- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/02/21 07:18]
- 代数に関する話題全般のスレッドです。
宿題の丸投げは止めましょう。
前スレ
代数学総合スレッド
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/l50
- 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/06 23:10]
- >>297
thx. てかこれは>>285の質問への肯定的な解答になってる？
- 300 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 23:16]
- >>298
形式的冪級数環でのWeierstrassの予備定理は、代数学に属します。
- 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/06 23:29]
- わからないなら顔出すな。それだけ。
- 302 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 23:29]
- >>299
いや、>>285の質問がちょっと間違っていた。有限体上の任意の冪級数がWeierstrass多項式と同伴になるか、
というのが問題。つまり変数の適当な変換でWeierstrassの予備定理が適用出来るようになるか。
つまり、f(0,..,0, Y) が非０になるか。
無限体の場合は簡単。
- 303 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 23:32]
- >>302
当然、f(0,...,0) ≠ 0が前提。
- 304 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 23:42]
- >>303
間違えた(汗
f≠0かつf(0,...,0)=0が前提。
- 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/06 23:49]
- >>302
つまり問題は解決してないと。
すいません。問題をもうすこし具体的にかいてもらえません。おもしろそうなので。
(もちろんかいてもらってもとけないけど)
設定はkが(有限)体、R=k[[X1･･･Xn,Y]]、f∈Rについて
fがどんなときになにが成立してほしいんですか？どこまでは確認済みっすか？
- 306 名前：１３２人目の素数さん [03/07/07 00:31]
- >>305
f≠0かつf(0,...,0)=0のときに変数X1,..,Xn,Yの適当な可逆変換
X1 = u_1(X'1,...,X'n,Y')
X2 = u_2(X'1,...,X'n,Y')
...
Xn = u_n(X'1,...,X'n,Y')
Y = u_(n+1)(X'1,...,X'n, Y')
でf(X1,...,Xn,Y) = g(X'1,...,X'n, Y')
としたとき、g(0,...,0, Y') ≠ 0 となるか？
ここで、u_1, u_2,...,u_(n+1) はn+1変数の冪級数(または多項式)。
- 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/08 23:17]
- 関数体のABC予想ってなんですか？
- 308 名前：１３２人目の素数さん [03/07/10 23:56]
- ｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━!!
cgi32.plala.or.jp/mg916/bbs.cgi
- 309 名前：１３２人目の素数さん [03/07/12 02:02]
- cgi32.plala.or.jp/mg916/log.txt
- 310 名前：山崎 渉 mailto:（＾＾） [03/07/12 12:25]
-
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|＼⌒⌒⌒＼
＼ |⌒⌒⌒~| 山崎渉
~￣￣￣￣
- 311 名前：山崎 渉 mailto:（＾＾） [03/07/15 12:51]
-
__∧＿∧_
|（ ＾＾ ）| ＜寝るぽ（＾＾）
|＼⌒⌒⌒＼
＼ |⌒⌒⌒~| 山崎渉
~￣￣￣￣
- 312 名前：１３２人目の素数さん [03/07/16 08:53]
- 中山の補題って、Zornの補題を使わないと証明できないんですか？
もしえてください。
- 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/16 10:43]
- cgi32.plala.or.jp/mg916/accuse/
- 314 名前：１３２人目の素数さん [03/07/16 21:02]
- >>312
ネーター環でなければ中山の補題はZornの補題が必要。
Rをネーター環でない可換環、IをRのRと異なるイデアルとする。
このときIを含むRの極大イデアルの存在はZornの補題が必要。
中山の補題はこれを使っている。
- 315 名前：１３２人目の素数さん [03/07/16 22:01]
- 写真集だよん☆☆☆☆☆☆
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- 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/17 19:45]
- >>306
こんなんできた。まちがってるかも。まちがってたら or 論点がズレてたらｺﾞﾒｿ。
以下kを体、R=k[[X1,･･･,Xn]]とする。d=(d1,･･･,dn)に対し
X^dをX^d=(X1)^d1･(X2)^d2･･･(Xn)^dnで定める。さらに|d|を
|d|=d1+･･･+dnとする。加法的離散付値v:R→Zを
