- 492 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/20(土) 10:51:30 ]
- 命題
A をネーター環、I を A のイデアルで I を含む素イデアルはすべて
極大イデアルであるとする。このとき I を含む極大イデアルは有限個
であり、A/I は環の直積 ΠA_m/IA_m と標準的に同型である。
ここで m は I ⊂ m となる極大イデアルを動く。
証明
仮定より I を含む極大イデアルは V(I) の極小元である。
前スレ１の224よりこれ等は有限個である。
m_1 と m_2 を V(I) の異なる２元とする。
>>486 より I(m_1) は m_1 に属する準素イデアルである。
よって I(m_1) を含む素イデアルは m_1 だけである。
同様に I(m_2) を含む素イデアルは m_2 だけである。
したがって I(m_1) と I(m_2) をともに含む素イデアルはない。
よって I(m_1) + I(m_2) = A である。
一方、>>487 と >>488 より I = ∩I(m) となる。
よって中国式剰余定理(前スレ１の341)より
A/I は環の直積 ΠA/I(m) と標準的に同型である。
>>490 より A/I(m) は A_m/IA_m に標準的に同型であるから
A/I は ΠA_m/IA_m と標準的に同型である。
証明終
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