- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/29(土) 13:14:41.54 ]
- [問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
選んで中を見ると10000円だった。
他方の封筒の金額の期待値は？
この問題・類題に関する意見・質問のスレです。
このような問題を他スレで話題にしたりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くよう誘導お願いします。
派生元
こんな確率求めてみたい その1/8
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
過去スレ
２つの封筒問題スレ
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1267847049
２つの封筒問題スレ 2
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1272010151
２封筒問題スレ その３
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1286091715/
- 101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:40:54.65 ]
- 参加費１万円で1/2で金額が倍1/2で金額が半分になるゲームがある
これは期待値の考えからいうと参加したほうが得
これは真だよね？
これと混同してしまっているところがパラドクスなわけだよね？
- 102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:42:52.53 ]
- >>100
その考えなら最初の自分の考えと同じだからなんの問題もないわ
- 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:43:40.03 ]
- なるほど、なら、
個々の期待値不明だが、ある必要十分以上の試行回数において[Ｘ円ｘ試行回数]の期待値とするのがいいかな
- 104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:44:44.84 ]
- >>101
それは真だね、1/2で金額が倍1/2で金額が半分と定義されているので・・・
- 105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:45:01.63 ]
- 期待値は不明だけど、
理想的なモデルがあればおそらく、もう１個の封筒の金額も最初に開けた封筒と同じ金額に収束すると考えていいのかな？
- 106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:54:18.02 ]
- >>105
そうだと思う、そう考えるとパラドックスが解消される
- 107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:57:05.86 ]
- >>106
そうだね
そうすると収束するということは期待値も１万円になりそうなものだけどそうならないのが不思議だなー
１枚目も色々金額が変わってその結果x円に収束して、２枚目もx円に収束する
１回ごとは期待値不明、みたいなイメージかな
- 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 17:25:39.85 ]
- これで一回毎の期待値は等価で他に矛盾がなければすっきりするとことなんだが・・・
- 109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 17:32:59.42 ]
- >>108
１回ごとの期待値を定義できないんだけど、取り替えても得しないってのがすっきりしないよね
- 110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 17:33:46.35 ]
- >>109
得しないんじゃなかった
わからないのが正解か
長い目で見るとおそらく変わらないってことか
- 111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 18:15:29.84 ]
- 人の会話が入っている音声テープがある。
所々音声を無音化してしまうと、何を言っているか判らないが、無音部分を電車の騒音の様な雑音に置き換えると、
なぜだか聞こえてしまうと言う現象がある。これは、脳が勝手に雑音部分を補完してしまって起こる現象だ。
経験がもたらした、脳の高度な機能と言える。
>>108>>109
すっきりしないのは当然。
数学の問題として成立させるために必要な情報が欠如しているんだから、答えが導けない問題なのだ。
そんなところに、>>101のような別のゲームの存在を脳は知っている。
冷静に考えれば、全く違う問題だと判るのに、あえて必要な情報を取り除いたことで、
勘違いあるいは錯覚を誘発させている。これこそが２封筒問題の正体だ。
- 112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 18:16:49.37 ]
- 封筒は２つだけど一万円を引く確率は１／３じゃないの
引いた金額が１／２と１と２のどれに該当するかの１／３
その場合替えなかったら期待値11666円
結果でしか計算できないから問題にならないんだと思う
- 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 18:27:59.33 ]
- >>111
>>37の後半のように必定な情報が欠如してないのにもかかわらず矛盾が導ける例が存在する
- 114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 19:25:09.22 ]
- >>113
無限が絡む例では、良くある例。
「無限に潜む不思議な話」に分類すればよいだけ。
- 115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 19:46:25.24 ]
- >>88
＞ 10000円引いたとき残りの封筒が5000円である確率は0か100%
＞ 10000円引いたとき残りの封筒が20000円である確率は0か100%
そんな確率があるか。