v(∑a_dX^d)=min{|d||a_d≠0} (if ∑a_dX^d≠0) v(0)=∞
で定める。Rはこのvから誘導される距離に関して完備になる。
VをX1･･･Xnによって張られるk係数のベクトル空間とする。
G=GL(V)の作用はk[[X1,･･･,Xn]]にk代数の準同型として
自然に拡張される。またY1,･･･,YnをRのv(Yi)≧2なる元の組、
g∈GL(V)とするときk代数の準同型φ:R→Rで
φ(Xi)=gXi+Yiをみたす連続準同型が一意にさだまる。
このような準同型を座標変換とよぶこととする。
このとき以下が成立する。
－定理－
0≠F∈R、v(F)=δであるときある座標変換φとRの単元u、
k[[X2･･･Xn]]の元の組G0,･･･,Gδで
uφ(F)=∑[i=0,δ]Gi(X1)^i、Gδはk[[X2･･･Xn]]の単元
を満足するものが存在する。
これを以下で示す
- 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/17 19:47]
- －補題－
H=∑[|d|=δ]a_d(X^d)を次数δ＜∞のRの斉次元とするとき座標変換φで
φ(H)=∑b_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0を満足するようにとれる。
(∵)nに関する帰納法。n=1では容易。n未満で成立していると仮定する。
H=∑[|d|=δ]a_d(X^d)を斉次元とする。m=max{k|∃d=(m,*,･･･,*) a_d≠0}
とおく。H=∑b_e(X1)^m(X2･･･Xn)^e+∑c_d(X^d)、c_d=0 (if d=(m,*,･･･,*))
と分解しておく。K=∑b_e(X2･･･Xn)^eはk[[X2･･･Xn]]の０でない斉次元ゆえ
帰納法の仮定からk[[X2･･･Xn]]の座標変換ψを
ψ(K)=∑b_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0を満たすようにとれる。
これをk[[X1･･･Xn]]に自然に拡張したものもおなじくψとかくこととする。
このときGL(V)の元gをg(X2)=X1+X2,g(Xi)=Xi (if i≠2)でさだめられるものとし
φをφ(A)=gψ(A)でさだめられる座標変換とするときこれが求められる
条件を満足することは容易にわかる。□
- 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/17 19:47]
- (定理の証明のスケッチ)Rの付値vをk[[X2･･･Xn]]に制限したものをwとしておく。
0≠F∈R、v(F)=δであるものをとる。Fのδ次の斉次部分をHとする。
補題により座標変換φをφ(H)=∑b_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0
と表示できるφ=idとして一般性をうしなわない。このとき
F=∑a_k(Xn)^k、a_k∈k[[X2･･･Xn]]、w(a_k)≧δ-k (for i≦δ)
が成立する。次をしめす。
(Claim) Rの元の列1=r_0,r_1,r_2,･･･でv(b_i)≧i、F(1-r_1)(1-r_2)･･･(r_u)を
F(1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u)=∑a'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2･･･Xn]]と表示したとき
w(a'_k)≧δ-k (for i≦δ)、a'_k=0 (for δ+1≦k≦δ+u)
を満足するようにとれる。
u=0ではあきらか。uまで構成できたとする。
F(1-r_0)(1-r_1)･･･(r_u)=∑a'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2･･･Xn]]と分解しておく。
w(a'_k)≧δ-k (for i≦δ)ゆえ特にw(a'_δ)=0。つまりa'_δはk[[X2･･･Xn]]の
単元である。ゆえr_u+1を条件をみたすようにとれる。(←しんどくなったので略)
上Claimで構成したr_0,r_1,r_2,･･･をとるとき((1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u))_uは
RのCauchy列となる。Rは完備ゆえこれは極限値uをもつ。このuがもとめるものである。□
- 319 名前：１３２人目の素数さん [03/07/19 12:06]
- >>318
非常に興味深いが良く分からない。
φ(H)=∑b_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0は、b_(0,･･･,0,δ)≠0の間違い？
w(a_k)≧δ-k (for i≦δ)は、w(a_k)≧δ-k (for k≦δ) の間違い？
(1-r_1)(1-r_2)･･･(r_u)は、F(1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u) の間違い？
>ゆえr_u+1を条件をみたすようにとれる。(←しんどくなったので略)
説明希望。
なお、r_u+1はr_(u+1)と書いたほうがいいね。
- 320 名前：? mailto:age [03/07/19 12:06]
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- 321 名前：１３２人目の素数さん [03/07/19 15:37]
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- 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/19 19:16]
- ＞φ(H)=∑b_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0は、b_(0,･･･,0,δ)≠0の間違い？
