ガロア生誕200周年記念スレ part 6

1 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/23(木) 09:04:21.71 ] 2011年10月25日をもって、エヴァリスト・ガロア生誕200周年となりました Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日 Galois生誕200周年を記念して Kummer ◆g2BU0D6YN2 がGalois理論とそれに関連する話題を 語るスレです。 内容についてわからないことがあったら遠慮なく質問してください。 その他、内容についてのご意見は歓迎します。 例えば、誤りの指摘、証明の改良など。 なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては 原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。 231 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 09:17:25.39 ] 命題 G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 Z を有理整数環とする。 {-1、1} を Z の乗法に関する可逆元からなる群とする。 σ ∈ G に sgn(σ)（>>230）を対応させる写像 sgn：G → {-1、1} は群としての準同型である。 証明 A = Z[X_1、．．．、X_n] を Z 係数の n 変数の多項式環とする。 >>64より A は G-集合（過去スレpart5の77）となる。 A の元 Δ = Π[i ＜ k] (X_i - X_k) を考える。 σ と τ を G の元とする。 >>229より (στ)Δ = σ(τΔ) = σ(sgn(τ)Δ) = sgn(τ)sgn(σ)Δ 一方、(στ)Δ = sgn(στ)Δ よって、sgn(στ) = sgn(σ)sgn(τ) 証明終 232 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 09:28:28.44 ] 命題 G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 G の任意の互換（>>215）σ に対して sgn(σ) = -1 である。 証明 ρ = (n - 1、n) とする。 ρ の転移（>>228）の個数は 1 である。 よって、sgn(ρ) = -1 である。 >>226より τ ∈ G で σ = τρτ^(-1) となるものがある。 >>231より sgn(σ) = sgn(τρτ^(-1)) = sgn(τ)sgn(ρ)sgn(τ^(-1)) = sgn(ρ) = -1 証明終 233 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 09:33:15.75 ] 定義 G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 σ を G の元とする。 sgn(σ) = 1 のとき σ を偶置換という。 sgn(σ) = -1 のとき σ を奇置換という。 234 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 09:40:16.95 ] 命題 G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 σ を G の元とする。 >>222より σ は互換（>>215）の積として表される。 このとき、 σ が偶置換（>>233）であるためには σ が偶数個の互換の積となることが必要十分である。 σ が奇置換（>>233）であるためには σ が奇数個の互換の積となることが必要十分である。 証明 >>231と>>232から明らかである。 235 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 09:53:28.67 ] 定義 G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 >>231より sgn：G → {-1、1} は準同型であるから sgn の核 H は G の部分群である。 H を {1、．．．、n} 上の交代群と呼ぶ。 H は G の全ての偶置換（>>233）からなる。 236 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 09:58:48.88 ] 定義 G を集合 I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 H を I 上の交代群（>>235）とする。 このとき H は G の指数 2 の正規部分群である。 よって、H の位数は n！/2 である。 証明 >>232より sgn：G → {-1、1} は全射であるから G/H は {-1、1} と同型である。 証明終 237 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 10:41:44.41 ] 命題 H を集合 {1、．．．、n} 上の交代群（>>235）とする。 H の任意の元は長さ 3 の巡回置換（>>210）の積となる。 証明 n ＜ 3 のときは自明だから n ≧ 3 とする。 >>223と>>234より H の任意の元は (1, k)、k = 2、．．．、n の形の互換（>>215）の偶数個の積として 表される。 3 ≦ a、b ≦ n とする。 >>225より �@）(1, a)(1, 2) = (1, 2, a) �A) (1, 2)(1, b) = (1, b, 2) よって、 �B) (1, a)(1, b) = (1, a)(1, 2)(1, 2)(1, b) = (1, 2, a)(1, b, 2) (1, k)、k = 2、．．．、n の形の互換の２個の積は同じもの同士の積を除けば上記の場合で尽くされる。 証明終 238 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 10:54:31.65 ] 定義（>>210の拡張） G を有限集合 I 上の対称群（>>6）とする。 J = {i_1、．．．、i_r} を I の空でない部分集合で |J| = r とする。 σ ∈ G で σ(i_1) = i_2、．．．、σ(i_(r-1)) = i_r、σ(i_r) = i_1 となり I - J の各元 j に対して σ(j) = j となるものを G の巡回置換と呼び、 σ = (i_1、．．．、i_r) と書く。 r を σ の長さと呼ぶ。 239 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 10:56:48.23 ] 定義（>>211の拡張） G を有限集合 I 上の対称群（>>6）とする。 