- 555 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/29(月) 12:53:02 ]
- 命題
A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。
A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。
p ≠ 0 を A の素イデアルとする。
p が正則であるためには p が可逆分数イデアル(>>466)であることが
必要十分である。
証明
p が正則なら >>554 より A_p は離散付値環である。従って pA_p は
単項イデアルである。
q ≠ 0 を p と異なる A の素イデアルとすると、q は p に含まれない
から pA_q = A_q となり、これも 0 でない単項イデアルである。
よって >>500 (及び >>502) より p は可逆分数イデアルである。
逆に p が可逆分数イデアルなら >>499 より pA_p は単項イデアル
である。よって前スレ３の534より A_p は離散付値環である。
よって >>554 より p は正則である。
証明終
