- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/29(土) 13:14:41.54 ]
- [問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
選んで中を見ると10000円だった。
他方の封筒の金額の期待値は？
この問題・類題に関する意見・質問のスレです。
このような問題を他スレで話題にしたりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くよう誘導お願いします。
派生元
こんな確率求めてみたい その1/8
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
過去スレ
２つの封筒問題スレ
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1267847049
２つの封筒問題スレ 2
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1272010151
２封筒問題スレ その３
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1286091715/
- 445 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/08(木) 18:15:34.13 ]
- >>444
これでもいいな。
問い：「０以上の偶数の合計」と「正の偶数の合計」では、どちらが大きいか？
解答：
０＋２＋４＋６＋……
２＋４＋６＋８＋……
項毎に比べると、常に下の方が大きい。だから、「正の偶数の合計」の方が大きい。
……しかし、「０以上の偶数の合計」と「正の偶数の合計」は、
０の有無だけなので、本当はイコールなのではないか？
果たして、両者はイコールなのか？
それとも、「正の偶数の合計」の方が大きいのか？
そもそも、上の解答のような "部分毎の比較で全体の大小を判定する" という判定法は正しいのか？
特に、級数が発散する場合において、この判定法は使えるのか？
- 446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/08(木) 18:31:07.57 ]
- 封筒Ａ,Ｂの金額(の確率変数)をそれぞれa,bとする。
＞たとえばサンクトペテルブルクのパラドックスのように封筒に入れる金額を決定し
＞封筒Ａには2＾(n-1)円入れ、封筒Ｂに2＾n円入れた場合はどうです？
＞どちらも期待値は発散しますが、封筒Ｂのほうが大きいことは分かると思います
この場合
P(b>a)＝１
「封筒Ｂの金額bは封筒Ａの金額aよりも確実に(確率１で)大きい」
が成立する事は言えるが
E(b)>E(a)
「封筒Ｂの金額の期待値E(b)は封筒Ａの金額の期待値E(a)よりも大きい」
とは言えるわけではない。
なぜならE(a),E(b)は存在しないから。
「E(a),E(b)も無限大だけど、E(b)の無限大∞_bの方がE(a)の無限大∞_aよりも大きい」
などということは言えない。
期待値とは、
"確率と確率変数の値の積"の総和として一意に定まる値
無限個の総和は、部分和(の列)の極限値として定義されるが
極限値が存在しない場合(極限が発散する場合)や
部分和(の列)の取り方により異なる値に収束する場合(級数が条件収束する場合)
は、"一意に定まる値"が存在しないので、期待値は存在しない。
- 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/08(木) 20:39:13.99 ]
- >>446
では、同じように封筒Ａには2＾(n-1)円入れ、封筒Ｂに2＾n円入れようとするが
封筒Ａの中身は17/20の確率で入れない、封筒Ｂの中身は9/10の確率で入れないことにしましょう。
封筒Ａの方が金額が高額になる確率が高くなりますがどうですか？
封筒Ａ、封筒Ｂどちらを選んでそれを得られる場合
どちらを選べばよいか分かりますか？
- 448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/08(木) 20:56:51.45 ]
- >>447
＞どちらを選べばよいか分かりますか？
↑
そして>>427に戻る。やれやれ。
君が言っている「よい」の意味が「より期待値が大きい」ということならば、
既に書いたとおり、"期待値" の定義によって答えは変わる。
"期待値" とは違った意味で「よい」という言葉を使っているならば、
君の言う「よい」の定義を、君の口から詳しく説明しなければならない。
どちらにせよ、君の質問は意味が無い。
「よい」の定義次第で、どんな解答も正しく出来るからだ。
誰の目から見ても損をしているような戦略でさえ、"よい戦略である" ように出来る。
なぜなら、そのように「よい」という言葉を定義すればいいからだ。
そして、そのような下らない解答を防ぐには、
「よい」とは何なのか、出題者が細かく制限を加えなければならない。
すなわち、「よい」の定義を出題者が口にしなければならない。
- 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/08(木) 20:59:44.30 ]
-
しかし、「よい」の定義を出題者が口にした段階で、答えは自ずと決まってしまう。
それは、出題者が用意した "答え" を、自分から暴露してしまうことに通じる。
従って、君はそれを避ける。すなわち、「よい」とは何なのか、
君の口からは決して言わない。かわりに、元の問題を変形して
「この問題ならどうですか？どういう戦略が "よい" と思いますか？」
と周囲に問い続ける。君が用意した「よい」の定義を
誰かが言い当てるまで、君のこの作業は続く。
実にくだらない。君がやっていることは、数学ではない。君がやっていることは、
「 私が心の中で思っている "よい" の定義を、皆さん言い当ててください 」
ということである。これは数学ではない。ただのエスパー検定である。
エスパー検定は、数学板ではなく、別の板でやってもらいたい。
- 450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/08(木) 23:38:37.47 ]
- >>437
> ①と②どちらがよいかは分かります？
何度も言うが、「よい」を定義しろ。
- 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/08(木) 23:41:19.23 ]
- >>440
＞ それらの解答は、 それらの定義において全て正しい。
いくらなんでもこれは回答者の答を信用しすぎ。
「それらの定義が異なれば、それぞれに異なる正解がある。」
くらいに留めておくのがいいと思う。
- 452 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/09(金) 09:11:24.25 ]
- 期待値は発散している、もしくは同じだから分からないんじゃないんですか？
Ａ、Ｂどちらを選んでも同じと答えればいいじゃないですかｗ
ちゃんと解いてからじゃ無いと能書きに説得力がありませんよ
数学を使い、自分が有利だと思う方を述べればいいだけです
定義定義って自分で定義できないんですか？
アホですか？
- 453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 11:47:10.26 ]
- ＞数学を使い、自分が有利だと思う方を述べればいいだけです
"有利","有利だと思う"の数学的な定義が定まらないなら数学は使えない。
自分で勝手に定義を決めていいのなら、各自で勝手にやればいいだけ。
そのような行為はもはや数学の範疇でないので、
この板の殆どの住人には興味がない。むしろ板違いなので邪魔でしかない。
誰かに答えて欲しい・考えて欲しいならば、どこか別の所でやった方が
君にとっても有意義だろう。
もし君に、"有利"の数学的な定義の面白いアイディアがあるなら
それをさっさと披露すればよい。
数学的にきちんした定義ならば、興味をもった人が応えてくれるかもしれない
(但し、つまらない考えならば、やはり誰も相手にしない)。
- 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 14:43:37.29 ]
- >>452
発散するものを「同じ」とする理由は？
- 455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 17:23:44.42 ]
- >>454
>>443に書いてあるだろう
- 456 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/09(金) 17:33:38.49 ]
- >>454
「もしくは」と言う
言葉の意味が理解出来ないのか？
- 457 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/09(金) 19:14:24.58 ]
- A,B の金額の期待値は発散しているが、
ひとつめの封筒を開けた後での
条件付き期待値は有限じゃないか。
それを、開けた封筒の金額と比べることに
意味があるかというと、「よい」の定義の問題
になってしまうが…
サンクトペテルブルクの問題にしてしまうよりは、
条件付き期待値を考えたほうが
＞＞１ の話題に沿うように思う。
- 458 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/09(金) 22:48:57.52 ]
- >>457
>>421の問題は
条件付き期待値として考えると、
初めに封筒Ａを選ぼうがＢを選ぼうが、
その中にどのような金額が入っていても他方の期待値の方が大きくなる。
それを信じて交換すると①や②の戦略を取ることになる
①が得られる賞金の期待値は④より小さいし
②は③より小さい、
条件付き期待値として考えるのは間違いだと分かるように問題を作ったんだけどね
- 459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 23:18:26.03 ]
- 10000円のとき、交換の期待値は、10000円のまま、変わらないと仮定する。《仮説Ａ》
5000円になる確率 2/3 20000円になる確率 1/3 となる。
開封する前の金額の確率分布を、超無理やり求めちゃう、で
625円未満はありえない。割り切れない。 1:2という条件から免脱するから。
事象 確率(有効数字小数点以下1桁）
─── ────────
625円 0.293 厳密には、1 - 2^(-0.5)
1250円 0.207 厳密には、上記の 2^(-0.5)倍
2500円 0.146 〃
5000円 0.104 〃
10000円 0.073 〃
20000円 0.052 〃
...
