代数的整数論

1 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/12(月) 16:30:31 ] 代数的整数論に関するスレッドです。 445 名前：208 [2005/10/20(木) 12:24:43 ] 補題 A をネーター環、 p ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_n を A の長さ n ≧ 2 の素イデアル鎖(>>379) とする。x を p の元で、p_1 に含まれないものとする。 n - 1 個の素イデアル q_1, ... , q_(n-1) で p ⊃ q_1 ⊃ ... ⊃ q_(n-1) ⊃ p_n が長さ n の素イデアル鎖 となり、x ∈ q_(n-1) となるものが存在する。 証明 n に関する帰納法と >>444 を使う。 446 名前：208 [2005/10/20(木) 12:32:43 ] 命題 A をネーター環、x を rad(A) (>>238) の元とすれば。 dim(A) ≦ dim(A/xA) + 1 となる。 証明 dim(A) が 0 または 1 のときは明らか。 よって、 p_0 ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_n を A の長さ n ≧ 2 の素イデアル鎖で x ∈ p_0 なら、長さ n-1 の素イデアル鎖 p_0 ⊃ q_1 ⊃ ... ⊃ q_(n-1) で x ∈ q_(n-1) となるものが存在 することを示せばよい。n に関する帰納法を使う。 x ∈ p_1 なら帰納法の仮定を使えばよいから、x は p_1 に含まれない とする。よって、補題(>>445)を使えばよい。 証明終 447 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 13:56:07 ] >>440 >使わないなんて言ってないだろ。 >お前、日本語も駄目なんだな お前こそが日本語だめだろ しかも 使うか使わないかもわかりもしないで 証明したことにしてるんだし 448 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 14:00:00 ] ま　ともかくだ 問題点をつきつけられてわからぬバカは うそつき以上にたちがわるい いえばわかる程度の奴だとおもうから うそつきで我慢してやったがな 君にはがっかりだ 449 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 14:02:12 ] 代数的整数論と解析的整数論とはどちらが成功したといえるのでしょうか？ 450 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 14:13:16 ] [問] π＝３．１４１５・・・＝３．p1p2p3p4・・・pn・・・ {p_i}_[i=1,∞]の内、素数であるものの集合をＸ、それ以外をＹ とした時に、Ｘ，Ｙの元の数を｜Ｘ｜、｜Ｙ｜とした時に、 ｜Ｘ｜/｛｜Ｘ｜＋｜Ｙ｜｝を見積もれ。 451 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 14:20:53 ] π＝３．１４１５・・・＝３．p1p2p3p4・・・pn・・・ {p_i}_[i=1,∞]という数列が、完全にランダムである、つまり、 乱数であるか否かを示せ、また、もし乱数である場合、πという 数はどんな性質を持つ事になるか？更に、πを用いて乱数を順次 発生するプログラムを作るとするとどんなプログラムになるか？ 452 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 14:27:46 ] [問２] 完全にランダムな数列{q_i}_[i=1,∞]が存在した時に、別の 完全にランダムな数列{r_i}_[i-1,∞]が存在しうるか？ 453 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 14:31:55 ] 存在し得るならば、それは唯一か？それとも任意に別の 完全にランダムな数列{q_i}_[i=1,∞]が存在するのか？ 存在するとした時に、それを生成するプログラムを具体 的に書き下せるのか？それとも存在はするあ具体的には 書き下せいないのか？それを検討、証明せよ。 454 名前：208 [2005/10/20(木) 14:39:02 ] 命題 A をネーター環、x_1, ... , x_r を rad(A) (>>238) の元とすれば。 dim(A) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + r となる。 証明 r に関する帰納法。r = 1 のときは、>>446 そのもの。 r > 1 とし、B = dim(A/x_2A + ... + x_rA) とする。 x_1 の B における像を y とすると、再び >>446 より dim(B) ≦ dim(B/yB) + 1 B/yB は、A/x_1A + ... + x_rA に同型である。 よって、 dim(A/x_2A + ... + x_rA) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + 1 となる。 一方、帰納法の仮定より、 dim(A) ≦ dim(A/x_2A + ... + x_rA) + r - 1 となる。 よって、dim(A) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + r となる。 証明終 455 名前：208 [2005/10/20(木) 14:48:43 ] Krullの次元定理 A をネーター環、I をそのイデアルで、r 個の元 x_1, ... , x_r で生成されるものとする。p を I を含む素イデアルの中で極小な ものとすると、ht(p) ≦ r である。 証明 A を A_p で置き換えて、A は局所環で、p はその極大イデアル としてよい。>>454 より dim(A) ≦ dim(A/I) + r である。 I を含む素イデアルは、p だけだから、dim(A/I) = 0 である。 よって、dim(A) ≦ r である。 あとは、dim(A) = ht(p) に注意すればよい。 