- 116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 19:48:14.33 ]
- >>87
どんな分布を仮定して、期待値を考えているんだ？
- 117 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 19:54:11.29 ]
- >>101
期待値を、損得の指針にしている所が問題。
期待値は一般には損得の指針にすることはできない。
損得は人間の感情による価値判断が含まれるので数学では扱えない
もしくは、数学的に扱えるような損得を定義する必要がある。
２封筒問題の根本は、それと混同しているところではない。
- 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 19:56:46.82 ]
- >>115
「◇□」と「□☆」がたくさん入った物の中から、ひとつの「？？」を選び、
「？？」の中かから一つ選ぶと「□」がでてきた。
もし、選んだ物が「◇□」だったら、残りの一方が「◇」である確率は100%で、「☆」である確率は0%
もし、選んだ物が「□☆」だったら、残りの一方が「◇」である確率は0%で、「☆」である確率は100%
残り一方が「◇」なのか「☆」なのかは、「◇□」と「□☆」の存在比が判らないと計算できない。
- 119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 19:56:58.59 ]
- >>113
矛盾が導ける？ まさか？ どこに？
- 120 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 19:57:30.94 ]
- >>112
それ違う問題。
- 121 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 19:59:30.17 ]
- >>118
それ、
明日大地震が起きたら、大地震が起きる確率は１００％
明日大地震が起きなかったら、大地震が起きる確率は０％
だから大地震が明日起きるのは、１００％か０％
と、言ってるのとなんかちがうのか？
- 122 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 20:14:47.67 ]
- 文章の上辺しか読めないかわいそうな人だね。
論理的思考をしっかりと行うために、比較対象が可能なように、当たり前のことを丁寧に書いている。
□がでたとき、他方が◇なのか☆なのかは、◇か☆しかあり得ないから、1/2づつ等という乱暴な
考えが出来ないことを丁寧に示している。
他方が◇であるためには、選んだ物が「◇□」でなければならない。
他方が☆であるためには、選んだ物が「□☆」でなければならない。
それならば、他方が◇であるか☆であるかは、選んだ物が「◇□」であるか「□☆」であるに依存する。
その確率は、たくさんあった物のなかの「◇□」と「□☆」の存在比に依存する。
この論理展開の説明の一部分があの中にある。
今日の投稿ぐらい、きちんと読み直してから、書き込みしたら？
- 123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 21:12:34.49 ]
- Aを選んでからBにかえるのと
Bを選んでからAにかえるのと
どっちかが高くてどっちかが安いんだから得する確率はどちらかが1でどちらかが0
AもBも事前に確定しているのだから、2回目のケースが枝分かれすることはない
- 124 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 21:13:14.33 ]
- >>121も「だからといって1/2とは言えない」ことを端的に表しているので
結局は数学的な期待値に影響するような違いではなく
あつかうテーマの違いでしかないということでいいのか？
また
＞ □がでたとき、他方が◇なのか☆なのかは、◇か☆しかあり得ないから、1/2づつ等という乱暴な
＞ 考えが出来ないことを丁寧に示している。
これは「理由不十分の原理により1/2」とは適応できないだけの
十分な理由があると言っていると考えていいのか？
レス内容の人格の問題については、ここは数学版なのでわざわざ考慮も反論もしない。
- 125 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 21:13:58.07 ]
- >>123
＞ 2回目のケースが枝分かれすることはない
詳しく。 何を言っているのか意味不明。
- 126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 21:31:15.28 ]
- 主観確率
ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E8%A6%B3%E7%A2%BA%E7%8E%87
ベイズ確率
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E7%A2%BA%E7%8E%87
という考え方(哲学的解釈)があるのを知らないのか、あるいはこれを認めない主義なのか？
例えば
偏りがあり、投げた時に表裏のどちらかが出やすいことは判明しているが
どちらがどれだけ出やすいのか全く不明なコインを１回だけ投げた場合の表が出る確率は
[A]判らない。０以上１以下で、１／２ではないとしか言いようがない
[B]１／２である
という２つの考え方があって、どちらもそれぞれで正しい
(どちらの値に関してもそれぞれ確率論の公理を満たすようにできるから、それぞれ確率と呼べる)。
[A]の考え方(前提)では確かに
> □がでたとき、他方が◇なのか☆なのかは、◇か☆しかあり得ないから、1/2づつ等という乱暴な
> 考えが出来ない
となるが、
[B]の考え方(前提)では
他方が◇である確率1/2, 他方が☆である確率1/2 としてよい。
また[B]の考え方の下で矛盾が導かれることはない。
[A]と[B]を混同したり、期待値の計算を間違えたり、損得の定義がいい加減である
と正しい推論ができない。
- 127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 21:36:53.25 ]
- >>124
>>32 >>33 >>60 >>67 >>77 >>100辺りに私の意見は書いてある。
1/2とは出来るはずがない理由、「判断できない」が正答だという理由も書かれている。
