- 598 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/04(日) 20:58:25 ]
- 命題
R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の正定値(>>293)かつ
原始的な２次形式とする。
f に一次変換
x = pu + qv
y = ru + sv
を施して
g(u, v) = f(pu + qv, ru + sv) = ku^2 + luv + mv^2
とする。 ここで p, q, r, s は有理整数で ps - qr = 1 である。
このとき I = [a, (-b + √D)/2] と J = [k, (-l + √D)/2] は R の
可逆な原始イデアルであり、I(R)/P(R) (>>473) の同じ類に属す。
証明
>>405 より ku^2 + luv + mv^2 は判別式 D の正定値かつ原始的な
２次形式である。
よって >>592 より I と J は R の可逆な原始イデアルである。
θ = (-b + √D)/2a
τ = (-l + √D)/2k
とおく。
>>299 と同様にして θ = (pτ + q)/(rτ + s) であることがわかる。
>>594 より I と J は I(R)/P(R) の同じ類に属す。
証明終
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