証明終 456 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/20(木) 17:32:35 ] どこで使ってんだよって、、 そんなの割り算を使うから簡単には出ないって主張してる側が探して ここからここに行くときにどうしても使わざるを得ない、って主張するべきじゃねえのか？ もう基地外は無視しようぜ 457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/20(木) 18:08:33 ] >>456 できないやつがごまかすなよ 降参しろよばーか こんなかんたんなことなのにな ほんとにおまえらってなさけない いっしょうじべたをはいずってろって 458 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/20(木) 18:14:08 ] >>456 いいか雑魚おれは基地概でもなんでもいい 答えをしっている おまえは答えがわからない単なるアホなんだよ 無視してくれるのがありがたいね 459 名前：208 [2005/10/20(木) 19:44:37 ] >>447 >使うか使わないかもわかりもしないで どっから、そういう結論になるんだよ。 俺は、使う使わないは問題が簡単かどうかに関係ないだろ って言ったんだよ。 素因数分解は自然数の整除が関係してんだから割り算くらい使うだろ 現に >>441 で n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r) を使ってる。 で、使ったからどうだっていうの？ 460 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 00:49:41 ] 「Bが部分環A上、忠実平坦とする。 このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」 これが証明できるレベルの奴は折らんのか？ 461 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 08:38:08 ] しょうがねえな。俺が答えたら演習にならないだろうが。 ほれ 命題 自然数の素因数分解は順序を除いて一意的である。 証明 n を自然数として、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) を n の素因数分解とする。 G を位数 n の巡回群とし、それが 組成列の剰余群として、n_1 個の Z/(p_1)Z, ... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つことを n に関する帰納法で証明する (各 Z/(p_i)Z は単純なのは明らか)。 G = Z/nZ の位数を p_1 は割るから G は位数 p_1 の部分群 H を 持つ。G/H は巡回群であり、その位数は n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r) で n より小さいから、帰納法の仮定より、G/H は、組成列の剰余群 として (n_1 - 1) 個の Z/(p_1)Z, ... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つ。 よって、G は、最初の主張の剰余群列を持つ。 これからJordan-Holderより、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) の分解は一意に決まる。 証明終 Thanks. This is interesting. 462 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 08:39:36 ] >>「Bが部分環A上、忠実平坦とする。 このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」 Is this easy when $A$ is Noetherian? 463 名前：208 [2005/10/21(金) 09:12:20 ] >>460 ちょっと考えたけどわからん。 ところで、質問するならその背景を少し説明してくれ。 その問題のソースとか。 大体、それが成立つ保障はあるのか？ 成立たない問題をいくら証明しようとしても無駄だからな。 464 名前：208 [2005/10/21(金) 09:26:22 ] Krullの次元定理(>>455)の別証 r に関する帰納法を使う。 A を A_p で置き換えて、A は局所環で、p はその極大イデアル としてよい。 dim(A) ≦ 0 のときは明らかだから dim(A) ≧ 1 とする。 p ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_s を長さ s の素イデアル鎖とする。 p_1 は、 p に含まれ p と異なる素イデアルの中で極大とする。 このような素イデアルが存在するのは、A がネーター環であること により保障される。 I は p_1 に含まれないから、p_1 に含まれない x_i がある。 x_1 が p_1 に含まれないとしてよい。 (x_1)A + p_1 を含む素イデアルは p のみだから、 Ass(A/x_1A + p_1) = {p} である。よって p^n ⊂ (x_1)A + p_1 となる n > 0 がある。 I ⊂ p だから、各 i ≧ 2 で (x_i)^n ∈ (x_1)A + (y_i)A となる p_１の元 y_i がある。 J = (y_2, ... , y_r) とおく。I の生成元 x_1, ... , x_r は mod (x_1)A + J で、べき零だから、I の十分高いべきは、(x_1)A + J に含まれる。よって、(x_1)A + J を含む素イデアルは p のみである。 さて、p_1 ⊃ q ⊃ J となる素イデアルがあるとする。 (x_1)A + q ⊃ (x_1)A + J だから、(x_1)A + q を含む素イデアルも p のみである。よって、単項イデアル定理(>>381)により整域 A/q において x_1 mod q で生成される単項イデアルの高さは 1 である。 よって、dim(A/q) = 1 である。これは、p_1 = q を意味する。 よって、p_1 は J を含む素イデアルの中で極小である。 J は r - 1 個の元で生成されるから、帰納法の仮定より、 ht(p_1) ≦ r -1 である。つまり、s - 1 ≦ r -1 である。 よって、s ≦ r である。