期待値を求めるのに必要な情報がないからだ。その辺りを読み直して欲しい。
- 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 22:42:46.15 ]
- >>119
矛盾が導けるってのは言いすぎたかもしれんが
変えた方の期待値の方が高くなるってのは直感には反してると思う
- 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 23:15:37.97 ]
- >>127
＞ 1/2とは出来るはずがない
という結論は
「理由不十分の原理により1/2」とは適応できないだけの
十分な理由があると言っていると考えていいのか？
それとも理由不十分の原理については考慮の外なのか？
- 130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 23:20:43.63 ]
- この２封筒問題を始め、最初のカードがダイヤの確率問題などの
一見簡単そうな確率の問題がよく話題になり延々ともめるのは
問題そのものの根本とはあまり関係なく関係なく
数学の用語についての定義もろくに知らないようなのが
自分の主張が伝わらないのは、自分の理解や説明が不足して
いるからはなく相手の頭が悪いからだと考え
相手の人格や能力について批判を始めるところにある。
- 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 23:28:20.22 ]
- >>128
矛盾が導けるものと、直感に反するもののどちらもをパラドクスと呼ぶことがあるが、
それらは一方が他方を含むとか、階層構造を成すというような関係のものではない。
極端な言い方をすれば、非自明な定理はすべてパラドクス（直感とは結果が異なる）とも言えるが
矛盾という意味でのパラドクスは、その定理そのものが矛盾しているのではなく
仮定（公理）が矛盾を含んでいるのである。
- 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 00:01:03.40 ]
- 一言で言うと、2回目の結果は1回目の従属事象なので
1回目が終わった後に独立に計算するのが間違い
- 133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 00:19:18.28 ]
- 交換前と交換後を１回目２回目と言ってるのかな？
用語は、他人に伝えるのを目的に選んでほしいなぁ
- 134 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 00:23:19.82 ]
- >>117
期待値の考えからと限定してるだろ
だから期待値がプラスかどうかを損得に定義してるんだよ
- 135 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 00:36:46.70 ]
- >>133みたいなバカは理解できなくていいよ
- 136 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 00:40:41.67 ]
- >>129 他方の封筒が5000なのか、20000なのかは、元々の封筒のペアが(5000,10000)なのか、
(10000,20000)なのかに依存する。
問題文には、その封筒のペアが、(5000,10000)である確率と、（10000,20000）である確率
あるいは、(5000,10000)と（10000,20000）だけの存在比率は確認できない。
確認できるのは、二枚の封筒の一方が他方の二倍だと言うだけ。
高額の方を引く確率と低額の方を引く確率は1/2づつだということははっきりしているが、
10000が高額の方の金額である確率((5000,10000)と言うペアを採用する確率）や
10000が低額の方の金額である確率((10000,20000)と言うペアを採用する確率）について、
何も情報が与えられていない以上、判断のしようがない。
具体例を出すと、例えばもし、50組の(5000,10000)が入った大袋と、50組の（10000,20000）
が入った大袋、合計100の大袋の中から、一つの大袋を選び、その大袋の中の二つの袋の中
から一つの封筒を選んで10000がでたというのなら、他方の封筒が5000である確率と20000で
ある確率は、両方とも1/2づつになる。
もし、1組の(5000,10000)が入った大袋と、99組の（10000,20000）が入った大袋、合計100の
大袋の中から、一つの大袋を選び、その大袋の中の二つの袋の中から一つの封筒を選んで
10000がでたというのなら、他方の封筒が5000である確率は1/100、20000である確率は99/100となる。
このように、(5000,10000)と（10000,20000）の存在比等がはっきりしていれば、確率は計算
できるが、この問題には、この様な情報がないため、判断のしようがない。
偶然か故意かはともかく、>>111で書いたような効果と相まって、混乱を引き起こす問題となっている。
- 137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 01:07:38.99 ]
- >>129
[理由不十分の原理]と言う言葉は初めて聞いたので、検索したら、
[不十分理由の原理]というものが見つかった。（両方使われているようだ）
>> 統計学上の原理で，種々の場合が同様に確からしく起こるということに，反対理由
>> が見いだされない場合には，やはり同様に確からしく起こるという原理．
ttp://kotobank.jp/word/%E4%B8%8D%E5%8D%81%E5%88%86%E7%90%86%E7%94%B1%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86
高額の封筒を選ぶか、低額の方の封筒を選ぶかについては、この原理は適用（適応×）でき1/2と出来るが、
10000を引いた時、他方の封筒が5000か、20000かについては、この原理は適用できない。
反対理由がある。
(5000,10000)内で、前者か後者か、あるいは、(10000,20000)内で、前者か後者かは原理に従い1/2だが、
ペアが、(5000,10000)なのか、(10000,20000)なのかは、>>136のような任意性もあるし、作為も出来る。
この原理が適用できる訳がない。
また、(5000,10000)なのか(10000,20000)なのかが同様に確か等という内容も問題文には一切記されていない。
