- 104 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/11/29(水) 20:48:31 ]
- 任意の有理素数 p が与えられたとき、それをノルムとするイデアルは
>>47 と >>49 で与えられている。
では、任意の有理整数 a ≧ 1 が与えられたとき、それをノルムと
するイデアルをすべて求めるにはどうしたらよいか？
この問題を考えよう。
まずイデアル I に対してそのノルム N(I) は I に含まれることに
注意する。
これは >>25 からもわかるし、Z[ω]/I が位数 N(I) の
アーベル群であることから、任意の整数 α ∈ Z[ω] に対して
N(I)α ∈ I となることからも分かる。
さらに、>>71 からも分かる。
したがって、 有理整数 a ≧ 1 をノルムとするイデアル I は
aZ[ω] を含むが Z[ω]/aZ[ω] は有限環だから、このような
イデアルは有限個である。
a = 1 なら I = Z[ω] だから a ＞ 1 と仮定する。