これは、ht(p) ≦ r を意味する。 証明終 465 名前：208 [2005/10/21(金) 09:36:17 ] Krullの次元定理(>>455)は、可換代数においてネーター環における 準素イデアル分解定理の次に得られた大定理だろう。 代数的整数論では１次元の環、とくにDedekind環を扱うので、 表面的には高次元の環はあまり関係ないとも言える(実は関係はある)。 しかし、Krullの次元定理は、このスレの今までの知識で証明 出来るので述べてみた。 466 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 11:53:57 ] Raynaud「Anneaux Locaux Henseliens」の第８章94ページの定理３の（２） 「局所環Bが局所環A上local-ind-etaleのとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」 とある。 証明は、Aが整閉整域ならBもそうであることはBがA上local-ind-etaleであることから分かる。と書いている。これは俺も納得している。 逆は明らかなのか説明は書いてない。おそらく一般的に成り立つと思われる。 たとえば、AがBの部分環であることは次のようにして分かる． ｆ：A->Bをstructure morphismとして，I=Ker(f)とおく． すると，（A/I）○B＝A○Bであることから，I○B=0であることが分かるが, BはA上local-ind-etaleであるから，A上忠実平坦であるので，I=0である． 但し，○はテンソル積の意味． 最後に，A上local-ind-etaleとは次のように定義される： 局所環（A,m）上etale環Cをｍの上にlie-overする素イデアルpで局所化した環C_pをlocal-etale環と呼び， local-etale環のfiltrant帰納系（morphismはlocal　morphism，すなわち極大イデアルの逆増が極大イデアル）の極限をA上local-ind-etaleと呼ぶ． だから，上の主張は，Bがlocal-etaleの場合でも成り立つのでそれが手がかりにもなる． 467 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 12:14:45 ] >> 466 Olivier, J.-P. Going up along absolutely flat morphisms. J. Pure Appl. Algebra 30 (1983), no. 1, 47--59. I think your question is related to the content of this paper and not so trivial. So I strongly recommend you to read it. Absolutely flat morphism is more general than ind-etale maps. 468 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 13:29:21 ] >>459 わははははははっは わははははははっは これは大笑いだね 大恥さらしだね こんなバカみたことないね 「割り算」の意味すら理解してないんだな ここまでバカだとは信じられないね もうあんまり嬉しがらせないでよね 笑い死にしたらどうすんだよ ついでだけど>>461の証明もみっともないよ もういいわ 喋っても無駄なバカの集まりだった Ass の集まりだよ 469 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 13:44:20 ] >>459 の回答はいつまでも晒しておきたいくらい愚かだな 470 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 15:03:36 ] >>60 亀レスながら…　 Weber の代数学教程第3巻のみ邦訳有。 （ただし、代数関数の部分は省略されています） 片山氏が邦訳したものが私家版で出版されています。 在庫の有無は津田塾に尋ねると良いでしょう。 確か送料込みで４ｋ弱だったはず。 （紙代＋製本代を実費負担、という感じです） 471 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 15:38:07 ] >>467 本当にありがとうございます。早速手に入れて読んでみます。 467さんは、この代数幾何・整数論・可換環論などの専門家なのですね。 恐れ入りました。 Raynaudの本はもう８章で終わらそうと思っています。 なんか８章の最後が飛びすぎてて、９章以降読んでも完全に分かりそうな気がしなくなった。 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/21(金) 16:00:15 ] >>468 こんなに痛いやつは次世代のワイルズ以来だが、 同一人物か？ 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/21(金) 16:05:08 ] そんな事を言っても208の自演だと言い出すに決まっている。 相手をすると病状が悪くなるらしい。俺はこのスレ好きだから 無視してやって欲しい。オネガイ。 474 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 16:37:03 ] >>472>>473 おまえらも同レベルのバカなのね おまえらも一緒にさらしてやるわ 475 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 16:44:13 ] >>472>>473 ねんのため言っておいてやろう たとえば>>425>>363 は「割り算」の意味を理解してるね >>459が冗談で言ってるんじゃなかったら 真性のアホだよ それがわからないｵﾏｴﾗは同類ということだよ 476 名前：208 [2005/10/21(金) 16:49:02 ] 整数論ってのはトンデモを引き寄せるんだよな。 自然数という素朴な対象を相手にしてるからとっつきやすいんだろうな。 奴もJordan-Holderなんて頭素通りなんだろうね。 分かるのは四則演算くらい。だから、素因数分解と聞いて飛びついた。 ところが、期待してた証明と違うんで八つ当たり。 こんなとこだろ。 