面白い問題おしえて〜な 31問目

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/01/27(月) 20:12:01 ID:QSsw4R/8.net] 過去ログ置き場(1-16問目) www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/ まとめwiki www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/ 1 cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/ 2 natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/ 3〜6「datが存在しません。」 7 science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/ 8 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/ 9 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/ 10 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/ 11 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/ 12 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/ 13 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/ 14 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/ 15 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/ 16 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/ 17 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/ 18 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/ 19 uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/ 20 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/ 21 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/ 22 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/ 23 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/ 24 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/ 25 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/ 26 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/ 27 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/ 28 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/ 29 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/ なお、削除依頼は不要です。 ※前スレ 面白い問題おしえて〜な 30問目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/ 623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 09:20:09.03 ID:g3yGUOWL.net] >>589はダメ？ 624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 10:48:21.70 ID:YZSiuLon.net] じゃあまた投稿者には未解決だけど一� 625 名前：ﾂ 任意の複素数係数多項式 F∈C[x] について、次を満たす f,g,h∈C[x] は存在するか： F(x) = f(x)^3 + xg(x)^3 + (x^2)h(x)^3 [] [ここ壊れてます] 626 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/01(日) 14:45:50 ID:Yhf86Vyf.net] /‖__‖　□　‖ |ﾟ○。 |∩∩‖　 　｡‖ ∩∩ ﾟ ( (`e)　 [￣]‖(`)　)ﾟ (￣,`っ｢￣￣]‖(_υ_)~ (_(__∩∩__□‖∩∩~ ~ ~ ~~(___()~~~ (`)__)~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~　~~~ ~~~ ~ ~ ~　~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~　>>590正方形の対角線の交点は垂直二等分線が通る。前>>588あともう一点、垂直二等分線上の点が必要。定規にシャーペンを固定してコンパスみたいに回したらどうかな。 627 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 19:04:19 ID:+B38pBXy.net] >>591 直線AH∩直線BC→ 直線FH∩直線BC 直線FJ∩直線AB=(-a,0)∈S → K(-a,0) 直線EF∩直線CD=(1-a,1)∈S → L(1-a,1) ということかな？ 平行四辺形二つ作って刺す感じですか なるほど正解です 想定していた解法はチェバを使うものでした 628 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 19:07:53 ID:+B38pBXy.net] >>595 ここでいう「定規」とは以下の能力しか持たない抽象的な道具です ・与えられた二点を結ぶ線分を引く ・線分を延長する また、点とは「線と線の交点」、「線分の端点」のことを指します 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 20:05:10.17 ID:b16SM21O.net] >>596 チェバの解放ﾌﾟﾘｰｽﾞ 630 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 20:18:55.24 ID:fSBfHqBl.net] >>598 https://i.imgur.com/l0toryy.png 631 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 20:19:30.63 ID:fSBfHqBl.net] >>599 この要領で対辺にも中点を作ってそれらを結べばよい 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 20:21:51.07 ID:b16SM21O.net] >>599 なる thx 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 21:38:30.26 ID:YZSiuLon.net] ユークリッド平面上に三点(-1,0),(0,0),(1,0)だけが作図されている状態から、 任意の有理数rについて点(r,0)を作図できることを示せ。 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 21:38:59.87 ID:YZSiuLon.net] >>602 すまん、定規だけで。 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 23:14:20.87 ID:i2VXPeIF.net] >>602 補題1 A1,A2,A3が同一直線上にこの順に等間隔に並ぶとき、この直線上の点A4をA1,A2,A3,A4が等間隔に並ぶようにできる。 ∵)Pを直線外にとり線分PA2上にQを任意にとる。 PA1とQA3の交点をB1、PA3とQA1の交点をB3とすればB1B3//A1A3となる。 同じ手順をQを取り替えて行えばさらに線分PB1上のC1と線分PB3上のC3をとってB1B3//C1C3とできる。 C1C3とPA2の交点をC2とすればC2B3とA1A3の交点が求めるA4である。□ 補題2 A1A2と線分PA1上のB1とPB2上のB2においてB1B2が平行でA1ある時A1とA2の中点がとれる。 ∵)A1B2とA2B1の交点をQとする時、PQとA1A2の交点が求める中点である。□ 補題3 n≧1と補題1の設定の元にA1A2を1:2^(n+1)-2に内分する点Xと2:2^(n+1)-3に内分する点Yがとれる。 ∵)Pを直線外心に任意にとる。 補題1によりA1A2を2^n:2^n-1に外分する点Qがとれる。 Rを線分PA1上に任意にとりQRとPA2の交点をSとする。 A1SとA2Rの交点をTとしPTとA1A2の交点をUとすればUはA1A2を2^n:2^n-1に内分する点である。 補題2により中点を取る操作を何度もくりかえせばXとYが得られる。□ 定理 補題1の設定の元に任意の1未満の正の有理数tに対しA1:A2をt:1-tに内分する点がとれる。 ∵)t=a/bとなる自然数をとる。 補題2によりbが奇数の時しめせば十分である。 自然数nを2^n-1がbの倍数であるようにとれる。 この時2^n-1=bcとおけばa/b=ac/(2^n-1)であるから補題1,補題3により可能である。□ 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 00:25:47.44 ID:OADBUKH6.net] >>604 わあすごい、お見事 想定していた流れは ・y=0 以外でy軸に平行な直線Lが作図可能。 ・全ての整数nについて点(n,0)は作図可能。 ・ゆえに、直線L上に、任意に長い等差点列を作図可能。 ・任意の整数n,a>0,b>0について、二点(n,0),(n+1,0)をa:bに内分する点を作図可能。 最後のは、例えば直線Lが y=√2 で表され、なおかつ全ての点 (e+πm,√2) (m∈Z) が作図できたとして、 二点(n,0),(e,√2)を結ぶ直線と二点(n+1,0),(e+π(a+b),√2)を結ぶ直線の交点をPとおけば、 二点P,(e+πa,√2)を結ぶ直線とy=0の交点が求める点になる。 637 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 01:12:21 ID:qc9vWQ77.net] 簡単かもしれないけど “円に内接する三角形で面積最大のものは正三角形である事” を初等幾何で証明できますか まあ解ける人はサクッと解けるのだろう 638 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/02(月) 04:25:07 ID:6RLywf+z.net] 前>>595 >>590あ、わかった！ 正方形を折り紙みたいにぴったり半分に折ればいいんだ。 で、その折り目に沿って定規で線を引く。 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 04:35:43 ID:0ORHzB3W.net] >>606 △ABC = (1/2)AB･CH ここで　CHは、頂点Cと直線ABの距離。 2頂点 A,B を固定し、中心Oから辺ABに垂線を下ろす。 垂線と円周の交点をX1,X2とする。 辺ABも、X1, X2 で引いた接線も、直径X1-X2 に垂直だから互いに平行。 円周は、この2本の接線の間にある。 Cがこの円周上を動くとき、 △ABCが最大になるのは CH が最大のとき。 すなわち Cが、2つの接点Xのうち ∠AXB が鋭角の方であるとき。 このとき AC=BC A,B,Cを入れ替えても同様だから、正三角形。 640 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 04:41:31 ID:hCgOeWjY.net] >>606 △abcは円周上の相異なる三点から作られる三角形で、それらのうちで面積最大であるとする いま、△abcが正三角形ではないと仮定し、abとbcの長さが異なるとする するとacの垂直二等分線かつ円上のbのある側に点dがあり、△adc>△abcで矛盾 641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 05:30:18.06 ID:0ORHzB3W.net] >>590 正方形S内の作図でも可能でした。 >>591 のあと、対角線BDに平行な線分EHを作ります。←これがミソ 　線分EH ∩ 線分AC　=　M(a/2,a/2) 　線分EF ∩ 線分BM　=　N(3a/{2(1+a)}, a/{2(1+a)}) 　直線AN ∩ 線分BC　=　P(1,1/3) 　直線AN:　y = x/3, あとは簡単ですね。 ABCDが長方形のときも全く同じ。 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 05:43:17.17 ID:0ORHzB3W.net] >>609 　ab≠bc から △adc > △abc を出すのはどうやるんでつか？ 643 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 08:47:16 ID:r89pIk8E.net] >>607 「定規」とは>>597にある能力しか有しません しがたって「折り目に沿って線を引く」という能力はありません 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 08:47:58 ID:0FXGIEti.net] >>602　関連 二点が与えられたときに中点を定木だけで作図はできない 証明ってどうやるんですか？ 645 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 09:20:20 ID:hWkBRJKb.net] >>613 2点しかないんだったらできることはその2点を通る直線を引くことだけ あと適当に引いた直線はその2点とは全く独立だから結論に何も役立たない 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 10:13:43.44 ID:pl+0uhr1.net] >>613 定規だけが使える状況では、与えられた二点の中点が作図できることは、 与えられた二点を通る直線と平行な直線が作図できることと同値になりそうだ しかし、『完全に独立である』こととかをどう定式化できるかがわからんな… >>602でやったように、等間隔に与えられた三点とは全く独立にとった点から、 別のある特定の点が作図できてしまうんだからな 647 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 10:19:13 ID:hWkBRJKb.net] >>615 >しかし、『完全に独立である』こととかをどう定式化できるかがわからんな… >>>602でやったように、等間隔に与えられた三点とは全く独立にとった点から、 >別のある特定の点が作図できてしまうんだからな < 648 名前：br> コンパスもあれば2次方程式を解けるということが重要 定規だけでは何も出来ない [] [ここ壊れてます] 649 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 10:28:23 ID:hWkBRJKb.net] n点与えられているときに定規で出来ることは そのn点から2点取って直線を引き その交点も含めて点の個数を n(n-1)/2(n(n-1)/2-1)/2=(n+1)n(n-1)(n-2)/8 に増やすことだけ これを繰り返して点をいくらでも増やせるが それだけ 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 10:30:20 ID:pl+0uhr1.net] とは言え等間隔な三点が与えられたら、602の通りに実際『何かができた』わけだからなあ… 定規だけを使った作図に何ができて何ができないのか、という問いに正確に答えようとしたら、 それは中々自明でない問題な気がする 651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 10:38:11 ID:0FXGIEti.net] ２点をm:nに内分(外分)する点を与えたらm:nに外分(内分)する点は定木だけで作図できる けど中点は無限遠点になる。。 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 10:48:01 ID:0FXGIEti.net] よく知らんけどもしかして平行線公理の独立性ってやつ？ 653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 10:51:03 ID:pl+0uhr1.net] というかまず、明示的に許されている訳ではない操作である、 『点を適当にとる』という操作を定式化する必要があるんだよな しかしこれはおそらく、二人不完全情報ゲームの文脈を使えばできると思う 便宜的に二人の名前を『作図者』と『神』と名づけておく。 作図者は、>>597に記されている操作をしている間はずっと自分の手番。 しかし、作図者がある直線上に点を適当にとりたいと思った時は、まずその直線の開部分集合を一つ指定し、 その開部分集合のうちどこに点をとるかを神が決める、という操作を経なければならない。 更に、作図者は開部分集合のうち神がどこに点をとったのかは、知ることができない。 （ただし『これは作図を始めてから何番目にとった点である』等のように、 適当にとった点に番号付けをして、他と区別することは可能。） 平面上に適当に点をとりたい時も同様。 すなわち先に作図者が開集合を指定し、その中から神が作図される点を決める、という操作を経る。 作図者は、開集合の中で神がどこに点をとったかを知ることはできない。番号付けは可能。 最終的に作図したい点を作図できれば作図者の勝ち。さもなくば神の勝ち。 作図者に必勝法がある時、その点は『作図可能である』と言う。 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 11:07:29.38 ID:pl+0uhr1.net] >>619 つまりn:mの間隔にある三点から、(n-m):mの間隔にある三点を作図することが可能という訳か n:mが整数比なら、互除法使えば最終的に1:1にたどり着くから、 結果的にその直線上にある全ての有理（的な）点が作図できる 655 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 13:20:16.24 ID:hCgOeWjY.net] >>611 acに垂直な玄のうちdを通るものは直径で最長なので底辺acに対する高さがbよりも高いから 656 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/02(月) 14:49:02 ID:6RLywf+z.net] /‖;;‖∩∩］‖ |;;;;; |∩∩|((-_-)｡‖ ∩∩;; (　(`)(っ/c) ‖(`)　); (￣￣)「￣￣]‖(_υ_)~ (_(__∩∩__□‖∩∩~ ~ ~ ~~(___()~~~ (`)__)~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~　~~~ ~~~ ~ ~ ~　~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~>>590正方形の対角線の交点は辺の垂直二等分線が通る。前>>607あともう一点。一辺をのばした延長上の一点から最遠方の頂点まで定規で直線を引く。 この直線を引いたとき辺と交点ができる。この交点から頂点に向かって新たな直線がもう一つ引ける。この直線を引いたとき対角線と交点ができる。この交点に先にとった一辺の延長上の一点から半直線を引くと、この半直線はふたたび正方形の辺と交わり (>>599チェバの定理より正方形の辺を二分する)、この交点と対角線の交点を通る直線を引けば、垂直二等分線が定規だけで引ける。 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 15:38:29.30 ID:pl+0uhr1.net] >>613 より少しだけ弱い問として 『何も作図されていない状態の平面から、定規だけを使って平行線を作図することは可能か』 というものが挙げられる。 弱いというのは、もし613が可能ならばこちらが可能であることも導ける、という意味。 しかし解決の方法はさっぱり 658 名前：わからん… [] [ここ壊れてます] 659 名前：イナ mailto:sage [2020/03/02(月) 15:45:08.75 ID:6RLywf+z.net] 前>>624 >>625 一般に定規は平行な直線が一定の幅を保つように作られている。 ∴平行な2直線を引くことは可能。 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 16:19:20 ID:0FXGIEti.net] 平行線と中点の定木のみ作図可能性はチェバの定理より同値では？ 垂線の作図はどうんだろ 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 19:21:53.96 ID:pl+0uhr1.net] 平面上に直線だけが与えられているとして、定規だけで垂線作図するのは無理だろうね 最初に与えられてるのがx軸だけであれば、>>621の意味で作図可能な図形は、 ある開集合に属する任意の実数aについて、変換 f(x,y)=(x+ay,y) で不変でなければならない 662 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 19:27:22.86 ID:qc9vWQ77.net] >>608>>609 半分正解！ 正当化の議論すれば間違ってはない それで示せるのは「正三角形以外は最大値を与えない」という命題であって 「正三角形で最大値を取る」という事は直接言えない これは「必ずある三角形が最大値を与える」という命題を認めなければならないということ まあそれを確かめるのも大学数学の範疇では簡単なので、それ込みでそういう解き方もアリっちゃあり でも一応初等幾何だけでも解けるんだよーって話 元ネタは京大入試の問題だかなんかで、「正三角形以外の三角形は不適を示すだけでは不正解になる」という話があって 模範解答は解析的に解いてたけど ちょっと工夫すれば一応幾何だけで解けるな、と思ったので 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 01:15:42.77 ID:c1vEOOkk.net] >>629 一応できた。 二等辺三角形に限定していいのは既出の通り。 正三角形ABCの外接円をΓとする。 BCに関してAと対称である点をD、 CAに関してBと対称である点をE、 ABに関してCと対称である点をFとする。 B、Cから直線EFに下ろした垂線の足をG,Hとする。 ADに垂直な弦PQに対して△APQ≦△ABC、等号はPQとBCが一致するときを示せば良い。 直線PQとDB、DCの交点をRSとすれば△APQ≦△ARSで等号成立はBC=PQのときだから△ARS≦△ABCを示せば良い。 R,Sから直線EFに下ろした垂線の足をT,Uとする。 □BCGH=2△ABC、□RSTU=2△ARSだから□RSTU≦□BCGHを示せば良い。 以下EF方向に√3倍して議論する。(√3倍した点を定義していけばよいがめんどくさいだけなので手を抜く) RSがBCよりDに近い側にある時は□RSTUが□BCGHの外側にはみ出してる部分は内に引っ込んでる部分と比較して同じ幅で長さの短い長方形になっているのでこの場合はよい。 反対側にRSがずれている時も同様である。 664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 05:46:44.76 ID:KGTUQZbA.net] >>606 本問では △ABC の面積を 　f(C, B-A) とおくことが可能ですね。(何でもない事のようですが) >>609 から ∠Cを固定して ∠A, ∠B を変えたとき、 面積は、二等辺三角形(B-A=0)のときに最大である。 　Max[x] f(C,x) = f(C,0) 次に ∠C を変えたとき、 面積は、B=C (=π/3) のときに最大である。(正三角形) 　Max[C] f(C,0) = f(π/3,0) これらより、最大値は 　Max[C,x] f(C,x) = f(π/3,0) つまり「正三角形で最大値をとる」という事が言えます。(キッパリ) 周囲の長さが一定とか、うまくパラメータ付けできない時には >>629 のようになりますが････ >>623 も同様かと････ 665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 08:42:45.54 ID:5XjpMst2.net] >>630 □RSTU≦□BCGHを示せば良い。 ここ以降も少し簡単にできるな。 △DEFのうち□RSTUの外側の部分が内側の部分より大きいことを示せば良い。 RSがBCよりDに近い側にある時は△ERT、△FSUをそれぞれRT、SUで□RSTUの側に折り返して四角形を覆うとき、覆えない 666 名前：で残る部分はちょうど△DRSと合同な三角形だからよい。 RSがBCよりDに遠い側にある時は△DRSを□RSTUの側に折り返して四角形を覆うとき、覆えないで残る部分は△ERT、△FSUに合同な三角形二つを合わせたものだからよい。□ [] [ここ壊れてます] 667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 09:01:23.61 ID:KGTUQZbA.net] >>631 補足します。 　C≠π/3　⇒　f(C,0) < f(π/3,0) (略証) 　f(C,|A-B|) は |A-B| について単調減少なので 　f(C,0) = f((π-C)/2, (3/2)|C-π/3|) 　< f((π-C)/2, (1/2)|C-π/3|) 　= f(π/3, |C-π/3|) 　< f(π/3, 0) 　= (正三角形の面積). 668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 19:16:04 ID:c1vEOOkk.net] >>633 > 　f(C,0) = f((π-C)/2, (3/2)|C-π/3|) コレは何故？ 669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 19:33:35.70 ID:KGTUQZbA.net] 内角が (π-C)/2, (π-C)/2, C の二等辺三角形だから。 670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 19:41:15.55 ID:c1vEOOkk.net] >>635 fは外接円の半径固定されてるんですよね？ 二つに割って貼り直すと思うんですが外接円の半径変わっちゃうのでは？ 671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 19:47:02.38 ID:c1vEOOkk.net] あ、失礼、貼りなおさなくてもいいのか。 頂角を取り直すだけね。 なるホロ。 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 23:13:37.44 ID:c1vEOOkk.net] >>633 さんの方法は中々いいな。 この方法で内接円の面積最大とか3辺の長さの和最大とかが正三角形のときとかも初等的に示せるね。 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/04(水) 00:55:02 ID:3AxDkYqV.net] >>631 >>633 は、内角で表わせば 　{A, B, C} 　{(π-C)/2, (π-C)/2, C} 　{(π-C)/2, π/6 + C/2, π/3} 　{π/3, π/3, π/3} の順に面積が拡大するということですが、 この計算じたいは高校数学の範囲内でしょう。 