これはこれでいいす。つまりxy^2+xyzみたいな元を座標変換でx^3+･･･の
形にできるという話です。
＞w(a_k)≧δ-k (for i≦δ)は、w(a_k)≧δ-k (for k≦δ) の間違い？
＞(1-r_1)(1-r_2)･･･(r_u)は、F(1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u) の間違い？
はい。まちがいっす。すんまそん。
あとClaimの主張で要求する条件に一つ追加です。
(Claim) Rの元の列1=r_0,r_1,r_2,･･･でv(b_i)≧i、F(1-r_1)(1-r_2)･･･(r_u)を
F(1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u)=∑a'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2･･･Xn]]と表示したとき
w(a'_k)≧δ-k (for k≦δ)、a'_k=0 (for δ+1≦k≦δ+u)、
w(a'_δ)=0 ←これ！
を満足するようにとれる。
これを示すには次がいえればいいっす。
補題 F∈RをF=∑a_k(Xn)^k、a_k∈k[[X2･･･Xn]]と分解したときδ+1≦v≦u+1について
w(a_k)≧δ-k (for k≦δ)、w(a_δ)=0、a_k=0 (for v＜k≦u+1)
を満足するときs∈Rを(1-s)F=∑a'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2･･･
Xn]]と分解したとき
w(a'_k)≧δ-k (for k≦δ)、w(a'_δ)=0、a_k=0 (for v≦k≦u+1)、v(s)≧u-δ
を満足するようにとれる。
(∵)w(a_δ)=0なのでa_kはk[[X2･･･Xn]]の可逆元ゆえ(a_δ)･b=1となるb∈k[[X2･･･Xn]]
がとれる。そこでsとしてs=b(Xn)^(v-δ)ととるとこれがもとめるものである。
- 323 名前：１３２人目の素数さん [03/07/19 22:54]
- >>322
残念だが、まだ分からない。
ひとまず、r_0をどうやって求めるのか説明してもらえると有り難い。
ただし、r_0はr_1の間違いかな、ひょっとして？
- 324 名前：１３２人目の素数さん [03/07/19 23:08]
- 気合入っているな。
読む気がしない・・。
- 325 名前：１３２人目の素数さん [03/07/19 23:11]
- まったくワシの教授は出て行ってしまったわな。後で聞いたら土建屋にゴツイ
いやがらせされてた話。いま週一で出て行った先に指導受けにいってる
けど、多元で学位は取れんな。ここ数年はマシな教授は出て行くだろうから、
もう多元もオシマイや。ついでにワシも。
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/20 21:10]
- すみません。modular formのスレよりこちらの方が読者
が多いと思って投稿させていただきます。
この板のmodular formのスレのフサギコ教授の説明から
ヒントを得てy~2=（xの重根を持たない3次式）って言うのを
考えた場合にもペー関数など考える時あそこで書いてある
個有値ってものに成るんじゃないかと思ったのですが。
違いますか？
つまり、Ｃ（複素平面）がぺー関数によってトーラス上
に何重にも重なって写像される。
間違っていたらすみませんが誤りも教えて下さい。
- 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/20 21:43]
- >>323
もういちどr_0,r_1,r_2,･･･のみたすべき条件を再確認します。
(Claim) Rの元の列1=r_0,r_1,r_2,･･･でv(b_i)≧i、F(1-r_1)(1-r_2)･･･(r_u)を
F(1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u)=∑a'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2･･･Xn]]と表示したとき
w(a'_k)≧δ-k (for k≦δ)、w(a'_k)=0、a'_k=0 (for δ+1≦k≦δ+u)
を満足するようにとれる。
ここでu=0の場合要求される条件は(for δ+1≦k≦δ+u)に相当するkが存在しないゆえ
事実上要求されるのはw(a'_k)≧δ-k (for k≦δ)、w(a'_k)=0だけでこの条件はもとの
a_kがすでにみたしているのでr_u=0ととれば十分です。
いささかしょぼい例ですがr_uを構成してゆく例をしめしてみます。
n=2としX1=X、X2=Y、F=XY^2+(1+X)Y^3+(X/(1-X))Y^4+･･･
のような例でやってみます。この場合v(F)=3でw(X^2)=2、w(1+X)=0ゆえ
前提条件をみたしてます。r_0はでよいことはすでに述べたとおり。
r_1はY^4の係数を消すためにr_1=X/((1-X)(1+X))ととります。
これはY^3の係数である1+Xがk[[X]]の可逆元なので可能です。
そしてFに(1-r_0)(1-r_1)をかけてみると
F(1-r_0)(1-r_1)
=XY^2+(1+X)Y^3+(X/(1-X))Y^4+･･･
-X^2/((1-X)(1+X))Y^3-X/(1-X)Y^4-X^2/((1-X)^2(1+X))Y^5+･･･
=XY^2-{(1+X)-X^2/((1-X)(1+X))}Y^3+(1+X)Y^3+0+･･･
となりY^4の係数を消すことができ、またY^3の係数も変化はしますがもともと
要求されていた条件をみたしている範囲内での変化にとどまっています。
もちろん(1-r_0)(1-r_1)･･･とかけていくとどんどん変化していきますが全体がCauchy列で