477 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 16:56:40 ] >>476 おまえが何を言おうと今回は大恥かいてるよ それすらわからないんだな 重症だな >>459というﾊﾞｶ丸出しを引き出せて俺は心底満足してる しかしおまえの名誉のためつけ加えてやろう 他の数学の書き方はまあちゃんとしてるから 症状は自閉症だろ 478 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 16:59:42 ] >>476 ところで今更>>459が冗談だなんて言わないよな 479 名前：208 [2005/10/21(金) 17:31:59 ] はっきりさせようじゃないか。 普通の人間にわかるように説明してみろ。 お前のいう割り算とはどういう意味で、それが何故簡単じゃないのか。 480 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 17:46:49 ] おいおい >>425でも読んでアタマ冷やせよ これ以上恥の上塗りするのかね とんでもない教えてくんだね いままでの罵詈雑言を考えたらね おれはおまえのようなバカに教えてやる義理はないよ おまえはエライからなんでもわかってるんだろ しかしヒントだけいってやろう おまえだって素因数分解の一意性の普通の証明しってるだろ それを反省してみなよ 481 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 17:53:11 ] >>479 いっとくがおれは>>459が出たから ここで引き下がって痛くも痒くもない わかる人間がよめばはっきりするからな 悔し紛れに逃げたとかほざいても 恥の上塗りだって覚えておきなよ おれはその方がおもしろいけど 482 名前：208 [2005/10/21(金) 17:54:24 ] ヒントじゃねえよ。 いいから、説明しろよ、この野郎。 説明出来ないなら初めから引っ込んでろ。 483 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 18:00:13 ] やだよ 恥かき男が強がり言うな わからなきゃはじめから演習だなんて 偉そうなこと書くんじゃねえよ ばか やっぱりおまえは教えて君そのものだったな 484 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 18:03:08 ] 自閉症をからかっちゃいけないよ 485 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 18:11:24 ] >>485 そうだね好きでなったわけじゃないし 486 名前：208 [2005/10/21(金) 18:14:18 ] お前さあ、俺の証明にケチつけたんだろ。 だったら、その理由を説明しろよ。 それを、やだよって、気は確かかよ（キ印クンにこう聞くのは、 我ながら書いてて可笑しいが）。 理由を説明するのは、お前の名誉の為なんだよ。 説明出来ないのは、お前がトンデモだってこと。 487 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 18:18:13 ] いいか もう終わってるの 終わってないのはおまえだけ 俺がトンデモでも何でもいいの 恥をかいてるのは　お　ま　え 強がりしかいわないおまえなんかに誰がおしえてやるかよバカ 488 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 18:21:01 ] おれはもうおまえが あがけばあがくほど愉快になってきてるよ ホントに>>459は傑作 世の中にこんなバカがいるなんて 楽しいことだね いくらでも罵詈雑言いってもいいからね おまえの>>459は不滅の金字塔だよ 489 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 18:23:00 ] 208 のおかげですく 1000 行きそうだなｗ 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/21(金) 18:24:40 ] つまり、「分数は割り算とは違う」という主張かね。 491 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 18:25:43 ] とことん人が悪いね 492 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 18:30:13 ] 208は小学校で割り算習わなかったのかな 493 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 18:35:02 ] 分かったら赤面するか、青ざめるか、どっちだ。 494 名前：208 [2005/10/21(金) 19:46:27 ] n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r) これは割り算だろ。 例えば、10/2 = 5 というのは、１０を２で割ったら５という意味だ。 これが割り算でないって、どういう頭してんだ？？？ 495 名前：208 [2005/10/21(金) 20:04:31 ] >>488 とにかく、お前の考えはわかってんだよ。素因数分解の普通の 証明のことを言ってんだろ。それが、お前には、難しいんだよな。 だから、俺が、Jordan-Holderを使えばすぐ出ると言ったことに カチンときたわけだ。そんな、はずはないとな。 Jordan-Holderは、お前の理解を超えてんだよ。 だから、見当違いのレスを書く。 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/21(金) 21:51:29 ] >>495 上の方の人が言ってる割り算ってのは多分剰余付きの割り算の事でしょ。 a=qb+rみたいな。 「有理整数環Zでは『割り算』が出来る、つまりZはEuclid整域である」 という事を本質的に使ってる、と言ってるんじゃないの? 『割り算』を本質的に用いなければ 素因数分解はおろかZ/nZの性質のほとんどは導けないかと。 例えばZ/nZがn個の元からなる事とか。 