σ = (i_1、．．．、i_r) を G の巡回置換（>>238）とする。 集合 {i_1、．．．、i_r} を σ の台と呼ぶ。 240 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 10:58:34.62 ] 定義（>>215の拡張） G を有限集合 I 上の対称群（>>6）とする。 G の長さ 2 の巡回置換（>>238）を互換と言う。 241 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 11:05:17.09 ] 命題（>>213の拡張） G を有限集合 I 上の対称群（>>6）とする。 G の任意の元は台（>>239）が互いに交わらない巡回置換（>>238）の積として一意に表される。 証明 >>213と同様である。 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/13(火) 00:58:14.65 ] >>208 構ってもらってうれしそうだねｗｗ 243 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/13(火) 04:46:09.60 ] >>Kummer くだらねぇ〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜 244 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/13(火) 06:27:07.42 ] >>243 『くだらねぇ〜』のはアンタの脳や。そやし腐る前に摘出して貰え。 猫 245 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/14(水) 04:23:19.44 ] >>Kummer オイ、挨拶シロ。 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/14(水) 06:07:10.51 ] なんでいまさらしょうもないことやってんの 工程表をもう一回くれ。各スレの始めに目次と進み具合を書いてよ わかりにくくてしょうがないわ 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/14(水) 15:02:03.49 ] よこから失礼します。 >>246 工程表 ガロア生誕200周年記念スレ part 4 に書き込まれたものが以下。 ---------------- ココカラ　-------- 158 ：１３２人目の素数さん：2012/01/08(日) 19:23:09.09 >>153 工程表： 無限次Galois理論 → Neukirchの抽象類体論 → 局所類体論 → 大域類体論 ---------------- ココマデ　-------- 248 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/14(水) 15:09:10.82 ] >>247 お前に聞いとらん　失せろ 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/14(水) 15:17:19.47 ] >>246 わかりにくくてしょうがないわ ガロア生誕200周年記念スレ part 4 にも　同様の書き込みが。 100 ：１３２人目の素数さん は、Kummerとは別の人とおもわれる ------------------------ ここから　--------- 100 ：１３２人目の素数さん：2012/01/08(日) 12:27:28.55 >>94 検索しやすくなるように､索引を適宜つくってほしい そうしないと､書き込んだ本人しか分からない(事態になってしまうように…) （杞憂？） ------------------------ ここまで　-------- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/14(水) 15:25:13.78 ] >>248 あら、スイませーん　〜♪ 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/15(木) 06:59:25.25 ] 　（　フェルマー予想が成立するための十分条件が、 　 　 　 ,' ／　　 　 　 ,ヽ 　 `､　`<／':, ':, （　志村ー谷山予想が成立することですわ。さくらちゃん 　　 　 ,''´　　　 ':, 　 　';,ﾞ:､ 　 ';,　 ﾞ､　 ';, ',（ 　　　 ,'. 　 　　　 };　! 　',',|ﾞ､　 lﾞ, 　 !　 |', ! ￣￣￣￣￣￣￣l／￣ヽ ヽ､￣':,￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 　　　 !. 　 　 | 　 |l　|;　 | ! ,l　 N 　| 　,' |l .,'　　　　　　　　　　　　　　ﾞ､　 ＼ ', 　　 , |　|　　.,'|　 ﾚl ,'.l　,' 　 ! /　} /　/　'./　　 　 ,:' 　　,., 　 　 　 　 　',_..-''" ! 　　 ! |　!　 .,' レ/ |/ |.,:' 　 ﾉ"_　",'／　,〃 　 　,,;'' 　　.,',' 　 　 　 　 　 } }　 　! 　 　| | ,'| ,,/イ, '　´　'´　　　,;:=::ｯ1}-;＝=;;;;;;;; '∠_　　,:'/　　　　 , , 　 　|,' 　　! 　l　 ',',.ﾚ!./ ﾉ' _.......　　　　　´　　 | |　　　 ￣｀ﾞﾞﾞﾞ"￣'´'､_　 　　,':,'　　, ,' 　　 ! 　 !　 ',', l'　_,;;:'''"ﾞﾞﾞ` 　 　 　 　 　 l lヾ:､　..___　　　　　　`ﾐ;;､　/:/ 　 ,'.,'　　　| 　 ', ',　ﾞ;､ ﾌﾞ´　.....::::: 　 　　' 　　,ｨ j ...｀ﾞﾞ'＝= 　 　 　 　 　｀ヾ､<. 　,:',:'　　　 ! 　', ', ':,　',` U ::::　 　 　､:::ｧ' 　／!| j　::::::::...　　 　 　 ,､ヽ._ 　　｀>ン'´　　　　| 　 ';, ':, ':, ヽ.._u　　　　　　　／ｨ　!ﾚ､　　　　　　　　 ....ヾ::､､ ,イ〃　　　　　　| 　 ':,''i:､ヽヽ.ヽ ｀｀ﾞ`' ー-,＜_ノﾉ.,ｲ|_|ヽ　　　 ` ｰ　´　::::::... ,:'.ノ','　　　　　　　! 　　 ｀',',`ヾ;､ヾ:､---‐‐‐'´　{イ´,','/ 　ヽ 　 　　　 　 　　ノ' ´ l !　　　　　　　| 　　　　ヾ;ﾉ `ヽ､｀　　　　　 '｀`ｿ'ｰ‐‐‐-､` --,-‐‐‐ ' ' ´　 　 | | 　 　 　 　 　! 　 ￣￣　ヾ;､　＿＿∧＿＿ノ'＿＿＿__｀ヽ〈___｀ヽ､＿________|_|＿_＿_＿_＿l＿_ 　　　　　　　`（ .　　　　 　 　 （　　ほえ〜　さくら、算数とフェラが苦手だからわからないよ……フェラの仕方も教えて 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/17(土) 13:00:33.54 ] 493 ：１３２人目の素数さん：2012/01/14(土) 16:06:56.49 俺にとってこのスレはほとんど俺個人の勉強ノートなんだよ。 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/17(土) 13:01:32.94 ] >>251 俺は只の数ヲタなんかとは付き合わンな。 頭が良くて数学が出来てかっこいいヤツ。それが十分条件。 さらに arXiv math に論文だせば必要条件にもなる。 俺､一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿なヤツ。 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/18(日) 18:43:17.42 ] 保守 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/19(月) 17:47:03.43 ] 保守 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/20(火) 04:18:55.31 ] 保守 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/20(火) 14:48:50.64 ] 保守 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/21(水) 00:05:00.20 ] 保守 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/21(水) 10:04:58.06 ] 保守 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/22(木) 02:37:54.75 ] 保守 261 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/22(木) 22:23:23.59 ] 　　　　　_______　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_＿ 　　　　／／￣~`i ゝ　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 `l | 　　　 / /　　　　　　　 ,______　　　,_____　　　　________　 | |　　____　TM 　　　|　|　　 　 ＿__　//￣ヽヽ　//￣ヽヽ　（（￣）） 　 | |　//￣_>> 　　　＼ヽ、　　 ｜l　| |　 　 | |　| |　 　 | |　　``( (.　　.| |　| | ~~ 　　　 　 `､二===-'　 ` ===' '　　` ===' '　 //￣ヽヽ　|__ゝ ヽ二='' 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ヽヽ___//　　　日本 　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　＿＿ 　　　　　　　　　|街宣車の正体 　朝鮮人工作員　 　 　.|　|検索|←をｸﾘｯｸ！！ テレビが言えない民主党のスポンサー=韓国北朝鮮 あとはもうわかるよな 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/23(金) 01:15:17.07 ] 保守 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/24(土) 00:08:46.58 ] 保守 264 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/24(土) 10:16:38.17 ] >>246 >なんでいまさらしょうもないことやってんの その質問に答えるからまず質問を明確にしてくれ。 （1）｢しょうもないこと｣ とは具体的に何を指すのか？ （2）それが ｢しょうもない｣ （とあんたが思う）理由は何か？ 265 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/24(土) 10:32:16.34 ] 工程表についてだが無限次Galois理論はいいとして類体論は代数的整数論スレでやることにした。 しかもやる順番は 大域類体論 → 局所類体論 としたほうが初心者には理解しやすいだろう。 このスレでは方程式のGalois理論をもう少しやってからGrothendieckのGalois理論をやる予定。 0 次元の場合はいいとして 1 次元以上のGrothendieckのGalois理論を本格的にやろうとすると スキーム論をやらなくてはならなくなる。 その場合はスレタイを変えたほうがいいかもしれない。 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/24(土) 10:33:16.63 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 267 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/24(土) 10:45:59.89 ] 定義 G を群とする。 X を集合とする。 準同型 f：G → Sym(X)（>>6）を G の X 上の置換表現という（過去スレpart5の77参照）。 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/24(土) 10:46:40.70 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 269 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/24(土) 10:50:24.02 ] 定義 G を群とする。 X を集合とする。 f：G → Sym(X) を G の X 上の置換表現（>>267）とする。 f により X は G-集合（過去スレpart5の77）となる。 このとき X は置換表現 f に付随する G-集合という。 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/24(土) 10:51:11.25 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 271 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/24(土) 10:59:31.35 ] 定義 G を群とする。 Set を小さい集合（代数的整数論017の321）全体の圏とする。 