その他にも、 　外接円の半径が一定の三角形の集合はどんな集合か？ 　なぜうまくパラメータ表示できるのか？ といった問題もありますが、そちらは大学数学の問題でしょう。 674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/04(水) 01:46:22.34 ID:ncIVK0Vr.net] >>633 を使って初等的に示してみるまとめ。 半径1の円に内接する三角形ABCをとる、 A≦B≦Cとしてよい。 優弧BC上にDEFを∠BCD=π/3、∠CBE=π/3、∠BCF=∠CBFとなるようにとる。 EもしくはFのいずれかが弧CF上にある方をXとする。 この時 △ABC≦△XBC‥(✳︎) であり∠XBCか∠XCBのいずれかはπ/3である。 前者のときY,ZをそれぞれC,B、後者のときはY,ZをそれぞれB,Cとすれば △ABC≦△XYZ であり∠Z=π/3 である。 Wを∠WXY=π/3 とすれば △XYZ≦XYW‥(✳︎) であり△XYWは正三角形である。□ 証明の(✳︎)のところは面積のかわりに内接円の半径や三辺の和にしても初等的に示せるので内接円、三辺の和最大も処理できるし、面積をその系で示すこともできて中々気分がいい。 675 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/04(水) 03:30:36.65 ID:fel9VZKy.net] 正の整数nの任意の約数d<nに対し、ある正の整数mがあってmd+1<nがnと互いに素になるという。 nの必要十分条件を求めよ。 676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/04(水) 05:12:28.40 ID:3AxDkYqV.net] ・優弧BC上に 　∠BCF = ∠CBF = (π-∠A)/2　( >π/3), となるように 点F をとる。 　△ABC < △CBF, 　∠BFC = ∠A < π/3, ・劣弧CF上に ∠EBF = π/3 となるように 点E をとる。 　∠BEF = ∠BCF = (π-∠A)/2 > π/3, すなわち 　∠CBF > ∠EBF > (π-∠BEF)/2, ∴　△CBF < △EBF, ・優弧EF上に ∠DEF = ∠DFE = π/3　となるように 点D をとる。 　△DEF は正三角形 　△EBF < △DEF, 以上により 　△ABC < △DEF, 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/04(水) 06:35:55 ID:lpGYoEdj.net] >>641 n≡2(mod 4)とするときd=n/2に対してdm+1<nを満たすmは1しかないが、このときdm+1みnみ偶数だから条件は満たされない。 m≡1,3(mod4)とするとき任意のd|n (d<n)に対してd|n/pとなる素因子p>2がとれるが、このときnとn/p+1の共通素因子はpしかあり得ず、pが共通素因子なら2n/p+1とnは共通素因子を持ち得ず互いに素である、 m≡0 (mod 4)とするとき任意のd|n (d<n)に対してd|n/pとなる素因子pにた� 678 名前：｢しp>2であれば先と同じようにしてmを選べる。 p=2のときは(n,n/2+1)=1でよい。 以上により与えられた条件はn≡0,1,3(mod4)と同値である。 [] [ここ壊れてます] 679 名前：イナ mailto:sage [2020/03/04(水) 17:36:59.43 ID:OGTmh3Cc.net] 前>>626 >>292名高い灘高。 OA・OB=1しか条件ない。 あとは直線PQで垂直二等分されるADをどう使うか。 △PBD∽△OBQを示すために、OについてQと点対称なQ'を取り、△PBA∽△OBQ'を示したらどうか。 OA・OB=1と△PBA∽△OBQ' どうつなげるか。 相似比PD:OQ=PA:1 見るからに相似なんだけど、相似条件がわからない。 2辺の比とその間の角が等しい、かな？ OB=1/OA=OQ/OA=OQ/PD=1/PD 接弦定理かな？ 考え中？　まだ出ない？ 相似だけどだれにも証明されていない問題？ 680 名前： mailto:sage [2020/03/05(木) 00:47:22.50 ID:0idrlik+.net] 前>>644 平面図形に複素数なんかあるわけない。 相似条件は3つ。 3組の辺の比が等しい。 2組の辺の比とその間の角が等しい。 2角が等しい。 この3つの条件を探してみつけられなかったとしても探した奴、探そうとした奴を合格にすべきだと思う。 681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(木) 08:34:31.13 ID:y1DklE5e.net] >>292 半直線OABを実軸とする複素平面上で考える。 O(0) A(a)　　0<a<1, B(1/a) P(e^(ip)) Q(e^(iq)) 　0 < p < q < 2π,　0 < q-p < π,　 D(e^(ip) + e^(iq) - a･e^i(p+q)) とおくと PD = e^(i(p+q)){e^(-ip) -a} = e^(i(p+q))AP~, QD = e^(i(p+q)){e^(-iq) -a} = e^(i(p+q))AQ~, |PD| = |AP| |QD| = |AQ| ∴ Dは直線PQに関してAと線対称である。 OQ/OB = a･e^(iq) = PD/PB, ゆえ相似だろうな。。。 682 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/05(Thu) 13:16:55 ID:0idrlik+.net] 前>>645 検索したら似たような問題があって、複素数で解いてあった。 複素数を使わない解き方をみつけないといけない。 △BPA∽△BOQ' かつ△BDA∽△BQQ' が言えれば、 △BDP∽△BQO 683 名前：イナ mailto:sage [2020/03/05(木) 13:31:58.08 ID:0idrlik+.net] PはADの中点、OはQQ'の中点だから、 △BPA∽△BOQ' または△BDA∽△BQQ' が言えれば、 △BDP∽△BQO 684 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/05(Thu) 15:50:14 ID:0idrlik+.net] 前>>648違うか。 AP=DPは言える。 AD⊥PQ OA=t(0＜t＜1)とおくと、 OB=1/t ADとPQの交点をR、BRとODの交点をSとすると、メネラウスの定理より、 (OB/BA)(AR/RD)(DS/SO)=1 {(1/t)(1/t-t)}(1/1)(DS/SO)=1 DS/SO=(1/t-t)/(1/t)=1-t^2 わからん。 685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(Thu) 17:15:01 ID:eeoU5lKD.net] >>292 ある人に初等幾何による解答を書いてもらったのでここに貼ります 仮定よりEACBが調和点列であり,円Oがアポロニウスの円であることに注意すると ∠APC=∠CPB=:z ∴A,DはPQに関して線対称なので DP:PB=PA:PB=AC:CB=EO:OB(EACBが調和点列でOはECの中点だから) =OQ:OB·····? (補足 OA=a,OB=1/aとすると) ∠OQB=x,∠OBQ=yとすると ∠BOQ=180-x-y 円周角の定理,タレスの定理などから ∠EPC=∠ECQ=90°-∠QEO=90°-(180°∠EOQ)/2 =(x+y)/2 ∠APC=∠CPB=,線対称から∠DPQ=∠QPAより ∠DPB=2∠QPC=180°-2∠EPQ=180°-x-y=∠QOB·····? ??より 2辺比夾角相等から △PBD∽△OBQ∎ https://i.imgur.com/NwrNyyo.jpg https://i.imgur.com/cOvLchw.jpg 686 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(Thu) 17:33:40 ID:o68Yrcxc.net] >>650 > ∠BOQ=180-x-y > 円周角の定理,タレスの定理などから この辺りが問題文で明示されてない点の配置でめちゃ� 687 名前：ｭちゃ場合わけしないとダメで実質証明にならない。 [] [ここ壊れてます] 688 名前：イナ mailto:sage [2020/03/05(木) 18:19:44.43 ID:0idrlik+.net] 前>>649 >>651 PQが半直線ABをまたぐようにQをとればいいのか。 なるほど、O,A,Bと同じ側は意外に広いね。 Pがつぶれて困ってた。 689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(木) 18:37:42.78 ID:eeoU5lKD.net] >>651 これを証明した人に教えたら「PQに関してOABは同じ側だから場合分けは 上図のような場合とPQがひっくり返ったもののみだと思います」とのこと 690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(木) 18:51:52.17 ID:pJ9pcxTu.net] >>653 そんなわけないやん。 そもそもOA・OB=1てOAとOBどっちが長いとか直線ABとPQの位置の配置とかで角度の計算とか全部影響する。 円周角の配置になったり縁に内接する四角形の対角の位置にきたり。 それぞれに対して全部どっちとどっちを出すのか、引くのか、とか、完全に一致したり捕角の関係になったり。 OAが長いか、OBが長いかに始まって証明を分けざるを得ない配置の場合わけが3回くらい必要で、各々について2通りか3通りの場合わけが必要で10通りを超えた。 OB<OAの時は一応全部潰したけど、残りのケース全部潰したとしてもとても書く気にはならないだろうからやめた。 図が問題に与えられてて配置が決まってないと初等幾何の証明はそうなる事が避けられない。 もちろん図がなくてもきちんと言葉で確定してればいいけど>>292は無理。 長さ、角度の足し引きが出る証明はその点の並んでる順番の不定性がある時は必ずそうなる。 691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(木) 18:57:52.75 ID:eeoU5lKD.net] >>654 Aは円Oの内部だからOA<OBとのことです 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(木) 19:22:41.12 ID:pJ9pcxTu.net] >>655 そうなん？ でもそれだけじゃすまない。 >>292の文章だけでは確定しない点の配置がメチャメチャ出てくる。 そんな事ないというなら>>650 の証明で"などから"なんてごまかししないで全部書いてみてよ。 それがホントに>>653で言うように　な2通りで済むのかどうか示してみてよ。 693 名前：イナ mailto:sage [2020/03/05(木) 21:35:24.20 ID:0idrlik+.net] 前>>652訂正。 >>650 PQが半直線BAをまたぐようにQをとればいいのか。 なるほど、O,A,Bに対して同じ側は意外に広いね。 Pがつぶれて困ってた。 694 名前：イナ mailto:sage [2020/03/06(金) 05:29:26.74 ID:PniBgS7R.net] 前>>657 >>650 ∠EPC=∠ECQじゃないなぁ。 ∠EPC=90°だから、移し間違いか文字化けか式が重なったか。 OA=tとおいてOB=1/tは同じだった。 ∠APC=∠CPBは、たしかに見るからにそうなんだけど、すぐ言えるの？ どういうことだろう。 AC=1-t CB=1/t-1=(1-t)/t たしかに∠ACP=∠CPBに見えるんだけど。ここがこの問題の肝か。 695 名前：哀れな素人 [2020/03/06(金) 08:11:22.28 ID:kKV2t8Di.net] >>650の回答を読んだ感想。 アポロニウスの円や調和点列の知識がないと解けない。 仮に知識があっても、 >EACBが調和点列であり,円Oがアポロニウスの円である >AC:CB=EO:OB(EACBが調和点列でOはECの中点だから) これを見抜くのは難しい。 後半の説明は煩雑だが、要するに∠DPB=2∠QPC=∠QOB x、yその他の説明は不要。 問題自身には何の不備もない。 696 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/06(金) 15:14:44 ID:PniBgS7R.net] 前>>658 >>659 AC:CB=1-t:1/t-1 =1-t:(1-t)/t =1:1/t =t:1 EO:OB=1:1/t =t:1 たしかにAC:CB=EO:OBだけど、AC:CB=EO:OBが知りたいという必要性がどうなって出てきたか。 おそらく2組の辺の比が等しいことを言いたいからだと推察する。 もうちょっとでつながりそう。 697 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/06(金) 20:32:42 ID:PniBgS7R.net] 前>>660 >>292問題。 >>650を理解した。 半直線OAと円周の交点をC, 半直線BAと円周の交点をEとする。 OA=tとおくと、 OB=1/t AC=1-t CB=1/t-1=(1-t)/t ∠QOB=∠QOCは弧QCに対する中心角だから、 円周角∠QPCの2倍。 ∠QOB=2∠QPC──? 線分PQは線分DAの垂直二等分線だから、 ∠DPQ=∠QPA △OPA∽△OBP(相似比t:1,相似条件2組とその間の角が等しいから)だから、 同一中心角を頂角とした二等辺三角形△OPCをはさむと、 ∠APBはPCにより二等分され、 ∠APC=∠CPB 4つの角を足した∠DPBと、内側2つを足した∠QPAで、 ∠DPB=2∠QPC──? ??より∠DPB=∠QOB △OBQにおいて、 OQ:OB=OE:OB=1:1/t=t:1──? △PBDにおいて、 PD:PB=PA:PB=t:1──? ??よりPD:OQ=PB:OB 2組の辺の比とその間の角が等しいから、 △PBD∽△OBQ 698 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/06(金) 21:50:30.67 ID:zFeFSDD3.net] なんか画像横になってるけどこれでしょ https://i.imgur.com/BbwP4To.jpg 699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/06(金) 22:08:09 ID:kJFoYYVj.net] 二元体上の既約多項式であって自己相反であるものが無限に存在することを示せ。 ただし、n次多項式f∈F_2[x]が自己相反であるとは、f(x)=f(1/x)x^n を満たすことを言う。 700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/06(金) 23:02:31.70 ID:D66ej/ua.net] >>663 q>4を二冪として写像f:Fq＼{0}→Fqをf(x)=x+1/xで定める。 S=im(f)＼{0}の各元yについてf(x)=yを満たすFq＼{0,1}の元xが2個ずつ存在するから 2#S=q-2 であり、#S=q/2-1<q-3であるからSにみF4「も属さないb∈Fqがとれる。 bのF2上の最小多項式をP(y)とする。 Q(x)=P(x+1/x)x^n (n=degP)とおく。 代数閉体Ωの元aをf(x)=bの解とすればaはQ(x)の根である。 ここで[Fq(a):F2]はqまたは2qであるからd=[F2(a):F2]は2q,q,2,1のいずれかである。 d=qとなるのは方程式F(x)=bがFqに解を持つ時であり、それはbの取り方に反する。 d=1,2となるときF2(b)⊂F2(a)最小⊂F4上となりやはりbの取り方に反する。 よってF2(a):F2]=2qとなりQ(x)はaの最小多項式であり既約である。 さらにQ(x)の根はP(x)の根βに対して方程式x+1/x=βの解をとるときの全体だから自己相反である。□ 701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/06(金) 23:17:34.90 ID:D66ej/ua.net] >>664 訂正q=2^eとしてeは素数にとるでした。 [Fq:F3]=eで以外それに応じてエスパーおながいします。 702 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/07(土) 00:01:03.44 ID:Ytx6ZrcL.net] >>664 実際に構成したのか…お見事 想定してたのは、F2上n次既約多項式全体の集合をS_nとおいて、S_nの元の個数が (1/n)Σ_(d|n)μ(n/d)2^d になること、これが無限個のnについて奇数になること、 それを利用してS_n上の対合 φ(f)(x)=f(1/x)x^n が固定点を持つことを示す、という感じでした 703 名前：イナ mailto:sage [2020/03/07(土) 05:25:55.70 ID:zZMNS4lO.net] 前>>661 >>662(1)(2)(3)の誘導付きだったか。 どんなけ難しいんじゃ、さすがｼ難高思たけど。 704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/07(土) 06:39:41.04 ID:sSvThzV4.net] ゼロで割ったらアカンどあれほど 705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 02:32:13 ID:V6IMEB5h.net] >>631 >>639 　三辺の長さa,b,cの連続関数は、 　2変数の連続関数の合成で表わせます。(アーノルド,1958) 　→　ヒルベルト「数学の将来の問題」13番 　しかし微分可能とは言えないので使えるかどうか････ >>652 >>653 　0 < p,q < 2π かつ 　0 < |p-q| < π です。 706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 12:27:18.99 ID:3u+TSzyD.net] 縦n個、横n個のマス目のそれぞれに 1,2,3,...,n の数字を入れていく。このマス目の横の並びを行といい、縦の並びを列という。どの行にも、どの列にも、2つの対角線上にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ。(2020京大文系　改) この問題って普通に解けるのかな 707 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 12:36:26.83 ID:kig3pL/N.net] さすがにΣとか使いまくらないと無理じゃね？ 708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 15:38:37 ID:bYkUA0JQ.net] U+2026 709 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/09(月) 17:11:52 ID:otlyxJ1y.net] 前>>667 >>670 ルービックキューブの白の面に油性の黒で１,２,３のいずれかの数字を書きこむとすると、 コーナーキューブの白の面に黒で１と書いたとき、 これととなりあうエッジキューブの白の面2つあるうちの1つに２と書いたらもう1つは３。 ∵コーナーキューブの白の面に３が2つ来たらだめだから。 これで縦に１,２,３、横に１,３,２と並んだとして、 白の面のセンターキューブは必然的に１となり、 一方の対角線は３,１,２ないしは２,１,３と並べられるのに対し、 もう一方の対角線が１,１,１となり、題意を満たさない。 ∴3が2でも4でもnでも不可能である。 710 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 17:19:16 ID:N/3DceFI.net] ばかだなぁ 711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 17:51:38.42 ID:E6UD7Wty.net] >>670 n=1〜5について1,0,0,48,480 一般式つくれる？ 712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 18:30:15.06 ID:2IyRnfE2.net] 元の京大の問題はn=4で可能でちゃんと値は求められる 713 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 19:02:15.65 ID:0N1NTePA.net] >>670 ０通り、じゃないかな？ 714 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 19:07:42.46 ID:Wjh2UUFs.net] 対角線の要素を考えなければ計算しやすくなったりするだろうか？ 1,2,12,576,… 715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 19:55:12.97 ID:0N1NTePA.net] >>676 プログラムのバグを修正したら、n=4で48通りとカウントされた。 716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 20:02:36.35 ID:0N1NTePA.net] >>679 プログラムに列挙させると、 > matrix(B[,counter[1]],n) [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 1 2 3 4 [2,] 3 4 1 2 [3,] 4 3 2 1 [4,] 2 1 4 3 > matrix(B[,counter[2]],n) [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 1 2 3 4 [2,] 4 3 2 1 [3,] 2 1 4 3 [4,] 3 4 1 2 から始まって > matrix(B[,counter[48]],n) [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 4 3 2 1 [2,] 2 1 4 3 [3,] 1 2 3 4 [4,] 3 4 1 2 で終わり。 717 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/09(月) 20:17:16.73 ID:kaHbC0fO.net] >>670 対角線めんどくせ 718 名前：イナ mailto:sage [2020/03/09(月) 20:28:15.42 ID:otlyxJ1y.net] 前>>673反省。 n=2,3のときは0通りだけど、 n=1のときが１の1通りとしたら、 n=4のとき対角線はクロスして、なんかやな感じがした。 縦に１,２,３,４、 横に１,２,４,３とすれば可能。 対角線は斜め下から、 ４,１,２,３もしくは、 ４,２,１,３の2通り。 最初が4通り。 縦の並びが6通りで24通り。 横に2通りで48通り。 n=1,2,3,……に対する通りの数ａ_nは、 ａ_n=1,0,0,48,…… =n^2(ａ_n-1) 縦と横をn通りずつ増やしたら必然的に斜めも増えるかな？ ａ_5はそんなに増えないか。 719 名前：イナ mailto:sage [2020/03/09(月) 20:33:49.52 ID:otlyxJ1y.net] 前>>682 ａ_5=480なら、 ａ_n=n^2(n-1)ａ_n-1 こうか？ 480=5･5･4･48 720 名前：イナ mailto:sage [2020/03/09(月) 20:48:10.94 ID:otlyxJ1y.net] 前>>683 うまく掛けるか割るかして辺々足すと先頭と尻尾、 ａ_nとａ_4=48ら辺が残るんじゃないか？ ａ_n=(n^3ａ_n-1)-(n^2ａ_n-1) ａ_n-1={(n-1)^3ａ_n-2}-{{(n-1)^2ａ_n-2} ａ_n-2={(n-2)^3ａ_n-3}-{{(n-2)^2ａ_n-3} …… 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 21:04:26.54 ID:Wjh2UUFs.net] 対角線の条件を含まないものは、ラテン方格と呼ばれるらしい https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%86%E3%83%B3%E6%96%B9%E6%A0%BC ラテン方格の総数についての明示的な公式は、おそらく見つかってなさそう https://oeis.org/A002860 対角線の条件を含むものは diagonal latin square とか呼ばれてるみたいだけど、 722 名前：こちらの方もますます研究されていなさそうだ [] [ここ壊れてます] 723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 22:29:30.36 ID:0N1NTePA.net] >>680 対角線条件を外すと５７６通り > matrix(B[,counter[1]],n) [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 1 2 3 4 [2,] 2 1 4 3 [3,] 3 4 1 2 [4,] 4 3 2 1 > matrix(B[,counter[2]],n) [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 1 2 3 4 [2,] 2 1 4 3 [3,] 3 4 2 1 [4,] 4 3 1 2 で始まって > matrix(B[,counter[m-1]],n) [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 4 3 2 1 [2,] 3 4 1 2 [3,] 2 1 3 4 [4,] 1 2 4 3 > matrix(B[,counter[m]],n) [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 4 3 2 1 [2,] 3 4 1 2 [3,] 2 1 4 3 [4,] 1 2 3 4 で終わり 724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 13:55:01.52 ID:H1fx2jVB.net] シラミ潰しだとメモリ不足になった。 １億回シミュレーションしてようやく、1個みつかった。 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] 2 5 4 3 1 [2,] 4 3 1 2 5 [3,] 1 2 5 4 3 [4,] 5 4 3 1 2 [5,] 3 1 2 5 4 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 16:03:21 ID:FoiTVu+g.net] 深さ優先探索でやれ 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 16:34:04 ID:BSnoL6Fw.net] n=5 で対角線も考える場合 □□□□□ □■□■□ □□■□□ □■□■□ □□□□□ 上の黒四角のどこにも同じ数字は入らない。 よって次のように固定して良い（重複度120） □□□□□ □?■?□ □■?■□ □?■?□ □□□□□ 四つの黒四角のうちどこか二つに同じ数字が入ると仮定すると、 中央の3x3の正方形に、ある特定の数字が３つ入ることになるが、 その数字が入ることが可能な残る場所は5x5正方形の四隅しかあり得ず、矛盾。 すなわち四つの黒四角に入る数字は全て異なるため、次のように固定して良い（重複度2） □■□■■ □???□ ■???■ □???□ ■■□■□ 黒四角のどこを決めても他の黒四角も全て決まることがわかる。白四角も同様。 ゆえに重複度は2*2=4. 以上から120*2*4=960通りになる…はずなんだけど>>675はどうやって計算した？ 