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/22(土) 01:55:14 ] >>208 もうキチガイは無視しようよ 言っても通じないって どっか頭のネジが緩んでるみたいだし 498 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/22(土) 04:10:21 ] >>471 In case all rings are local Noetherian, you can use Serre's criterion of normality ((R_{1}) and (S_{2})) to solve the problem. See Matsumura. 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/22(土) 04:16:39 ] キチガイの勘違いのヒントは>>365にあり、だな。 500 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/22(土) 15:52:01 ] どっか頭のネジが緩んでる!! 501 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/22(土) 21:10:53 ] age 502 名前：208 [2005/10/24(月) 09:42:45 ] 496 >「有理整数環Zでは『割り算』が出来る、つまりZはEuclid整域である」 >という事を本質的に使ってる、と言ってるんじゃないの? それ(代数の初歩で習うこと)を俺に説教しようと思ってるんだろうなw たぶん、奴には別証という概念がないんだろうな。 つまり、素因数分解の証明はただ１種類しかないと思ってるんだろう。 >>441の証明の G は 位数 n の巡回群であればいい。Z/nZ である 必要ない。俺は、分かりやすくしようと、Z/nZ を例にしただけ。 例えば、G として対称群における長さ n の巡回置換の生成する部分群 をとればいい。 だとすると、剰余付きの割り算 a=qb+r は必ずしも必要ないだろう (詳しく検討したわけではないが)。 さらに、G は巡回群でなくても有限アーベル群ならいい。 503 名前：208 [2005/10/24(月) 10:24:00 ] 定義 A を環、B を A-代数とする。つまり、環としての射 A → B があるとする。B が A-代数として有限生成または有限型であるとは、 A 上の多項式環 A[X_1, ... , X_n] から B への A-代数としての 全射 A[X_1, ... , X_n] → B があることをいう。 つまり、B に有限個の元の列 b_1, ... , b_n があり、 B は A-代数として、これらで生成される。 このとき、B = A[b_1, ... , b_n] と書く。 この射の核が A[X_1, ... , X_n] のイデアルとして 有限生成であるとき、B を強有限生成または有限表示 (finite presentation)をもつという。 A がネーター環のときは、A[X_1, ... , X_n] もネーター環だから B が A 上有限生成であるなら強有限生成でもある。 504 名前：208 [2005/10/24(月) 10:26:32 ] 定義 A を環、B を A-代数とする。 B が A-加群として有限生成のとき、B を A 上有限な代数という。 505 名前：208 [2005/10/24(月) 10:42:46 ] 命題 A を環、B を有限なA-代数とする。 このとき、B の各元 x に対してモニックな多項式 f(X) ∈ A[X] があり、f(x) = 0 となる。 証明 B の A-加群としての生成元を ω_1, ... , ω_n とする。 以下の関係式が成立つ。 xω_1 = a_(1,1) ω_1 + a_(1,2) ω_2 + ... + a_(1,n) ω_n xω_2 = a_(2,1) ω_1 + a_(2,2) ω_2 + ... + a_(2,n) ω_n . . . xω_n = a_(n,1) ω_1 + a_(n,2) ω_2 + ... + a_(n,n) ω_n ここで、各 a(i,j) は A の元。 行列 (a_(i,j)) を T とおく。 >>236 より det(xE - T)B = 0 となる。E は n-次の単位行列。 よって、det(xE - T) = 0 である。 この行列式を展開すると、命題の主張が得られる。 証明終 506 名前：208 [2005/10/24(月) 12:42:46 ] 定義 A を環、B を A-代数とする。 B の x に対してモニックな多項式 f(X) ∈ A[X] があり、 f(x) = 0 となるとき、x を A 上、整(integral)であるという。 B のすべての元が A 上整のとき、B を A 上整であるという。 (注意) この定義における A-代数 B の構造射 A → B は必ずしも 単射でなくともよい。 507 名前：208 [2005/10/24(月) 12:43:19 ] 命題 A を環、B を A-代数とする。 B の x が A 上整であるなら A[x] は A-加群として有限生成である。 証明 A の元の列 a_1, ... , a_n で、 x^n + a_1x^(n-1) + ... + a_n = 0 となるものがある。 よって、x^n ∈ A+ Ax + ... + Ax^(n-1) である。 これから帰納法で任意の m に対して x^m ∈ A+ Ax + ... + Ax^(n-1) となることがわかる。 よって、A[x] = A+ Ax + ... + Ax^(n-1) 証明終 508 名前：208 [2005/10/24(月) 12:44:27 ] 命題(有限代数の推移律) 環の射 A → B → C において、 B は A 上有限、C は B 上有限とする このとき、C は A 上有限である。 証明 B = Ax_1 + ... + Ax_n C = By_1 + ... + By_m とする。 C = ΣA(x_i)(y_j) となる。ここに、和は i, j のすべての組み合わせを渡る。 証明終 509 名前：208 [2005/10/24(月) 12:51:59 ] 命題 A を環、B を有限生成かつ整な A-代数とする。 B は A 上有限である。 証明 >>507 と >>508よりわかる。 証明終 510 名前：208 [2005/10/24(月) 12:58:00 ] 命題 A を環、B を A-代数とする。 A 上整な B の元全体は B の部分 A-代数となる。 証明 x, y を B の元で A 上整とする。 >>509 より A[x, y] は、A 上有限である。 よって、>>505 より、A[x, y] は、A 上整である。 証明終 511 名前：208 [2005/10/24(月) 13:05:44 ] 命題(整代数の推移律) 環の射 A → B → C において、 B は A 上整、C は B 上整とする このとき、C は A 上整である。 証明 C の元 y は y^n + b_1y^(n-1) + ... + b_n = 0 の形の関係式を満たす。 ここで、b_1, ... , b_n は、B の元の列。 よって、y は A[b_1, ... , b_n] 上整である。 よって、A[b_1, ... , b_n, y] は A 上有限代数である(>>507, >>508)。 よって、y は A 上整である(>>505)。 証明終 512 名前：208 [2005/10/24(月) 13:21:58 ] 命題 環の射 A → B → C において、 B は A 上整とする B → C が全射なら、C は A 上整である。 証明 明らか。 513 名前：208 [2005/10/24(月) 13:30:13 ] 命題(整代数の係数拡大) A を環、B を A 上整な代数とする。 A → C を環の射とする。 B(x)C は C 上整である。 ここで、B(x)C は B と C の A 上のテンソル積。 証明 B → B(x)C を x に x(x)1 を対応させる標準射とする。 この射の像を B' とする。 B' の元は A 上整である(>>512)から C 上整でもある。 よって、B(x)C は C 上整である。 証明終 514 名前：208 [2005/10/24(月) 13:34:53 ] 命題(整代数の局所化) A を環、B を A 上整な代数とする。 S を A の積閉集合(>>63)とする。 B_S は A_S 上整である。 証明 B_S = B(x)A_S である(>>85)。 よって、これは >>513 の特別な場合である。 証明終 515 名前：208 [2005/10/24(月) 13:47:43 ] 命題 B を整域で、k をその部分体とする。 B が k 上整なら、B は体である。 証明 y ≠ 0 を B の元とする。 k[y] は k 上有限代数である(>>507)。よってこれは Artin環である。 よって、これは体である(>>294)。よって、1/y ∈ k[y] ⊂ B 証明終 516 名前：208 [2005/10/24(月) 13:54:11 ] 命題 K を体、A をその部分環とする。 K が A 上整なら、A は体である。 証明 x ≠ 0 を A の元とする。 (1/x)^n + a_1(1/x)^(n-1) + ... + a_n = 0 ここで、a_1, ... , a_n は、A の元の列。 この式の両辺に x^(n-1) を掛けると、 1/x ∈ A となる。 証明終 517 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/24(月) 13:59:59 ] >だとすると、剰余付きの割り算 a=qb+r は必ずしも必要ないだろう ようやくここまできたか 俺がキチガイであっても アタマのネジはゆるんでいない ゆるんでるのはおまえらのほうだよ よく反省して見ろ もっともバカだから反省の概念はないんだろうけど 518 名前：208 [2005/10/24(月) 14:07:21 ] 補題 A を局所環、B を A 上整な代数とする。 m を A の極大イデアルとする。 B の任意の極大イデアル q に対して φ^(-1)(q) = m である。 ここで、φは 構造射 A → B である。 証明 環の射 A → B → B/q の合成 A → B/q を考える。 この射の核は、φ^(-1)(q) である。 よって、単射 A/φ^(-1)(q) → B/q が得られる。 B/q は A 上整である(>>512)から、A/φ^(-1)(q) 上整でもある。 よって、A/φ^(-1)(q) は体である(>>516)。 よって、φ^(-1)(q)は、極大イデアルである。 A は局所環だから、φ^(-1)(q) = m である。 証明終 519 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/24(月) 14:10:39 ] >ようやくここまできたか ここまで来るのに一週間。バカの巣窟。 520 名前：208 [2005/10/24(月) 14:26:10 ] 定理(Cohen-Seidenberg) φ: A → B を環の射で単射とする。 q に φ^(-1)(q) を対応させることにより、 標準射 Spec(B) → Spec(A) が得られるが(>>206)、 B が A 上整なら、これは全射である。 証明 p ∈ Spec(A) に対して S = A - p とおく。 A_S → B_S は単射である(>>86)。 よって、B_S は空でない。よって Spec(B_S) も空でない。 B_S は A_S 上整(>>514)であり、A_S は局所環だから、 B_S の極大イデアル q' の射 A_S → B_S による逆像は A_S の極大イデアル pA_S である(>>518)。 q' に対応する B の素イデアルを q とすれば、 φ^(-1)(q) = p となる(適当な可換図式を描けば分かる)。 証明終 521 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/24(月) 14:37:14 ] >>496 が親切に助け船だしてくれたのに 無視する208ってホントに自信過剰で それゆえにホントの真性バカだと証明されたね ちょっと前までは >例えば、10/2 = 5 というのは、１０を２で割ったら５という意味だ。 >これが割り算でないって、どういう頭してんだ？？？ などと噴飯ものの恥の上塗りを繰り返しておきながら >たぶん、奴には別証という概念がないんだろうな。 などと無反省にくりかえす哀れな奴だね >(詳しく検討したわけではないが)。 といいながら相手をキチガイ扱いする これが208の正体だよ 522 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/24(月) 14:43:12 ] >俺に説教しようと思ってるんだろうなw ふふふおまえは説教される値打ちはないよ あとその取り巻きの雑魚の>>497もね 523 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/24(月) 14:52:47 ] あのーここはもともと208隔離用のスレなので 208が好き勝手書いていいところなんですよ 524 名前：208 [2005/10/24(月) 16:18:19 ] >>520 >よって、B_S は空でない。 