あるためyに関するべき展開の係数もやっぱりCauchy列になることがしめせるので
それは収束してその収束先でもa_δは可逆元、とくにa_δ(0･･･0)≠0であることが
示せます。
あってるような気がしてまふ。確認してよかったらつかってやってくさい。
- 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/20 21:46]
- >>326
わーたーしのきおくがたーしかならばー。
たしかそれは正しい。(とおもふ。)
- 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/20 21:47]
- >>328
どうもありがとうございます。
- 330 名前：１３２人目の素数さん [03/07/21 17:15]
- >>327
正しいような気はするが、一つ疑問があります。
>0≠F∈R、v(F)=δであるものをとる。Fのδ次の斉次部分をHとする。
>補題により座標変換φをφ(H)=∑b_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0
>と表示できるφ=idとして一般性をうしなわない。
この事実はどこで使ってるのかな？
- 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/21 17:54]
- >>316-318の証明まちがってました。ただし補題の部分はあってるとおもいます。
それ以外の部分を以下にさしかえます。すんまそん。
以下(S,w)をCDVRとする。(wは付値イデアルでなく付値。）
R=S[[X]]に付値vを
v(∑c_iX^i)=min{w(c_i)+i}とさだめることにより(R,v)もCDVRになる。
Rの元F=∑c_iX^iにたいしT_i(F)をT_i(F)=c_iX^iでさだめる。
Rの元FがT_v(F)(F)≠0を満足するときFをよい元とよぶ。
F=∑c_iX^iが次数pのよい元のとき
w(c_p)=0、w(c_i)≧p-iを満足する。とくにs_pはSの可逆元である。
容易にF,Gがそれぞれ次数p,qのよい元のときFGは次数p+qのよい元である。
Rの元Fと非負整数の組p≦q≦rについて次の条件をかんがえる。
(P1)Fは次数pのよい元である。
(P2)v(T_i(F))≧r-1 (p+1≦i≦q)
(P3)v(T_i(F))≧r (q+1≦i≦r)
この条件を(p,q,r)条件とよぶ。
補題１ Fがよい元ならばFは(p,p+1,p+2)条件をみたす。
(∵)自明である。□
補題２ Fがよい元で(p,p,r)条件をみたすならば(p,r,r+1)条件もみたす。
(∵)自明である。□
- 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/21 17:54]
- 補題３ Fがよい元で(p,q,r)条件をみたし、p≦qであるならあるG∈Rで
v(G)≧r-p-1、F'=F(1-G)が(p,q-1,r)条件をみたすものがとれる。
(∵)F=∑c_iX^i (c_i∈S)とする。Fは次数pのよい元なのでc_pは
可逆元である。そこでG=(c_q/c_p)X^q-pと定める。
仮定よりw(c_q)≧r-1-qゆえv(G)≧r-1-p。
よってF'=F(1-G)が(p,q,r)条件を満足することを示せばよい。
1-Gは次数0のよい元ゆえF'は次数pのよい元である。よって(P1)は成立。
またv(F)≧pゆえv_i(FG)≧r-1 (∀i)。
さらにp+1≦i≦q-1についてFが(p,q,r)条件をみたすという仮定から
v_i(F)≧r-1であるからv_i(F(1-G))≧r-1。よって(P2)も成立。
最後に(P3)をチェックする。i=qについてはT_q(F(1-G))=0ゆえよい。
q+1≦i≦rをとる。T_i(F(1-G))=(c_i-c_(i-q+p)c_q/c_p)X^i。
p+1≦i-q+p≦r-q+pゆえw(c_(i-q+p))≧r-1-(i-q+p)≧r-i。
また仮定よりv(c_i)≧rであるのでv(T_i(F(1-G)))≧rである。
以上で(P3)を満たすことがしめされた。□
- 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/21 17:55]
- 非負整数の組について半順序≦を
(p,q,r)≦(p',q',r') iff p=p' ＆ (r＜r' or (r=r' ＆ q≧q'))
で定める。上の３補題から次が成立する。
主張４ Fが次数pのよい元であるならば非負整数の組の列
(p,q_1,r_1)＜(p,q_2,r_2)＜(p,q_3,r_3)＜･･･とRの元の列G_1,G_2･･･で
以下をみたすものがとれる。
(1) v(G_i)≧r_(n)-p-1
(2) F(1-G_1)･･･(1_G_n)は(p,q_n,r_n)条件を満たす。
(∵)補題１～補題３により帰納的にさだめていけばよい。□
このとき列((1-G_1)･･･(1_G_n)は(p,q_n,r_n))_nはCauchy列でRは完備ゆえ
極限Uが存在する。このときUが可逆であることとF'=FUがT_i(F')=0 (i≧p+1)
をみたす次数pのよい元であることは容易に確認できる。よって以下が成立する。
定理５ Fが次数pのよい元であるとき単元UをT_i(FU)=0 (i≧p+1)を満足する
ようにとれる。
さらに次の補題を利用する。
補題６ S=k[[X1･･･Xn]]のときv(F)=pである元にたいしRの座標変換φによって
φ(F)が次数pのよい元であるようにとれる。
(∵)>>317の補題□
よってこのとき次が成立する。
定理７ S=k[[X1･･･Xn]]のときv(F)=pである元にたいしRの座標変換φと
単元Uをφ(F)Uが次数pのよい元でT_i(φ(F)U)=0 (i≧p+1)を満足する
ようにとれる。
- 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/21 17:57]
