- 534 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 12:48:50 ]
- 命題
A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。
このとき次のアーベル群の完全列が存在する。
0 → K^*/A^ → Σ K^*/(A_p)^* → Pic(A) → 0
ここで Σ K^*/(A_p)^* の p は A の 0 でない素イデアル全体を動く。
証明
>>507 と >>511 より I(A) は Σ I(A_p) と標準的に
同型である。ここで p は A の 0 でない素イデアル全体を動く。
各 A_p は局所環だから前スレ２の361より Pic(A_p) = 0 である。
よって >>472 より I(A_p) = P(A_p) である。
>>517 より P(A_p) は K^*/(A_p)^* と標準的に同型である。
以上から I(A) は Σ K^*/(A_p)^* に標準的に同型である。
>>472 より P(A) は K^*/A^* と標準的に同型である。
後は>>473 に注意すればよい。
証明終
