/25(土) 04:06:12 ]
- 命題
２次体 Q(√m) と a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a となる有理整数 a, b に対して、
N(b + ω) が a で割れれば a, b + ω はあるイデアルの標準基底である。
証明(高木の初等整数論講義)
a と b + ω が Z 上一次独立なのは明らか。
よって [a, b + ω] がイデアルであることを示せばよい。
つまり、aω ∈ [a, b + ω] と (b + ω)ω ∈ [a, b + ω]
を示せばよい。
aω = -ab + a(b + ω) ∈ [a, b + ω] である。
N(b + ω) = ak とする。
つまり (b + ω)(b + ω') = ak である。
Tr(ω) = ω + ω' = s とおく。
s は有理整数である(実際、0 または 1)。
ω' = s - ω より
(b + ω)(b + s - ω) = ak
よって
(b + ω)(b + s) - (b + ω)ω = ak
よって
(b + ω)ω = -ak + (b + ω)(b + s) ∈ [a, b + ω]
証明終
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