- >>330
次数δの元Fにたいして(Xn)^δの係数はもし０でなければその係数は
可逆元ですが０であるかもしれません。０でないように可逆元をかける調整
だけでは不可能です。これが０にならないようにするには座標変換を
する必要がありまんもす。
- 335 名前：１３２人目の素数さん [03/07/23 07:40]
- >>331
時間が無くてまだ証明を読んでない。もうチョット待ってください。
- 336 名前：１３２人目の素数さん [03/07/23 21:52]
- 全スレがこのように機能すればなあ・・・。
- 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/23 22:20]
- 今月号の数学セミナーで森脇さんの記事によると広中さんの講義録が再版されるそうですが、
「書店で手にとってください」などとが書いてあったから、普通の出版社から出版されるのですか？
大学図書館のような一部の場所でしか手に入らないものではなく。
- 338 名前：１３２人目の素数さん [03/07/23 22:44]
- >>331
CDVRって何？ DVRが離散付値なのは知ってるが。
- 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/23 22:45]
- C=complete
- 340 名前：１３２人目の素数さん [03/07/24 07:58]
- >>331
>Rの元FがT_v(F)(F)≠0を満足するときFをよい元とよぶ。
>F=∑c_iX^iが次数pのよい元のとき
>w(c_p)=0、w(c_i)≧p-iを満足する。とくにs_pはSの可逆元である。
T_v(F)(F)≠0の意味が分からない。V(F) = i としたとき T_v(F)= c_iX^i
だから、T_v(F)(F) はc_iX^iとFの積を表すのかな？
それとs_pは何を表すのかな？
- 341 名前：１３２人目の素数さん [03/07/24 19:06]
- >>331
>以下(S,w)をCDVRとする。(wは付値イデアルでなく付値。）
>=S[[X]]に付値vを
>(∑c_iX^i)=min{w(c_i)+i}とさだめることにより(R,v)もCDVRになる。
(R,v)はDVRとはならないんだが。例えばkを体としたときk[[X, Y]]はDVRでは無い。
何故なら、DVRなら極大イデアルが単項イデアルだが、k[[X, Y]]の極大イデアルは
単項ではない。
- 342 名前：_ mailto:sage [03/07/24 19:15]
- homepage.mac.com/hiroyuki44/hankaku04.html
- 343 名前：１３２人目の素数さん [03/07/24 19:21]
- >>311
Weierstrassの定理は、未定係数法により簡単に証明出来る。
従って補題が証明できればいいんだが、君の補題の証明は良く分からん。
もう少し丁寧に、正確に証明してくれんかね。
どうも君の証明はケアレスミス(例えば記号の書き間違い)が多いし、
論理の飛躍がある。お互いの時間を無駄にしないためにも丁寧な証明を望みます。
- 344 名前：１３２人目の素数さん [03/07/24 19:25]
- 上の>>311は>>331の間違いでした。
他人の事言えんね。
- 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/25 19:55]
- ＞T_v(F)(F)≠0の意味が分からない。V(F) = i としたとき T_v(F)= c_iX^i
＞だから、T_v(F)(F) はc_iX^iとFの積を表すのかな？
＞それとs_pは何を表すのかな？
c_pはs_pの間違い。T_v(F)(F) はc_iX^iとFの積です。
v(F)=3のときa+bX+cX2+dX^3+･･･とかいたときw(a)≧3、w(b)≧2、w(c)≧1、w(d)≧0、
ですがw(d)=0、つまりdが可逆元になるときよい元とよびます。
＞もう少し丁寧に、正確に証明してくれんかね。
＞どうも君の証明はケアレスミス(例えば記号の書き間違い)が多いし、
＞論理の飛躍がある。お互いの時間を無駄にしないためにも丁寧な証明を望みます。
まあ、ミスが多いのはみとめます。けど代数専攻の学生なら十分行間うめられると思うけど。
主張はまちがいがない(と思う)からオイラの証明よむより自分でやったほうが早い思います。
というかオイラの主張
定理 Fがk[[X1･･･Xn,Y]]のv(F)=pである元のとき単元uと座標変換φとk[[X1･･･Xn]]係数の
多項式Pでuφ(F)=P、Pの最高次の係数はk[[X1･･･Xn]]の可逆元であるものがとれる。
はあなたの望むものなの？そうならもすこし詳しく書く気にもなるけど。どうなの？
これそんなに証明むずかしくないと思うんだけど。なんか勘違いしてるのかな？
- 346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/25 22:52]
- >>343
あ、なるほど。補題がおかしいと。つまり
－問題－
kを体、G=GL(n,F)、Vをk[x]のtじ斉次式のなすベクトル空間とするとき
GをVに自然に作用させたときv∈V＼{0}をとるときGv=V＼{0}か？
たしかにこれFが有限体のときあやしいっすね。たしかに証明まちがってます。
おさわがせでした。
ちなみに
＞Weierstrassの定理は、未定係数法により簡単に証明出来る。
これはどういう意味っすか？つまり
－問題－
Fがk[[X1･･･Xn,Y]]のv(F)=pである元のとき単元uと座標変換φとk[[X1･･･Xn]]係数の
多項式P(Y)でuφ(F)=Pであるものがとれる。
ならば簡単に証明できるということ？
- 347 名前：１３２人目の素数さん [03/07/26 08:24]
- >>346
Weierstrassの予備定理というのは