と定まることになる。しかし、そんななんだか変！だから
《仮説Ａ》を廃棄。よって、交換すれば、期待値は変化する（可能性）大
で増えるかどうか吟味中
- 460 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 01:55:19.14 ]
- >>458
＞条件付き期待値として考えるのは間違いだと分かるように問題を作ったんだけどね
どのような定義をすべきか定まっていないので正否など論ぜない。
特定の定義の下で、戦略の優劣が
①＜④、②＜③
となっても、間違いでもなんでもない。
単に君が気に食わなかっただけだろう。
- 461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 09:25:36.22 ]
- >>460
サンクトペテルブルクのパラドックスのように封筒に入れる金額を決定し
封筒Ａには2＾(n-1)円入れ、封筒Ｂに2＾n円入れようとするが
封筒Ａの中身は17/20の確率で入れない、封筒Ｂの中身は9/10の確率で入れないことにする。
どちらの封筒を選んだほうが期待値が大きくなるか？
この問題にも答えられない人が何を言っても無駄ですよ
数学板でこんな簡単な問題が分からないのってあなただけでしょ
- 462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 09:30:39.13 ]
- >>460
他の人はこんな問題には興味が無いみたいな事を言ってましたが
私もそうです、こんな簡単な問題には興味はありません。
発散してるから比較不能と言う苦しい言い訳をする人を眺めるのが面白いんです。
どうやって、どちらの封筒を選べばよいか判断するんでしょうねー
やっぱ分からないんですかね？どちらを選べばよいか
もちろん、よいとは期待値が大きくなる方を選ぶ事ですよｗ
- 463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 10:02:52.00 ]
- 「期待値」の定義と「大小関係」の定義を述べられないくせにでかい口をたたくもんだ。
聞いた話だが、本当のキチガイは自分が変だということに気づかないらしいよ。
- 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 13:39:06.38 ]
- 期待値の定義なんて散々既出でしょ
「確率と確率変数を掛けた総和」です
大小関係の定義なんて高々正の実数で必要無いと思いますが？
「本当のキチガイは自分が変だということに気づかない」には同意します
>>461の問題でどちらの封筒を選べばいいか分からないんですよね？
封筒Aに入っている金額の期待値は、コインの裏が出た回数をｋと置けば 2＾(ｋ-1)*3/20
封筒Bに入っている金額の期待値は、同じように2＾ｋ*1/10
封筒Aの期待値：封筒Bの期待値＝2＾(ｋ-1)*3/20：2＾ｋ*1/10＝3：4
となり、【あなた以外】は、封筒Bの方が期待値が大きくなる事が分かります
因みにｋの値の上限は無いけれども、コインの表が出た後なので必ず有限の値です。
- 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 14:53:41.66 ]
- ＞コインの裏が出た回数をｋと置けば
>>421の問題のnや>>441の問題のnを、n=kと置いた場合の金額aの期待値は、
「n=kという条件・仮定の下での金額の条件付期待値」等と呼びE[a|n=k]と表して
単なる「金額の期待値」E[a]とは区別される。
>>421の問題や>>441の問題では、nは未知数なので、「n=kとおく」というのは勝手に仮定した条件であって
「任意のkに対してE[b|n=k]＞E[a|n=k]」は成立するが「E[b]＞E[a]」は成立しないし
「n=kと置く」とは別の条件Dを勝手に仮定した場合「E[b|D]＞E[a|D]」とは限らない。
「n=kと仮定する場合の金額の条件付期待値による損得・優劣の判断だけが"正しい"のであって
他の期待値・条件付期待値や、それ以外の方法による損得・優劣の判断は"間違い"である」
というのは君の思い込み・願望でしかない。
他の人が君とは異なる基準・定義によって
「>>421の戦略の優劣は①＜④、②＜③ 」「>>441は封筒Aの方が"よい"」と判断したからといって
なにか矛盾が生じることはないし、その判断が"間違っている"わけではない。
単に君が気に食わないだけだろう。
＞因みにｋの値の上限は無いけれども、コインの表が出た後なので必ず有限の値です。
>>421の問題や>>441の問題(サンクトペテルブルクの問題)のようにn=kの値を決める場合、
コインを投げる前や表が出る前からn=kは有限の値になると判っている。
何故ならn=kの値は、その決め方(確率分布)から、確実に(確率1で)自然数になることが判っており、
任意の自然数は有限値だから。
- 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 15:55:42.86 ]
- >>465
ずいぶんとトーンダウンしましたね。
まあ今回はこの辺でやめときましょう。
あなたに２封筒問題を理解、納得させるのが目的ではないのでこれぐらいで十分です。
お疲れ様でした
- 467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 16:03:27.43 ]
- >>462
＞もちろん、よいとは期待値が大きくなる方を選ぶ事ですよｗ
君はそう思うのかもしれないが、他の人が必ずしもそう思うとは限らない。
何が良いのかは、各個人の感性や状況によって変わり得る。
確かに期待値によって有利/不利を評価するという事は良くありがちだが
評価によく期待値が用いられる理由は
大数の法則
ある賭け(賭け方)がいくつかの条件(「期待値が存在して有限値」等)を満たす時、
その賭け(賭け方)を何回もやった時の平均値は、その賭け(賭け方)の期待値に近づく
が成立するからだ。賭けがこの"いくつかの条件"を満たさない場合や、賭けを何回もやらないorできない場合
期待値への近づき方が非常に遅い場合には、期待値による評価が妥当だとは私は思わない。
また、効用を用いて損得を考えるという手法も昔から知られている。
お金の価値の感じ方(効用・効用関数)は各個人によって異なっており、例えば
100円貰う場合の嬉しさの度合と、１万円貰う場合の嬉しさの度合の比は、単純に金額の比と同じとは限らず
前者は後者の100倍以上という人もいれば、ほとんど同じという人もいるだろう。