- 138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 01:09:05.38 ]
- えらくわかりづらい内容だな
もうちょっと簡潔に書いてほしいもんだ
- 139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 01:21:47.25 ]
- 頭の悪い人はどう説明しても理解できないだろ
ここまでにまともな説明が既にいくつも出てきてるんだから
- 140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 01:32:14.43 ]
- >>139
まともな説明はどれですか？
- 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 01:50:08.06 ]
- ざっと読んでわからないのなら
これだと言われて読んでも理解できないだろう
- 142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 01:52:23.63 ]
- >>135
さっそく>>130の実践
- 143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 01:53:13.93 ]
- >>134
＞期待値がプラス
また新しい用語の自分定義か？
- 144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 01:55:14.69 ]
- >>143
交換したほうが期待値が高くなるってことね
くだらない揚げ足取りやめてくれる？
- 145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 02:03:28.30 ]
- >>137
＞ この原理が適用できる訳がない。
「他方の封筒が２倍の時と半分の時では等確率でない」と書かれていないことも含め
封筒の金額の分布に関する情報が、問題文には一切無いことには同意しているにもかかわらず
それが等確率ではないという「理由」は何か？
理由不十分の原理が適応できない以上は「等確率ではない」という情報が必要だということは
理解しているか？
それとも、「理由不十分の原理」そのものを認めないという考えなのか？
- 146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 02:10:35.19 ]
- >>144
「期待値が高く【なる】」というのは、期待値が変化するってこと？
- 147 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 02:11:16.00 ]
- >>139
>>130
- 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 02:11:47.37 ]
- >>146
>>101の例でいうと期待値が10000円より上という意味
- 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 02:45:47.75 ]
- 微妙な問題を扱っているという自覚があるなら
最初から誤解のない言い方にしてほしい。
- 150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 02:58:05.35 ]
- >>145
「理由不十分の原理」は事象Aと事象Bの発生確率に差をつける理由がないなら
p(A)=p(B)だということを言うものであろう。
「理由不十分の原理」が適用できないとは、p(A)とp(B)の間に、≠を入れるものではない
p(A)とp(B)の間に入れるべき不等号、等号記号が、どれなのか判断できないという意味である。
p(A) > p(B) や p(A) < p(B) や p(A) = p(B) の可能性全てを残している。
作為的に、等確率にすることも、偏った確率にすることも可能である。
実際に等確率が実現するような例を示している。
>>理由不十分の原理が適応できない以上は「等確率ではない」という情報が必要だということは
>>理解しているか？
これはこの原理の意味を正しく理解している人の言とは思えない。
- 151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 10:29:25.58 ]
- >>121
封筒の中身が決定したのは過去、それなのに地震の問題は明日と未来にしているところの悪意を感じる
昨日大地震が起きたら、昨日大地震が起った確率は１００％
昨日大地震が起きなかったら、昨日大地震が起きなかった確率は０％
ＯＫ？
- 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 13:15:39.54 ]
- >>151
封筒の中身を知るのは未来であるから、同じでないと思う。
同じにするなら、「昨日地震が起こったかどうかまだ知らない。あとで教えてもらう。」
などを追加せねばならんような。
- 153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 13:15:50.72 ]
- >>150
国語の問題かもしれんが
＞ 差をつける理由がないなら p(A)=p(B)だということを言うものであろう。
＞ 適応できない以上は「等確率ではない」という情報が必要
同じ意味ではないのか？
それとも情報ではない理由があるのか？
- 154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 13:24:56.48 ]
- >>151
よくある
＞ 投げた時に表裏のどちらかが出やすいことは判明しているが
＞ どちらがどれだけ出やすいのか全く不明なコインを投げた時に表が出る確率
という例えは、コインに作為的に裏またはおもてのどちらかだけにしか偏らないように
細工をする可能性をがあるから理由不十分は適応できず、1/2とするのは正しくないという立場のひと？
- 155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 13:37:44.12 ]
- >>151
A)
封筒の中身を先に決定しておく （封筒の中身が決まったのは過去）
B）
1. 先に封筒をひとつ選ばせ、渡すとき（開ける前）にこっそりとある金額を入れる。
2. プレイヤーが封筒を開け金額を確かめる。