Set における G-対象（過去スレpart5の75）X とは G-集合（過去スレpart5の77）に他ならない。 このとき標準射（過去スレpart5の75）f：G → Sym(X) を G-集合 X に付随する置換表現（>>267）という。 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/24(土) 11:01:21.10 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 273 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/24(土) 11:04:00.84 ] 定義 G を群とする。 X を集合とする。 f：G → Sym(X) を G の X 上の置換表現（>>267）とする。 X の濃度 |X| を f の次数と呼ぶ。 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/24(土) 11:05:30.52 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 275 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/24(土) 11:08:45.63 ] 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 f：G → Sym(X) を X に付随する置換表現（>>271）とする。 f の次数（>>273）即ち |X| を X の次数という。 276 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/24(土) 11:11:45.30 ] 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 f：G → Sym(X) を X に付随する置換表現（>>271）とする。 f の核を G-集合 X の核という。 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/24(土) 11:12:27.48 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 278 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/24(土) 11:24:10.64 ] 定義 X を集合とする。 G を X 上の置換群（>>7）とする。 包含写像 f：G → Sym(X) は G の X 上の置換表現（>>267）である。 f を G の標準置換表現という。 f の次数（>>273）即ち |X| を G の次数という。 279 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/24(土) 11:26:57.96 ] 定義 G を群とする。 過去スレpart5の77より G-集合全体は圏 C をなす。 G-集合の射 f：X → Y は C における同型射のとき同型射または同型写像または同型と呼ぶ。 即ち f は写像として全単射であり、任意の σ ∈ G と任意の x ∈ X に対して f(σx) = σf(x) となる。 このとき X と Y は G-集合として同型であるという。 280 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/24(土) 11:30:51.89 ] 定義 G を群とする。 集合としての G は G の正則表現（>>11）により G-集合と見なされる。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 X が G-集合として G と 同型（>>279）なとき X を正則（regular）な G-集合という。 281 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/24(土) 11:37:40.59 ] 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 このとき G は集合 X に作用するという。 X が忠実（過去スレpart5の843）な G-集合のとき G は X に忠実に作用するという。 X が推移的（過去スレpart5の107）な G-集合のとき G は X に推移的に作用するという。 X が正則（>>280）な G-集合のとき G は X に正則に作用するという。 282 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/24(土) 11:43:44.04 ] 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x の安定化部分群（過去スレpart5の93）St(x) を Stab_G(x) または Stab(x) とも書く。 283 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/24(土) 11:47:42.06 ] 命題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 σ ∈ G、x ∈ X とする。 H = Stab(x)（>>282） とする。 このとき Stab(σx) = σHσ^(-1) である。 証明 自明である。 284 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/24(土) 11:53:29.36 ] 命題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 X が正則（>>280）なためには X が推移的（過去スレpart5の107）であり、 X のある元 x に対して Stab(x) = 1 となることが必要十分である。 このとき X の任意の元 y に対して Stab(y) = 1 である。 証明 前半はほとんど自明である。 後半は>>283より明らかである。 証明終 285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/24(土) 12:42:18.94 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 286 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/24(土) 17:22:34.12 ] 640 名前：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2012/02/18(土) 15:05:47.13 ID:sskgsjsc0 [2/2] 『平清盛』プロデューサー在日朝鮮人　磯智明（反日・天皇制度廃止論者）のプロデュース作品 �@『監査法人 (2008)』反体制・反社会 �A『最後の戦犯 (2008)』反日・天皇制度廃止・反体制・反社会 �B『リミット -刑事の現場２- (2009)』反体制・反社会 日本放送協会 、、 〒150-8001 東京都渋谷区神南2-2-1 韓国放送公社(KBS) 〒150-0041 東京都渋谷区神南2-2-1NHK東館710-C　←よく痴漢やヤクで捕まるのはここの工作員 テレビが言えない民主党のスポンサー=韓国北朝鮮 あとはもうわかるよな 民主党は、朝鮮人だらけ。 