727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 18:57:05 ID:H1fx2jVB.net] >>687 一つ見つかったから1 2 3 4 5 を各々例えば5 4 2 1 3　に置き換えるとかすれば、120個作れるな。 例 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] 4 5 3 1 2 [2,] 3 1 2 4 5 [3,] 2 4 5 3 1 [4,] 5 3 1 2 4 [5,] 1 2 4 5 3 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] 5 2 3 4 1 [2,] 3 4 1 5 2 [3,] 1 5 2 3 4 [4,] 2 3 4 1 5 [5,] 4 1 5 2 3 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] 2 4 1 3 5 [2,] 1 3 5 2 4 [3,] 5 2 4 1 3 [4,] 4 1 3 5 2 [5,] 3 5 2 4 1 などなど 728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 19:28:10 ID:2VZd/7KV.net] サイコロを1が出るまで振って、振った回数を当てるギャンブルがある。何回目にかけるのがベストか？ 729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 20:03:41.17 ID:H1fx2jVB.net] >>691 直感だと１回 730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 20:09:56.15 ID:H1fx2jVB.net] >>691 １０万回シミュレーションして頻度をグラフ化 https://i.imgur.com/DYbNCto.jpg sim <- function(){ dice=0 i=0 while(dice!=1){ i=i+1 dice=sample(6,1) } return(i) } k=1e5 re=replicate(k,sim()) tbl=table(re) ; tbl which.max(tbl) plot(tbl/k,bty='l') 731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 20:31:31.78 ID:vC568XMn.net] 霊感で一回 732 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/10(火) 20:44:08.24 ID:xGpgpXvb.net] >>691 n+1回目に始めて1が出る確率は1/6(5/6)^nで減少関数だから1回がベスト 733 名前：イナ mailto:sage [2020/03/10(火) 20:45:37.39 ID:SgyDBxw5.net] 前>>683 >>691 出るまで引くよりベストがあるなら、 1/6+(5/6)(1/6)+(5/6)(5/6)(1/6)+(5/6)(5/6)(5/6)(1/6)=0.517746917…… 5割超えんのは4回目。 ∴4回目がベスト。 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 21:02:06.67 ID:2VZd/7KV.net] 幾何分布の問題でした。 正解は1回目 解答 https://bellcurve.jp/statistics/course/6988.html 735 名前：イナ mailto:sage [2020/03/10(火) 21:20:33.18 ID:SgyDBxw5.net] 前>>696 単勝１番は0.166…… 一方４番は125/1296=0.09645…… 千円賭けて9,645円もらえ 736 名前：るのかと思った。 n回目は5^(n-1)/6^n 下がる一方か。 [] [ここ壊れてます] 737 名前：イナ mailto:sage [2020/03/10(火) 21:40:50.28 ID:SgyDBxw5.net] 前>>698 サイコロ振ってn回目までに1が出る確率は、 納n=1→n]5^(k-1)/6^k ですか？ 千人に1人が受賞する文学新人賞に応募するとき、何回目に受賞が期待(5割超え)できますか？ 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 21:48:58.80 ID:YAq6/mFA.net] >>699 プログラム組めば解答でるけど、入試とかで出たら解答する方法はあるのだろうか？ 739 名前：イナ mailto:sage [2020/03/10(火) 22:07:46.17 ID:SgyDBxw5.net] 前>>699 >>700 100回目までに1回も受賞しない確率は、 (99/100)^100 100回目までに受賞する確率は、 1-(99/100)^100=0.633967659…… 69回目までに受賞する確率は、 1-(99/100)^69=0.50016297…… だめ押し70回目までに受賞する確率は、 1-(99/100)^69=0.50516134…… 見とおしが立った！ 740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 22:17:33.64 ID:YAq6/mFA.net] ^69とかどうやって計算するのさ まぁ出来ない事はないが 741 名前：イナ mailto:sage [2020/03/10(火) 22:22:10.66 ID:SgyDBxw5.net] 前>>701 693回目までに受賞する確率は、 1-(999/1000)^693=0.500099765…… 年間7作。 100年要らない。99年で受賞する。 742 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/10(火) 23:29:31.45 ID:IbQVYwum.net] 対数表が与えられていれば分かるだろ 743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 23:32:59.02 ID:9ehLsruf.net] 自分で出題し自分で解くという新しい芸風 744 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/11(水) 02:21:24 ID:LbRSBTGq.net] 前>>703 >>701訂正。 だめ押し70回目までに受賞する確率は、 1-(99/100)^70=0.50516134…… 745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 11:58:45 ID:t9boZF0q.net] 類題 1が累計二回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。 何回目に賭けるのがベストか？ 746 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/11(水) 12:15:54 ID:avK6eeO9.net] >>707 2回目 747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 13:00:47 ID:t9boZF0q.net] >>708 残念 748 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 13:14:52 ID:1JNnQUXE.net] 6または7？ 749 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 13:53:35.94 ID:t9boZF0q.net] >>710 正解 n回目に賭けて当たる確率は (n-1)(5/6)^(n-2)*(1/6)^2 で、 これが最大になるのはn=6,7の時。 750 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/11(水) 15:17:40 ID:YQLdoe7U.net] EをR^N上のボレル集合、AをN×N行列、LをN次元ルベーグ測度とする このとき L(A(E))=|detA|L(E) が成立することを証明せよ 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 15:19:30 ID:3HNckciv.net] どちらかに賭けても勝率6.7%か 752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 15:30:24 ID:hVKkfTiV.net] >>711 10万回シミュレーションしてみた。 https://i.imgur.com/Mv1Rkfa.jpg "1が累計m(=2)回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。 何回目に賭けるのがベストか？" sim <- function(m=2){ pip1=0 # １の目の出た回数 i=0 # サイコロを振った回数 while(pip1 < m){ i=i+1 pip1 = pip1 + (sample(6,1)==1) } return(i) } k=1e5 re=replicate(k,sim()) tbl=table(re) ; tbl which.max(tbl) plot(tbl/k,bty='l') 753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 16:15:06 ID:hVKkfTiV.net] >>711 100回目までを計算してみた。 > sapply(1:100,bg) [1] 1 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 [21] 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 204 210 216 222 228 234 [41] 240 246 252 258 264 270 276 282 288 294 300 306 312 318 324 330 336 342 348 354 [61] 360 366 372 378 384 390 396 402 408 414 420 426 432 438 444 450 456 462 468 474 [81] 480 486 492 498 504 510 516 522 528 534 540 546 552 558 564 570 576 582 588 594 bg <- function(x,print=FALSE){ # big gambling f <- function(n,m=x,p=1/6) choose(n-1,m-1)*p^(m-1)*(1-p)^(n-m)*p nn=1: 754 名前：(10*x) y=optimize(function(n) f(n),nn,maximum=TRUE)$maximum if(print){ plot(nn,sapply(nn,f),bty='l',pch=19) yy=c(floor(y),ceiling(y)) cat(c(f(yy[1]),f(yy[2])),'\n') } return(floor(y)) } sapply(1:100,bg) [] [ここ壊れてます] 755 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/11(水) 16:31:01 ID:LbRSBTGq.net] 前>>706 >>707 6回目に2回目の当たりが出る確率は、 1回目の当たりが何回目に出るかが、4回のはずれに対し5通りあるから、 5(5/6)^4(1/6)^2=5^5/6^6 =0.0669795953…… 7回目に2回目の当たりが出る確率は、 1回目の当たりが何回目に出るかが、5回のはずれに対し6通りあるから、 6(5/6)^5(1/6)^2=5^5/6^6 =0.0669795953…… 6回目と7回目は約6.69795953％の確率で2回目の当たりが出るが、これだけでベストかどうかはわからず、前後を調べる必要がある。 8回目に2回目の当たりが出る確率は、 1回目の当たりが何回目に出るかが、6回のはずれに対し7通りあるから、 7(5/6)^6(1/6)^2=7･5^6/6^8 =0.065119051…… 5回目に2回目の当たりが出る確率は、 1回目の当たりが何回目に出るかが、3回のはずれに対し4通りあるから、 4(5/6)^3(1/6)^2=4･5^3/6^5 =125/1944 =0.0643004115…… 9回目に2回目の当たりが出る確率は、 1回目の当たりが何回目に出るかが、7回のはずれに対し8通りあるから、 8(5/6)^7(1/6)^2=8･5^7/6^9 =5^7/6^6･3^3 =0.0620181438…… ∴5回目、8回目、9回目辺りはいずれも6％を超えていて大差ないけど、6回目か7回目に賭けるのがベター。 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 16:39:52 ID:hVKkfTiV.net] >>715 最初の１を除けば等差数列にみえるな。 757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 16:46:21 ID:hVKkfTiV.net] 1が累計1000回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。 何回目に賭けるのがベストか？ 6*1000-6 = 5994 と 5995回に賭けるのがベストぽいな。 多分、計算名人のイナ氏が検証してくれると思うｗ 758 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/11(水) 19:32:14.87 ID:hXdWKFHv.net] 確率pで成功する試行で、n回目の試行でm回成功する確率をP(n)と置くと P(n)=C[n-1,m-1]p^m(1-p)^(n-m)だから、 P(n+1)=C[n,m-1]p^m(1-p)^(n+1-m)=n/(n+1-m)(1-p)P(n) 1≦P(n+1)/P(n)のとき、1≦n/(n+1-m)(1-p)、n+1-m≦n-np、n≦(m-1)/p=999/(1/6)=6000-6 なので5994または5995がベスト 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 19:43:41.17 ID:6p8KFnbi.net] >>707 青チャートに１が三回のバージョンがあった、最近解いた 760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 20:02:08.69 ID:hVKkfTiV.net] >>719 ありがとうございます。 761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 21:54:30.90 ID:UDcjpAEJ.net] サイコロを全ての目が最低1回出るまで振り続ける。振る回数の期待値を求めよ。 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 22:02:49.23 ID:nurrYDlF.net] 6(1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6) 763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 06:18:47 ID:ggB+4VIO.net] １万回のシミュレーション > sim <- function(){ + flag=FALSE + i=0 + pips=NULL + while(flag==FALSE){ + i=i+1 + pips=c(pips,sample(6,1)) + flag=all(1:6 %in% pips) + } + i + } > k=1e4 > mean(replicate(k,sim())) [1] 14.7221 > 764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 07:47:25.15 ID:NnHS9/Ym.net] >>723 残念 765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 07:47:38.94 ID:NnHS9/Ym.net] >>724 正解 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 07:53:40.63 ID:NnHS9/Ym.net] =6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 =14.7 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 07:56:14.15 ID:ggB+4VIO.net] 100万回で> k=1e6 > mean(replicate(k,sim())) [1] 14.70651 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 08:18:12 ID:NnHS9/Ym.net] 最初の1つがでるまでの回数の期待値 =6/6 1つ目が出てから次が出るまでの回数の期待値 =6/5 2つ目が出てから次が出るまでの回数の期待値 =6/4 以下同様 回数の期待値なので、単純に上記の和を求めればよい 769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 08:42:22 ID:HLafz7hZ.net] 成功確率pの試行を繰り返すとき、最初に成功するまでの試行回数の期待値は 1/p これを使って計算する 770 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 08:50:06 ID:+Rsy6sl8.net] >>730 幾何分布とか名前がついていたような。 771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 08:52:30 ID:HLafz7hZ.net] >>731 そうです。ファーストサクセス分布(Fs分布)とも言います。 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 09:07:14 ID:HLafz7hZ.net] 訂正します。 成功するまでに失敗した回数の分布 =幾何分布 成功するまでの回数の分布 =ファーストサクセス分布 でした。 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 09:32:1 ] [ここ壊れてます] 774 名前：6 ID:JYe4Js2p.net mailto: クーポンコレクター問題 [] [ここ壊れてます] 775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 09:58:21.78 ID:z4kbZ3QY.net] クーポンコレクター問題の一般化 サイコロふって1,2,3が出る事をA、4,5が出る事をB、6が出る事をCとする。 ABCが全て少なくとも一回起こるまでの平均は？ 776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 10:36:06 ID:+Rsy6sl8.net] >>735 1万回のシミュレーション結果 > A=1:3 > B=4:5 > C=6 > > sim <- function(){ + flag=FALSE + i=0 + pips=NULL + while(flag==FALSE){ + i=i+1 + pips=c(pips,sample(6,1)) + flag=any(A %in% pips) & any(B %in% pips) & any(C %in% pips) + } + i + } > k=1e4 > mean(replicate(k,sim())) [1] 7.2577 > 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 11:11:23 ID:+Rsy6sl8.net] 10万回だと > k=1e5 > mean(replicate(k,sim())) [1] 7.30537 778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 11:35:46 ID:0d6KLd2P.net] >>736 答えは？ 779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 13:02:45 ID:HLafz7hZ.net] 難しい これがABC予想というやつか 780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 13:08:38 ID:ab2iyO1k.net] これ貼っとこか 0508 １３２人目の素数さん 2018/06/30 02:42:25 >>505 問題を一般化して、 カードA,B,C,Dの排出確率をa,b,c,dとする。（a,b,c,d＞0, a+b+c+d≦1) カードAが1枚出るまで引くときの平均枚数をM(A)とすると、 初回でカードAが出た場合の枚数は 1,出なかった場合の平均枚数は 1+M(A) となる。 よって M(A) = a + (1-a)(1+M(A)) これを解いて M(A)=1/a、同様に M(B)=1/b, M(C)=1/c, M(D)=1/d カードA,Bがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B)とすると、 初回でカードAが出た場合の平均枚数は 1+M(B) 初回でカードBが出た場合の平均枚数は 1+M(A) どちらも出なかった場合の平均枚数は 1+M(A,B) となる。 M(A,B) = a(1+M(B)) + b(1+M(A)) + (1-(a+b))(1+M(A,B)) これを解いてM(A,B) = (1 + aM(B) + bM(A)) / (a+b) = (1 + a/b + b/a) / (a+b) 整理して M(A,B) = (1 + ((a+b)/b - 1) + ((a+b)/a - 1)) / (a+b) = ((a+b)/b + (a+b)/a - 1)) / (a+b) = 1/a + 1/b - 1/(a+b) 同様の計算で、 カードA,B,Cがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C)とすると、 M(A,B,C) = 1/a + 1/b + 1/c - 1/(a+b) - 1/(b+c) - 1/(c+a) + 1/(a+b+c) カードA,B,C,Dがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C,D)とすると、 M(A,B,C,D) = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d - 1/(a+b) - 1/(a+c) - 1/(b+c) - 1/(a+d) - 1/(b+d) - 1/(c+d) 　　　　　 + 1/(a+b+c) + 1/(d+a+b) + 1/(c+d+a) + 1/(b+c+d) - 1/(a+b+c+d) を得る。 781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 13:34:32 ID:+4qdqMNu.net] >>740 ありゃ、出ちゃったか。 782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 13:39:16 ID:p+P9uShJ.net] a=3/6, b=2/6, c=1/6 として E=1/a+1/b+1/c-1/(b+c)-1/(c+a)-1/(a+b)+1/(a+b+c) =2+3+6-1.5-2.0-1.2+1.0 =7.3 ほんとだ。シミュレーションと一致した。 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 14:11:14 ID:ddMlrvcN.net] P(n)=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)) E=Σ[k=3,∞]kP(k)=1399/180=7.772222... 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 15:09:55 ID:U3HOlh4d.net] >>737 100万回シミュレーション結果　7.3ぽいね。 > k=1e6 > mean(replicate(k,sim())) [1] 7.300615 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 17:50:49 ID:ddMlrvcN.net] >>743　訂正 P(n)=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1)) E=Σ[k=3,∞]kP(k)=73/10 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 18:20:32.98 ID:fHSLdc4D.net] >>745 不正解 787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 21:11:11 ID:ddMlrvcN.net] >>746 何故>>745だけなんですか 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 22:18:49 ID:fHSLdc4D.net] >>747 計算機に入れてみた 789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 22:23:54 ID:y8hLNrTr.net] p n=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1)) main = do print $ sum [p n| n<-[3..10000]] ------- 0.9999999999999996 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 22:28:30 ID:y8hLNrTr.net] あ、失礼しました。 コード間違ってた。 正解でした。 p n=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1)) main = do print $ sum [(fromInteger n)*(p n)| n<-[3..10000]] ------------ 7.300000000000009 791 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/12(木) 23:26:10.85 ID:V/f7Uy6p.net] >>735 大学入試ではこの手の出題は御法度 なぜなら終わらないことを試行としてはいけないから 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 23:59:54 ID:y8hLNrTr.net] >>751 ココ入試レベル縛りないでしょ？ むしろ入試レベルじゃ満足しない人の方が多 793 名前：いのでは？ [] [ここ壊れてます] 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 00:11:24.13 ID:2BG+LT6A.net] >>751 ん？終わるでしょ。 795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 00:13:44.72 ID:IbYZYELm.net] 入試レベル 袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。 玉を一つずつ取り出していき赤玉を全て取り出した時点で終了とする。 取り出した白玉の個数の期待値は？ 期待値が範囲外になったので入試では使えないけど。 