あまりの大金を得る場合は人生が狂ってしまいそうで色々と怖いからむしろ嬉しくない(効用が単調増加しない)という人や
100円失う(-100円得る)場合は、100円得る場合の嬉しさの5倍大きさで残念(嬉しさの度合が-5倍)という人もいるかもしれない。
価値の感じ方(効用関数)が異なれば、嬉しさの度合(効用)の期待値(期待効用)
を大きくするような選択・戦略は変わる。単に
＞よいとは期待値が大きくなる方を選ぶ事
と言っても、
金額の期待値が大きくなる選択、効用の期待値(期待効用)が大きくなる選択
それ以外のなんらかの期待値が大きくなる選択
では、それぞれ全く別の選択に成り得るので、それだけでは「よい」の定義が不十分。考えが浅はか。
- 468 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/10(土) 21:23:46.61 ]
- ＞＞４５８
＞＞４５７の者だけど、
(1)でも、(4)でも、各封筒の期待値は発散してるんだから、
(1)対(4)とか、(2)対(3)とか、トータルの期待値で比較すること
こそが不可能なんじゃないかね。
金額の確率分布がサンクトペテルブルク問題と類似している以上、
開けた封筒にどんな金額が入っていたとしても、「あっちは更に高額かも」
と考えるのには根拠があり、
条件付き期待値が高いことを「よい」と定義するならば、
(1)または(2)の戦略をとるのが正解。ただし(1)と(2)は比較できない。
- 469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 21:54:52.74 ]
- 効用は数学じゃないだろ、それこそ板違い
文系の経済学者にでも語らせとけ
- 470 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/11(日) 01:38:41.78 ]
- そうだね。
だから、効用ではなく期待値の話をしよう。
- 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/11(日) 09:12:40.72 ]
- とりあえず>>421君は、封筒の中身を確認した直後に計算できる期待値と、
ゲームのルールを定めた、あるいは、戦略を決めた時点で計算できる期待値＝封筒の中身を確認する前までの期待値
の違いを理解していないようだ。
前者は、分布と、確認した金額で簡単に計算できる。
後者は、引く可能性のある金額全ての重ね合わせなので、発散する可能性が出てくる。
後者であっても、分布の作り方によっては発散させないようにすることも可能。
この場合は、「ゲームの期待値」あるいは、「各戦略毎の期待値」を有限に値として得ることが可能。
- 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/11(日) 12:12:59.20 ]
- ほら始まった
言い訳が苦しくなってくると、どちらの期待値も正しいとか言い始める
分布が有限だったり、ゲームの期待値が収束するような
簡単な問題の話はしてませんよ
前提条件がぶれないように、問題設定してる
それ以外の分布の問題なんて言及してないよ
１つの封筒の値を確認した後の条件付き期待値も出せるし、理解してる、
理解したうえで（ゲームの期待値が収束してる場合など以外は）、間違ってるって言ってんの
因みに君は>>421の問題で①～④のいずれかの行動しかとれない場合、どれを選ぶの？
- 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/11(日) 13:13:39.41 ]
- いい訳って何？
>>421以降では俺は、偶数の和と、奇数の和、どちらが大きいかの話しかしてない
全く不適切な書き込みだ
俺は、それ以前の書き込みで、勝手な分布の仮定は２封筒問題ではないとしている
２封筒問題の本質は、選んだ封筒が高額側か低額側かは、封筒を選んだ時点では
1/2づつだが、金額を確認した瞬間に、その確率は判らなくなることにあるとしている
この巧妙なすり替えトリックこそが２封筒問題の正体だ
だから君が考えている問題は、もはや２封筒問題ではない。表面上は似ていても、本質を考えると、
２封筒問題の亜種ですらない。サンクトペテルブルク問題等の亜種と分類すべきものだ
１から４の戦略は、金額の確認前に決まる期待値だ
それを、金額確認後に計算できる条件付き確率で評価しようとしている
これらをごちゃ混ぜに考え、混同していることを指摘したのだ
これは、ちょうど偶数の和と奇数の和の大小を、各項の比較で評価しようとしている
ことに似ている。それを指摘した
なにかを言いたいのなら、クイズ形式ではなく、最初から主張を書けばいい。
掲示板利用者は、反応する義務等負っていない。クイズ形式では、君の言いたいことを
披露する前に、終了する可能性だってあるんだから。
- 474 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/11(日) 13:27:18.48 ]
- いや、だから、期待値が高いことを「よい」と定義するならば、
≫421の答えは、(1)または(2)が「よい」戦略で、(1)対(2)は比較不能。
高校生でも解る話だよ？
≫421は、もとのニ封筒問題と異なり、封筒に入れる金額の確率分布が
与えられているのだから。
- 475 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/11(日) 21:22:03.33 ]
- >>474
はい出ました
>(1)対(2)は比較不能
君も
表が出るまでコインを投げ、それまでに裏が出た数をｎとする。
封筒Ａには2＾(n-1)円入れ、封筒Ｂに2＾n円入れようとするが
封筒Ａの中身は17/20の確率で入れない、封筒Ｂの中身は9/10の確率で入れないことにする。
どちらの封筒を選んだほうが期待値が大きくなるか？
が分からないクチかね。
分かるなら、①と②どちらが期待値が大きくなるか分かるよね
- 476 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/11(日) 22:26:20.63 ]
- もちろん出るよ、「比較不能」。
「よい」を期待値が高いことと定義すれば、
期待値∞と期待値∞は比較しようがない。
同じ∞だから同じだけ「よい」と言ってしまうほど
無知な訳ではあるまい？
- 477 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/12(月) 08:21:45.42 ]
- >>476
封筒Aに入っている金額の期待値は、コインの裏が出た回数をｋと置けば 2＾(ｋ-1)*3/20