野田はどうだろうか。韓国人の集いに出席し、韓国人暴力団から賄賂を貰っている野田は 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/24(土) 18:01:40.12 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 288 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/24(土) 19:24:41.40 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 289 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/24(土) 20:27:09.42 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 290 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/24(土) 21:03:29.27 ] 保 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/24(土) 21:07:27.96 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 292 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 08:11:54.77 ] 命題 G を群とする。 X を正則（>>280）な G-集合とする。 このとき X は忠実（過去スレpart5の843）な G-集合である。 証明 f：G → Sym(X) を G-集合 X に付随する置換表現（>>271）とする。 Ker(f) = ∩{Stab(x)：x ∈ X} である。 よって、>>284より Ker(f) = 1 である。 証明終 293 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 08:17:12.07 ] 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 X の各元 x に対して Stab(x)（>>282）= 1 となるとき X を半正則（semiregular）という。 294 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 08:21:34.98 ] 命題 G を群とする。 正則（>>280）な G-集合 X は半正則（>>293）である。 証明 >>284より明らかである。 295 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 08:35:01.11 ] 定義（過去スレpart5の92の修正） G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x、y ∈ X に対して y = σx となる σ ∈ G があるとき x 〜 y と書く。 これは明らかに同値関係である。 商集合 X/〜 を G-集合 X の軌道空間（orbit space）と呼び、X/G と書く。 この同値関係による各同値類を軌道（orbit）または G-軌道（G-orbit）と言う。 x ∈ X が属す軌道を x の軌道または G-軌道と言い、Gx または O(x) と書く。 296 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 08:41:29.24 ] 命題 G を群とする。 X を半正則（過去スレpart5の77）な G-集合とする。 このとき X は正則（>>280）な G-集合の直和となる。 証明 X の各 G-軌道（>>295）は推移的（過去スレpart5の107）かつ半正則であるから >>284より正則である。 証明終 297 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 08:44:03.95 ] 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 X 上の同値関係 〜 は任意の x、y ∈ X と任意の σ ∈ G に対して x 〜 y ⇒ σx 〜 σy となるとき G-不変であるという。 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/25(日) 08:55:10.47 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/25(日) 09:12:52.08 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. 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Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 304 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 11:03:43.84 ] 命題 G を群とする。 f：X → Y を G-写像（>>301）とする。 X における関係 〜 を x 〜 y ⇔ f(x) = f(y) で定義する。 このとき関係 〜 は G-不変（>>297）な同値関係である。 証明 自明である。 305 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 11:15:18.53 ] 定義 C を圏とする。 f：X → Y r：Y → Z s：Y → Z をそれぞれ C における射とする。 rf = sf となるとき (r, s) を f-等価対と呼び、 (r, s) は f を等価するという。 306 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 11:19:52.96 ] 定義 C を圏とする。 f：X → Y とする。 r：Z → X s：Z → X をそれぞれ C における射とする。 fr = fs となるとき (r, s) を f-余等価対と呼び、 (r, s) は f を余等価(coequalize)するという。 