796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 07:34:24.77 ID:ZlFDi94b.net] >>754 １０万回シミュレーション balls=rep(1:3,7:5) # 玉の配列 1:赤 2:白 3:黒 picked=NULL # 取り出された玉の配列 flag=FALSE # 赤玉が全部取り出されたかのflag sim <- function(){ while(flag==FALSE){ i=sample(length(balls),1) # 配列ballsのindexから１つ選んで picked=c(picked,balls[i]) # そのindex相当の玉をpickedにいれて balls=balls[-i]　　　　　 # ballsの配列から除く flag=sum(picked==1)==7　　# 赤玉が全部取り出されたか } sum(picked==2) # 取り出された白玉の数を返す } k=1e5 mean(replicate(k,sim())) > mean(replicate(k,sim())) [1] 5.24854 797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 07:51:51.90 ID:ZlFDi94b.net] >>755 白玉の個数の分布をグラフにしてみた。 https://i.imgur.com/sd8l1wQ.jpg > summary(re) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.00 5.00 6.00 5.25 6.00 6.00 ５．２５が答みたいだなぁ。 解析解は賢者にお任せ。 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 08:23:45.26 ID:l20VjRfO.net] 〔補題〕 0<p≦1 とする。 確率pで事象Aが起こるような試行を繰返し行なう。 初めて事象Aが起こるまでに試行した回数nの期待値は 1/p. (略解) 　E{n} = p {1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + ････ } 　= {1 - (1-p)} {1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + ････ } 　= 1 + (1-p) + (1-p)^2 + (1-p)^3 + ････ 　= 1/p. 799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 08:35:28 ID:9IyekctU.net] XiをX≧iのとき1、そうでないとき0と定めてq=1-pとすれば E(X) =ΣE(Xi) =Σq^(i-1) =1/(1-q) =1/p 800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 11:33:57.90 ID:l20VjRfO.net] 最後の赤玉が出たのがn回目とする。(7≦n≦18) ・(n-1)回目までに取り出す白玉/黒玉はn-7個で、　Ｃ[11,n-7] とおり。　(*) ・取り出すn個が決まったとして、順番を入れ替える方法は 　1〜(n-1)回目　　(n-1)! とおり 　n回目　　　　　　7 とおり 　(n+1)〜18回目　　(18-n)! とおり　〔実際は取出さないが･･･〕 これらをを掛ければ 　Σ[n=7,18] 7･(n-1)!･(18-n)!･Ｃ[11,n-7] 　= 11!Σ[n=7,18] 7(n-1)(n-2)････(n-6) 　= 11!Σ[n=7,18] {n(n-1)････(n-6) - (n-1)････(n-6)(n-7)} 　= 11!(18!/11!) 　= 18!　　　　　　(←当然) 次に、n回目までの白玉の数w の期待値を求める。 wを掛けてたすと (*)の所が 6Ｃ[10,n-8] となる。 　Σ[n=7,18] 6･7･(n-1)!･(18-n)!･Ｃ[10,n-8] 　= (6･7/8)10!Σ[n=8,18] 8(n-1)(n-2)････(n-7) 　= (6･7/8)10!Σ[n=8,18] {n(n-1)････(n-7) - (n-1)････(n-7)(n-8)} 　= (6･7/8)10!(18!/10!) 　= (6･7/8)18! ∴　E{w} = 6･7/8 = 5.25 *) 　7≦n≦12　のとき　Σ[w=0,n-7] Ｃ[6,w] Ｃ[5,n-7-w] ････ 　13≦n≦18　のとき　Σ[w=n-12,6] Ｃ[6,w] Ｃ[5,n-7-w] ････ 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 11:56:03 ID:l20VjRfO.net] (n-1)回目までの白玉の数wの分布は　　　　　>>756 　P_w = (7!/13!)(w+1)(w+2)(w+3)(w+4)(w+5)(w+6), 　Σ[w=0,6] P_w = (7!/13!)Σ[w=0,6] (w+1)(w+2)････(w+6) 　= (6!/13!)Σ[w=0,6] {(w+1)････(w+6)(w+7) - w(w+1)････(w+6)} 　= (6!/13!)(13!/6!) 　= 1. E{w} = Σ[w=1,6] w･P_w = (7!/13!)Σ[w=0,6] w(w+1)(w+2)････(w+6) 　= (7!/13!)Σ[w=1,6] (1/8){w････(w+6)(w+7) - (w-1)w････(w+6)} 　= (7!/13!)(1/8)(13!/5!) 　= (7･6/8) 　= 5.25 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 12:21:36 ID:eu0owVym.net] >>760 正解！ 想定解出してもいいけど実はある事に気づくと数行で終わります。 803 名前：どうしよう？ 夜まで待ってみますね。 [] [ここ壊れてます] 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 12:49:17 ID:l20VjRfO.net] 白玉の個数wの分布 　0個　　　1個　　　2個　　　 3個　　　 4個　　　　5個　　　　6個 1/1716,　7/1716,　28/1716,　84/1716,　210/1716,　462/1716,　924/1716 　0.06%　　0.41%　　1.63%　　 4.90%　　 12.24%　　 26.92%　　 53.84% 805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 13:11:02.52 ID:m1uM3VjH.net] 黒玉は無視 赤玉7個を並べておき、その前後と間の8ヶ所に白玉6個をランダムに入れていく（重複あり） 赤玉の後ろに白玉がいくつあるかを考えるとき、白玉1個につき期待値1/8となるので6個なら6/8=3/4 従ってそれ以外のところにある白玉の個数の期待値は6-3/4=5.25 806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 13:12:33.86 ID:eu0owVym.net] >>763 それです。 お見事。 807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 13:14:30.61 ID:m1uM3VjH.net] 赤玉の後ろ以外にいくつあるかを考えるとき白玉1個につき期待値7/8なので6個なら6*7/8=5.25でよかったわ 808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 14:10:27.98 ID:qPbrkgFl.net] >>754 P(k)=Σ[k=0,6]Σ[j=0,5]C[7,6]C[6,k]C[5,j]/(C[18,6+k+j](12-k-j)) E=kP(k)=21/4 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 15:04:09.49 ID:eu0owVym.net] >>766 さすがにダメやろ。 いくら原理的にはコレ計算したらできるって立式を書いても、その計算が最低目で追えるものを見せないと正解とは認定されない。 810 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/13(金) 15:27:09.74 ID:Pzzsy05r.net] 最小交点数がｎの結び目は何種類あるのか。 811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 16:45:01 ID:l20VjRfO.net] 黒玉は無視する。(13個で考える) (最後の赤玉が出る前の) 白玉の数をwとすると、 最後の(6-w)個が白玉、その直前が赤玉、他は不問だから 　P_w = (6/13)(5/12)････((w+1)/(w+8))・(7/(w+7)) 　　= (7!/13!)(w+1)(w+2)(w+3)(w+4)(w+5)(w+6), あとは >>760 で 812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 18:07:52 ID:qPbrkgFl.net] >>767 これは、よく分からないがwolframで計算してみたら一致した 偶然一致するとは思えないが？ 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 18:14:21 ID:qPbrkgFl.net] >>767 P(k)の値(k=0〜6)は>>762と一致する 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 18:20:08 ID:ieVI6aZ4.net] なるほど 時系列で考えていくと発想が広がりにくいが、並べて考えるとわかりやすいな。 参考になる 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 18:34:42 ID:qPbrkgFl.net] >>767 C[7,6]C[6,k]C[5,j]/C[18,6+k+j] ここの部分が、赤6、白k、黒jの計6+k+j回玉を取り出したときの確率 分子と分母は、玉に番号を付けた場合の場合の数になっている 最後に1/(12-k-j)で赤を取り出す確率を掛ける 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 18:37:26 ID:eu0owVym.net] >>770 いや、コレを計算できれば答えが出るなんて式たてるだけなら受験レベルの問題ならできて当たり前。 受験レベルで解くという意味ならその中で二十分程度で無理なく実際にできるというところまでやって見せてみて初めて正解。 計算機ならできるでは、受験レベルを超えてるようなやつならともかく受験レベルの問題と銘打って出題されてるんだから、通用しない。 817 名前： 【大凶】 mailto:sage [2020/03/13(金) 22:15:14 ID:OegQL28o.net] 前>>716 >>754 6(7/8)=5.25 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 22:39:53 ID:qPbrkgFl.net] >>774 この問題は難しいから受験で出題されるとは思わない 819 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 01:23:48.44 ID:Qtllr5m8.net] え？ 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 01:27:44.99 ID:j/jXCgRq.net] このスレは受験で有効な解答のみ正解という訳では� 821 名前：ﾈかろう [] [ここ壊れてます] 822 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/14(土) 02:19:09 ID:V5zn1x6j.net] _____∩ っﾞ___ ＼　(-_-))　 /| ＼＼υ⌒υ､ /| ￣￣￣￣|υ/| ________｢￣| 九九を習った小学2年生なら解けるんだよな。 前>>775滑り台の角度も摩擦係数も知らない、ましてや静止距離など。 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 10:30:01.48 ID:a/1EREm4.net] こうしたらどうなる？ 袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。 玉を一つずつ取り出していき赤玉を４個取り出した時点で終了とする。取り出した白玉の個数の期待値は？ 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 10:32:20.86 ID:uXVhjaRg.net] 7/8が4/8にかわるだけでは？ 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 10:40:16.33 ID:a/1EREm4.net] >>781 6*4/8=3でいいのか。 826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 10:45:58.12 ID:5sXkLHY6.net] >>780 P(k)=Σ[j=0,5]4C[7,3]C[6,k]C[5,j]/(C[18,3+k+j](15-k-j) E=Σ[k=0,4]kP(k)=881/429 827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 10:50:54.02 ID:rjLc6zup.net] 整数の無限部分集合Aであって、どの互いに異なる a,b∈A をとっても |a-b| が平方数にならないものは存在するか。 828 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 10:51:33.67 ID:Qtllr5m8.net] >>754 7/8 * 6=21/4 >>780 4/8 * 6=3 829 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 11:02:50.20 ID:Qtllr5m8.net] 袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。 玉を一つずつ取り出していき赤玉を全て取り出した時点で終了とする。 取り出した白玉の個数から残った黒玉の個数を引いた値の期待値は？ 取り出した白玉の個数から残った白玉の個数を引いた値の期待値は？ 取り出した白玉の個数と残った黒玉の個数を掛けた値の期待値は？ 取り出した白玉の個数と残った白玉の個数を掛けた値の期待値は？ 830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 11:17:16 ID:xUS1bw+b.net] >>784 レピュニット数を元とする無限集合とすればいい 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 11:18:04 ID:5sXkLHY6.net] >>766 訂正 P(k)=Σ[j=0,5]C[7,6]C[6,k]C[5,j]/(C[18,6+k+j](12-k-j)) E=Σ[k=0,6]kP(k)=21/4 832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 11:25:25 ID:5sXkLHY6.net] >>786 E1=Σ[k=0,6](k-(5-j))P(k)=37/8 E2=Σ[k=0,6](k-(6-k))P(k)=9/2 E3=Σ[k=0,6](k(5-j))P(k)=35/12 E4=Σ[k=0,6](k(6-k))P(k)=35/12 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 11:54:58 ID:XpWNijuu.net] >>786 最初の２つは線形性でいける。 3番目は独立性。 暗算で苦しいのは最後だけだな。 黒玉ひとつに着目して取り出される確率がp=7/8。 よって取り出される個数Xの分布はp=7/8, n=6の二項分布。 X^2の期待値は E(X^2) = Σ C[6,k)(1/8)^(6-k) (7/8)^k k^2=93/32。 https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+binomial%286%2Cx%29+%281%2F8%29%5E%286-x%29%287%2F8%29%5Ex+x%5E2+from+0+to+6&lang=ja 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 12:02:50 ID:rjLc6zup.net] >>787 残念。|111-11|=100 は平方数になります 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 12:05:48 ID:43XV3aTx.net] おっと脳内で問題変わってたw E(x(6-x)) = Σ C[6,k)(1/8)^(6-k) (7/8)^k k(6-k)=105/32。 https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+binomial%286%2Cx%29+%281%2F8%29%5E%286-x%29%287%2F8%29%5Ex+x%286-x%29+from+0+to+6&lang=ja 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 12:11:55 ID:CncPdwb0.net] >>784 2×4^nで桶 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 12:16:30 ID:xUS1bw+b.net] >>791 確かにそうだった 838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 14:53:15 ID:rjLc6zup.net] >>793 お見事、それがあったか 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 14:55:15 ID:iH59lf4s.net] >>784 A = {1, c, c^2, c^3, ････| c>2} 　c^n - c^m = (c^m) {c^(n-m) - 1}, 　c^(n-m) > 1, 　　　(n>m) カタラン予想（ミハイレスクの定理) により 　c^(n-m) - d^2 = 1　となる d >1 は存在しない。 ∴　c^(n-m) - 1 は平方数でない。 c^m と c^(n-m) -1 は互いに素だから | c^n - c^m | は平方数でない。 A = {2, 8, 32, 128, 512, ････} も同様？ 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 19:40:53.31 ID:joJxF0LZ.net] >>789 シミュレーションで近似してみました。 > balls=rep(1:3,7:5) # 玉の配列 1:赤 2:白 3:黒 > picked=NULL # 取り出された玉の配列 > flag=FALSE # 赤玉が全部取り出されたかのflag > sim <- function(){ + while(flag==FALSE){ + i=sample(length(balls),1) # 配列ballsのindexから１つ選んで + picked=c(picked,balls[i]) # そのindex相当の玉をpickedにいれて + balls=balls[-i]　　　　　 # ballsの配列から除く + flag=sum(picked==1)==7　　# 赤玉が全部取り出されたか + } + # 取り出した白玉の個数 + a0=sum(picked==2) + # 取り出した白玉の個数から残った黒玉の個数を引いた値 + a1=sum(picked==2)-sum(balls==3) + # 取り出した白玉の個数から残った白玉の個数を引いた値 + a2=sum(picked==2)-sum(balls==2) + # 取り出した白玉の個数と残った黒玉の個数を掛けた値 + a3=sum(picked==2)*sum(balls==3) + # 取り出した白玉の個数と残った白玉の個数を掛けた値 + a4=sum(picked==2)*sum(balls==2) + return(c(a0,a1,a2,a3,a4)) + } > k=1e6 > re=replicate(k,sim()) > apply(re[2:5,] 841 名前：,1,mean) [1] 4.627792 4.500442 2.904962 2.916039 > c(37/8,9/2,35/12,35/12) [1] 4.625000 4.500000 2.916667 2.916667 [] [ここ壊れてます] 842 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 22:15:14 ID:Qtllr5m8.net] >>790,792 サンクス 期待値の線形性独立性の問題としてちょうど良さげかと 2項分布の分散がnpqということを使えば最後もそれほど難しくはない V(X)=E(X^2)-E(X)^2=6(7/8)(1/8)=21/32 E(X^2)=21/32+(21/4)^2=903/32 E(X(6-X))=6E(X)-E(X^2)=63/2-903/32=105/32 843 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 23:06:20 ID:Qtllr5m8.net] >>784 a1=1 a2=min{x>a1 | x-a1≠n^2}=3 a3=min{x>a2 | x-a1, x-a2≠n^2}=6 … a[n+1]=min{x>an | x-a1,,,x-an≠n^2} 844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 23:15:16 ID:Ior9sgvQ.net] >>798 二項分布の分散‥‥そんなのあったあったw 忘却の彼方ww 845 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 23:26:01 ID:Qtllr5m8.net] >>797 後2問シミュレーションと随分違うな 何故？ 37/8, 9/2, 105/32, 105/32 を想定 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 00:54:39.47 ID:ijdl7Zl+.net] >>801 しまった。 黒玉iが取り出される事象は独立でない。 取り出される事象の特性関数をXiとして E(Xi)=E(Xi^2)=7/8 i≠jのときE(XiXj)=7/8×8/9=7/9 なので独立ではない。 よってX=ΣXiとすれば E(X)=6×7/8=21/4 E(X^2)=6×7/8+30×7/9=343/12 E(X(6-X))=6E(X)-E(X^2)=63/2-343/12=35/12 でした。 吊ってくるorz。 847 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/15(日) 02:00:29 ID:v+yfiMnW.net] >>802 あー 2項分布じゃないってことか こりゃ不味いわめんどくさ 848 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/15(日) 02:03:24.48 ID:v+yfiMnW.net] 白黒も独立ではないなあ こりゃ面倒くさすぎだった 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 18:11:23 ID:G3nSul4k.net] シミュレーションでなくて数え上げで計算してみたら>>789が正しそう 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 19:35:56.64 ID:63iW3LdD.net] 面倒な問題だな 851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 20:18:17.77 ID:OTl1KJku.net] >>780 黒は無視して、赤白計13個で総当たりで計算してみた。 TEnr <- function(n,r,zero=0,one=1){ # n(=5),r(=3)を指定して 0 0 1 1 1から1 1 1 0 0までの順列行列を作る f=function(x){ re=rep(zero,n) # 容れ子 re[x]=one # 指定のindexにoneを代入 re } t(combn(n,r,f)) # oneを入れる組み合わせに上記関数fを実行して転置 } TE=TEnr(13,7,0,1) # 0:白 1:赤　13個の並びの行列 1111111000000 から 0000001111111まで13C7(=1716)個 (x=TE[1000,]) # 1000行目のエントリ f <- function(x){ # 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 -> 2 赤(1)が4個に達すまでの0の数を返す i4=which(cumsum(x)==4)[1] # 累積和が最初に４になったindexをi4として sum(x[1:i4]==0)　　　　　 # i4までの白(0)の個数を返す } re=apply(TE,1,f) sum(re) length(re) mean(re) > sum(re) [1] 5148 > length(re) [1] 1716 > mean(re) [1] 3 答は３ 852 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/15(日) 22:08:54.75 ID:v+yfiMnW.net] >>806 白単独なら2項分布と同じで 白黒などでも線形なら2項分布で計算しても正しい値になるから 単に答えだけ見るのだと 正しい考察の結果かどうか分からないので これ>>786の第1，2問は悪問だな 第3，4問だけなら2項分布で計算すると正しい答えにならないからこれは良問 853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 22:43:58.90 ID:ijdl7Zl+.net] >>808 いや、期待値の線形性は別に独立性は必要ないので問題ないよ。 二項分布の公式は使えないけど例えば第一問なら黒玉iが取られる事象の特性関数をBi、白玉jが取られる事象の特性関数をWjとすれば一問 854 名前：目の求める期待値は E(ΣWj-(5-ΣBi))=ΣE(Wj)-5+ΣE(Xi)=6×7/8-5+5×7/8=37/8。 コレは独立性いらない。 [] [ここ壊れてます] 855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 22:48:53.64 ID:cWmNKZcu.net] n個からr個を選んで得られる順列の総数をP(n, r)とする. 任意のr>1に対して, P(n, r)は平方数でないことを示せ. 856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 22:53:22.66 ID:ijdl7Zl+.net] エルデシュktkr 857 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/16(月) 00:26:55 ID:xw7qN3/R.net] >>809 >いや、期待値の線形性は別に独立性は必要ないので問題ないよ。 