封筒Bに入っている金額の期待値は、同じように2＾ｋ*1/10
封筒Aの期待値：封筒Bの期待値＝2＾(ｋ-1)*3/20：2＾ｋ*1/10＝3：4
コインの裏が出た回数はいくらであっても封筒Bの方が期待値が大きくなる
っと、晒し上げ
- 478 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/12(月) 08:24:39.14 ]
- いや、まあいいんだけどさ
２つの封筒問題を条件付き期待値を求める問題として、
交換した方が期待値が大きくなると言う意見の人ってなんでこんなにアホなの？
俺の自演に見えるジャン
- 479 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/12(月) 08:59:34.60 ]
- ≫477
プレイヤーが k の値を知っているならば、
そのとおりだが。
コインを投げてるところを見せながらやるのかね？
k を教えないのであれば、プレイヤーは各封筒の
総期待値を比較せざるを得ず、∞と∞の大小は
「比較不能」。
それを、k 毎に比較してよいと思うのなら、
偶数の総和と奇数の総和を比較してみるか、
ヒルベルトのホテルでも訪ねてみるといい。
赤点。
- 480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/12(月) 09:11:29.75 ]
- >>477 まず、>>421の問題は、
「確認した金額がXだったとする。
Xが1か、そうでないか、及び、確認した封筒がAなのかBなのかで場合分けし、
>>421 の(1)～(4)の戦略のどれが優れているか検討せよ。」
というタイプではなく
「各戦略によって得られる金額がYとなる確率をP(Y)とすると、ΣY*P(Y)を計算して
>>421 の(1)～(4)の戦略のどれが優れているか検討せよ。」
というタイプの問いだと言うことを確認して欲しい。
そこで、問題：「２の倍数の合計」と「３の倍数の合計」、どちらが大きいか？
解法１．第ｎ項までの和をそれぞれ求め、ｎ→∞で、大小を比較 両方とも発散→比較不能と判断
解法２．第ｎ項までの和をそれぞれ求め、ｎ→∞で、大小を比較 両方とも発散→同じと判断
解法３．「第ｎ項までの２の倍数の合計」／「第ｎ項までの３の倍数の合計」を求めｎ→∞で、2/3になり、後者が大と判断
解法４．6N以下までの和をそれぞれ求め(※)、N→∞で、大小を比較 両方とも発散→比較不能と判断
解法５．6N以下までの和をそれぞれ求め、N→∞で、大小を比較 両方とも発散→同じと判断
解法６．「6N以下までの２の倍数の合計」／「6N以下までの３の倍数の合計」を求めN→∞で、3/2になり、前者が大と判断
※
6N以下の2の倍数の合計=(6N/2)*(6N+2)/2=3N*(3N+1)=9N^2+3N
6N以下の3の倍数の合計=(6N/3)*(6N+3)/2=N*(6N+3)=6N^2+3N
- 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/12(月) 09:11:59.82 ]
- 普通は解法１や解法４を通して、比べられないとする。
しかし君は、解法３を取り、後者が大と主張する
解法６のような考え方はダメなのか？ダメな理由は？
ここで、改めて言う。>>421で与えられた問題は、文頭の前者のタイプではない。
前者のタイプなら、>>477の主張が正しい。しかし、後者のタイプだ。だから、比較不能。
何度も繰り返すように、奇数の合計と、偶数の合計、どちらが大きいか、という問いに対し、各項を比較して、
一方が大きいと言っているようなもの。もし、「2n-1」と[2n]どちらが大きいか、という問いなら答えは出せるが、
それらの合計だから、発散する量同士の比較になり、不能となる。
また、正の奇数の二乗の逆数の合計=Σ[k=1,∞]1/(2k-1)^2 と、正の偶数の二乗の逆数の合計=Σ[k=1,∞]1/(2k)^2なら、
両方とも収束する事を別の方法で確認した後に、各項同士の比較 1/(2k-1)^2 > 1/(2k)^2 から、
正の奇数の二乗の逆数の合計の方が大きいと判断することは正しくなる。
・前者タイプの問題と後者タイプの問題を区別できていない
・発散する量同士の比較を、収束する場合の方法(各項同士の比較)で行おうとしている
これが君の間違いだ
- 482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/12(月) 11:03:36.13 ]
- ＞期待値が高いことを「よい」と定義する
何を仮定とする何の(条件付)期待値なのか不明瞭なので、定義が不十分。
>>421の戦略①②③④の「(何も仮定しない)獲得金額の期待値」はいずれも存在しないので
「(何も仮定しない)獲得金額の期待値」では評価できない。
戦略①②③④を
「(何も仮定しない)獲得金額の期待値」で評価する場合と
>>464のように「n=k(定数)とおいた下での獲得金額の条件付期待値」で評価する場合、
「確認した金額をx(定数)とする(仮定する)時の獲得金額の条件付期待値」評価する場合とで
どの方法が正しいか、採用すべきかということは、数学的には言えない
(評価方法自体の正否や優劣がきちんと定義されていない為)。
ただし、ベイズ確率の理論(考え方)的には、
実際に得られた情報のみを最大限加味した(条件付)確率・期待値が正しい確率・期待値なので
金額確認前は「(何も仮定しない時の)期待値」
金額確認後は「確認した金額をx(定数)とする(仮定する)時の条件付期待値」
で考えなければならず、勝手に「n=k(定数)とおく」等とするのはNG.
ちなみに、何も仮定しない場合でも、
(２つの金額(２封筒の金額や、戦略①と④でそれぞれ得られる金額など)をx,yとして)
２金額の合計に対する割合の期待値E[x/(x+y)],E[y/(x+y)]なら存在するので
(実数上の大小関係で)大小比較できる。
- 483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/12(月) 11:15:29.99 ]
- >>421の問題文では
「nの値(金額の組100^n円,100^(n+1)円)が決定した後に、その組に応じて封筒A,Bの金額を決める」
という過程になっているが、他の過程であっても
確率分布
「封筒Aの金額100^n円,封筒Bの金額100^(n+1)円」である確率 (2/5)*(1/2)^(n+1)
「封筒Aの金額100^(n+1)円,封筒Bの金額100^n円」である確率 (3/5)*(1/2)^(n+1)
n=0,1,2,3,...