Fがk[[X1･･･Xn,Y]]の元でF(0,...,0,Y)が0でなければ、
uF = Y^s + h_(s-1) Y^(s-1) + ... + h_1 Y + h_0
と一意に書けるということ。ここで、uはk[[X1･･･Xn,Y]]の単元で、
h_iはk[[X_1, .., X_n]]の元。
これは、未定係数法で簡単に解ける。
私が問題にしているのは、Fがk[[X1･･･Xn,Y]]の任意の0でない元としたとき
座標変換φでφ(F)(0,...,0,Y)が0でないように出来るかということ。
これが証明出来れば、k[[X1･･･Xn,Y]]の構造はk[[X1･･･Xn]]上の多項式環
の問題に帰着できる。
- 348 名前：１３２人目の素数さん [03/07/26 08:47]
- >>347
因みに、この場合の未定係数法による証明のヒントを示します。
簡単の為に２変数のベキ級数の場合を考えます。３変数以上の場合も
記述が面倒なだけで同様です。
F(X, Y) = ∑a(i, j)(X^i)(Y^j)
u(X, Y) = ∑b(i, j)(X^i)(Y^j)
と置いて、uFをYのベキで整理したときY^n(n > s)の係数が0に
なるようにb(i, j)を決めていくことが出来ることを示せばよい。
- 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/26 12:45]
- >>347-348
昨日ねながらかんがえた。前補題
G=GL(n,K),V_t=(K[x]のt次斉次多項式のなすG加群)
とするとき任意のv∈V＼{0}に対しvx=∑c_tx^t (c_t≠0 for some t=(0,･･･,0,*)
は反例がある。
－反例－
k=(2元体)、t=3、F=xy^2+x2yとおくときFはGの作用にかんし不変である。
よってもとめる形に変形することは不可能。
ちなみにF∈k[[x,y]]=Rとみたとき任意の座標変換φとRの単元uについて
uφ(F)の３次までの項は(x,y)=(0,Y)を代入したときk[[y]]の元として０になってしまう。
ただし３次以上の項までしらべれば０でない。前補題はkが無限体のときは成立してるので
結局まとめるとこうなった。
－定理－
kを体、R=k[[x1･･･xn,y]]とし0≠f∈Rをとる。v(f)=pとするとき座標変換φと単元u∈Rを
とってuφ(F)=P(x1･･･xn,y)∈k[[x1･･･xn]][y]となるものがとれる。
さらにP=∑c_ty^t (c_t∈k[[x1･･･xn]])と表示するときあるc_tは単元にとることができる。
とくにkが無限体のときはdegP(x1･･･xn)=pであるmonic多項式をとることができる。
ところでk[[x,y]]ってDVRじゃなかったっけ？どうかんがえてもI=xk[[x,y]]+yk[[x,y]]
ってuniqueな極大イデアルにおもえるんだけど。
- 350 名前：１３２人目の素数さん [03/07/26 13:55]
- >>349
>ところでk[[x,y]]ってDVRじゃなかったっけ？どうかんがえてもI=xk[[x,y]]+yk[[x,y]]
>ってuniqueな極大イデアルにおもえるんだけど。
確かにuniqueな極大イデアルだけど、DVRではない。
DVRであるためには、それが単項イデアルであること、即ちただ一つの元で生成
されなくては成らない。
- 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/26 16:32]
- >>350
ああ、そうだった。Thx。
- 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/26 17:38]
- local ringとDVRを混同しては、いけません。
- 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 13:20]
- 基本的なことでお恥ずかしいのですが，教えてください。
「Ｈを群Ｇの部分群とする。Ｈを法とする任意の２つの左剰余類
の積が，Ｈを法とするある左剰余類となると仮定する。このとき，任意の
a,b\in Gに対して，(aH)(bH)=abHであることを示せ。」
これって明らかですか？
- 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 14:07]
- 「Ｈを法とする任意の２つの左剰余類の積」というのが
剰余群 G/H の演算という意味なら
(aH)(bH)=abH は定義であっては示すことではありません。
むしろ示すのはうまく定義できていることです。
- 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 15:01]
- >>354
お答えいただき，ありがとうございます。
G/Hが剰余群であるためには，Ｈが正規部分群である必要がありますが，
ここではＨが正規部分群であるとは仮定していません。
それにも関わらず，(aH)(bH)=abHは成り立つのでしょうか？
- 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 15:22]
- >>355
成り立つよ
- 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 15:24]
- いや、成り立たない・・・
- 358 名前：355 mailto:sage [03/07/28 15:57]
- >>356
証明を教えてくださいませ。
>>357
反例をお願いします。
- 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 20:28]
- まずaHの定義は大丈夫かい？
- 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 20:30]
- aHbH=cHとする。
c∈cH だから∃h, k∈H s.t. ahbk=c.
