- 435 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/12(金) 16:04:40 ]
- 命題
A を整域とし、K をその商体とする。
A の K における整閉包を B とする。
I = (A : B) とおく(>>434)。
A の素イデアル P に対して A_P が整閉であるためには、
I ⊂ P とならないことが必要十分である。
証明
S = A - P とおく。S は A の積閉部分集合である。
B_S を B_P と書くことにする。
>>433 より B_P は A_P の K における整閉包である。
従って、A_P が整閉であるためには A_P = B_P が必要十分である。
一方、A_P = B_P であるためには (A_P : B_P) = A_P が
必要十分である。
>>434 より (A : B)_P = (A_P : B_P) であるから、
これは、IA_P = A_P と同値である。
証明終