が同一であるならば、確率・期待値は同一である
(期待値とは、確率分布により定まる値なので、確率分布が同じならば期待値も同じ)。
例えば
1 ) (封筒A,Bの金額を決める前に)ゲストは[α]と[β]のどちらか片方を選ぶ。
2a) [α]を選んだ場合は封筒Aの金額が確率的に決定し、ゲストは封筒Aの金額を確認する。
2b) [β]を選んだ場合は封筒Aの金額が確率的に決定し、ゲストは封筒Aの金額を確認する。
3 ) その後で(もう片方の金額を決める前)ゲストは、[封筒A]か[封筒B]を選ぶ。
4 ) もう決定した方の金額に応じてもう片方の金額も確率的に決定する。
5 ) ゲストは、3)で選んだ封筒の金額を得る
ただし、封筒A,Bの金額は上の確率分布に従い決まるとする
という過程で決まる設定は、数学的・ベイズ的には>>421と全く同じとみなされる。
>>421のように
「nの値(金額の組100^n円,100^(n+1)円)が決定した後に、その組に応じて封筒A,Bの金額を決める」
という場合には、勝手に「n=k(定数)」とおいても"問題ない"と直観的・気分的には思うかもしれないが
数学的に考える(確率分布だけで考える or 上のような確率分布が同一だが別の設定で考える)と
勝手に「n=k(定数)」とおいては不自然で、ダメである。
- 484 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/12(月) 14:52:22.50 ]
- ≫482
それは、≫457 に書いた。
- 485 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/12(月) 18:12:18.31 ]
-
勝手に「n=k(定数)」とおいては不自然で、ダメであるｗ
- 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 00:10:37.38 ]
- 自分(=>>433=>>463)の主張は>>465やそれ以降に書いている人たちと同じだけど
キチガイくんにはそれらの書き込みが理解できないようなので例え話をさせてもらうよ。
問題
さいころを投げた。
さいころは1から6まで等確率で出ることを知っているが、出た目の値nは知らないものとして答えよ。
nはいくつか？nの期待値はいくつか？
主張1
問題文の仮定よりnは分からない。
期待値は確率と確率変数を掛けた総和だから1/6+2/6+,,,+6/6
主張2
nをkとすれば、nはk。
nをkとすれば、確率1でnはkなのでnの期待値はk
どちらも命題として正しい主張であるが、普通の人は問題の答えとして正しいのは主張1のみと考える。
主張2を正解とする場合には、問題文に「nを固定した時の期待値は？」や「nの値は既知とする」などの
説明が必要と考える。まぁ、このスレには普通じゃない人が一人居るみたいだが。
- 487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 00:34:39.83 ]
- 表が出るまでコインを投げ続け、それまでに裏が出た回数×２＋２円だけ封筒Aに
それまでに裏が出た回数×２＋１円だけ封筒Bに入れる。
ただしプレイヤーにはその回数も金額も知らせない。
問題A
裏が出た回数をｋと仮定すると
封筒Aには2k+2円、封筒Bには2k+1円入っている。
これはkかいくつであったとしても封筒Aを選んだほうが１円多い。…(1)
A-１） (1) より 封筒Aを選んだほうが封筒Bに交換したときよりも得られる金額は高いといえるか？
A-２） (1) より 封筒Aを選んだほうが封筒Bに交換したときよりも得られる金額の期待値は高いと言えるか？
A-３） (1) より 偶数の自然数の合計は奇数の自然数の合計より多いと言えるか？
問題B
実際に封筒Aをを選んで開けてみたら、10000円入っていた。…(2)
B-１） (2) より 封筒Aを選んだほうが封筒Bに交換したときよりも得られる金額は高いといえるか？
B-２） (2) より 封筒Aを選んだほうが封筒Bに交換したときよりも得られる金額の期待値は高いと言えるか？
B-３） (2) より 偶数の自然数の合計は奇数の自然数の合計より多いと言えるか？
- 488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 00:56:33.02 ]
- この手の言い合いで例え話とか質問形式なんて議論を発散させるだけの下策。
議論の仕方が下手糞なのは、主張内容が正しいかどうかと関係なしに
第三者からは頭が悪いと思われるよ。
自分はこういう前提でこう考えてこういう結論になったってハッキリ書けば、
まともな人間には一番理解しやすい。それで理解できない奴は放っとけばいい。
- 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 01:12:15.81 ]
- 第三者はあまり関係ないんじゃない？
皆、彼に理解させるために書いてるんでしょ？
だって彼以外にこんなレベルが低い間違いする人いないし。
そして、君の言うような書き込みは>>465がすでにしている。
しかしながら彼相手にはまともな議論は進まない。
- 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 01:32:44.52 ]
- ひとつわかっていないことがある。
ここは既に他からほっとかれるためのスレなのだ。
- 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 01:36:09.37 ]
- >>488
よくわからんのだが、もしかして自分とあとひとりしかこのスレにいないと思ってる？
- 492 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/15(木) 09:22:47.67 ]
- >>401,402で終了してます。議論すべき箇所はありません。
- 493 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/15(木) 19:34:43.19 ]
- うん。20,000円か、5,000円の半々の確立でいい。
- 494 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/15(木) 19:59:17.49 ]
- さすが「確立」と仰る方の言葉の重みは違いますな
- 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 18:19:33.28 ]
-
ワイが聞いた情報によると、もうじき中国はバブルがはじけて昔の貧乏な中国に戻るんだぜ（もともとの）
もう経済は破綻してて、取り戻すのは無理なんだそうだな （知ってるって）
その世界ではとても、有名な政府関係者筋から聞いた確かな情報だ（すごい）
まあお前ら頭の良い連中様には、今さらなくらいなネタだね、
君たちからすれば、もう常識的なくらいの知識だろうな
２ちゃんねるやってる奴だからもうすでに大儲けしてるんだろうな
- 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 08:44:48.39 ]
- >>492
>>401は正しくないよ
一問目は
封筒BにはA:B=1:2またはA:B=2:1が「等確率」になるように
と修正する必要がある。二問目も同様。
三問目はより重大な間違いをしている。
>そのようなお金の入れ方は全く不可能
という主張をするためには
例えば、問題に「確認した封筒の金額がいかなる場合でも等確率になるような」というような条件が必要。
- 497 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/24(土) 10:41:14.14 ]
- >>496
何言ってるか分からん。いい加減にしなさい。
もう終了してます。
- 498 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/24(土) 10:41:50.04 ]
- >>496
もうそれじゃ精神病者だよ。
- 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 13:01:56.31 ]
- わからないから終了という態度は
理解出来ないから精神病という態度
- 500 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/24(土) 19:30:10.35 ]
- 病的なのは、≫401 のほうかと思う。
≫32 あたりで終わっているものを、
あの蒸し返しかたは普通ではない。
≫496 みたいなのは、「異常」より「厳密」と
呼ぶのがふさわしい。
- 501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/25(日) 01:39:00.59 ]
- すでに終了していて議論すべき箇所はない。という点は同意なんだけどね。
よりによってダメダメな解答>>401をreferenceしているのはおかしいと思うんだ。（厳密すぎるのかな？）
１、さんざん使うべきでないと指摘されている「得」という言葉。
２、問題に確率が書かれていないのに勝手に50％として解答している。
（もしかしたら>>401は以下の３と混同しているのかもしれない）
３、「封筒」というのは「選び手にとって区別がつかない（ランダムに選ぶ）」という意味の暗喩。
