- 80 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/11/26(日) 20:01:16 ]
- >>75 の別証
αZ[ω] = [α, αω] は Z[ω] の部分アーベル群である。
1) α = a + bω
2) αω = c + dω
とする。
この２式の両辺の共役をとると
3) α' = a + bω'
4) α'ω' = c + dω'
α, αω を第１行、
α', α'ω' を第２行に持つ行列の行列式をΔ[α, αω] とする。
同様に 1, ω を第１行、1, ω' を第２行に持つ行列の行列式
をΔ[1, ω] とする。
a, b を第１行
c, d を第２行に持つ行列を A とする
1), 2) ,3) ,4) より
Δ[α, αω] = det(A)Δ[1, ω] となる。
Δ[α, αω] = αα'Δ[1, ω] = N(α)Δ[1, ω]
よって N(α)Δ[1, ω] = det(A)Δ[1, ω]
Δ[1, ω] = ω' - ω ≠ 0 であるから、
N(α) = det(A) となる。
1), 2) と >>76 より N(αZ[ω]) = |det(A)| だから
N(αZ[ω]) = |N(α)| となる。
証明終
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