それは分かってる だからこそ2項分布で解いてしまっても間違いが分からないのが悪問ってコトだよ 858 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/16(月) 00:31:06 ID:xw7qN3/R.net] >>812 >それは分かってる もともと白−黒と白−白にしたのは独立性に関係しないことを認識しているかどうかを主眼としたかったから（白と黒が独立と思ってた） 独立線形 非独立線形 独立非線形 非独立非線形 で4題にできて上手く行ったと思ってた 悔しい 859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/16(月) 06:19:30 ID:FQrBPIz6.net] A,A,A,B,B,C,D,E,F,Gの10文字を並べるとき、どこかで同じ文字が隣り合う確率を求めよ（東北大・改） 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/16(月) 08:51:01.03 ID:CVVw1pKV.net] >>814 総当たりで計算 # A,A,A,B,B,C,D,E,F,Gの10文字を並べるとき、どこかで同じ文字が隣り合う確率を求めよ（東北大・改） library(gtools) v=rep(1:7,c(3,2,rep(1,5))) pm=try(permutations(10,10,v,set=F)) tail(pm) f <- function(x){ n=length(x) flg=FALSE for(i in 1:(n-1)){ if(x[i]==x[i+1]){ flg=TRUE break } } return(flg) } (x=pm[10000,]) re=sum(apply(pm,1,f)) library(gmp) N=nrow(pm) as.bigq(re/N) re/N Big Rational ('bigq') : [1] 1388609885105903/2251799813685248 > re/N [1] 0.6166667 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/16(月) 09:32:03.26 ID:6K81jsqz.net] 同じ文字が一度も隣合わないような場合の数を考える。 そのためにCDEFGを全てXで置き換え、『AとBは一度も隣合わない』ような場合の数を考える。 （つまりXだけは隣り合っても良い） AとBだけに着目した時の並びが (1)AAABBである時、最低でも AXAXABXB というスペースの空け方が必要。 このAとBで区切られた６つの区間に残りの二つのXが入るから、求める場合の数は 7C2=21. (2)AABABである時、最低でも AXABAB というスペースの空け方が必要。 ６つの区間に残りの四つのXが入るから、求める場合の数は 9C4=126. … 以上のように計算を進めると、求める場合の数の合計は 2*7C2 + 3*8C3 + 4*9C4 + 10C5 = 966 A,B,Xの並べ方の総数は 10C5 * 5C2 = 2520 であるから、求める確率は 966/2520 = 23/60. ゆえに元々の問の答えは 1-23/60=0.6166666… 862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/16(月) 12:00:30.78 ID:ktTTjCEF.net] 半径1の球面上の4点を一様独立に選ぶとき、その4点の凸包の体積の期待値を求めよ。 863 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/16(月) 18:51:48 ID:thhgKhx4.net] ／‖__`‖￣￣‖ ｡◯゜ ‖∩∩ ‖ □ ‖　　ﾟ｡ （(-_-)‖　　‖______ （っ⌒⌒ﾞ　 ｡‖╂─╂ ■`(_)_)ц~　‖∩∩╂ ＼■υυ■___‖_ _))⌒つ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`>>817前>>779 凸包の期待値=(4π/3)1^3=4π/3=4.1887902…… 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 02:08:40.83 ID:Rdjv/Owr.net] >>817 4π/105 865 名前：イナ mailto:sage [2020/03/17(火) 05:19:54.91 ID:jcKSZR9M.net] てつはう。前>>818最初見た人鉄砲とよう読 866 名前：んだなぁ。 凸包は正四面体なのか、4点を包む最小の球なのか。 [] [ここ壊れてます] 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 07:53:05.59 ID:Ze9EuNOD.net] >>820 四面体で１００万回シミュレーションして平均値をだしてみた。 vertices <- function(r=1){ a=runif(2,-pi,pi) # 角度Θ,Φを一様分布で選らんで theta=a[1] phi=a[2] x=r*sin(theta)*cos(phi) y=r*sin(theta)*sin(phi) z=r*cos(theta) c(x,y,z) # 直交座標を返す } sim <- function(r=1){ vectors=replicate(4,vertices(r)) # ４点の直交座標 abs(det(vectors[,2:4]-vectors[,1]))/6 # 四面体の体積 } k=1e6 re=replicate(k,sim()) mean(re) > mean(re) [1] 0.1069067 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 09:10:52.71 ID:Ze9EuNOD.net] 球の場合（最小球か否かは考慮せず）の１０万回シミュレーションの平均値 library(nleqslv) Abs <- function(x) sqrt(sum(x^2)) sphere <- function(CR){ # CR:Center,Radius C=CR[1:3] R=CR[4] v4=replicate(4,vertices()) c( Abs(v4[,1]-C),Abs(v4[,2]-C),Abs(v4[,3]-C),Abs(v4[,4]-C) )-R } sphere(1:4/10) # example sim2 <- function(){ r=nleqslv(1:4/10,sphere)$fvec[4] # 初期値 1:4/10 c(0.1,0.2,0.3,0.4) 4/3*pi*r^3 } sim2() k=1e5 re=replicate(k,sim2()) mean(re) > mean(re) [1] 1.8112 869 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 10:56:05.58 ID:jkHV1VNx.net] >>822 その数値の厳密値を 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 11:25:44 ID:Xb0J7ujj.net] >>821 ＞# 角度Θ,Φを一様分布で選らんで 経度緯度を一様分布にしたら極に分布が偏らないかい？ 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 12:05:03.60 ID:k85T9ON2.net] >>824 グラフにしてみました。 ご指摘どおり、偏りがでました。 https://i.imgur.com/Ix5UvMR.png 872 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 12:52:38.52 ID:jkHV1VNx.net] >>825 全然ダメだね 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 13:24:44.75 ID:k85T9ON2.net] >>824 正方形内で乱数x,yを発生させて　r^2-(x^2+y^2)が負になるのは除外して、北半球と南半球は1/2ずつ分配して乱数発生させてみた。 https://i.imgur.com/bC0gBW7.png こっちの方が一様分布っぽいな。 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 13:29:03.21 ID:k85T9ON2.net] >>827 これで10万回シミュレーションして、凸包は球（最小球の考慮なし）としてみると k=1e5 re=replicate(k,sim3()) mean(re) > mean(re) [1] 1.800846 という値がでてきた。 875 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 13:59:08.56 ID:jkHV1VNx.net] >>827 だめでしょ xyzで外と原点は切ってそれ以外は正規化はどうかなあ これでもダメかも知らんが 876 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 14:27:38.49 ID:jkHV1VNx.net] θφで面素密度に合わせて乱数にしたら良いと思う dS=cosθdθdφなのでθという値を取る確率をcosθにする つまりzθの長方形で乱数発生させてz>cosθは除外してθを取る dV=dxdydz=rdrdSだから xyzで球の外を除外して正規化しても本質は同じだな 877 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 14:30:18.93 ID:jkHV1VNx.net] dV=drdS rは余計だったが言わんとするところは分かろう 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 17:38:54.16 ID:k85T9ON2.net] >>830 それを実装してみました。 vertex <- function(r=1){ #緯度φ周りの帯の面積に応じて一様分布 theta=runif(1,-pi,pi) # 経度θ p=sqrt(runif(1)) # 分布確率pを一様分布にする phi=asin(2*p-1) # 確率がpになる緯度φ x=r*cos(phi)*cos(theta) # 曲座標から直交座標に y=r*cos(phi)*sin(theta) z=r*sin(phi) c(x,y,z) } vtx=replicate(5000,vertex()) x=vtx[1,] y=vtx[2,] z=vtx[3,] rgl::plot3d(x,y,z, col="slateblue") https://i.imgur.com/27K33kB.png 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 17:54:56 ID:k85T9ON2.net] >>832 これで4� 880 名前：_発生させて4点を通る球の半径を連立方程式を計算機に解かせて 体積の10万回の平均をとると > k=1e5 > hull=replicate(k,sim()) > mean(hull) [1] 1.160583 という結果になった。 あまり、自信がない。 解析解は賢者にお任せ。 [] [ここ壊れてます] 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 19:33:25.26 ID:Tm+KNX4Y.net] 半径１の球に内接する正四面体の体積は 8/(9√3) = 0.5132.. >>817の解はこれより小さい（はず） 882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 20:40:37.39 ID:k85T9ON2.net] >>834 vertex <- function(r=1){ #緯度φ周りの帯の面積に応じて一様分布 theta=runif(1,-pi,pi) # 経度θ p=sqrt(runif(1)) # 分布確率pを一様分布にする phi=asin(2*p-1) # 確率がpになる緯度φ x=r*cos(phi)*cos(theta) # 極座標から直座標に y=r*cos(phi)*sin(theta) z=r*sin(phi) c(x,y,z) } で、球の表面から４点を取り出して # 四面体の体積 sim <- function(r=1,print=F){ v4=replicate(4,vertex()) # ４点の直交座標 if(print) print(v4) abs(det(v4[,2:4]-v4[,1]))/6 # 四面体の体積 } で１０万回シミュレーションしたら k=1e5 tetra=replicate(k,sim()) mean(tetra) summary(tetra) こんな結果 > summary(tetra) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.0000006 0.0242839 0.0645573 0.0928661 0.1361202 0.5035962 最大値は8/(9√3) = 0.5132..以下になっている 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 21:18:37 ID:k85T9ON2.net] こっちの方がx,y,zともに一様分布になっている。 vertex <- function(r=1){ x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1] phi=runif(1,-pi,pi)　# φ ~ 一様分布[-π,π] y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ) z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ) r*c(x,y,z) } https://i.imgur.com/xX0mTim.png https://i.imgur.com/H7hs9w8.png これでやってみると、四面体の場合 > mean(tetra) [1] 0.1201118 > summary(tetra) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.0000003 0.0372266 0.0922805 0.1201118 0.1794858 0.5104545 884 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 22:43:27.26 ID:jkHV1VNx.net] >>836 >x,y,zともに一様分布 ではダメだろ 球面上に一様に分布するのなら x座標は√(1-x^2)の確率密度となる 885 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 22:51:51.42 ID:jkHV1VNx.net] あーそうか st正方形でsとtと一様ランダムに点を得て 原点中心の円の外にあれば棄て 内部にあればそのs座標を取ることで 確率密度√(1-s^2)の分布でランダムに取れる これでxyzをそれぞれ取ってやればいい あーダメか独立に取ったら球面上に来ないな じゃあこれでxを取ってyzはcosθsinθでθを一様ランダムに取れば良いや 886 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 22:53:39.72 ID:jkHV1VNx.net] y,zは√(1-x^2)cosθ,√(1-x^2)sinθで 887 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 23:09:55.33 ID:jkHV1VNx.net] >>837 あー間違いか>>836で正しいやスマン 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 04:39:06 ID:LbXnfiiv.net] <V> = 1/6 = 0.16667 だったら　>>834 の要求を満足するんだが････ 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 09:41:40 ID:POVuSFx0.net] 某イベントで紹介された問題の同値な改題 整数から実数への関数 f:Z→R であって、任意の整数 x,y,z について 【 x^2 + 4y^2 = z^2 ならば f(x) + 4f(y) = f(z) 】 を満たすものを全て求めよ 890 名前：イナ mailto:sage [2020/03/18(水) 12:22:31.26 ID:/PMjHzs1.net] ＼＼＼＼＼`∩∩､＼＼＼ ＼＼＼＼⊂(_ _))`⌒つ` ＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`原点を頂点とした三角錘が4つ集まった四面体の体積は、 V=(4/3)Sh h=1/3(∵球の半径=1) S=(√3/4)a^2とすると、 底面の中心から底辺までの距離はピタゴラスの定理より、 √{1^2-(1/3)^2}=2√2/3 正三角形の高さは√2 a=√2(2/√3) =2√2/√3 S=(√3/4)(2√2/√3)^2 =(√3/4)(8/3) =2√3/3 前>>820 V=(4/3)(2√3/3)(1/3) =8√3/27 =0.513200239…… ここまではわかった。 1点目が任意で、2点目をうまくとる確率は後回し、3点目をうまくとる確率も後回し、4点目をうまくとる確率は1/2 2点目と3点目は1と1/2のあいだじゃないとだめだと思うから、 3点目をうまくとる確率が2/3で2点目をうまくとる確率が3/4なら、 すべてうまくとる確率は1/4 V/4=2√3/27 =0.12830006…… 891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 14:27:28 ID:Tu49ygg5.net] >>836 数理はさっぱりわからないんだが、Wikipediaによれば正規分布に従う３変数から球面の一様分布座標が作れるらしい。 x1,x2,x3〜Norm(0,1) で r=√(x1^2+x2^2+x3^2)として (x1/r,x2/r,x3/r)が単位球面の一様分布になるという。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E7%90%83%E9%9D%A2 Marsaglia(1972) https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aoms/1177692644 実装してみた。 図示すると>836と同じく、x,y,zが一様分布して、球面の一様分布しているようにみえる。 vertex <- function(){ # xi ~ Norm(0,1) , xi/√(Σxi^2) v=rnorm(3,0,1) # 正規分布N(0,1)する３個からなるベクトル v v/sqrt(sum(v^2)) # v の長さで割る } vtx=replicate(5000,vertex()) par(mfrow=c(3,1)) x=vtx[1,] ; hist(x,col='pink') y=vtx[2,] ; hist(y,col='orange') z=vtx[3,] ; hist(z,col='darkgreen') rgl::plot3d(x,y,z, col='slateblue') par(mfrow=c(1,1)) # 四面体の体積 sim <- function(r=1,print=F){ v4=replicate(4,vertex()) # ４点の直交座標 if(print) print(v4) abs(det(v4[,2:4]-v4[,1]))/6 # 四面体の体積 } k=1e5 tetra=replicate(k,sim()) # k回のシミュレーション mean(tetra) summary(tetra) BEST::plotPost(tetra) 期待値も分布もほぼ同じ。 > mean(tetra) [1] 0.119512 > summary(tetra) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.0000001 0.0368084 0.0918738 0.1195120 0.1789221 0.5093198 四面体の体積の分布も同様でこんな分布。 https://i.imgur.com/yjsaR3Q.png 892 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/18(水) 14:45:48 ID:kt0eelvd.net] >>844 >数理はさっぱりわからないんだが、Wikipediaによれば正規分布に従う３変数から球面の一様分布座標が作れるらしい。 独立に取ったときの確率密度がe^-(x^2+y^2+z^2)みたいなrのみの関数に比例するからだな でも>>836でいいと思うし 関数の近似による偏りみたいなのを気にするなら >>829でも球の外を除外した後の考え方はそのWikipediaのと同じだし 893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 15:06:17 ID:Tu49ygg5.net] ３次元化座標が球面の一様分布することは、図示してイメージするほかに、どうやったら検証できるのだろう？ 球面上の任意の一定面積に含まれる数が一定であるのを確認する方法が思いつかない。 こういうデータが一様分布かどうかは確認できるだろうか x y z [1,] 0.4090696 -0.06240392 0.9103669 [2,] -0.1452435 -0.97420684 0.1727002 [3,] -0.1082045 0.53218504 0.8396850 ..... ..... x y z [4998,] 0.6609463 -0.096259265 -0.7442340 [4999,] 0.5669702 0.758929767 -0.3202661 [5000,] 0.8944673 -0.008481795 -0.4470530 894 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/18(水) 15:16:53 ID:kt0eelvd.net] >>846 ｘθとかθφで分割して点の数を数えて面積で割ったら？ 十分細かく分割を取っておいて サンプル点を十分多く取っていけば 大数の法則で 期待した値にぐいぐい集まってくるはずだし 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 16:16:35.57 ID:Tu49ygg5.net] >>847 レスありがとうございます。 x,y,z を 極形式にして�刄ﾆ　�刄ﾓの範囲にある数が一様かどうかみればいいんだな。 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 21:31:14.71 ID:Tu49ygg5.net] 直交座標から極座標のθφを出して、それをグラフにしてみました。 https://i.imgur.com/swLs0hO.png 両端が疎に見えます。 グリッドを作ってそこに含まれる点を数えてその分布をみればいいのかな？ どの程度のばらつきなら、一様分布とみなせるのかと考えるとふりだしに戻る気がする。 897 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 01:13:20 ID:HdgduOXs.net] 辺の長さが 898 名前：全て有理数の多角形において、少なくとも2つ以上の内角[rad]は無理数であることを示せ. [] [ここ壊れてます] 899 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 01:36:55 ID:KrhQLEng.net] >>848 ΔθΔφの囲む面積はcosθ ΔθΔφだよ θが南北でΔθの幅の中央の値ね 点の個数をこれで割らないと一定にならない ΔθΔφが一定ならcosθで割れば良い 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 01:48:15 ID:mXsnD9nM.net] >>819 　0.1196797201367540････ 901 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 02:03:39 ID:KrhQLEng.net] >>849 >どの程度のばらつきなら、一様分布とみなせるのかと考えるとふりだしに戻る気がする。 Δθ=π/n Δφ=2π/m つまり球面をnm個の領域に分割した場合（m,n固定） 一様分布ならサンプルN点でその領域内にあるのはNπcosθ/2mn個だろうから 数え上げてM点ならΣ(M-Nπcosθ/2mn)^2/mnがN→∞で次第に0に近づく（大数の法則）ことを見るとか？ 902 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(木) 02:07:37.40 ID:KrhQLEng.net] >>849 >両端が疎に見えます。 横軸がθとすると 縦方向にcosθを掛けて点をプロットすれば良い それで0≦φ≦cosθの領域内に均一に見えたらOK 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 08:37:27 ID:XGan5JrS.net] >>849 これって>821と逆のことをやっているだけのような気がするな。 一様分布する球面上の点を極形式で表示したときに緯度・経度が一様分布はしないんだろうな。 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 09:28:52 ID:XGan5JrS.net] >>854 数理を理解できないままにグラフ化すると plot(θ,φ*cos(θ),bty='n',pch='.',xlab='θ(北極点からのラジアン)' ,,ylab='φ（経度)*cos(θ）') https://i.imgur.com/R8TFUG3.png 理解が足りないので断念。 905 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 09:32:03 ID:KrhQLEng.net] >>856 θを北極点からのにするなら sinθ掛けて 906 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 09:35:45 ID:KrhQLEng.net] >>855 極に近い方がずっと狭くなるからね 球面の表面積は円柱の側面積と同一であるという 2000年前から知られている原理からすると xyzに落とし込んでもそれぞれの座標上で一様分布になる これは>>836の https://i.imgur.com/xX0mTim.png 907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 10:39:50.31 ID:BW7TgbOd.net] >>850 リンデマンの定理より有理数q≠0に対して e^(iq) が超越数であることから従う 908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 10:52:58.05 ID:XGan5JrS.net] >>857 θとφの定義は下図に準拠 physics.thick.jp/Physical_Mathematics/Section3/figures/fig27.png rm(list=ls()) vertex <- function(r=1){ x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1] phi=runif(1,-pi,pi)　# φ ~ 一様分布[-π,π] y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ) z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ) r*c(x,y,z) } # 直交座標を極座標に c2p <- function(xyz){ # (x,y,z) -> (θ,φ) Cartesian 2 Polar x=xyz[1];y=xyz[2];z=xyz[3] r=sqrt(x^2+y^2+z^2) # =1になるx,y,zの組合せ theta=acos(z/sqrt(x^2+y^2+z^2)) # = acos(z) [0,π]の値 phi=ifelse(y>0,acos(x/sqrt(x^2+y^2)), # y>0ならφ < π 2*pi-acos(x/sqrt(x^2+y^2)))# y<0ならφ > π c(theta,phi) } n=1e5 vtx=replicate(n,vertex()) # n個の点を作る vtx=replicate(n,vertex()) # n個の点を作る v=t(vtx) # 転置してn行３列(x,y,z)に head(v,3) ; tail(v,3) vp=apply(v,1,c2p) # 各行毎にx,y,z -> θ,φに変換 tp=t(vp) # theta θ, phai φ 転置してn行2列(θ,φ)に fn <- function(x){ # 0<=φ & φ<=sin(θ)を満たすかを返す θ=x[1] φ=x[2] 0<=φ & φ<=sin(θ) } tp1=tp[apply(tp,1,fn),] # fnがTRUEになるθ,φを抽出して θ=tp1[,1] φ=tp1[,2] plot(θ,φ*sin(θ),bty='n',pch='.', xlab='θ(北極点からのラジアン)',ylab='φ（経度)*sin(θ)') # グラフ化 https://i.imgur.com/dtO0oRW.png 正弦波が描出されただけのような 909 名前：？ [] [ここ壊れてます] 910 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(木) 10:54:23.75 ID:/Ts8dWJZ.net] >>859 素晴らしい 正解です 911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 10:58:32.26 ID:XGan5JrS.net] >>852 >844のシミュレーション結果に相当する結果ですね。 計算法はさっぱり思いつかないけどｗ 912 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 13:39:41 ID:KrhQLEng.net] >>860 >正弦波が描出されただけのような？ 点の密度が正弦波の下でどこでも一定に見えるでしょ だから球面上で一様分布だってことだよ さらに厳密性のために 点の密度が一定かどうかを検定するには 十分細かく分割して 一様分布なら1つの区画内にあるはずの点の個数の平均を計算しておいて それと実測値との差の2条の平均（分散）でできるんじゃないかなあ 913 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 13:43:34 ID:KrhQLEng.net] >>860 >正弦波が描出されただけのような？ あれ？ 正弦波の0〜πの部分と違うな 上に凸なのに両端近くに変曲点がある なんで？ 914 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(木) 14:42:09.63 ID:lL/ZGWr/.net] 任意の実数に到達できるような関数電卓は存在するか？ 関数電卓は、入力は整数で有限個の関数を持っており計算速度は無限大であるとする。 915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 16:40:30 ID:XGan5JrS.net] 球面に一様分布らしき点を5000個発生させて、 各々の点でθが5°の球冠面にその点以外にどれだけの点が含まれるかを算出させてみた。 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Spherical_cap_diagram.tiff/lossless-page1-597px-Spherical_cap_diagram.tiff.png 中央値9 平均9.56 標準偏差3.14という値になった。 > summary(dots) ; sd(dots) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.000 7.000 9.000 9.556 12.000 23.000 [1] 3.148086 ヒストグラムだと https://i.imgur.com/4XaXArc.png # 球面一様分布 c(x,y,z) vertex <- function(r=1){ x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1] phi=runif(1,-pi,pi)　# φ ~ 一様分布[-π,π] y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ) z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ) r*c(x,y,z) } n=5000 vtx=t(replicate(n,vertex())) # n個の点x,y,zをつくる rgl::plot3d(vtx[,1],vtx[,2],vtx[,3], col="slateblue") Theta=(pi/180)*5 onCap <-function(x,y,theta){ acos(x %*% y) < theta # ベクトルの内積の逆余弦がtheta未満なら球冠上にある } hmonCap<- function(j){ count=0 for(i in (1:n)[-j]){ count = count + onCap(vtx[j,],vtx[i,],Theta) } return(count) } dots=sapply(1:n,hmonCap) summary(dots) ; sd(dots) hist(dots) ; table(dots) BEST::plotPost(dots) 916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 16:45:37 ID:XGan5JrS.net] 極に分布が偏る　 # 角度Θ,Φを一様分布で選らんで だと > summary(dots) ; sd(dots) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.0 6.0 10.0 18.7 17.0 139.0 [1] 26.50699 標準偏差が大きいので一様とは呼べない。 ヒストグラムを描くとhttps://i.imgur.com/Y8mFUop.png 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 17:03:25 ID:XGan5JrS.net] >>863 球面上の面積を一定にしてグリッドを描いてその中の点を数えるプログラムはできそうにないので断念して、 上記のように散布した点の周りに何個の点があるのかを数えるのに変えました。 色々と助言ありがとうございました。 918 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 17:07:02 ID:XGan5JrS.net] >827の 正方形内で乱数x,yを発生させて　r^2-(x^2+y^2)が負になるのは除外だと Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.00 9.00 13.00 12.58 16.00 33.00 [1] 5.694825 標準偏差5.69と前二者の間になった。　まあ、直感と合致した感じ。 919 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 19:05:16 ID:KrhQLEng.net] >>819 計算教えて 920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 19:13:01 ID:uD33tvXq.net] >>869 単位球の表面積は4π。この球を平面で切り、（切断面を除く）表面積を3πとπに分けるためには、 平面と球の中心の距離はいくらか？　答えは y=√(1-x)^2、π=∫[a,1]2πy√(1-(dy/dx)^2)dx　を解いて、a=1/2 球と平面の距離が1/2なら、切断面の半径は(√3)/2 このことから、球面上を一様に分布した点があり、それを、赤道面上に投影すると、 半径(√3)/2の円内に半分の点があり、その外側のドーナツ型の部分に半分の点がなければならない。 >>827　の方法では、半径(√2)/2の円の内外で二分されるため、球面上を一様に分布した点とはならないと思われる。 ではどうすればよいかというと、[-1,1]の一様乱数x,y,zを発生させ、 x^2+y^2+z^2が1を超えたら破棄、1以下なら、X=x/r、Y=y/r、Z=z/r、r=√(x^2+y^2+z^2) というのが、シンプルだと思われる。 921 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 19:41:52 ID:KrhQLEng.net] >>830 >xyzで球の外を除外して正規化しても本質は同じだな これね スマン意図伝わってなかったかも知らん 922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 19:49:41 ID:uD33tvXq.net] >>871 一行の中に、二カ所もひどい間違いしてました。訂正します。 ×：y=√(1-x)^2、π=∫[a,1]2πy√(1-(dy/dx)^2)dx　を解いて、a=1/2 ○：y=√(1-x^2)、π=∫[a,1]2πy√(1+(dy/dx)^2)dx　を解いて、a=1/2 923 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 20:45:46.04 ID:XGan5JrS.net] >>871 [-1,1]の一様乱数x,y,zを発生させ、 x^2+y^2+z^2が1を超えたら破棄、1以下なら、X=x/r、Y=y/r、Z=z/r、r=√(x^2+y^2+z^2) でやってみました。 >866とほぼ同じ平均と標準偏差になりました。 　 Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 1.000 7.000 9.000 9.585 12.000 24.000 [1] 3.193939 924 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 21:44:15 ID:uD33tvXq.net] 球面を、二つの平面、x=aとx=a+hでカットしたときの帯状の曲面の面積は、 カットする位置によらず、幅hにのみ依存します。 >>866はこの性質を利用した方法なので、球面一様分布を生成する正しい方法だと思います。 一方、>>827の方法は、正しくないという指摘です。 925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 23:30:46.19 ID:nprfnGEx.net] 数aの問題です。 【300人を対象に「二つのテーマパークpとqに行ったことがあるか」というアンケートをおこなったところ、pに行ったことがある人が147人、qに行ったことがある人が86人、どちらにも行ったことのない人が131人であった。 　（１）両方に行ったことのある人の数を求めよ。 　（２）どちらか一方にだけ行ったことのある人の数を求めよ。】　という問題です。答えを見てもなかなか理解が出来ませんでした。 926 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 23:42:24.02 ID:8QNcFC1P.net] ↑の問題書く板を間違えてしまいました。失礼しました。 927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 23:43:46.42 ID:8QNcFC1P.net] ↑板ではなくてスレです。初心者のため用語がごちゃごちゃになってしまいました。何度も失礼しました。 928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 00:03:06.45 ID:p5Mf5Wxl.net] >>876 (1)147+86-(300-131)=64 (2)147-64=83 86-64=22から83+22=105 答が理解できない理由が謎。 929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 00:11:49.72 ID:p5Mf5Wxl.net] >>875 緯度でθ+Δθでやると帯の面積はΔθだけなくてθの値にも依存しますね。 930 名前：イナ mailto:sage [2020/03/20(金) 01:13:13.31 ID:8G8tjVXV.net] 前>>843 >>817 面白い問題と言うからにはこのぐらいのことは起こらないとね。 半径1の球に内接する正四面体の一辺をaとして、 その体積はa^3√2/12 4つの頂点を無作為にとったとき、凸包の体積Vはちょうど一辺が1の正四面体の体積になるとか。 a=1のときV=√2/12 =0.11785113…… 931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 03:34:41 ID:BTmsQo5f.net] >>881 稀代の馬鹿 932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 05:33:36.40 ID:5OgbmOf4.net] >>772 面白い問題おしえて〜な 31問目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1580123521/859 933 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 05:34:37.30 ID:5OgbmOf4.net] 誤爆orz 934 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/20(金) 06:59:12 ID:8G8tjVXV.net] ＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼ ＼＼＼`∩∩､/､＼＼＼＼ ＼＼⊂(_ _ )`⌒つ､＼＼ ＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼ ＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼ ＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼ ＼＼＼`前>>881＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼>>817 (1/2)^3=1/8=0.125 ＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼ 935 名前：イナ mailto:sage [2020/03/20(金) 07:55:00.46 ID:8G8tjVXV.net] 前>>885 ∵半径1の球表面にA,BをとるときABは0〜2の値を無作為にとるが、そのあいだを動かしたときもっともとり得る値はAB=√2 同様にAC=√2,BC=√2 もっともとり得る 936 名前：△ABCの面積は、 △ABC=(√3/4)(√2)^2 =√3/2 △ABCの重心をGとして、 四面体ABCDの△ABCを底面とした頂点Dの高さDGは0も含めいろいろな値を無作為にとるが、もっともとり得る値は、球の中心をOとしてOGと等しい。 つまり四面体ABCDの体積のもっともとり得る値は、3つの稜線のおのおのが直交し長さが1の三角錘の体積と等しい。 [] [ここ壊れてます] 937 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/20(金) 08:04:52 ID:8G8tjVXV.net] 前>>886訂正。 >>817 四面体ABCD=(1/3)(1/2)･1 =1/6 =0.166…… ∵>>886 938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 18:27:18 ID:lC3HBZ24.net] 888げとー　　(パチスロか?) >>887 　OA,OB,OCが直交すればOABCの体積は 1/6 　>>841 と一致･･･ (正しくはなかろうが) 939 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/21(土) 10:38:50 ID:gmytXLCF.net] ‖∩∩ ‖ □ ‖○?∇ （(-_-)‖　　‖Δ>>888 （っ⌒⌒ﾞ　 ｡‖╂─╂ ■`(_)_)ц~　‖╂─╂ ＼■υυ■_∩∩､＼＼＼ ＼＼＼＼⊂(_ _ )`⌒つﾞ ＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`球表面にもっともとり得る2点目、3点目を順にとると任意の2点は球の中心に対して直角になる。 前>>887あとは4点目をどうとるか。3点で決まる平面と平行な、球体を切った任意の円盤の中で、もっともとり得る円盤は球の中心を通るやつ。この円盤と球表面の共有線である円周上に4点目があるときの四面体の体積は、稜線が直角な三角錘と同体積。 稜線の長さは球の半径=1だから三角錘の体積(1/3)Shは、 (1/3)(1/2)･1=1/6 =0.166…… あってると思うけど。 940 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/21(土) 19:43:53 ID:4jcynL59.net] >>817 数値積分による解 In[1]:= S[t1_,t2_,p_] := Simplify[Norm[Cross[{Cos[t1]Cos[+p],Cos[t1]Sin[+p],Sin[ t1]}-{0,0,-1},{Cos[t2]Cos[-p],Cos[t2]Sin[-p],Sin[t2]}-{0,0,-1}]]/2] In[2]:= d[t1_,t2_,p_] := Simplify[Det[{{Cos[t1]Cos[+p],Cos[t1]Sin[+p],Sin[t1]},{ Cos[t2]Cos[-p],Cos[t2]Sin[-p],Sin[t2]},{0,0,-1}}]/(2 S[t1,t2,p])] h[d_] := Simplify[(Integrate[Cos[t3](d-Sin[t3]),{t3,-Pi/2,ArcSin[d]}]+Integrate[Cos[t3](Sin[t3]-d),{t3,ArcSin[d],Pi/2}])/Integrate[Cos[t3],{t3,-Pi/2,Pi/2}]] In[3]:= h[d_] := Simplify[(Integrate[Cos[t3](d-Sin[t3]),{t3,-Pi/2,ArcSin[d]}]+In tegrate[Cos[t3](Sin[t3]-d),{t3,ArcSin[d],Pi/2}])/Integrate[Cos[t3],{t3,-Pi/2,Pi/ 2}]] In[4]:= NIntegrate[Cos[t1]Cos[t2]h[d[t1,t2,p]]S[t1,t2,p]/3,{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2, Pi/2},{t2,-Pi/2,Pi/2}]/Integrate[Cos[t1]Cos[t2],{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,Pi/2},{t2,- Pi/2,Pi/2}] Out[4]= 0.11968 941 名前：イナ mailto:sage [2020/03/21(土) 21:28:05.69 ID:gmytXLCF.net] 前>>889 >>881少数第三位を四捨五入すると、 V=0.12 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/21(土) 22:05:25 ID:RyI2Q/uv.net] >>891 少数第1位を四捨五入すると、V=0 943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/22(日) 10:38:19 ID:fXf64y18.net] >>890 の式を整理して精度を上げてみる In[1]:= NIntegrate[Cos[t1]Cos[t2] (2(Sin[2p]Cos[t1]Cos[t2])^2+(Cos[p](-Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1-t2]))^2+(Sin[p](Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1+t2]))^2) /(24Pi Sqrt[(Sin[2p]Cos[t1]Cos[t2])^2+(Cos[p](-Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1-t2]))^2+(Sin[p](Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1+t2]))^2]) ,{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,Pi/2},{t2,-Pi/2,Pi/2}, WorkingPrecision->12, PrecisionGoal -> 11] Out[1]= 0.119679720136 944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/23(月) 03:30:35 ID:uvHIelYA.net] これってパソコンなしでは解けませんよね？ 【富山県最強伝説】新型コロナウイルスPCR検査件数　54人　陽性0人 https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1584811696/ ある集団から54人を無作為に選んでPCR検査したら陽性0であったとして PCR検査の感度0.7　特異度0.9としてこの集団の有病率の期待値と95%信頼区間を求めよ。 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/23(月) 11:46:03 ID:MEkmhbu9.net] >>893 数値的にしか解けないの？ 946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/23(月) 15:15:51 ID:9TP9mpqz.net] Rの標準ライブラリは抽象代数計算ないから標準ライブラリだけなら数値積分しかできないだろな。 947 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/23(月) 15:27:44 ID:mjeu1Sts.net] >>895 前計算してた人� 948 名前：盾驍� 確率密度関数与えられるから あとは体積の計算して平均出すだけだけど 式は書けても計算ができそうもない [] [ここ壊れてます] 949 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/23(月) 22:00:13.53 ID:GiYqQssY.net] 半径1の半円の内部に閉曲線を描く このとき(閉曲線が囲う領域の面積)/(閉曲線の長さ)の最大値を求めよ 950 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/23(月) 23:31:07 ID:dYUW2zOC.net] 前>>891 >>898 閉曲線で囲まれた領域が楕円のとき、 短軸1,長軸1/√2 面積π(1/2)(1/√2) =π/2√2 周長2π√(1/2)√(1/√2) =π√√2 面積/周長=1/2√2･√√2 =0.297301779…… 蛹で越冬する感じか。 951 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/23(月) 23:36:36 ID:GiYqQssY.net] >>899 不正解 それなら半円そのもの π/(2(π+2))=0.3055... の方が大きい 952 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/23(月) 23:44:31 ID:dYUW2zOC.net] 前>>899 >>900半円は直線が入ってるら。不適だに。 953 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/23(月) 23:53:47.84 ID:HQzFbrB9.net] >>901 いくらでも半円に近づけるから比が0.3055...に近い閉曲線が描ける よって>>899は最大値ではない でも内部だと確かにsupはあってもmaxが無いことになってしまうので>>898は改題します すみません 「半径1の半円の部分集合として閉曲線を描く このとき(閉曲線が囲う領域の面積)/(閉曲線の長さ)の最大値を求めよ」 ただし、ここで言う半円は{(x,y)∈R^2 | x^2+y^2≦1 ,y≧0}のことです 954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 00:23:44 ID:bCLJqQcJ.net] l = (sinθ/(1+sinθ))(θ+π/2) + (sinθ'/(1+sinθ'))(θ'+π/2) + cosθ/(1+sinθ) + cosθ'/(1+sinθ') + (π-θ-θ') S = (θ/2)(sinθ/(1+sinθ))^2 + (θ'/2)(sinθ'/(1+sinθ'))^2 + (1/2)sinθcosθ/(1+sinθ)^2 + (1/2)sinθ'cosθ'/(1+sinθ')^2 + (π-θ-θ')/2 maximize S/l where θ,θ'≧0, θ+θ'≦π sssp://o.5ch.net/1mukb.png 955 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 01:36:19.20 ID:TnHQvRcs.net] >>896 レスありがとうございます。 こういうアルゴリズムになるのかと愚考しています。 事前分布を選択する（例. 有病率は高々10%として(0.0.1]の一様分布とする)、 陽性確率は真陽性確率と偽陽性確率の和、 陽性数はこの確率で二項分布、 956 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/24(火) 02:07:58.87 ID:cfg1hqI2.net] >>897 具体的には球面上の2変数の座標系stがあって st平面上の領域Dと球面が(x,y,z)=f(s,t)で対応しているとき 球面上の一様分布を与えるst2変数の密度関数g(s,t)が存在し dS/4π=g(s,t)dsdt となる 頑張ればf,gは具体的な式で与えることは出来る 球面上の4点をp1=f(s1,t1)・・・p4=f(s4,t4)で表して これら4点を頂点とする4面体の体積を表す関数V(p1,p2,p3,p4)を 何とか式で表せはするから ∬∬∬∬V(f(s1,t1),・・・,f(s4,t4))g(s1,t1)・・・g(s4,t4)ds1dt1・・・ds4dt4 を計算したら良いだけ 957 名前：イナ mailto:sage [2020/03/24(火) 02:44:18.74 ID:G+Ea7M2l.net] 前>>901 >>902 y軸を挟んで(0,0)に中心をあわせた半径1,中心角45°の扇形を1対並べ、それを両サイドから挟むように半径1/2,中心角45°の扇形を並べ、その左右端に半径1/4,中心角45°の扇形を弧が滑らかにつづくようにくっつけて並べ、 (0,1),(±1/√2,1/√2),(±1/2±1/2√2,1/2√2),(±3/4√2±1/4,1/4√2),(0,0)の8点が滑らかにつづくように結ぶ。 点(0,0)を挟む円弧の中心を(0,t),中心角をθとおくと、 正弦定理より、 sinθ=(3/2√2+1/2)/2t ピタゴラスの定理より、 (3/4√2+1/4)^2+(t-1/4√2)^2=t^2 t=(3√2+3)/4 sinθ=(4-√2)/6 =0.430964406…… θ=25.52877935…… 面積と周長をともに4つに分けて求める。 いちばん大きな扇形は2つあわせて面積π/4,周長部分π/2 2番目の扇形は2つあわせて面積π/16,周長部分π/4 3番目の扇形は2つあわせて面積π/64,周長部分π/8 亀の腹のようなy軸に線対称な残りの面積をsとおくと、 面積/周長=(π/4+π/16+π/64+s)/{π/2+π/4+π/8+2πt(θ/2π)} =(21π/64+s)/(7π/8+tθ) =(21π/64+s)/{7π/8+(1+√2)(3/4)θ} =(21π/8+8s)/{7π+6(1+√2)θ} =(21π+64s)/{56π+48(1+√2)θ} sは扇形半分から三角形を3つ引いて2倍で出る。 