- 75 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/11/26(日) 14:05:45 ]
- 命題
α ≠ 0 を２次体 Q(√m) の整数とすると
N(αZ[ω]) = |N(α)| である。
ここで右辺は N(α) の絶対値をあらわす。
証明
イデアル αZ[ω] の共役イデアルは α'Z[ω] である。
よって
(αZ[ω])(α'Z[ω]) = αα'Z[ω] = N(α)Z[ω]
一方、>>71 より (αZ[ω])(α'Z[ω]) = N(αZ[ω])Z[ω] となる。
したがって N(α)Z[ω] = N(αZ[ω])Z[ω] である。
よって
N(α) = N(αZ[ω])εとなる整数εがある。
容易にわかるようにεは単数である。
両辺のノルムをとると
N(α)^2 = N(αZ[ω])^2 N(ε) となる。
>>74 より N(ε) = ±1 であるから
N(α)^2 = ±N(αZ[ω])^2 となる。
左辺は正だから N(α)^2 = N(αZ[ω])^2 である。
よって N(α) = ±N(αZ[ω]) である。
N(αZ[ω]) ＞ 0 だから N(αZ[ω]) = |N(α)| である。
証明終
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