307 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 11:24:00.34 ] 定義 C を圏とする。 f：X → Y とする。 g：Z → Y とする。 任意の f-等価対（>>305）が g-等価対であるとき g を f-等価射と呼ぶ。 308 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 11:26:53.04 ] 定義 C を圏とする。 f：X → Y g：X → Z をそれぞれ C における射とする。 任意の f-余等価対（>>305）が g-余等価対であるとき g を f-余等価射と呼ぶ。 309 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 11:30:21.53 ] 例 C を圏とする。 f：X → Y u：Z → X をそれぞれ C における射とする。 このとき fu：Z → Y は f-等価射（>>307）である。 310 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 11:34:47.35 ] 例 C を圏とする。 f：X → Y u：Y → Z をそれぞれ C における射とする。 このとき uf：X → Z は f-余等価射（>>308）である。 311 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 11:39:43.96 ] 定義 C を圏とする。 f：X → Y を C-射とする。 g：Z → Y を任意の f-等価射（>>307）とする。 このとき u：Z → X で g = fu となるものが一意に存在するとき f を強単射（strict monomorphism）と言う。 312 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 11:44:48.67 ] 定義 C を圏とする。 f：X → Y を C-射とする。 g：X → Z を任意の f-余等価射（>>308）とする。 このとき u：Y → Z で g = uf となるものが一意に存在するとき f を強全射（strict epimorphism）と言う。 313 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 11:54:02.52 ] 定義（代数的整数論018の558） f：X → Y を圏 C における射とする。 f がある二つの射の差余核（coequalizer）（代数的整数論017の850）と一致するとき f を正則全射（regular epimorphism）と言う。 即ち次の完全な図式（代数的整数論017の870）があるとき f を正則な全射と言う。 Z ⇒ X → Y ここで ⇒ は２本の射を表す。 314 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 12:00:36.64 ] 定義（代数的整数論018の580） C を圏とする。 f：X → Y を C における全射とし、次の性質（E）を持つとする。 （E）： f = mg：X → T → Y と分解し、m が単射なら m は常に同型である。 このとき f を極値的全射（extremal epimorphism）と言う。 315 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 12:53:35.14 ] 次の例が示すように強全射（>>312）は全射写像の自然な一般化である。 例 Set を小さい集合（代数的整数論017の321）全体の圏とする。 Set における全射は強全射である。 証明 f：X → Y を Set における全射とする。 f は写像として全射である。 g：X → Z を任意の f-等価射（>>307）とする。 f(x) = f(y) とする。 P = {p} を一点からなる集合とする。 r：P → X を r(p) = x で定義する。 s：P → X を s(p) = y で定義する。 fr = fs であるから gr = gs である。 よって、g(x) = g(y) である。 f は全射であるから任意の y ∈ Y に対して y = f(x) となる x ∈ X がある。 上記から g(x) は y のみで決まり y = f(x) となる x の取り方によらない。 よって、写像 u：Y → Z を u(f(x)) = g(x) で定義出来る。 このとき g = uf である。 f は全射であるからこのような u は一意である。 証明終 316 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 13:07:59.66 ] 例（正則全射の例） Grp を小さい集合（代数的整数論017の321）上で定義された群全体の圏とする。 G ∈ Grp とする。 N を G の正規部分群とする。 f：G → G/N を標準射とする。 このとき f は正則全射（>>313）である。 証明 r：N → G を包含写像とする。 s：N → G を各 x ∈ N に対して s(x) = 1 となる写像とする。 fr = fs である。 H ∈ Grp とし g：G → H を gr = gs となる準同型とする。 各 x ∈ N に対して g(x) = 1 である。 よって、準同型 u：G/N → H で g = uf となるものが存在する。 f は全射だから u は一意である。 証明終 317 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 13:12:08.44 ] 命題 正則全射（>>313）⇒ 強全射（>>312） 証明 自明である。 318 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 13:16:11.63 ] 命題 強全射（>>312）⇒ 全射 証明 f：X → Y を強全射とする。 u：Y → Z v：Y → Z g = uf = vf とする。 >>310より g は f-余等価射（>>308）だから一意性より u = v 証明終 319 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 13:22:53.90 ] 命題 強全射（>>312）⇒ 極値的全射（>>314） 証明 f：X → Y を強全射とする。 g：X → Z m：Z → Y f = mg で m は単射とする。 r：T → X s：T → X fr = fs なら mgr = mgs m は単射だから gr = gs よって、g は f-余等価射（>>308）である。 よって、u：Y → Z で g = uf となるものが一意に存在する。 f = mg = muf >>318より f は全射だから mu = 1 よって、mum = m m は単射だから um = 1 よって、m は同型 証明終 320 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 14:06:11.59 ] 命題 f：X → Y を強全射（>>312）とする。 