するとaHbH=cH=ahbkH=ahbH.
両辺に(ah)^(-1)をかけると HbH=bkH=bH.
よってaHbH=abH.
これでできてるかな。なんか自分でもすっきりしないんだけど･･･
- 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 20:38]
- >>360
きみは根本的にヤヴァイ
- 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 20:45]
- 確かにヤヴァイな・・・
- 363 名前：360 mailto:sage [03/07/28 21:05]
- やっぱり？
でも何がヤヴァイのかわかんない。
冷静にもう一回見直してみます。
- 364 名前：剋目せよ mailto:sage [03/07/28 22:31]
- ＞aHbH=cHとする。
- 365 名前：360 mailto:sage [03/07/28 22:34]
- >>364
それはない
>>353には
>Ｈを法とするある左剰余類となると仮定する。
とある。
- 366 名前：360 mailto:sage [03/07/28 22:41]
- ちゃんと証明書こうかと思ったんだけど・・・
それ以外に変なところがないならやめる
何かまだ問題ある？
- 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 22:59]
- >>366
ちょっとまづいとおもう。
＞両辺に(ah)^(-1)をかけると HbH=bkH=bH.
ここ。それよりこうやったほうがいいとおもう。
aHbH=cHとする。 ab∈aHbH=cHだからab=chとなるh∈Hがとれる。
∴abH=chH=cH。
- 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:01]
- >>353も当然おかしいのだけど、そのおかしさにそのまま乗ってしまっている。
というか>>354で終わりだと思うけど。（具体的には定義通り計算してwell defを確認するだけ）
- 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:02]
- >>367
うわぁ・・・
- 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:04]
- >>367
＞ちょっとまづいとおもう。
＞両辺に(ah)^(-1)をかけると HbH=bkH=bH.
どこがまずいの？
- 371 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:06]
- >>368
353のどこがおかしい？
- 372 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:07]
- >>367
どうまずいのかよくわかんないけど･･･
確かにそのほうが簡潔でいいね
- 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:09]
- 何を出発点にして何を示す必要があるのか
もう一度じっくり考えたほうがいいよ
出発点は独自性０でいいっていうか
むしろ０じゃなきゃ駄目なわけで
つまり教科書を読め、と
- 374 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:16]
- やっぱりちゃんと確認しながらいきますか
方針は>>367を拝借することにした。
以下Gは群、eをその単位元とする。
定義：
一般にH,K⊂Gとg∈Gに対して
HK:={hk | h∈H, k∈K}
gH:={gh | h∈H}
命題
1 h∈H、H<Gのとき、hH=H.
2 x, y∈G、H<G のとき、x(yH)=(xy)H.
主張(>>353はこれから従う)：
a,b∈G, H<Gとするとき、
あるcがあって(aH)(bH)=cHとなるならば(aH)(bH)=abHである。
証明
まずHは部分群だからe∈Hなので、ab=(ae)(be)∈(aH)(bH).
(aH)(bH)=cH の仮定により、ab∈cH.
cHの定義から
∃h∈H s.t. ab=ch. (以下h はこれを満たすものとする)
再び(aH)(bH)=cH の仮定を使うと
(aH)(bH)=(abh^(-1))H=(ab)((h^(-1))H)=(ab)H. //
- 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:27]
- 釣りじゃなさそうなんでレスするか・・
>>353
>「Ｈを群Ｇの部分群とする。Ｈを法とする任意の２つの左剰余類
>の積が，Ｈを法とするある左剰余類となると仮定する。このとき，任意の
>a,b\in Gに対して，(aH)(bH)=abHであることを示せ。」
↑この文章を素直に上から読んでいくと
>Ｈを法とする任意の２つの左剰余類の積が
と、ここですでに「集合」G/Hに積が入っていることを前提としている
ところがそもそもその積の定義というのは
>(aH)(bH)=abH （←この式を☆とする）
であって
これ自身は証明すべき対象ではない
問題というか確認すべきことは☆が定義となっているか否か（well defined）
つまり剰余類の積が類の代表元によらずに定まるかどうかを見る必要がある
それにはc,dをそれぞれa,bと同値なGの元（すなわちaH=cH,bH=dH）として
(aH)(bH)=abH ならば (cH)(dH)=abH となることを確認すればよい。
（この確認作業のときにHが正規であることが生きてくる）
つまり>>353は主張になってないわけです
- 376 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:32]
- >>375
374の定義のところに書いたのを左剰余類の定義としたのだが・・・
- 377 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:33]
- 間違い
正しくは左剰余類の積の定義
- 378 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:35]
- いや、それも違った
部分集合同士の積の定義だ
それで、二つの左剰余類を部分集合としてかけたとき
たまたまその結果がまた左剰余類になっていた、という仮定でしょ？
- 379 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:38]
- 連続でｽﾏｿ
374の命題2でHは部分群ではなくて部分集合だった
