- 518 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 17:17:22 ]
- 命題
A を単項イデアル整域(前スレ１の644)とし、K をその商体とする。
K^*/A^* は Σ K^*/(A_p)^* に標準的に同型である。
ここで p は A の 0 でない素イデアル全体を動く。
証明
>>507 と >>511 より I(A) は Σ I(A_p) と標準的に同型である。
A は単項イデアル整域だから I(A) = P(A) である。
A_pは局所環だから、前スレ２の361より Pic(A_p) = 0 である。
よって >>472 より I(A_p) = P(A_p) である
(このことは A_p が離散付値環であることからも分かる)。
以上から P(A) は Σ P(A_p) と標準的に同型である。
一方、>>517 より P(A) は K^*/A^* と標準的に同型であり、
P(A_p) は K^*/A^* と標準的に同型である。
よって K^*/A^* は Σ K^*/(A_p)^* に標準的に同型である。
証明終
