代数的整数論　004

796 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/03(土) 18:22:08 ] >>786(Sylowの第一定理)の>>795を使った証明 G の位数に関する帰納法を使う。 G の中心(>>781)を K とする。 G の共役類(>>780) C で |C| ＞ 1 となるもの全体を C_1, ..., C_r とする。 G の類等式は |G| = |K| + |C_1| + ... + |C_r| である。 ある C_i に対して |C_i| は p で割れないとする。 x ∈ C_i のとき |C_i| = [G : N(x)] である(>>780)。 よって N(x) は p^m で割れる。 帰納法の仮定から N(x) の部分群 H で |H| = p^m となるものが 存在する。 よって、この場合は定理は証明された。 次に、すべての |C_i| は p で割れるとする。 このとき上の類等式から |K| は p で割れる。 K はアーベル群だから >>795 より K は位数 p の元をもつ。 この元で生成される K の部分群を L とする。 L は G の正規部分群で |L| = p だから |G/L| は p^(m-1) で割れる。 よって帰納法の仮定から G/L に位数 p^(m-1) の部分群が存在する。 よって G に位数 p^m の部分群が存在する。 証明終

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