- 629 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/09(金) 20:59:21 ]
- 命題
R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
d を Q(√m) の判別式とする。
h(D) = (h(d)/[Z[ω]^* : R^*])fΠ(1 - χ(p)/p)
である。
ここで p は f の相異なる素因子を動く。
証明
I = (R : Z[ω]) を R のイデアルとしての導手(>>540)とする。
>>627 より I = fZ[ω] である。
>>548 と >>626 より
h(D) = h(d)[(Z[ω]/I)^* : (R/I)^*]/[Z[ω]^* : R^*]
>>624 より
|(Z[ω]/I)^*| = φ(f)fΠ(1 - χ(p)/p)
>>628 より
|(R/I)^*| = φ(f)
よって
h(D) = (h(d)/[Z[ω]^* : R^*])fΠ(1 - χ(p)/p)
である。
証明終