g：Y → Z を極値的全射（>>314）とする。 このとき gf は極値的全射である。 証明 h：X → T m：T → Z gf = mh で m は単射とする。 m が同型であることを示せばよい。 r：S → X s：S → X fr = fs なら gfr = gfs よって、mhr = mhs m は単射だから hr = hs よって、h は f-余等価射（>>308）である。 f は強全射だから h = uf となる u：Y → T が一意に存在する。 gf = mh = muf >>318より f は全射だから g = mu g は極値的全射だから m は同型である。 証明終 321 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 14:09:54.72 ] 命題 f：X → Y と g：Y → Z をともに強全射（>>312）とする。 このとき gf は極値的全射（>>314）である。 証明 >>319より g は極値的全射である。 よって、>>320より gf は極値的全射である。 証明終 322 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 14:51:23.74 ] C を圏とする。 f: X → Y を C における射とする。 fg = 1 となる g：Y → X があるとき f を引き込み（過去スレpart4の296）といった。 323 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 15:16:02.38 ] 命題 C を圏とする。 f：X → Y と g：Y → Z を C における射とする。 gf が全射なら g も全射である。 証明 r：Z → T s：Z → T をそれぞれ C における射とし、rg = sg とする。 rgf = sgf である。 gf は全射だから r = s である。 証明終 324 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 15:18:03.89 ] 命題 引き込み（>>322）は全射である。 証明 >>323より明らかである。 325 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 15:21:04.09 ] 命題（代数的整数論018の579） 引き込み（>>322）は正則全射（>>313）である。 証明 f: X → Y を引き込みとし、g: Y → X は fg = 1 となる射とする。 f = Coker(gf, 1_X)（代数的整数論017の850）を証明しよう。 fgf = f(1_X) である。 h：X → Z を hgf = h(1_X) となる射とする。 k = hg：Y → Z とおく。 kf = hgf = h である。 >>324より f は全射であるから k は kf = h となる唯一の射である。 以上から f = Coker(gf, 1_X) である。 証明終 326 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 17:38:26.35 ] 命題 f：X → Y を引き込み（>>322）とする。 g：Y → Z を強全射（>>312）とする。 このとき gf は強全射である。 証明 h：X → W を任意の gf-余等価射（>>308）とする。 h = kgf となる k：Z → W が一意に存在することを示せばよい。 >>324より f は全射だから gf は全射である。 よって、h = kgf となる k は一意に定まる。 f は引き込みだから fu = 1 となる u：Y → X がある。 r：T → Y s：T → Y gr = gs とする。 gfur = gr = gs = gfus よって、hur = hus よって、hu は g-余等価射である。 g は強全射だから hu = kg となる k：Z → W が一意に存在する。 一方、gfuf = gf であり h は gf-余等価射であるから huf = h よって、h = huf = kgf 証明終 327 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 17:58:53.90 ] 命題 C を圏とする。 f：X → Y と g：Y → Z を C における射とする。 gf は強全射（>>312）で f は全射とする。 このとき g は強全射である。 証明 h：Y → W を任意の g-余等価射（>>308）とする。 r：T → X s：T → X gfr = gfs とする。 hfr = hfs である。 よって、hf は gf-余等価射である。 gf は強全射だから hf = kgf となる k：Z → W がある。 f は全射だから h = kg である。 >>318より gf は全射だから g も全射である。 よって、h = kg となる k は一意に定まる。 証明終 328 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 18:22:15.86 ] >>305（その他も同様） 等価 → 等化 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/25(日) 19:55:40.51 ] 保守 330 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 20:32:49.37 ] 命題 C を圏とする。 f：X → Y を C における射とする。 次のファイバー積（代数的整数論017の800）P が存在するとする。 P　→　X ↓　　↓ X　→　Y このとき g：X → Z が f-余等化射（>>308）であるためには g(p_1) = g(p_2) となることが必要十分である。 ここで、p_1、p_2 はそれぞれ射影 P → X である。 証明 必要性： g：X → Z が f-余等化射であるとする。 f(p_1) = f(p_2) であるから g(p_1) = g(p_2) である。 十分性： g(p_1) = g(p_2) とする。 r：T → X s：T → X fr = fs とする。 h：T → P で r = (p_1)h、s = (p_2)h となるものが一意に存在する。 gr = g(p_1)h = g(p_2)h = gs よって、g は f-余等化射である。 証明終 331 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/25(日) 20:37:51.37 ] >>Kummer 賠償しろ

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