θを度数のまま代入してよいかは気になる。 958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 06:11:35.52 ID:MOWxPvKi.net] >>903 Sの式で (θ/2) の所は (θ+π/2)/2、　(θ'/2) の所は (θ'+π/2)/2　では？ Steinerに習って対称性を仮定しますた。 　l(θ) = 2(θ+π/2){sinθ/(1+sinθ)} + 2cosθ/(1+sinθ) + π -2θ, 　S(θ) = (θ+π/2){sinθ/(1+sinθ)}^2 + sinθcosθ/(1+sinθ)^2 + π/2 -θ. θで微分して (d/dθ)(S/l) = {2 - (θ+π/2)cosθ/(1+sinθ)}{π･cos(2θ) -sin(2θ) -2θ} 　　／{4(1+sinθ)(π/2 -θ +π･sinθ +cosθ)^2}, ここで 　2 - (θ+π/2)cosθ/(1+sinθ) >0,　　(0<θ<π) だから 　π･cos(2θ) - sin(2θ) -2θ = 0, 　θ = 0.4827200003884401212939116114621300267 このとき最大値 　(S/l)max. = 0.31702857011315030244270875179918713 これは、半円の値 π/(2(π+2)) = 0.3055077351758286 　　>>900 より大きい。 959 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 06:37:12.28 ID:MOWxPvKi.net] (補足) 　θ｡ = 27.65781870881107747733891798287807ﾟ (S/l)max. = (小円の半径) = sinθ｡/(1+sinθ｡) 　= 0.31702857011315030244270875179918713 (原点〜中心の距離) = 1/(1+sinθ｡) 　= 0.68297142988684969755729124820081287 960 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/24(火) 07:06:20.74 ID:cfg1hqI2.net] >>905 まあ1点は固定して考えて良いし 2点目も1点目を通る大円で考えて その上で一様分布で取れば良い(1次元) 3点目は半球内で一様に取るかな(2次元) 4点目は球上で一様に(2次元) 積分は5変数でよいかな 961 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 07:29:45.50 ID:MOWxPvKi.net] (続き) 　l(θ｡) = 1.48625008894369638043092594627639431 　S(θ｡) = 4.68806356604781887658254751068492774 　S/l = 0.31702857011315030244270875179918713 また、θ=30° のとき 　(小円の半径)　1/3, 　(原点〜中心の距離)　2/3, 　l(30°) = 2(3√3 +5π)/9 = 1.472358208 　S(30°) = (3√3 +11π)/27 = 4.645359042 　S/l = (3√3 +11π)/{6(3√3 +5π)} = 0.31695251 θ = 0 では 　l(0) = π+2 = 5.141593 　S(0) = π/2 = 1.570796 　S/l = 0.305507735 962 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/24(火) 08:31:16.86 ID:JQHHwetB.net] >>907 素晴らしい 数値としては0.317028570...で正解ですが、 なぜその形だと最大になるのか証明も欲しいところです ヒントを言うと、あるパラメータ付き作用素の固有値をレイリー商により求めて、極限を飛ばすと(面積)/(周長)になることを利用します 963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 11:07:46.16 ID:v/fj8fVi.net] >>911 閉曲線が囲む図形は ・凸集合として良い ・尖ってる部分が無いとして良い（つまり閉曲線は微分可能） ・半円の境界に接していない部分は、少なくとも局所的に曲率が等しいとして良い ことから>>903の形を仮定していいはず 964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 11:31:02.15 ID:MOWxPvKi.net] >>910 参考 ------------------------------------------------------------- θ　　r(θ)　　　　　l(θ)　　　　　　　S(θ)　　　　　　S/l ------------------------------------------------------------- 0°　0.000000000　　π+2　　　　　　　π/2　　　　　　　0.30550773518 15 965 名前：°　0.205604647　　4.906228243054　　1.544232748162　　0.31474947183 30°　0.333333333　　2(5π+3√3)/9 　　(11π+3√3)/27　　0.31695250990 45°　√2 -1 　　　　4.351158878394　　1.361230101991　　0.31284311606 60°　2√3 -3　　　　4.013126310452　　1.211844939375　　0.30197029588 75°　0.491333810　　3.616783365011　　1.021692472380　　0.28248649954 90°　0.500000000　　π　　　　　　　　π/4　　　　　　　0.25000000000 ------------------------------------------------------------- [] [ここ壊れてます] 966 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/24(火) 15:59:26 ID:JQHHwetB.net] >>912 凸なのと、曲率が局所一定はいいと思うのですが、微分可能なのはどうしてでしょうか 967 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 18:16:19.81 ID:v/fj8fVi.net] >>914 尖ってる部分の外角をθとして、こんな風にθ/2の傾きの直線で切った時のlとSの変化を考えると、 切る長さxに対してlの減少は 2x(1-cos(θ/2)) (as x→+0)で近似できるのに対し、 Sの減少は (x^2*sinθ)/2 (as x→+0) で近似できる。 よって、x>0を十分小さく定めれば、より大きい S/l を実現できる。 あと忘れてたけど ・最大の S/l を与える閉曲線が存在する も言う必要あるな…大したことないかもだけど o.5ch.net/1muut.png 968 名前：イナ mailto:sage [2020/03/24(火) 18:22:26.05 ID:G+Ea7M2l.net] 前>>906 ピタゴラスの定理より、 (3/4√2+1/4)^2+(t-1/4√2)^2=t^2 t=(3√2+3)/4 =3(1+√2)/4 =1.81066017…… t^2=9(3+2√2)/16 sinθ=(4-√2)/6 =0.430964406…… θ=25.52877935…… 面積と周長をともに4つに分けて求める。 いちばん大きな扇形は2つあわせて面積π/4,周長部分π/2 2番目の扇形は2つあわせて面積π/16,周長部分π/4 3番目の扇形は2つあわせて面積π/64,周長部分π/8 亀の腹のようなy軸に線対称な残りの面積は等脚台形,鈍角三角形,うすい欠円からなる。 面積=π/4+π/16+π/64+πt^2θ/360° +(1/4√2+1/4)(1/4√2)･2 +(1/2√2+1/4)(1/4√2) -t(3/4√2+1/4) 周長=π/2+π/4+π/8+2πt(θ/360°) =7π/8+{3(1+√2)π/2}(θ/360°) 969 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/24(火) 18:42:09.43 ID:JQHHwetB.net] >>915 あーなるほど... たしかに角を小さく切る、つまり xを(S/l)(4(1-cos(θ/2))/sinθより十分小さく取ればよりよい比が出るのか ありがとうございました Maxの存在ですが、そもそも閉曲線の集合を具体的に言ってなかったんですが、リプシッツ閉曲線の集合とすればおそらく存在は言えます 970 名前：イナ mailto:sage [2020/03/24(火) 19:09:08.84 ID:G+Ea7M2l.net] 前>>916 面積=π/2 周長=2π/2+2=π+2 とすると、閉曲線はいくらでも半円に近づけられるんじゃないか？ 面積/周長=π/(2π+4) =3.05507735…… 971 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/25(水) 17:58:40 ID:YcAWd6vy.net] 前>>918直線も曲線のうち。 半径1の半円のコーナー2か所を半径rの円弧で円くカットするとき、 半円のカットされる円弧部分に対する中心角をθとすると、 (1-r)sinθ=r sinθ=(1+sinθ)r r=sinθ/(1+sinθ) 1-r=1/(1+sinθ) r^2=sin^2θ/(1+sinθ)^2 面積=π/2-θ+(1-r)rcosθ+πr^2(π+2θ)/2π =π/2-θ+(1-r)rcosθ+r^2(π/2+θ) =π/2-θ+sinθcosθ/(1+sinθ)^2+(π/2+θ)sin^2θ/(1+sinθ)^2 周長=π-2θ+2(1-r)cosθ+2πr(π+2θ)/2π =π-2θ+2(1-r)cosθ+r(π+2θ) =π-2θ+2cosθ/(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ/(1+sinθ) 面積/周長={π/2-θ+sinθcosθ/(1+sinθ)^2+(π/2+θ)sin^2θ/(1+sinθ)^2}/{π-2θ+2cosθ/(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ/(1+sinθ)} ={(π/2-θ)(1+sinθ)^2+sinθcosθ+(π/2+θ)sin^2θ}/{(π-2θ)(1+sinθ)^2+2cosθ(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ(1+sinθ)} θで微分し、分子=0とすると、 θ=27.6578187……° 972 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/25(水) 18:54:40 ID:mDuON5Tg.net] >>919 正解だけどもう>>907で解答出てます 973 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/25(水) 20:06:33.01 ID:8IQhbp71.net] いつもの芸風 974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/25(水) 21:25:32.84 ID:jmNOx22O.net] >>921 正確がでてからも延々と誤答を連発するのが芸風だったようなｗ 975 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/25(水) 23:17:09 ID:YcAWd6vy.net] .､､,, 彡`e)⌒〜っ ⌒〜っ ιγ) `彡´ υ´前>>919別解を探ってんだよ。 976 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/28(土) 04:00:21.75 ID:H8zc980P.net] 単位正方形を面積0.21未満の三角形5つで分割せよ 977 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/28(土) 04:01:22.29 ID:H8zc980P.net] 正方形は面積の等しい奇数枚の三角形では分割出来ないことを証明せよ 978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/28(土) 05:11:12.48 ID:z8xV0i7R.net] >>924 正方形を座標 [0,1]×[0,1] におく。 アドホックだけど 周上の3点 A(0,1), B(0.4,0), C(1,0.59) を考えると 線分ABが面積0.2の三角形を切り出す。 線分ACが面積0.205の三角形を切り出す。 線分BCが面積0.177の三角形を切り出す。 残った三角形ABCは面積が0.418だから、AからBCの中点へ線分を引くとこれを面積0.209ずつに等分する。 979 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/28(土) 05:28:13.83 ID:H8zc980P.net] >>926 素晴らしい 正解です 980 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/28(土) 05:40:49.83 ID:H8zc980P.net] ちなみに 「正方形を5つの三角形で分割したとき、一番大きな三角形の面積の下限」 については私は答えを知りません おそらく>>926タイプが最小だと思うけど証明出来ません 981 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/28(土) 08:19:46 ID:BJlezchp.net] n(=10)人の中から無作為にm(=2)人選んだらその中に少なくとも一人の感染者がいた。 全体で何人の感染者がいるかの期待値を求めよ。 5.345794人であってる？ 982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/28(土) 08:34:15 ID:BJlezchp.net] >>929 4.324324人かな？ 983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/28(土) 08:40:28.80 ID:BJlezchp.net] いや、6.5人じゃないかな？ 984 名前：イナ mailto:sage [2020/03/28(土) 09:18:03.03 ID:zOKjl8OR.net] 前>>923 >>929違うと思う。 少なくとも1人ということは、2人中1人か2人が感染している。 2人中1.5人が感染しているから、10人だと、 1.5(10/2)=7.5 ∴7人か8人が感染している。 985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/28(土) 10:07:11 ID:GB5uxKLH.net] >>924 周上の3点 A(0, 1)　B(√2 -1, 0)　C(1, 2-√2)　を考えると 4つの?が合同になり　(√2 -1)/2 = 0.20710678 > 1/5 残った直角2等辺三角形は (√2-1)^2 = 0.171572875 一番小さい三角形の面積の範囲は 0.1682〜0.18 ですかね 986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/28(土) 10:34:16 ID:BJlezchp.net] 6.5の計算式 x=0:n # 感染者数:x, 非感染数:n-x pmf=1- choose(n-x,m)/choose(n,m) # 感染者がx人のときにm人中誰かが感染している確率　＝　1 - (ｍ人全員非感染の確率) pdf=pmf/sum(pmf) # 確率密度関数化して (E=sum(x*pdf)) # 期待値を計算 987 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/28(土) 11:11:34 ID:BJlezchp.net] >>932 2人の感染数の期待値1.5に固定ではなくて全体の感染率に依存するんじゃないの？ # p:感染確率 p1=2*p*(1-p) # 一人だけ感染確率 p2=p^2 # 二人とも感染確率 (1*p1+2*p2)/(p1+p2) # 感染人数の期待値 1.5になるのはp=2/3のとき。 988 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/29(日) 02:03:38.99 ID:mVS6e59j.net] >>931 ツボの中に黒碁石がx個と白碁石が10-x個入っている確率をQ(x)とし、 黒石がx個の下で2個取って黒がn個である確率は、P(n)=C[x,n]C[10-x,2-n]/C[10,2] P(1)=C[x,1]C[10-x,1]/C[10,2]=x(10-x)/45、P(2)=C[x,2]C[10-x,0]/C[10,2]=x(x-1)/90 だから、P(n=1,2│黒石=x)=P(1)+P(2)=x(19-x)/90 P(n=1,2かつ黒石=x)=Q(x)P(n=1,2│黒石=x)=Q(x)x(19-x)/90 P(黒石=x│n=1,2)=P(n=1,2かつ黒石=x)/納k=1,10]P(n=1,2かつ黒石=k) =Q(x)x(19-x)/90/納k=1,10]{Q(k)k(19-k)/90}、ここで、Qが定数なら、 P(黒石=x│n=1,2)=x(19-x)/納k=1,10]{k(19-k)}=x(19-x)/660 xの期待値=納k=1,10]x*x(19-x)/660={19*10*11*21/6-(10*11/2)^2}/660=13/2 989 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/29(日) 04:48:03.83 ID:Uzyj10C6.net] 面白い問題見つけてきました、けっこう簡単だけども。 n次元実数空間上にn個の点P_1,P_2,…,P_nを、それぞれの座標が P_1:(1,0,0,…,0) P_2:(0,2,0,…,0) P_3:(0,0,3,…,0) … P_n:(0,0,0,…,n) となるように取る。 P_1〜 990 名前：P_nのn個の点で作られる(n-1)次元空間と原点Oの距離をd(n)としたとき lim[n→∞] d(n) を求めよ。 https://twitter.com/StandeeCock/status/1242443303880028161?s=19 (deleted an unsolicited ad) [] [ここ壊れてます] 991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/29(日) 06:28:49.10 ID:aOvcdyIH.net] (n-1)次元空間 (超平面とよぶ) は 　x_1 + (1/2)x_2 + ････ + (1/n)x_n = 1, で表わされる。 この超平面上の点X (x_1, x_2, ････, x_n) と原点O (0,0,････,0) の距離|OX|の2乗は 　|OX|^2 = Σ[k=1,n] (x_k)2 　　≧ {Σ[k=1,n] (1/k)x_k}^2 / {Σ[j=1,n] 1/jj}　　(← コーシー) 　　= 1 / {Σ[j=1,n] 1/jj} 　　= d(n)^2, d(n) = {Σ[j=1,n] 1/jj}^(-1/2) 　　→ {Σ[j=1,∞] 1/jj}^(-1/2)　　(n→∞) 　　= {ζ(2)}^(-1/2) 　　= (√6)/π 　　= 0.7796968 面白い！ 992 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/29(日) 06:44:13.28 ID:aOvcdyIH.net] (n-1)次元空間 (超楕円面とよぶ) は 　(x_1)^2 + {(1/2)x_2}^2 + ････ + {(1/n)x_n}^2 = 1, で表わされる。 この超楕円面上の点X (x_1, x_2, ････, x_n) と原点O (0,0,････,0) の距離|OX|の2乗は 　|OX|^2 = Σ[k=1,n] (x_k)2 　　≧ Σ[k=1,n] {(1/k)(x_k)}^2 　　= 1 　　= d(n), lim[n→∞] d(n) = 1. 面白い！ 993 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/29(日) 07:59:53.08 ID:mVS6e59j.net] >>392 嘘をついてしまい申し訳ありませんでした ＞∴ p(m+1)-pm>0⇔ Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k > 1 Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k<log((n-1)/m)より、(n-1)/m<eのとき、右辺<1よりp(m+1)<pmなので、 (n-1)/e<mのうち最小でないmは不適だから[n/e]+1より大きいmは不適 Σ[m≦k≦n-1] 1/k>log(n/m)より、n/m>eのとき、右辺>1よりp(m-1)<pmなので、 n/e>mのうち最大でないmは不適だから[n/e]より小さいmは不適 （また、p([n/e]+2)<p([n/e]+1)だからΣ[[n/e]+2≦k≦n-1] 1/k<1で、 Σ[[n/e]+1≦k≦n-1] 1/k<1+1/([n/e]+1)<2） Σ[[n/e]+1≦k≦n-1] 1/kが1未満のときm=[n/e]で、1以上のときm=[n/e]+1で最大だから、 m=[n/e]+[Σ[[n/e]+1≦k≦n-1] 1/k]のとき最大 このときm/nlog(n/m)<pm<m/nlog(n/m)+1/nだから、pm→1/e 994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/29(日) 08:15:50.52 ID:LkZjh/9V.net] >>936 レスありがとうございます。 多数決で決める事項ではないけど同じ結論の人がいてほっとしました。 995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/29(日) 09:33:52.26 ID:WogCQeQk.net] （謎） 昨日の東京のコロナ陽性者は87人検査して63人陽性であったという。 検査の感度0.6　特異度0.9と仮定して、87人中に感染者は何人と推定されるか？ 996 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/29(日) 09:43:27.74 ID:WogCQeQk.net] キャバクラ客100人から無作為に5人から検体を採取してこの検体を混合攪拌してコロナ検査したところ陽性であった。 100人のキャバクラ客の陽性数の期待値を求めよ 997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/29(日) 09:45:46.89 ID:WogCQeQk.net] >>943 401/7　になった 998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/29(日) 10:35:41 ID:WogCQeQk.net] >>929 ベイズ的に考えると n人からm人選んだら少なくとも一人の感染者がいたとする。 Ax: x人の感染者がいる(x=0~n)という事象 B:最低一人の感染陽性判定という事象 Pr[Ax|B]=Pr[B|Ax]Pr[Ax]/Pr[B] Pr[Ax]:事前確率 Pr[B|Ax]:尤度 Pr[B]:周辺尤度(規格化定数) 求めたい期待値Eは Σ(x*Pr[Ax|B])/ΣPr[Ax|B] = Σ(x*Pr[B|Ax]Pr[Ax])/Σ(Pr[B|Ax]Pr[Ax]) Pr[Ax]がxにかかわらず定数であれば E=Σ(x*Pr[B|Ax])/Σ(Pr[B|Ax]) 事前確率分布を一様分布と仮定しての計算ということだな。 999 名前：哀れな素人 [2020/03/30(月) 08:24:59 ID:7yoNMR67.net] ↓この問題を初等幾何で解け 【幾何】日本数学オリンピック予選 23 【解説】日本数学オリンピック予選 ２００９年 問４ https://www.youtube.com/playlist?list=PLvkSrMcoOqr14JV0W3n7rMKvKMoYsOTdl 1000 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/30(月) 14:05:17 ID:zICzxEKY.net] >>946 哀れな素人さん、どうもガロアスレのスレ主です。 面白い問題やね（＾＾； 1001 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/30(月) 15:45:02.93 ID:7S3Fype3.net] (1) s²+s=n^4-n² を満たす整数s, nは存在するか。有限組あるならすべて求めよ (2) 5^c+s²+s=n^4-n² を満たす整数c, s, n は存在するか。有限組あるならすべて求めよ 1002 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/30(月) 16:33:36.40 ID:uxzDymBq.net] (1) 　0 = s(s+1) - nn(nn-1) = (s+nn)(s+1-nn), ∴　s = -nn または s = nn-1.　　(無数にある) 1003 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/30(月) 17:23:18 ID:uxzDymBq.net] (2)　s(s+1) も nn(nn-1) も偶数だから矛盾。 1004 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/30(月) 18:15:38 ID:oNI+nbzZ.net] b(x) は奇関数で、aを実数として b(x)= ∫[0, x] b(u) du + ∫[a, x+a] b(u) du を満たす。 (1) b(a), b(2a) を求め、 (2) a_n=∫[0, na] b(u) du とする。a_1= ∫[0, a] b(u) du =1 としてa_nをnを用いて表せ。 1005 名前：イナ mailto:sage [2020/03/30(月) 23:34:16.95 ID:psAYFPlW.net] 前>>932 >>948(1) (s,n)=(3,2),(3,-2), (0,1),(0,-1), (-1,1),(-1,-1), (8,3),(8,-3), (-9,3),(-9,-3) 1006 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/31(火) 10:49:38 ID:NdCHFxJo.net] >>951 b(x) = F(x) + F(x+a) - F(a), ここに　F(x) = ∫[0,x] b(u)du　は偶関数。 b(x+a) = - b(-x-a) 　= - F(-x-a) - F(-x) + F(a) 　= - F(x) - F(x+a) + F(a) 　= - b(x), よって b(x) は周期2aをもつ。 