- 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/17 19:47]
- (定理の証明のスケッチ)Rの付値vをk[[X2･･･Xn]]に制限したものをwとしておく。
0≠F∈R、v(F)=δであるものをとる。Fのδ次の斉次部分をHとする。
補題により座標変換φをφ(H)=∑b_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0
と表示できるφ=idとして一般性をうしなわない。このとき
F=∑a_k(Xn)^k、a_k∈k[[X2･･･Xn]]、w(a_k)≧δ-k (for i≦δ)
が成立する。次をしめす。
(Claim) Rの元の列1=r_0,r_1,r_2,･･･でv(b_i)≧i、F(1-r_1)(1-r_2)･･･(r_u)を
F(1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u)=∑a'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2･･･Xn]]と表示したとき
w(a'_k)≧δ-k (for i≦δ)、a'_k=0 (for δ+1≦k≦δ+u)
を満足するようにとれる。
u=0ではあきらか。uまで構成できたとする。
F(1-r_0)(1-r_1)･･･(r_u)=∑a'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2･･･Xn]]と分解しておく。
w(a'_k)≧δ-k (for i≦δ)ゆえ特にw(a'_δ)=0。つまりa'_δはk[[X2･･･Xn]]の
単元である。ゆえr_u+1を条件をみたすようにとれる。(←しんどくなったので略)
上Claimで構成したr_0,r_1,r_2,･･･をとるとき((1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u))_uは
RのCauchy列となる。Rは完備ゆえこれは極限値uをもつ。このuがもとめるものである。□
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