よって、B_S は 0 でない。 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/24(月) 23:58:37 ] 長さnの巡回置換が位数n(ここでは「n乗して始めて1になる」と定義) ってのは特に何も使わずに示せるけど、 「位数nの元の生成する部分群の位数はn」ってのは『割り算』しないと導けないかと。 aを位数nの元として、{a^i|i=0, 1, ..., n-1}が部分群となる事を示すには、 任意のi, j=0, 1, ..., n-1に対しあるk=0, 1, ..., n-1が存在して a^i・a^j=a^kである事を示せなきゃいけない。 このkとしては、i+jをnで『割った』余りとするか、 i+jとnの大小関係で場合分け(実質的に『割り算』するのと同じ)する事になる。 ここで『割り算』が必要になる。 あと、 ＞G は巡回群でなくても有限アーベル群ならいい。 にしても、位数nのAbel群の存在を示さなきゃいけない。 また、あの証明はあんまり一般化出来ない。 例えばEuclid整域であるZ[√(-1)]にさえ適用できない。 最後の部分で「Z/pZの同型類からpが(可逆元倍を除いて)一意に定まる」って事実を使ってる。 けど、Z[√(-1)]/(2+√(-1))とZ[√(-1)]/(2-√(-1))は同型なので、 これはZ[√(-1)]には適用できない。 なので、一般の整域において成り立つ事実「素元分解の一意性」の証明に使える訳じゃない。 やっぱりJordan-Holderの定理は、素因数分解の一意性とは 方向性が微妙にずれてる気がする(本質を捉えてない気がする)。 「ZはEuclid整域」ってのを認めた時点で、 「Euclid整域はUFD」っていう一般的事実から素因数分解の一意性が出る訳だし。 上記の通り、「Euclid整域はUFD」の証明に>>441の証明が流用できる訳じゃないし。 無茶苦茶細かい論点だけどね。 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/25(火) 00:13:55 ] 書き忘れたけど、>>525においては「素元:=生成する単項イデアルが素イデアル≠既約元」ね(素数:=Zの既約元)。 527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/25(火) 00:30:33 ] 一般化になっている、ってことじゃ駄目なの？ あるいは同種の状況、とか ってかこんなどうでも良いことでも昔々ののメンバーたちは多分 528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/25(火) 00:32:39 ] 小指がEnterに当たって送信しちゃったよorz ってかこんなどうでも良いことでも昔々のBourbakiのメンバーたちは 多分喧々諤々の物凄い議論をして、数学原論をつくったんだろうな まあ彼らの中に論点を無駄に隠して引っ張ったり矢鱈偉そうに俺が出したヒントがどうの、 というキチガイは居なかっただろうが 529 名前：208 [2005/10/25(火) 10:12:10 ] >>525 >i+jとnの大小関係で場合分け(実質的に『割り算』するのと同じ)する事になる。 >ここで『割り算』が必要になる。 君の言ってることは、百も承知してるけど(そういう意見が出るのは予想して>>502を書いた)、 それは見方によると思うが。 i + j から n を引けば n 以下になるのは明らか(i、ｊ が n 以下のとき)。 これは、割り算っていうより引き算だろう(見方によるが)。 >また、あの証明はあんまり一般化出来ない。 俺はあの証明が一般化出来るとか既存の証明より優れているとか 一言も言ってないよ。 530 名前：208 [2005/10/25(火) 10:58:49 ] >>528 >ってかこんなどうでも良いことでも昔々のBourbakiのメンバーたちは >多分喧々諤々の物凄い議論をして、数学原論をつくったんだろうな ないってw Bourbakiに失礼だよ。 Jordan-Holderから素因数分解の一意性が出るというのはBourbakiも書いてるけどな。 531 名前：208 [2005/10/25(火) 12:44:44 ] >>515 は次の命題を使ったほうがいいだろう。 命題 A を環、M を長さ有限の A-加群、 f ∈ Hom(M, M) とする。 f が単射なら全射である。 証明 leng(M) = leng(Im(M)) である。 よって M = Im(M) でなければならない(>>289)。 証明終 >>515 の k[y] において、この命題を写像 f(x) = yx に適用すればよい。 532 名前：208 [2005/10/25(火) 12:50:54 ] >>520 >φ^(-1)(q) = p となる(適当な可換図式を描けば分かる)。 以下の図が、その可換図式 A → A_S | | v v B → B_S これの各環に Spec を作用させて得られる可換図式を考えてもいい。 この場合、矢印の向きが逆になる。 533 名前：208 [2005/10/25(火) 12:52:20 ] >>532 半角の空白は駄目だったな。 A → A_S |　　　| v　　　v B → B_S 534 名前：208 [2005/10/25(火) 13:02:55 ] 命題 A を環、p ∈ Spec(A) とする。 A_p/pA_p は A/p の商体に標準的に同型である。 証明 S = A - p とおく。 完全列 0 → p → A → A/p → 0 より、 0 → p_S → A_S → (A/p)_S → 0 は完全。よって、(A/p)_S = A_S/pA_S。 一方、(A/p)_S は、A/p の商体に同型である。 証明終 535 名前：208 [2005/10/25(火) 13:08:12 ] 定義 A を環、p ∈ Spec(A) とする。 A_p/pA_p を k(p) またはκ(p)と書く。 EGA などはκ(p) を使ってるが、k(p)のほうが書きやすいので このスレではk(p)を使う。ただし、k は体の記号としてよく使う ので、紛らわしい場合はκ(p)を使うことにする。 