- 627 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/09(金) 20:47:15 ]
- 補題
R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とする。
fZ[ω] = (R : Z[ω]) である。
ここで (R : Z[ω]) は R のイデアルとしての導手(>>540)である。
証明
α = a + bfω ∈ (R : Z[ω]) とする。
αω = aω + bfω^2 ∈ R
ω は (X - ω)(X - ω') = X^2 - Tr(ω)X + N(ω) の根だから
ω^2 = Tr(ω)ω - N(ω)
よって
-bfN(ω) + (a + bfTr(ω))ω ∈ R
よって a ≡ 0 (mod f) である。
よって α ∈ fZ[ω] である。
よって (R : Z[ω]) ⊂ fZ[ω] である。
逆の包含関係は明らかである。
証明終