3. プレイヤーが交換するしないを決めたら、残った封筒にこっそりと適当な（Aと同じ分布になるように）金額を入れる。
4. プレイヤーは交換を決めただなら、交換後の封筒を開け金額を確かめる。
A) と B）では 金額が決定するタイミングが異なる（プレイヤーの意思決定の前後）が
プレイヤーへの支払い金額を含め、確率的な差異はなにかあるのだろうか？
プレイヤーにとって金額が決定するのは封筒を開ける時であって
封筒に金を入れる時ではないのではないか。
地震も同じ、いつ地震が起こるのかは関係なく
プレイヤー(?)が地震についての情報を知る時が重要。
- 156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 14:02:07.74 ]
- おもしろいな。
問題文に書かれていない作為の介入を理由にできるのなら
すべての確率の問題文に
「サイコロやカードやコインなどには作為の介入は行われていないこととする」
という注意書きが必要になりそうだ。
- 157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 14:30:14.44 ]
- >>153 国語の問題ではないし、同じでもない。
小さなカードがある。カードの表は青、裏は赤だ。
見えないように手の中で振り、机の上に置く。見える面が青か赤かは1/2づつ
この確率の決定には、「理由不十分の原理」が適用されている
両面青いカードと、両面赤いカードがある。それを何枚かづつ袋の中に入れ、
適当に一枚を取って机の上に置く。見える面が青か赤かは1/2づつだとは言えない。
この確率の決定には、「理由不十分の原理」が適用できないからだ。
しかし、青いカードと赤いカードの枚数を同じにすれば、1/2づつである。
「理由不十分の原理」が適用できないのに、1/2の例だってある。
当然、入れる枚数によって、1/3と2/3にすることだって、他の値にすることだって可能
この様に、人間の意志や、条件設定で確率を変化させることが出来る場合は、
「理由不十分の原理」は適用できない。>>137で言うところの反対理由があるからだ。
- 158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 14:51:43.36 ]
- >>157
てことは>>56なのか？
- 159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 14:58:11.66 ]
- >>157
＞ 両面青いカードと、両面赤いカードがある。それを何枚かづつ袋の中に入れ、
＞ 適当に一枚を取って机の上に置く。
これは言えるという立場と、言えないという立場がある。
以下のどこからが言えて、どこからが言えないのかは、４通りの立場がある。
偏りがあり、赤いカードか青いカードかのどちらかが多く入れられている可能性があることは判明しているが
どちらがどれだけ多いのかは同じなのかは全く不明な袋の中のカード
偏りがあり、赤いカードか青いカードかのどちらかが多く入れられていることは判明しているが
どちらがどれだけ多いのかは全く不明な袋の中のカード
偏りがあり、投げた時に表裏のどちらかが出やすいことは判明しているが
どちらがどれだけ出やすいのか全く不明なコイン
- 160 名前：159 mailto:sage [2011/11/02(水) 14:59:27.27 ]
- 失礼、最初の例の 「偏りがあり」は削除
赤いカードか青いカードかのどちらかが多く入れられている可能性があることは判明しているが
どちらがどれだけ多いのかは同じなのかは全く不明な袋の中のカード
- 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 15:04:23.13 ]
- >>157
＞ 人間の意志や、条件設定で確率を変化させることが出来る
前者をできない、後者をできる、とする「違い」について詳しく説明してくれないか？
入れる枚数 は人為的調整や条件設定だが
カードの裏表を見ない（他の条件は与えられていない）で選ぶのは
人為的ではなく条件設定はできないとする理由が知りたい。
- 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 15:17:08.90 ]
- 「明示されていなければ、可能性があるかぎり疑う」 という立場なのか
「明示されていないことは、起こっていない」 と考える立場の違いの話
なのかと思っていたがどうやらそうではないようだ。
国語の問題でなければ、常識の違いの問題なのか？
- 163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 16:06:54.54 ]
- >>152
どのみち>>121のたとえが正しくないことには変わりない・・・
- 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 16:18:21.65 ]
- >>155
地震の話は「明日起こったら明日起こる確率は」とおかしな現象の話になっている
また、Aと同じ分布になるように入れる方法を示してくれ
- 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 16:30:06.89 ]
- >>155
どちらの例も、プレイヤーにとって（２つの封筒の）金額が決定するのは封筒を開ける時ではなく、封筒にお金を入れるときと思えるが、何か間違えてるかな？
- 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 16:31:26.08 ]
- >>155
ＡとＢの例えが、地震の話の根拠になってないぞ
- 167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 16:35:23.76 ]
- >>155
>>121の言ってることの補足にはなってないぞ
- 168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 17:57:04.11 ]
- >>167
補足などではないが、何を言ってるんだ？
なにか行き違いがあるように思える。
- 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 18:06:20.32 ]
- >>165
誰にとって決定しているのかを考えていないのかな？
ABCは サイコロの出目の分だけ金貨をもらえる事になった。
サイコロは一度だけAが振り、全員がその出目の分だけ金貨をもらえる。