便宜的に封筒ＡとかＢとか名前を付けるのは構わない。
しかし、「封筒」問題について考えるのであれば、
選び手はこれらのどちらかを50％の確率で選ぶという設定で考えるべき。
４、「封筒問題は条件付き確率の問題であり、
封筒を選んだ時点とその中の金額を知った時点では期待値が違う」
ということは何度も指摘されている重要な点。>>401は「封筒を選ぶ＝中の金額を知る」という
言葉使いをしているようだが、そうすべきではない。
５、前々スレあたりでさんざん議論されて証明されたのは、
「一方の金額を知った時点で、たまたまその金額のときに他方が2倍または1/2倍となるような、
封筒へのお金の入れ方の確率分布は存在する。しかしながら、確認した金額いくらであっても、
そのような確率になる確率分布は存在しない」ということ。
数学において「あるxに対して、、、」と「任意のxに対して、、、」の違い重要。
第三問目の文章を見る限り>>401は本質的にこのことを理解していないんじゃないかなと思う。
- 502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/25(日) 01:42:32.52 ]
- ぱっと見では正しい解答と同じようなことを述べているように見えるけど、
これまでに指摘されてきた重要な部分をことごとくはずしているように思うんだが。
- 503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/25(日) 01:51:20.87 ]
- >>501の訂正
>たまたまその金額のときに他方が2倍または1/2倍となるような、
は
>たまたまその金額のときに他方が2倍または1/2倍となる確率が等しいような、
- 504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/27(火) 01:47:32.53 ]
- >>401は釣り堀を楽しみたいひとのための餌
- 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/27(火) 20:34:30.95 ]
- 釣り堀を楽しみたいひとが投げた餌だろ
- 506 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/28(水) 13:18:15.51 ]
- もう期待値が大きくなるなんて信じてる奴いないだろ
初めの主張を曲げたくない奴が苦し紛れに反論してるだけさ
- 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/28(水) 13:32:20.79 ]
- 例えば、ランダムな整数を取ってきたときにそれが偶数である確率は？と聞かれたら
ランダムな整数の定義は？あらゆる数字が等確率で出てくるモデルなんて考えられない、みたいに答えるのが正しいの？
- 508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/28(水) 14:26:21.07 ]
- レスあまり読んでないけど2^(k-1)円と2^k円、kは1以上n以下の整数、各kの選ばれる確率1/n、(nは十分大きな整数)って条件なら
k<nのとき交換、k=nのときそのままで期待値+になるよな
n→∞だとk=nが成立できなくなるからパラドックスに見えるだけ
数学詳しくないから間違ってたら指摘してくれ
- 509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/28(水) 16:04:55.48 ]
- 前スレ解決まで戻ると、二封筒問題が
>>508のような極限についての問題かどうか、
題意が確定していないのが悪い
ってことだと思うな。
- 510 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 [2011/12/28(水) 17:02:34.40 ]
- 期待値が大きくなるかの前に確率変数が何かという問題がある.
- 511 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/28(水) 20:50:31.09 ]
- 期待値が大きくなると主張してる奴は
２つの封筒問題の題意に沿った樹形図が書けない
- 512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/29(木) 08:01:19.05 ]
- >>507
OKただし
>ランダム「に」整数を
>>508
>n→∞だとk=nが成立できなくなるから
n→∞とする議論自体が意味不明。
確率分布の極限をどうやって定義するのか？
そしてそれが二封筒問題とどんな関係があるのか説明してくれ。
>>509
そんな書き込みあったか？あったとしても主要な意見ではないと思うが。
>>506
>>511
「一方の金額を確認した時点で、他方の金額が二倍か半分かが等確率」
という仮定の下では「交換した方が期待値が大きくなる。」
という主張は正しい。もちろん仮定が変われば結論は変わる。
- 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/29(木) 08:07:55.90 ]
- 念のため付け加えておくと
(*)「一方の金額を確認した時点で、他方の金額が二倍か半分かが等確率」
が常に成立するような、封筒へのお金の入れ方の確率分布は存在しない。
しかし、>>1の「選んで中を見ると10000円だった。」ときに
たまたま(*)が成立するような封筒へのお金の入れ方の確率分布は存在する。
- 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/29(木) 10:25:20.14 ]
- ≫513
そんな特殊な確率分布を仮定することが
どう正当化できるのか？ 特に、
「もうひとつの封筒は二倍に違いない」と
勝手に決めつけることとどう違うのか？
については、説明が必要と思う。
- 515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/29(木) 10:54:14.48 ]
- ≫512
確率密度関数の極限が全積分=1 の関数になる場合は、
それを極限の確率密度関数とすればよいのだけれど。
そうならない場合が問題になる訳ね。
- 516 名前：508 mailto:sage [2011/12/29(木) 13:36:10.80 ]
- >>512
>>508の条件はk=1,n以外なら、初めにどちらの封筒を選んでも
「一方の金額を確認した時点で、他方の金額が二倍か半分かが等確率」が常に成立する
ここからk=nの場合(ついでにk=1の場合)を故意に無視するためにはnを無限大に持ってくしかないと思いました
(あり得るあり得ないは別として)この問題を見た人が想定するモデル?のいい例だと思うし
交換した方が期待値が高い説明にもなってるし、なによりあり得ないからこそのパラドックスだと
定義とかはわからんが言いたい事は伝わると思ってる
- 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/31(土) 00:37:35.44 ]
- >>514
アンカーくらいはまともに打ってくれ
- 518 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/31(土) 23:39:35.83 ]
- >>499-503
いや>>401でいい筈だよ。
指摘がまと外れだと思う。>>501とかどれも意味のない指摘。
- 519 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/31(土) 23:46:13.72 ]
- １、別に期待値が高い＝得で構わない。
２、分からないものは等確率と考えるでｵｹ。違うと考えるときに理由が必要。
言ってることが逆立ちしてる。
３、はまるっきりイミフ。
４、>>401は「封筒を選ぶ＝中の金額を知る」という言葉使いをしているようだが、
してません。
５、は、だから、不可能だって言ってるじゃんよ。何言ってるの？？？
- 520 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/31(土) 23:55:59.50 ]
- これ単に、AでもBでも「どっちでもいいから片方開けて考える」ってケースを
「どちらも選んでない」場合と混同させて、パラドクスが起こってるように
錯覚させたということ。
だから>>401-402でいい。
- 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/01(日) 01:45:02.34 ]
- >>519
>４、>>401は「封筒を選ぶ＝中の金額を知る」という言葉使いをしているようだが、
>してません。
てことはこれは開けて中の金額を調べていないんだな？
↓
>封筒Bを選んだ上で、封筒AにはA:B=1:2またはA:B=2:1になるように
>お金が入っています。封筒Aを選んだほうが得でしょうか？
- 522 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/01(日) 05:27:07.04 ]
- >>521
どっちでもいいんじゃね？
- 523 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/03(火) 21:46:39.64 ]