1007 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/31(火) 11:05:29 ID:NdCHFxJo.net] ゆえに b(x) = ∫[0,x] b(u)du + ∫[0,x] b(u+a)du 　= ∫[0,x] b(u)du - ∫[0,x] b(u)du 　= 0, 1008 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/31(火) 21:32:31 ID:YPumKBAH.net] 半径2の円内に交わりのない単位正方形を8つ詰め込むにはどうしたらよいか 1009 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/31(火) 22:52:11 ID:0eySXOLI.net] >>955 x軸の上に、四角を横に三個並べ、その上に同様に三個乗せ、その上に二個を中央に並べる 右下の角は(3/2,0)、中段の右上の角は(3/2,2)、最上段の右上の角は(1,3)だが、 どれも(0,√7/2)からの距離が2を超えないのでここを中心に円を書けばいい 1010 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/31(火) 23:00:32 ID:DSOHFKJI.net] 前>>952 >>955 円の中心を原点(0,0)として、 (-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形、 (0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形、 (-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形、 (-1/2,√15/2),(-1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2)を頂点とする単位正方形の4つを描き、 あとの4つはそれぞれ4つの象限に正方形の中心を置き、y軸に対して2つが対称になるように置く。 x軸に正対させるんじゃなく斜め45°ぐらいで先に置いた4つの単位正方形にぎりぎり接するか接さないかぐらいで探るとよい。 1011 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/01(水) 00:03:28 ID:jY1QTlKF.net] >>955 https://imgur.com/3vsxb6D 完全に手探りで詰め込んでみました. ( Geogebra で作図 ) 描画線幅のボヤケで接触してるように見える箇所も実際は離れています. 1012 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/01(水) 00:49:33 ID:3A39oS9Q.net] >>956 円の中心を(0,0)とすれば 　(±3/2, -(√7)/2) と (±3/2, 2 -(√7)/2) のなす長方形に６個 　(±1, √3) と (±1, √3 -1) のなす長方形に２個 ですね。 *　2 - (√7)/2 = 0.677124344 　√3 - 1 = 0.7320508 1013 名前： 【大吉】 mailto:sage [2020/04/01(水) 01:12:46 ID:hhUwhMFY.net] 前>>957 残り4つのうち2つを第3象限と第4象限に斜め45°で入れようとすると、 点(1/2,√15/2-1)と直線y=x-1/2+1-√3+1/2√2の距離は、 |4√2-√30-2√6+1|/4=0.929837703……＜1 予想通り残りの2つを第1象限と第2 1014 名前：象限に入れることができない。 つまり第3象限と第4象限に入れようとした2つの単位正方形を最初に置いた2つの単位正方形の1つの頂点(-1,1-√3)および(1,1-√3)辺が接したままその点を支点に円弧側に傾けて、残り2つの単位正方形が入るようにする。 最大限傾けると点(1/2,√15/2-1)と第4象限で傾けた単位正方形の最も近い辺の距離は1を超えるはず。 点(1,1-√3)から√5/2の距離にある単位正方形の2つの頂点が決まり次第お伝えしたい。 [] [ここ壊れてます] 1015 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/01(水) 03:55:57.89 ID:MHhYU/kR.net] 微分四次元 1016 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/01(水) 08:37:36.27 ID:+rNOlT7Q.net] 一辺の長さ3の正方形を、半径1の円5つで被覆することは可能か 1017 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/01(水) 09:38:01.06 ID:3A39oS9Q.net] 上から √3 =1.7320508 の部分を1×√3の長方形に三等分する。 下から (√7)/2 = 1.3322875 の部分を 3/2 × (√7)/2 の長方形に二等分する。 各長方形は、対角線の長さが2だから、半径1の円で被覆することが可能。 1018 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/01(水) 09:48:47 ID:3A39oS9Q.net] 〔問題〕半径Rの円板上に、直径1の円板何枚かを互い に重なる部分が無いように置きたいのですが、最大何枚 まで置けるでしょうか。 ・R=2 の場合。 数セミ増刊「数学の問題　第(3)集」日本評論社 (1988) ●104 (日本MOでも使われたらしい。) 1019 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/01(水) 13:03:11 ID:YULTPcko.net] https://en.m.wikipedia.org/wiki/Circle_packing_in_a_circle 1020 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/01(水) 14:00:24 ID:ZUQmzTxS.net] 大小2つの円を用意したら結果はどうなるかな 1021 名前： 【末吉】 mailto:sage [2020/04/01(水) 17:55:30 ID:hhUwhMFY.net] 前>>960方針変更。最初の4つは同じ。傾き45°は変えない。 >>955 5つ目〜8つ目の単位正方形を第1象限〜第4象限に振り分け、y軸に対して2つを対称に、かつ辺がy=xまたはy=-xと平行になるように置くと、5つ目の単位正方形の頂点の座標は、 (2-√15/4-√3/2,1/2+√15/4-√3/2), (2+√2/2-√15/4-√3/2,1/2-√2/2+√15/4-√3/2), (2+√2-√15/4-√3/2,1/2+√15/4-√3/2), (2+√2/2-√15/4-√3/2,1/2+√2/2-√15/4-√3/2) 6つ目,7つ目は第2象限,第3象限に置くとして8つ目の単位正方形を5つ目の単位正方形とぴったりくっつけたままy軸方向に寄せると、 y=x-3/2-√2+√15/2とx=1/2の交点は、 (1/2,-1-√2+√15/2) 対角の頂点は、 (1/2+√2,-1-√2+√15/2) x^2+y^2=(1/2+√2)^2+(-1-√2+√15/2)^2 =1/4+2+√2+15/4+3+2√2-√15(1+√2) =9+3√2-√15-√30 =3.89243177……＜4 ∴半径2の円に単位正方形が8つ入る。 1022 名前： mailto:sage [2020/04/01(水) 19:46:59.37 ID:hhUwhMFY.net] 前>>967 最初に描いたy軸を挟んで円弧と接する2つの単位正方形の第3象限のを�@,第4象限のを�A,次に描いた原点を含むのを�B,y軸の+方向で円弧と2か所で接するのを�Cとすると、�Bと�Gが接さない可能性がある。 つまり5つ目と8つ目を接したまますべらせつつ右回転、6つ目と7つ目を接したまま左回転し、円内に納める。 名づけて八星天道虫作戦。 1023 名前： 【ぴょん吉】 mailto:sage [2020/04/01(水) 22:58:17 ID:hhUwhMFY.net] 前>>968 >>955 円の中心を(0,0)とし、 (-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形?、 (0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形?、 (-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形?、 (-1/2,√15/2),(-1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2)を頂点とする単位正方形?を描き、 5つ目の単位正方形?を第1象限に、 6つ目の単位正方形?を第2象限に、 ?と?がy軸に対して線対称となるように置き、 7つ目の単位正方形?を第3象限に、 8つ目の単位正方形?を第4象限に、 ?と?がy軸に対して線対称となるように置き、 ?と?の1つの辺をぴったりくっつけ、 ?の頂点の1つが円と接するようにし、 ?と?の1つの辺をぴったりくっつけ、 ?の頂点の1つが円と接するようにする。 ∴方法は示された。 題意にはないが、?〜?の頂点の座標を決めることもできる。 1024 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/02(Thu) 11:17:43 ID:4wgrunsr.net] いま、ある人がコロナに感染しており、n個のコロナウイルスを持っている コロナは一時間ごとに増減し、確率pでa個増え、1-pでb個減るとする(0<p<1、aとbは自然数) また、コロナはS個以下になれば生存確定、T個以上になれば死亡確定とする 生存確率の範囲は？ Tを正の無限大に飛ばしたときの生存確率の範囲は？ 1025 名前：イナ mailto:sage [2020/04/02(木) 22:45:30.34 ID:RYC4Exv5.net] 前>>969別解。 >>955 �@�A�Bはそのまま、�Cを原点のほうに寄せ�Bにくっつけ、�Dと�Gおよび�Eと�Fをそれぞれ縦に並べ�B�Cを挟みこむようぴったりつける。 �E�C�D �F�B�Gの6つはy軸に対して左右線対称なので、 �Dの右上の座標(3/2,3-√3)が円内にあれば単位正方形8つはすべて円内にある。 (3/2)^2+(3-√3)^2=9/4+9-6√3+3 =57/4-6√3 =14.25-6･1.7320508…… =14.25-10.3923048…… =3.85……＜4 ∴狐につままれた。 1026 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/03(金) 09:50:21 ID:mgebV0rK.net] 半径2の円内に交わりのない単位正方形を8つと （2/3)×√3 の長方形を１つ詰め込むにはどうしたらよいか 1027 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/03(金) 11:41:06.15 ID:iElvV83p.net] >>954 定数関数って奇関数じゃなくね 1028 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/03(金) 12:03:01 ID:y55gm0o6.net] >>972 こんな感じの詰めかたで半径1.9991425…くらい imgur.com/IiCbKrV.png 1029 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/03(金) 12:21:32 ID:mgebV0rK.net] 正解です！ (√3）+ (√15)/2 - 3 = 0.66854248 √(8√7 - 7）- 2 = 1.763776094 まではいけそうです。 1030 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/03(金) 12:40:43 ID:mgebV0rK.net] 充てん率で言えば　9.1547/4π = 0.72851 （単位正方形8つの 2/π = 0.63662 より向上) 1031 名前：イナ mailto:sage [2020/04/03(金) 13:38:00.93 ID:1jf5ZUTP.net] 前>>971 >>972 �@�A�Bまで同じ。 �Cはy軸切片2の位置ら辺の周に頂点をひっかけて待つ感じ。 �D�E�F�Gを第1,2,3,4象限に配置し片側に寄せると、�Dまたは�Eが円周につかえるためやや内側に押され、�Dと�Eが頂点で�Cのとなりあう2辺と接する形になる。 たとえば左寄せで�Dと�Gの縦の面をあわせて横幅2/3,縦に√3の辺が来るようにすると、 右上の頂点(11/3-√3,1/2)の座標から、 (11/3-√3)^2+(1/2)^2=3.99273852……＜4 なんとか円内に入る。 �Cの左上辺または右下辺を傾ける角度は、 30°〜45°で円内収納の可能性がある。 たとえ数値的にむりでも右端の長方形にわずかに余裕があった。�Cは�Dと�Eのあいだに楔状に押しこめる可能性がある。 1032 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/03(金) 14:40:16 ID:mgebV0rK.net] 半径2の円内に交わりのない √(5/8)×√(3/2) の長方形を１0個詰め込むにはどうしたらよいか 1033 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/03(金) 15:08:56 ID:y55gm0o6.net] >>978 a^2+((3/2)b)^2＝(2a)^2+b^2＝2^2 を解いてa＝√(5/8),b＝√(3/2)って係数を得たということね 1034 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/04/03(金) 16:30:03 ID:1jf5ZUTP.net] 前>>977 >978 横長に下から1つ2つ3つ重ねると上面は、 3√(5/8)-√[2^2-{(1/2)√(5/8)}^2]=0.411159852…… 残り4つを半円より小さな上のエリアに、 ￥マークのように2つの長方形をソの字に置き、その上に2つを□に置くか、 または羊の異体字のように横向きの長方形を上下に離して置き、そのあいだに左右からハの字に楔状につっこむ。 1035 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/03(金) 17:58:04 ID:1+NoQgUm.net] x軸の上に長方形を寝かせて三個並べる その上に中央に寝かせて二個並べる 下段の右上の角は(長辺の長さ×3/2,短辺の長さ) 上段の右上の角は(長辺の長さ,短辺の長さ×2) どちらも原点からの距離が4なので原点中心の半円に五個はまる 1036 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/03(金) 21:39:14.25 ID:mgebV0rK.net] 正解です！ 充てん率で言えば　9.68246 / 4π = 0.770505 半径2の円内に交わりのない (2/√13)×(8/√13) の長方形を8つ詰め込むにはどうしたらよいか 1037 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/03(金) 22:04:19.35 ID:1+NoQgUm.net] 長方形を寝かせて� 1038 名前：Z段重ねたものを作り、両サイドの中央に一個づつ立たせてくっ付ける 重ねた長方形の角までの距離=(長辺÷2)^2+(短辺×3)^2=2^2 横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(短辺)^2=2^2 [] [ここ壊れてます] 1039 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/03(金) 22:07:16.00 ID:1+NoQgUm.net] >>983訂正 ×　横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(短辺)^2=2^2 ○　横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(長辺÷2)^2=2^2 1040 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/03(金) 22:10:18.16 ID:1+NoQgUm.net] また間違えた距離じゃなくて距離^2だった 1041 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/04(土) 01:09:41 ID:hLQ36is2.net] ほぼ正解です！ 充てん率で言えば　9.846154 / 4π = 0.783532 □よりも細長い方が収まりがいい（?) 1042 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/04(土) 02:01:24 ID:pmTrKGmv.net] 正直あまり数学って感じでもないけど ある日の午前中に雪が降り始めた。 除雪車が正午ぴったりに動き出し、 1時間で2マイルの除雪を完了し、 さらに1時間で1マイルの除雪を完了した。さて雪が降り始めた時刻は？ ただし、その日雪が降り始めるまでの積雪は0、雪は一定の速さで降り積もり、除雪車が単位時間あたりに処理する雪の体積は常に一定とする。 上記のようなSnow plow problemの派生として それでは2時間後の加速度が1時間後の半分になる場合、雪が降り始めた時刻を数値的に求める場合にあると便利な数表はなにか？理由付きで。 電卓等は使わないものとする 1043 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/04(土) 10:39:27 ID:hLQ36is2.net] >>986 　√(8/17) × 3√(8/17) の長方形を7つ詰め込むと充てん率が 　9.882353 / 4π = 0.7864 となり、正方形の内接円の充てん率 (π/4=0.7854) を超える。 とくに意味はないが････ 1044 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/04(土) 11:47:35 ID:hLQ36is2.net] 正午よりc時間前に雪が降り始めたとする。 積もった雪の高さは t+c に比例し、 除雪車の速さv(t)は t+c に反比例する。 　v(t）= k/(t+c), 正午からt時までに除雪車が進んだ距離は 　∫[0,t］v(t')dt' = ∫[0,t] k/(t'+c）dt' 　= k･log{(t+c)/c} 題意により、 　k･log{(c+1)/c｝= 2マイル 　k･log{(c+2)/c｝=（2+1)マイル 　　 ∴ 3log{(c+1)/c｝= 2log{(c+2)/c}, ∴（c+1)^3 = c(c+2)^2, ∴ c =（√5 -1)/2 = 0.618034（時間）= 37.082（分) 加速度は -k/(t+c)^2 だから 　1/(c+2)^2 = 1/{2(c+1)^2}, 　0 = 2(c+1)^2 - (c+2)^2 = cc -2, 　c = √2, 雨は夜更け過ぎに　雪へと変わるだろう Silent night,　Holy night ∴　平方根表。 1045 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/04(土) 11:55:52 ID:S2S4Ftgc.net] 時間当たり除雪量をJ、時点tのときの雪の高さをH(t)=(t+a)/hとし、除雪車の位置をx(t) 除雪車は短い時間dtでdx進み、その間少しの雪dxH(t)を除雪するから、dtJ=dxH(t) x(t)=∫dx=∫dtJ/H(t)=Jh∫dt/(t+a)、x(t)-x(0)=Jhln((t+a)/a)だから、 x(1)-x(0)=Jhln((1+a)/a)=2、x(2)-x(0)=Jhln((2+a)/a)=3、3ln((1+a)/a)=2ln((2+a)/a) ((1+a)/a)^3=((2+a)/a)^2、a^2+a-1=0より、aはフィボナッチ数(√5-1)/2 雪は正午から(√5-1)/2時間前に降り始めた dx(t)/dt=Jh/(t+a)、ddx(t)/dtdt=-Jh/(t+a)^2だから、-Jh/(2+a)^2=(-Jh/(1+a)^2))*1/2と置くと、 (2+a)^2=2(1+a)^2、a^2-2=0、なので√2時間前 平方根表が必要 1046 名前： mailto:sage [2020/04/04(土) 19:39:42.47 ID:xmNOPA8p.net] 前>>980 >>955 円の中心を(0,0)とし、 (-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形�@、 (0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形�A、 (-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形�B、 (0,2),(-√2/2,2-√2/2),(0,2-√2),(√2/2,2-√2/2)を頂点とする単位正方形�Cを描き、 5つ目の単位正方形�Dを第1象限に、 6つ目の単位正方形�Eを第2象限に、 �Dと�Eがy軸に対して線対称となるように置き、 7つ目の単位正方形�Fの中心を第3象限に、 8つ目の単位正方形�Gの中心を第4象限に、 �Fと�Gがy軸に対して線対称となるように置き、 �D�E�F�Gがそれぞれ1つの頂点で円と内接するように置けないでしょうか？　もし2つ3つ3つと積み重ねて 1047 名前：正対させる以外の置き方がないとしたらちっとも面白い問題じゃないです。 [] [ここ壊れてます] 1048 名前：イナ mailto:sage [2020/04/05(日) 14:29:03.18 ID:kyAykWoL.net] 前>>991 >>955予想。 �@�Aをy軸に対して線対称にハの字型に置き、�@の右下辺の傾きを4/3、�Aの左下辺の傾きを-4/3としy軸上で接するようにする。 �Bは原点付近に中心を置き正対させ、�Cをy軸に対して45°回転させ頂点を(0,2)と(0,2-√2)に置く。 �D〜�Gの中心を第1〜4象限に置き、 �D�Gは�Aと同じ傾きにし、�E�Fは�@と同じ傾きにすると、 �@,�A,�C〜�Gをそれぞれ1つずつの頂点で円に内接するように置くことがぎりぎりできないかと思う。 1049 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/04/05(日) 22:22:31 ID:kyAykWoL.net] 前>>992 >>955別解。 ??をy軸に対して線対称に置き、?の左上辺の傾きを3/4,左下辺の傾きを-4/3にする。 ?の中心を原点に配置しx軸,y軸に正対させ、?をy軸に対して45°回転、頂点を(0,2),(0,2-√2)に配置する。 ?の左上辺と右下辺の切片の差は7/5。 ???の左上辺の傾きを3/4, ???の右上辺の傾きを-3/4にあわせ、 ?をめいいっぱい上げて?の左端のx座標が1/2より大きく、かつ右端の座標の2乗和が、 x^2+y^2≦4の範囲にあればいい。 ?の左端の頂点を?の右下辺よりわずかに下にとるには、 y=x+2-√2に0.4を代入し、 y=0.4+2-√2=0.985786438…… (0.4,0.98)とすると確実に?と?は離れていて、 ?の上端の座標は、 (0.4+0.8,0.98+0.6)=(1.2,1.58) 1.2^2+1.58^2=3.9364＜4 ?の右端の座標は、 (1.2+0.6,1.58-0.8)=(1.8,0.78) 1.8^2+0.78^2=3.8484＜4 ?の下端の座標は、 (0.4+0.6,0.98-0.8)=(1,0.18) ?の右下辺および?の左上辺の方程式は、 y=3(x-1)/4+0.18 ?の左端の座標を(0.56,-0.15)とすると、 ?の右端の座標は、 (0.56+0.8+0.6,-0.15-0.8+0.6) =(1.96,-0.35) 1.96^2+(-0.35)^2=3.9641＜4 ?の左下辺および?の右上辺の方程式は、 y=-4(x-0.56)/3-0.15 ?の左端はy軸に接するといいから、?の上端のx座標0.8を代入し、 ?の上端の座標は(0.8,-0.47) ?の左端の座標は(0,-1.07) ?の下端の座標は(0.6,-1.87) 0.6^2+(-1.87)^2=3.8569＜4 ?の右端の座標は(1.4,-1.27) 1.4^2+(-1.27)^2=3.5729＜4 ∴単位正方形8つを真ん中の1つ以外をすべて正対させることなく半径2の円内に納めることができる。 1050 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/06(月) 03:03:42.48 ID:39Ei0lMN.net] [0,1]上の無理数xに対して、 xの連分数展開を[a_0;a_1,a_2,...]とする. p_n(x):= [a_0;a_1,a_2,...,a_n]としたとき、 極限lim(n→∞) (x-p_n(x))^(1/n)を求めよ. 1051 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/04/07(火) 03:01:26 ID:St9xu4sq.net] 前>>993訂正。?の左上辺と右下辺の切片の差は5/4。 >>955 単位正方形??の頂点を(0,-1.07),(±0.6,-1.87),(±1.4,-1.27),(±0.8,-0.47) 単位正方形?の頂点を(-0.5,0.5),(-0.5,-0.5),(0.5,-0.5),(0.5,0.5) 単位正方形?の頂点を(0,2),(-√2/2,2-√2/2),(0,2-√2),(√2/2,2-√2/2) 単位正方形??の頂点を(±0.4,0.98),(±1,0.18),(±1.8,0.78),(±1.2,1.58) 単位正方形??の頂点を(±0.56,-0.15),(±1.16,0.95),(±1.96,-0.35),(±1.36,0.45)にする。 1052 名前：哀れな素人 [2020/04/07(火) 08:37:11.77 ID:D9Jvum39.net] ↓この問題を初等幾何で解け 和算【数学検定1級 過去問】 https://www.youtube.com/watch?v=QSoet6pQ3Nc 1053 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/07(火) 12:33:36.96 .net] 次スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586230333/ 1054 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/07(火) 20:30:26.14 ID:ZlV3F5Vq.net] >>996 乾円の直径をD 坤円の直径をd 水平線の長さを 2L とする。 �凾ﾌ相似により D：L=L：d 水平線の長さ L = √(Dd)　… (1) Dをδだけ変えたとき、 ・乾円の面積は（πD/2)δ 変わる。 ・黄色部分の面積は（2L - πD/2)δ だけ変わる。 黄色部分の面積が最大となるとき 　2L - πD/2 = 0　…　(2) (1)(2)からLを消すと 　d = D(π/4)^2, 1055 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/08(水) 00:20:58 ID:ZohoKp5e.net] >>987のまねをしてみた 雪の降り方は一定ではなく次第に衰え、降り止んで以降は溶け出すものと変更する 降り始めてからt時間後の時点での雪の積もる速度はcos(πt/3)とする(0<t<4) 1056 名前：正午前に雪が降り始めて正午から除雪車を稼働させる 雪が降り始めて一時間半後の時点で一マイルの除雪ができた さらにその後30分で一マイルの除雪ができた 雪が降り始めた時間を知るにはどんな表が必要か [] [ここ壊れてます] 1057 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/08(水) 01:38:31 ID:8k14h8i+.net] =1000+1000-1000*1000/1000 1058 名前：1001 [Over 1000 Thread .net] このスレッドは１０００を超えました。 新しいスレッドを立ててください。 life time: 71日 5時間 26分 30秒 1059 名前：過去ログ ★ [[過去ログ]] ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

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