Aはサイコロを振ってその出目を見た、３だった。
Bはその目を見せてもらえない。
Cは横からサイコロを見ることが許された。５が見えた
（上面が５でと２ではないことが解っている。）
この時点で、ABCのそれぞれの立場でもらえる金貨の期待値はわかるか？
- 170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 18:36:43.29 ]
- >>169
あなたがどちらの意見の方かはわからないが、12500円の立ち位置の人かな？
仮にサイコロの状態からその期待値の判断が出来るからといって、もう片方の封筒の中身を判断できることの証明にならないのだけど・・・・
- 171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 19:41:14.93 ]
- >>170
＞ もう片方の封筒の中身を判断できることの証明にならない
そういう話をしているのではなく、期待値は立場によって変わるという話をしている。
「金額が決定する」という言葉を
「プレイヤーの視点で起こる事象が１通りに定まる」という意味で使わないで
「プレイヤーにはその金額は解らないが、封筒に金額を入れた時点で金額は決まっている」
という意味で使うのならば、それは確率的には意味のない主張になってしまう。
分布が同じなら、 いつ封筒に金を決めようが入れようが、確率的には同じ事象。
- 172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 19:48:16.98 ]
- >>169>>171
結局どっちサイドなんだ？
ちなみに、封筒の問題で期待値不明の立場からものを言わせてもらえば、Cの立場でもらえる金貨の期待値も不明になるだけどね・・・
- 173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 19:55:05.33 ]
- >>171
同様に地震の話も確率は不明というのが正解だろうね
地震なんてどんな情報を持っていたとしても確率なんて割り出せないでしょ、それと封筒の確率は同じだよ、それだけの情報だけでは確率や期待値はわからないの無理やり出そうとしている
そういう意味では上のサイコロの問題も前提条件が不足しているので確率や期待値は出せない
立場によって変わることってここにいる人間なら誰でもわかっることと思うんだが、論点がずれただけで何の役にも立ってないぞ
- 174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 20:34:01.79 ]
- >>171
その分布を図ることができないからあとから意図的に分布どおりにお金を入れることができない。
よって確率的に同じ事象ではない
- 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 23:13:14.88 ]
- >>121
その地震の例えに間違えはない、ただの条件付確率って事だよね
よって>>118にも間違えはない
- 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 00:59:18.09 ]
- >>172
Cの期待値が不明なのはなぜ？
Bは不明なの？不明じゃないの？
- 177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 01:01:49.58 ]
- >>174
「分布を図ることができない」というのはプレイヤーの視点からの話ではないの？
お金を入れるのはプレイヤーではないよ、ディーラーだよ。
ディラー視点では、「何らかの方法」で金額を決定するのだから
その分布を知ることもできるし、同じ分布となるようにもできるのではないかな？
- 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 01:03:06.84 ]
- >>173
＞ 地震なんてどんな情報を持っていたとしても確率なんて割り出せないでしょ
数学以外の話をしたいの？
- 179 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 01:54:44.45 ]
- >>165
「金額が決定する」というのは、
プレイヤーが確率１でその金額になることをプレイヤー本人が知ることを言う。
プレイヤーは、封筒を開けるまで、封筒の中身の金額を知ることはできない。
しかし、ディーラーの視点では、プレイヤーが開けなくても金額は解っている。
神の視点では、ディーラーが封筒に金を入れる前から、金額が解っている、
明日地震が起こるかどうかは、プレイヤーは知らない
しかし、神の視点ではもうそれは決まっている。
- 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 09:40:55.73 ]
- >>176
サイコロの形状などを自分の思うように考えている
その点で封筒が1/2でと思い込んでいるのと同等だよ
- 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 17:16:21.66 ]
- サイコロとは「１〜６の自然数がすべて等確率に出目として現れるもの」
という仮定からして覆そうということ？
- 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 18:30:30.38 ]
- サイコロって言われれば、断りが無くてもどの目の出やすさも同じと考えて問題を解く
カードの裏表と言われれば、どちらの面が出るのも同じと考えて問題を解く
だけど、好きな数字を選び、その数字とその数字の２倍を書けと言われたら、どんな数字
のペアが書かれるか全く判らない。
２封筒問題は、左の封筒か右の封筒かの２択だから、
「高額の封筒を選ぶ確率は1/2で、低額の封筒を選ぶ確率が1/2だ」というのは正しい。しかし、
「10000が高額である確率が1/2で、10000が低額である確率も1/2だ」というのは正しくない。
「10000が高額である」というのは、好きな数字として5000を選んだこと。
「10000が低額である」というのは、好きな数字として10000を選んだこと。
だから、「10000が高額ある確率」と、「10000が低額である確率」は、ディーラーが好きな数字
として5000を選ぶ確率と、10000を選ぶ確率の相対比になる。
これが、1:1だなどと判断できるわけがない。（不明という意味で、1:1である可能性を否定するものではない）