536 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/25(火) 13:54:16 ] >525 がいろいろ言ってくれたおかげで 208とそのとりまきのアホにも問題点がようやくわかったわけだ そして結局208はJordan-Holderと書いてはみたが本質はわかっていないから ここまで到達するのに教えて君をかましつづけて1週間ほどかかった 1週間かかることは208にとって簡単なことじゃない 簡単なことならただちにわかるはず それなのに>529のように割り算じゃなくてむしろ引き算だとか みぐるしいったらありゃしないね 他人のことをキチガイだとか非難する前に 自分の言ったことに責任もてよ おまえはここに隔離されててしかるべきアホだったよ 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/25(火) 16:56:34 ] >208はほんとに自閉症なのか。 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/25(火) 18:21:58 ] >>530 例えば「積分」をどう書くかでかなり議論してて、 議論のたびにもう辞めてやる！とか言う人が居たとか居なかったとかｗ ってか知ってるだろうけど 多分代数なんか書くのにすごい時間が掛かってるはずだと思うよ 今では群、環、体の順番に書き始めるのは当たり前で何の創意も要らないが そもそもこれを創めたのはBourbakiな訳で、彼らが草稿を議論するときには いろんな書き方の選択肢があって議論したはず Jordan-Holderで議論したかどうかは知らんよ 539 名前：208 [2005/10/25(火) 18:40:38 ] 命題 φ: A → B を環の射、p ∈ Spec(A) とする。 f: Spec(B) → Spec(A) をφから誘導された射とする。 つまり、f(q) = φ^(-1)(q) とする。 S = A - p とおいたとき、B_S を B_p と書く。 Spec(B_p/pB_p) は Spec(B_p) の部分集合と同一視される(これは明らか)。 さらに、Spec(B_p) は Spec(B) の部分集合と同一視される(>>81)。 この同一視により、f^(-1)(p) は集合としてSpec(B_p/pB_p)と同一視される。 証明 まず、B_p は B の積閉集合 φ(S) に関する局所化 B_φ(S) に一致 することに注意する。 f(q) = p のとき、q ∩ φ(S) であり pB_p ⊂ qB_p となることは明らか。 よって、f^(-1)(p) ⊂ Spec(B_p/pB_p) とみなされる。 逆に、q ∈ Spec(B) で、q ∩ φ(S) かつ pB_p ⊂ qB_p とする。 x ∈ p とすると、φ(x)/1 ∈ qB_p となるから、φ(s)φ(x) ∈ q となる s ∈ A - p がある。φ(s) は q に含まれないから、 φ(x) ∈ q となる。よって、p ⊂ φ^(-1)(q) である。 逆に、x ∈ φ^(-1)(q) とする。φ(x) ∈ q だから、x ∈ A - p では ありえない。つまり、x ∈ p。よって、p = φ^(-1)(q) である。 証明終 540 名前：208 [2005/10/25(火) 18:45:11 ] >>537 いや、どっちかっていうとお前が自閉症なんだよ。なぜって、空気が読めないから。 おかしい、おかしいと皆が言ってるのは俺のことじゃない。 541 名前：208 [2005/10/26(水) 09:21:01 ] 完全列 0 → pA_p → A_p → A_p/pA_p → 0 より、 B(x)pA_p → B(x)A_p → B(x)(A_p/pA_p) → 0 は完全 (ただし、B(x)pA_p → B(x)A_p は単射とは限らない)。 よって、B(x)(A_p/pA_p) = B(x)k(p) は (B(x)A_p)/Im(B(x)pA_p) = B_p/pB_p に同型。 この同型により、B(x)k(p) と B_p/pB_p を同一視する。 Spec(B(x)k(p)) を f: Spec(B) → Spec(A) の p におけるファイバー という。これは f^(-1)(p)(にSpec(B)の部分空間としての位相を いれたもの)と位相同型である(証明はまかす)。 542 名前：208 [2005/10/26(水) 09:23:55 ] >>538 Bourbakiが彼らの本を書く前にいろいろ議論していることは 知ってるし当然だろう。だけど、こんなくだらない議論(議論ともいえないが)は してないだろうっていう意味だよ。 543 名前：208 [2005/10/26(水) 09:36:17 ] φ: A → B を環の射、p ∈ Spec(A)、q ∈ Spec(B) とする。 p = φ^(-1)(q) のとき、q は p の上にあるという。 p は q の下にあるという。このとき、この関係を p = A ∩ q と書く場合もある。これは A ⊂ B のとき以外は 不適当であるが便利。これは、いわゆる「記法の濫用」 (abuse of notation) の一種だが、数学では適切な「記法の濫用」は しばしば有用である。ただ、諸刃の剣であり使用には注意がいるが。 544 名前：208 [2005/10/26(水) 09:46:35 ] >>538 >今では群、環、体の順番に書き始めるのは当たり前で何の創意も >要らないが そもそもこれを創めたのはBourbakiな訳で、 Van der Wearden の教科書はBourbakiの前に出版されたが、 彼もその順番でやってる。 まあ、その順番は普通だれが考えても同じと思うが。 545 名前：208 [2005/10/26(水) 10:25:25 ] φ: A → B を環の射、p ∈ Spec(A) とする。 f: Spec(B) → Spec(A) をφから誘導された射とする。 Spec(B(x)k(p)) は スキーム論的には Spec(B) と Spec(k(p)) の Spec(A) 上のファイバー積である。 これからも、圏論およびスキーム論的に Spec(B(x)k(p)) が f^(-1)(p) と位相同型になることが出る。 可換環論はアフィンスキーム論とみなせるので、可換環論を学ぶ上で スキーム論は必須に近いと思うが入門の段階でこれをやるのは適当でないだろう。

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