- 299 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/20(水) 15:37:57 ]
- >>298 の証明
D ＜ 0 だから Q(√m) は虚２次体である。
θ = (-b + √D)/2a とおく。θ は ax^2 + bx + c = 0 の根である。
ここで、>>273 と同様に √D = √|D| √(-1) とする。
a ＞ 0 だから θ は複素上半平面にある。
>>287 より [a, (-b + √D)/2] は Q(√m) の原始イデアルである。
行列 (p, q)/(r, s) の逆行列は (s, -q)/(-r, p) である。
τ = (sθ - q)/(-rθ + p) とおく。
θ = (pτ + q)/(rτ + s) である。
>>198 より Im(τ) = Im(θ)/|-rθ + p|^2 だから
τ も複素上半平面にある。
aθ^2 + bθ + c = 0 より
a(pτ + q)^2 + b(pτ + q)(rτ + s) + c(rτ + s)^2 = 0
この左辺は f(pτ + q, rτ + s) = g(τ, 1) = kτ^2 + lτ + m
である。
>>297 より g(u, v) は正定値だから、k ＞ 0 である。
よって τ が複素上半平面にあることから τ = (-l + √D)/2k で
でなければならない。
>>287 より [k, (-l + √D)/2] は Q(√m) の原始イデアルである。
>>195 より [a, (-b + √D)/2] と [k, (-l + √D)/2] は、
Q(√m) の同じイデアル類に属す。
証明終
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