けちなディーラーで最初から、数千円程度しか眼中になかったら、10000で有った可能性は0だろう
正２０面体サイコロに１〜２０の数字を書き、出目の千倍を好きな数字にしたなら、5000も10000も1/2づつ。
自分の財布の中から適当な札を一枚取って、それを好きな数字にしたなら、5000円札は普通０〜２枚程度。
万札は０〜？？。万札を引いた可能性の方が高いかも知れない。この様に、全く不明なのだ。
- 183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 18:38:27.01 ]
- なるほど数学ではない話がしたいのか。
それなら板違いだ。
- 184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 19:34:51.38 ]
- テストをして点数の分布が次のようになった。この分布から平均点を求めよ。
81〜100：２人
61〜80：３人
21〜40：１人
という設問があったなら、疑義はない。平均点はきちんと求められる。しかし、与えられたデータが
81〜100
61〜80
21〜40
だったらどうだろう。平均点は求められるか？
勝手に各ランクに一人づつと思いこんで平均を求める人も現れるようだが、それは正しいか？
２封筒問題は、この様なもの。必要な情報が欠けている。だから求められない
勝手に人数を仮定して平均値を求めるのと、必要なデータがないから求められないと指摘し
回（解）答するのとでは、どちらが正しい対応か
- 185 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 20:15:01.14 ]
- >>184
いやその平均点は求められないだろ。
それとも答えを区間で（○○＜平均＜△△）てなふうに平均を求められるかどうかの話なのか？
- 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 20:29:39.86 ]
- >>182
現実のには、サイコロは正確な６面体にならないし、各面が等確率で出るサイコロなど存在しない。
カードの裏表を、ランダムにしかし1/2に決める方法も存在しない。
数学では、そこをなんとか「もし、等確率のサイコロやカードがあったら」という仮定の下で思考をする。
もちろん等確率でない仮定もできるが、その場合の結果は、等確率と仮定した場合と異なっていても
仮定が違うのだから矛盾してないと考える。 どちらがより正しいかなんてこともない。
それはサイコロやガードに限らず、ルーレットだろうが封筒だろうが、ディーラーでさえも
そのように仮定することができる。
封筒やディーラーだけを、サイコロやカードと区別しなければならない理由はない。
開けた封筒から１００００円出てきたときには、それが高額の封筒であったのか
低額の封筒であったのか、等確率に起こるとの仮定の下では
けちなディーラーがいる可能性など、考慮する必要などまったくない。
もちろん、あなたが、ディーラーはケチだと決めて（仮定して） 開けていない封筒には
２万円ではなく５千円が入っていることが圧倒的に多いのだ、という別の数学を展開することは
何の問題もなく自由。 しかし、その場合でも、けちなディーラーを仮定しない他の数学に対して、
それはおかしい間違っているなどというのは、まったくもってナンセンスなことである。
- 187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 20:32:53.80 ]
- >>184
分布が分かってても無理なパターンがある>>37の後半のような
しかし、だからといって必ず交換戦略はこの場合有効ではない！
なぜならこの場合期待値が無限大へと発散するからだ
無限大の1.1倍の期待値はやはり無限大でありどちらが上だと言えない状況なのだ
いや当然ながら10000円が出たならば交換したほうがいいし20000円が出ても交換したほうがいい
だが！この交換したほうがいい戦略はは全体へとはつながらない
この『個々の事象なら交換したほうがいい』→『よって全体としても交換したほうがいい』
この矢印が間違いの元だと思う
- 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 20:33:40.78 ]
- >>182
＞ 好きな数字を選び、その数字とその数字の２倍を書けと言われたら
好きな数字を選ぶためには、選ぶ方法が必要だろう。
- 189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 20:37:52.09 ]
- >>182
たぶん貴方の心のなかには サイコロやカードには 等確率であることを受け入れる理由があって
封筒（ディーラー？）の場合にはないのだろう。
その「ある・なし」の違いが、経験によるものなのか、嗜好によるものなのかはわからないが
その違いに、数学的な違いを見出さない限りは、ここでの（数学板での）論議は徒労に終わると思う。
- 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 20:44:21.85 ]
- >>186
サイコロの目やカードの裏表、選んだ封筒が高額か低額かには「理由不十分の原理」が使える
（＝同様に確からしく起こると言うことに反対する理由はない）が、
ディーラーが(5000-10000)という封筒のペアを用意したか
ディーラーが(10000-20000)という封筒のペアを用意したかには、「理由不十分の原理」が使えない。
理由は、同様に確からしく起こるということに反対する理由があるから。
これが理解できないなら、残念だ。これ以上あなたとは関わる事に価値はないだろう。
- 191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 20:45:37.67 ]
- 想像するにたぶん>>184は、正解が先に用意されてから与えられる問題を解くというスタイルの
数学しか受け入れられないのだろう。
解を求めるためにはさらにどのような仮定が必要か、どのような仮定ならば別の結果が得られるのか
などの探求よりも、彼は「この問題では解が唯一に定まるための条件が欠けている」と問題の不備の
指摘をするほうが正しい対応だと主張するのだから。
- 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 20:48:52.77 ]
- >>190
＞ 理由は、同様に確からしく起こるということに反対する理由があるから。