- 封筒を選ぶ前の期待値は少ない方の金額x(1+2)/2=1.5（少ない方の金額）
で２つともおなじだから、一方を開いて１万なら他方も１万だよ。
- 524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/04(水) 08:28:28.40 ]
- >>516
自然に解釈すると、「n→∞」とか「nを無限大に持ってく」というのは>>508の一行目で定義された確率分布の極限を考える
という意味だと思われる。しかしながら>>515が書いているとおりその極限を自然に定義することは不可能。
よって「n→∞」は意味不明（不可能な操作）である。よって
>n→∞だとk=nが成立できなくなるからパラドックスに見えるだけ
この文章は意味不明。
この手の（極限を不適切に用いる）間違いは大学数学でちゃんと極限を学んでいない人がよくする間違いなので、
おそらくこの場合もそうなのだと思う。もしそうではなくて、君の文章中の「n→∞」という言葉に論理的に議論可能な
何らかの意味が存在するのなら詳しく説明してくれ。
- 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/04(水) 08:31:40.34 ]
- >>514
おそらく君も知っていると思うのだが。
良く知られている二封筒問題には「これより他方の金額が二倍か半分かは等確率となり、、、よって期待値は交換した方が大きくなる」
という誘導がある。（この部分はミスリードを引き起こす重要な部分）
よって>>513の最後の主張を述べることも意味があると思う。
>>519
１、２、はローカルルール。一般的にそのような決まりごとは数学にはない。１については>>3にも書かれている。
出来るだけ一般的な言葉使いを用いるべき。そうでない人とは議論しても混乱するだけだ。
３、５、について理解できない部分があるのなら調べるか質問すればよい。
- 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/04(水) 08:33:47.50 ]
- >>519
４、について、もしそうであるなら君（あるいは君ら>>520>>522）は「選ぶ」という言葉の意味を間違っているよ。
世の中の多くの人の意味では、「選ぶ」という行為によって封筒Ａや封筒Ｂの金額の確率分布は変化しない。
一方、「金額を確認する」「封筒を開ける」という行為によって金額の確率分布は変化し得る。
例えば「選び手は封筒Ａ、Ｂの金額を知らず確率分布のみ既知という設定の場合、
封筒を選んだ時点では、Ａ，Ｂの確率分布は変化しない。選んだ封筒の金額を確認した時点でその封筒の金額は既知の情報となり固定される。」
これが普通の人の「選ぶ」「金額を確認する」という言葉の用い方。
（普通の人の意味では）「選ぶ」ことによって確率分布は変化しないのだから>>401の三つの問いの議論はナンセンスだし、
問の解答において勝手に「封筒を開けて」いるのも間違いだ。
とりあえず君は他の人々の書き込みをよく読んで言葉の概念や用い方を良く理解してから書いた方が良いよ。
そうしないと、仮に君の考えが正しかったとしても間違った主張をすることになるよ。
- 527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/05(木) 04:07:25.68 ]
- >>524
> しかしながら>>515が書いているとおりその極限を自然に定義することは不可能。
この場合の「自然に」とは何を指すのか？
- 528 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/05(木) 21:38:42.31 ]
- >>525>>526
違う。何か根本的に勘違いを君らはやっている。
そういうことじゃなくて、この２封筒の問題は、そのようなことがらは
そもそも問題とはならないと言ってるの。
指摘が正しいか間違っているかではない。的外れなの。
無いものを仮定して話しをしたから、パラドクスが起こっているような
錯覚をしていると言ってるんだよ。そしてそれですべて。
余計なことを言って必死でごまかそうと君らはやっている。
とにかくなにかくやしいらしいが、滑稽だ。
- 529 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/05(木) 21:43:35.10 ]
- >>401は一番最後だけでよい。それだけで意味が分かるんならね。
- 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/05(木) 22:15:36.49 ]
- 数学的素質に特別恵まれてるわけではない一般の人でも一発で納得するような決定打を頼む
- 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/05(木) 22:47:04.55 ]
- 「「10000円を入れた封筒」と「5000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒 を50袋 （合計75万円必要）
「「10000円を入れた封筒」と「20000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒 を50袋 （合計150万必要）
あわせて100袋を用意し、箱の中に入れ、よくかき混ぜ、目をつぶって一つの大きな袋だけを取り出した。
大きな袋の中から一つの封筒を選び、確認すると、10000円が入っていた。
大きな袋の中のもう一方の封筒に、入っている金額はいくらか？
答え 50%の確率で5000円 50%の確率で20000円
「「10000円を入れた封筒」と「5000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒 を99袋 （合計148.5万円必要）
「「10000円を入れた封筒」と「20000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒 を1袋 （合計3万必要）
あわせて100袋を用意し、箱の中に入れ、よくかき混ぜ、目をつぶって一つの大きな袋だけを取り出した。
大きな袋の中から一つの封筒を選び、確認すると、10000円が入っていた。
大きな袋の中のもう一方の封筒に、入っている金額はいくらか？
答え 99%の確率で5000円 1%の確率で20000円
「「10000円を入れた封筒」と「5000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒 をn袋 (nは0以上100以下)
「「10000円を入れた封筒」と「20000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒 を100-n袋
あわせて100袋を用意し、箱の中に入れ、よくかき混ぜ、目をつぶって一つの大きな袋だけを取り出した。
大きな袋の中から一つの封筒を選び、確認すると、10000円が入っていた。
大きな袋の中のもう一方の封筒に、入っている金額はいくらか？
答え n%の確率で5000円 (100-n)%の確率で20000円
- 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/05(木) 22:47:36.24 ]
- 「「10000円を入れた封筒」と「5000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒
「「10000円を入れた封筒」と「20000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒
それぞれ、適当に用意し、箱の中に入れ、よくかき混ぜ、目をつぶって一つの大きな袋だけを取り出した。
大きな袋の中から一つの封筒を選び、確認すると、10000円が入っていた。
大きな袋の中のもう一方の封筒に、入っている金額はいくらか？
答え それぞれの封筒の割合が分からないから、分からない。必要な情報がないから、分かるわけがない。
二つの封筒がある。その封筒は
「10000円を入れた封筒」＆「5000円を入れた封筒」か、
「10000円を入れた封筒」＆「20000円を入れた封筒」かのどちらかである。
一つの封筒を選び、確認すると、10000円が入っていた。
もう一方の封筒に、入っている金額はいくらか？
答え 分からない。必要な情報がないから、分かるわけがない。
- 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/05(木) 23:15:52.34 ]
- >>531
やべえ、とうとう分かったかも・・・・・
＞「「10000円を入れた封筒」と「5000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒 を50袋 （合計75万円必要）
＞「「10000円を入れた封筒」と「20000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒 を50袋 （合計150万必要）
＞あわせて100袋を用意し、箱の中に入れ、よくかき混ぜ、目をつぶって一つの大きな袋だけを取り出した。
＞大きな袋の中から一つの封筒を選び、確認すると、10000円が入っていた。
＞大きな袋の中のもう一方の封筒に、入っている金額はいくらか？
