- 286 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/18(月) 19:49:21 ]
- 命題
θ を２次の無理数(>>284)とする。
τ = g(θ) とする。ここで g は GL_2(Z) (>>285) の元である。
このとき τ も２次の無理数であり、θ と同じ判別式(>>276)をもつ。
証明
aθ^2 + bθ + c = 0 とする。
ここで a, b, c は有理整数で gcd(a, b, c) = 1 である。
D = b^2 - 4ac は θ の判別式である。
θ は２次の無理数だから D は平方数ではない。
２次形式 f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 を考える。
g の逆行列を h = (p, q)/(r, s) とする。
θ = h(τ) = (pτ + q)/(rτ + s) である。
g(u, v) = f(pu + qv, ru + sv) = kx^2 + lxy + my^2
とすると、>>281 より D = l^2 - 4km である。
μ = pτ + q
ν = rτ + s
とおく。
θ = μ/ν だから
a(μ/ν)^2 + b(μ/ν) + c = 0
aμ^2 + bμν + cν^2 = 0
よって f(μ, ν) = g(τ, 1) = 0
よって g(τ, 1) = lτ^2 + mτ + n = 0
D = l^2 - 4km は平方数ではないから τ は２次の無理数である。
証明終
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