- 433 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/12(金) 12:50:20 ]
- 命題
A を整域とし、K をその商体とする。
A の K における整閉包を B とする。
S を A の積閉部分集合とする。
このとき、B_S は A_S の K における整閉包である。
証明
A_S の K における整閉包を C とする。
x ∈ C とし、
x^n + (a_1/s)x^(n-1) + ... + (a_(n-1)/s)x + a_n/s = 0 とする。
ここで、各 a_i ∈ A で, s ∈ S
この等式の両辺に s^n を掛けて、
(sx)^n + a_1(sx)^(n-1) + ... + a_(n-1)s^(n-2)(sx) + (a_n)s^(n-1) = 0
となる。よって、sx は A 上整である。
よって、sx ∈ B である。
よって、x ∈ B_S である。
以上から C ⊂ B_S である。
一方、前スレ１の 514 より B_S は A_S 上整である。
よって B_S ⊂ C である。
証明終