この前提を与えられれば確かに期待値は12500円になる
(20000＋5000)÷2=12500 という計算は、50袋：50袋という前提に基づいているわけか
前提が与えられていないうちから計算を始めてしまう人が多いということか
- 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/06(金) 00:06:08.54 ]
- 二つの封筒があり、一つを選んだ段階では、その選んだ封筒が「高額側」である確率も
「低額側」である確率も５０％づつ。至極当然のこと。
しかし、封筒を開けて、「10000円」と確認した瞬間に、選んだ封筒が「高額側」である
確率、あるいは、「低額側」である確率は、「不明」に変化する。
「10000円」が「高額側」であると言うことは、それは、用意されていた封筒のペアが
「10000円と5000円」であることを意味し、「10000円」が「低額側」であると言うことは、
それは、用意されていた封筒のペアが「10000円と20000円」であることを意味する。
用意されていた封筒のペアが、「10000円と5000円」だったのか、「10000円と20000円」
だったかについては、何も情報がない。だから確率など判るはずがない。
封筒の中身を確認する前は、選んだ封筒が高額側である確率は５０％だが、
封筒の中身を確認した瞬間に、選んだ封筒が高額側である確率は不明に変化する。
封筒の中身の確認により、確率が５０％→不明と変化することこそが、この問題の本質。
変化することをきちんと認識できるかどうかが、この問題を理解できたかどうかに直結する。
誰かが、「不可能な状況を議論している」等のような事を言っているが、別の問題にすり替えて、理解したと思いこんでいるだけ。
- 535 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/06(金) 04:23:15.20 ]
- これまでにいくつかの正しい解答が提示されている。
一つ目は、>>534や>>32>>60が述べている
「高額を選ぶか低額を選ぶかは確率1/2である。
しかし、一方の封筒の金額を確認したときに他方の金額が二倍か半分かの確率は、それとは別である。
封筒に入れられた金額の確率分布が与えられていないので後者の確率は計算不能である」という主旨のもの。
>>2にも
>上の[問題]は、そのままでは数学の問題として解けません。
と述べられている。
二つ目は、
「{一方の金額を確認した時点で、他方の金額が二倍か半分の確率は1/2}
が（確認した金額によらずに）常に成立するような封筒へのお金の入れ方の確率分布は存在しない。」
という主旨のもの。（ただしこれは自明では無く、証明にはちょっとした計算が必要ある。）
この解答は、二封筒問題で通常述べられる誘導文のswitching argumentと呼ばれる議論
「一方を確認したときの他方の金額が二倍か半分かの確率は1/2だから、期待値は交換した方が大きくなる。
この議論は確認した金額によらずに成立するから、金額によらずにかならず交換した方が期待値は大きくなる。
よって金額を確認しなくても交換した方が期待値は大きくなり、繰り返し交換し続けると期待値は増加し続ける。」
の間違いを指摘するものである。
もちろん一つ目の解答を理由にswitching argumentの「確率1/2だから」の部分には根拠がない。と主張することも可能である。
これら以外にも、「金額確認後の条件付き確率と確認前は別であるからswitching argumentの最後の部分は成立しない」とか
「金額によらずにかならず交換した方が期待値は大きくなること自体は、期待値が無限大に発散しているような確率分布の場合にはあり得ることで、
パラドックスではない」などの解答もあった。
- 536 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/06(金) 04:41:21.34 ]
- >>528
>そういうことじゃなくて、この２封筒の問題は、そのようなことがらは
>そもそも問題とはならないと言ってるの。
>指摘が正しいか間違っているかではない。的外れなの。
私の指摘が二封筒問題の的を外れているかどうかはどうでもよい。
私の>>501>>525>>526の書き込みは>>401の間違いを指摘するのが主旨。
私の指摘が正しいのであれば>>401は間違いということだが、それでＯＫ？
>無いものを仮定して話しをしたから、パラドクスが起こっているような
>錯覚をしていると
これが>>535の二つ目の解答を意味しているなら、同意。
しかし、>>401はこれとは全く違う内容であり間違い。
>>529
>>401は最後だけでも間違い
例えば、Aに１０００円、Bに２０００円入ってる確率が５０％、
Aに２０００円、Bに１０００円入ってる確率が５０％という確率分布を考えれば
問題文の「封筒Aと封筒B、どっちを選ぼうとも、片方が片方に対して
1:2になる確率が５０％、2:1になる確率が５０％になるようにお金が入っています。」
を満たす。
- 537 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/06(金) 04:57:55.37 ]
- >>527
質問の主旨が良くわからないが
「自然に定義する」が指しているのは>>515が書いた通り「関数の極限を用いて確率分布の極限を定義する」ことを指している。
もちろん「自然な」はTPOによる。この状況でこれ以外に自然な定義方法があるなら教えてくれ。
そもそもは自然な定義である必要性も無い。
>>508の書き込みについて議論しているのであるから、>>508自身が「ここでの極限の定義は、、、です」
というのであればそれで良いのだ。しかし
>>516
>定義とかはわからんが言いたい事は伝わると思ってる
とのことだ。誰か伝わってる人がいたら教えてくれ。
- 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/06(金) 09:14:41.58 ]
- >>534
> 用意されていた封筒のペアが、「10000円と5000円」だったのか、「10000円と20000円」
> だったかについては、何も情報がない。
なにも情報がないのなら、理由不十分の原理により1/2、とすればよいではないか。
- 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/06(金) 09:21:18.87 ]
- >>537
TPOによって意味の異なる語はなるべく持ち出さないほうがよい。
他に意味があるのではないかと勘ぐってしまう。
- 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/06(金) 19:24:53.23 ]
- >>538
商店街の福引が１等から７等まであったら、
１等の当たる確率は１／７なの？
- 541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/06(金) 23:34:35.13 ]
- >>540
事前情報が全くないならそう。
- 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/07(土) 00:24:07.28 ]
- >>538
理由不十分の原理は数学で認められていない原理なので
数学的に考える場合は用いてはいけない
でFA
しかも今回の場合、そのように理由不十分の原理を用いるのはあまり自然ではない。
- 543 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/08(日) 09:20:57.39 ]
- >>540とか見てると、とにかくまるで分かってないアサッテなことを言ってるのが
よく分かる。
何度でもいうけれど、>>401で終了してる。
無い状況を仮定してるからおかしくなった。
それだけのこと。
くやしいから反論になってないことをグジャグジャ言って反論してるように見せかけているだけ。
終わらない原因はオマエらなの。
>>401で終了している。特別な疑問点など何もない。
- 544 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/08(日) 09:38:36.89 ]
- よく考えてごらん。
Aを選んだとき、A:B=1:2または2:1で確率半々だと言うのが
正しいのなら、Bを選び直した時もはや、A:B=1:2または2:1で
確率半々という状態は不可能だ。
そしてそれは、封筒の中身を開けて中を見るかどうかは関係ない。
Aの金額は何か分からない。とにかくその金額を便宜的に1としよう、
でちゃんと議論は出来るんだから。
>>401で言ってるように
>封筒Aと封筒B、どっちを選ぼうとも、片方が片方に対して
>1:2になる確率が５０％、2:1になる確率が５０％になるように
>お金が入っています。
この状況は存在しないんだよ。
巧妙に騙されてただけ。
- 545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/08(日) 09:43:08.68 ]
- >>535
＞封筒に入れられた金額の確率分布が
＞与えられていないので
＞後者の確率は計算不能である
いわゆる二封筒問題では
確率分布を設定しているので
上記の発言はただの事実誤認。
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