- 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:40]
- ＨＫってのはただの集合の話（演算ではない）
aH・bHってのは集合G/Hに新たに導入した積「・」の話
cがあるもないも、(aH)(bH)と表記した時点で
新しい演算を用いてるんだよ。で、その新しい演算の定義が
(aH)(bH)=abHそのものなの。
(aH)(bH)=何々=abHなんてイコールの間に何かあっちゃダメなの
- 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:44]
- あーだから見た目の親しみ易さから離れて
写像Fを
F：G/H × G/H → G/H
F(aH , bH)：=abH
と定義するって書けばいいのかな
このときFがG/H × G/H上の写像として定義されるためには
a,bによらないことを示せば良い
ってこう書いたほうがいいか
- 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:45]
- 後は他の人に任せる
- 383 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:47]
- でも、G/HはGの部分集合族でしょ？
だからaHとbHの部分集合としての積が考えられる。
その積はまたGの部分集合になるが、
それがある左剰余類に一致していたと仮定している。
だからそれをcHとおいた。
それで何がまずいのかよく分からない。
そもそもG/Hの演算なんて始めから考えていない。
- 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:50]
- 群論というより、同値類や商集合のお勉強からしたほうがよいのでは？
- 385 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:52]
- わかった
>>375の
>>Ｈを法とする任意の２つの左剰余類の積が
>と、ここですでに「集合」G/Hに積が入っていることを前提としている
ここが間違い。
- 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:53]
- そもそも、どういう文脈で出てきたの？
教科書名は？
- 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:53]
- >>383
他の人に任せると言ったが、こんなレスを見ては・・・
嫌味じゃなく本当に勉強し直したほうがいい
ルールを知らず参加してもしょうがない
能力の問題ではなく参加する姿勢の問題
- 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:55]
- あのね、集合が二つあったときに自然に積が考えられるなんて
どの数学の本にも載ってないと思うよ
- 389 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:59]
- >>375
あと
>ところがそもそもその積の定義というのは
>>(aH)(bH)=abH （←この式を☆とする）
>であって
ここもたぶん違う
>>388
Euclid空間では普通に部分集合の和を考るし
一般の群でも正規部分群の積なら考えられる。
そのアナロジーで>>374のように定義するのは自然だと思ったんだけど･･･
自然かどうかは感覚の問題だからあまり拘ることじゃないかもしれないが
- 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 00:01]
- >>388は>>383に対するレスね
- 391 名前：360 mailto:sage [03/07/29 00:08]
- まあ、一般の部分集合の積を考えることを否定するというのなら
>>353の質問が意味をなさないという主張は当然だと思うけど、
そういう考え方は全く思いつかなかったもので。
あとはもう質問者本人が登場してくれないとしょうがないですな。
- 392 名前：360 mailto:sage [03/07/29 00:16]
- 今線形代数のプリント見たら
群Gの部分集合S, Tが与えられたとき、Gの部分集合STを
ST={st; s∈S, t∈T}
と定義する。
と書いてあった。
これが頭のどこかにあったのかな。
- 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 00:17]
- >>388
群の場合は？Ｇを群としてＨ，Ｋをその部分群としたら
ＨＫは自然に積を考えるでしょ。
- 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 04:01]
- 非常にどうでも良い事で盛り上がってるな・・・
- 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 08:24]
- 4次の対称群 S_4 を考えたときに、その位数は 4! = 24 あると思うのですが、
4 はその対称群にとって、何という名前の数ですか？
次元?次数?
英語では何というのでしょうか？
- 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 08:57]
- >>395
たぶん次数でいいと思う
英語ではdegree
- 397 名前：360 mailto:sage [03/07/29 11:47]
- レス読み返して勝手に纏めてみる
群Gのべき集合P(G)には元同士の積全体のなす集合として積が入る。
これによりP(G)は半群となる。
このとき>>353の問題は、G/HがP(G)の部分半群ならばその積は
通常の剰余類群の積(aH)(bH)=abHとなることを示せ、と読める。
漏れはここまでは暗黙の了解とみなして言及せず、>>360を書いた。
>>361以降でそれはおかしいという人が出てきた。
彼（等？）の主張はそもそもP(G)に演算など自然には入らず
>>353は問題として成立してしないというものだったようだが
漏れは彼等も上記の読みを了解していると思い込んでいたので
話がまったくかみ合わなかった。
こんなところか。
しかし>>383とか>>389とか、かなり必死だなｗ
- 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 13:10]
- で、結論は？
- 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 15:03]
- >>396
どうも。
degree っぽいですね。
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