その理由は数学的なものではなくて、「けちなディーラーがいるかもしれないから」 なのか？
- 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 20:52:34.93 ]
- >>190
問題に、「ディーラーはケチではない、不正もしない。」と書かれていたら使えるの？
- 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 01:03:49.33 ]
- >>190
↓ こう言ってるってことは>>150 とは別の人だよね？
＞ 同様に確からしく起こるということに反対する理由があるから
その理由がなんなのかを言えばいいと思うよ。
- 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 02:15:37.73 ]
- >>194
>>182の最後の方に書かれているディーラーがけちだったら5000の確率が高いとか、
20面体サイコロを使っていたら1/2づつだとか、財布から一枚の札を選んだんだったら10000の
方が可能性が高いかもとかが、反対する理由。
サイコロの目とか、カードの裏表とか、選んだ封筒が低額か高額かとかは、偶然でそうなったと
しか言えないけど（いかさまサイコロを使っていたら、とかは別の話）、上のような例だったら、
偶然じゃない要素がたくさん入り込める。だから「理由不十分の原理」が使えない。
- 196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 05:15:13.74 ]
- 横から失礼。
>>190には同意だが、その理由として>>195は弱いと思うよ。
金ではなくただの数字ということにすれば「けち」とか関係なくなるし。
20面体サイコロとか財布、、、はいかさまサイコロと同程度の理屈に聞こえる。
いかさまサイコロが別の話ならそんなサイコロとか財布とかも別の話じゃん。
- 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 08:04:34.89 ]
- すくなくとも>>195は数学の話じゃないな。
６面体サイコロやカードは無条件で信じられるが封筒は信じられないとう感情の話でしかない。
>>193に答えられない。
- 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 08:05:03.24 ]
- 選んだ封筒が高額側の封筒なのか低額側の封筒なのかは、「理由不十分の原理」により、五分五分。確率1/2だ。（★）
しかし、中を見た封筒(10000を確認)が高額側の封筒なのか、低額側の封筒なのかについては、確率は判らない。（☆）
上は何度も繰り返し説明している事だが、>>186等の書き込みを見ると、未だにこの違いが理解できていないようなので、
具体例を使って説明を加える。
5000-10000のセット90組と、10000-20000のセット10組を用意し、箱の中に入れたという前処理があったとして問題を考えてみよう。
箱の中をよくかき混ぜ、中から一つのセットを選ぶ。そのセットの中には二つの封筒が入っていて、一方を選択した。
さて、ここで第一問目。「この封筒は高額側の封筒なのか？それとも低額側の封筒なのか？」
これに答えを与えているのが（★）だ。1/2ずつである。
状況を進めよう。先ほど選んだ封筒を開けると、10000が入っていた。
ここで、第二問目。「この10000が入っていた封筒は高額側の封筒なのか？それとも低額側の封筒なのか？」
(☆)はこの時点での説明を行っている。答えは、高額側の封筒（=他方の封筒には5000）である確率は90/100、
低額側の封筒(=他方には20000)である確率は10/100だ。
オリジナルとは状況が違い、分布が判っているからこの様な計算が出来るが、分布が判らなければ、こんな事は出来ない。
- 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 08:06:02.89 ]
- (★)は偶然「だけ」が支配するもの。(☆)は0〜1まで、自由に変えられるものだ。
(★)と(☆)は全く異質な確率なのだ。
(★)と(☆)が全く異なることを端的に示すために持ち出したのが「けちなディーラー」だ。
けちなディーラーは(☆)で偏りをつけることは出来ても、(★)の確率を変化させることは出来ない。
２封筒問題の最重要ポイントは(★)のような顔をしている問題が、実はけちなディーラーが支配できる(☆)の問題であることにある。
だから、この部分が強調される「情報がないから計算できない。」を私の答えとしている。
「「5000-10000」と「10000-20000」の分布が1:1ならば、．．．」の様な設定の問題なら、「けちなディーラー」は介在しない。
義務教育で習う問題だ。そこでやればいい。
しかしオリジナルは違う。(★)から(☆)への性質変化がコッソリ行われ、惑わせている。これが２封筒問題の正体である。
>>196
「けち」などが本質であるわけがない。
(★)と(☆)の違いを感じ取ってもらうのに都合の良さそうな例として用いただけのものである。
- 200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 08:06:23.96 ]
- 失礼。 >>189がとっくに指摘していたか。
- 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 08:21:34.63 ]
- そういう意味では、サイコロだって 異質な確率だろう。
問題文に「６面はそれぞれ等確率で出るものとする」と、ことわられていない以上は
サイコロを用意するディーラーがいくらでも出目を支配できるようなサイコロを用意できる。
書かれていないから、分布がわからない、と言う意味では全く同じだ。
なのにサイコロの目は偶然にしか支配されないとするのは
サイコロは、数学の問題として頻出なので、書かれていなくても疑わない
という感情的経験的な理由でしかないのではないか？
カードも裏表を決定する手順が明記されていないので、いくらでも不正が介在できる。
カードやサイコロだけを特別視する理由は、数学ではなく教育（または経験や感情）のせいだろう。
この板では、国語や心理学の話をしてるんじゃないんだ。数学的にやろう。
・ディーラーは不正なくサイコロを振った
・ディーラーは不正なくカードを選び裏表を決めた
・ディーラーは不正なく封筒を用意した
封筒を特別視したいのなら、こうやって同じ前提を付けたときに
「なぜ」封筒は違うのかを言わなくてはならないんだよ。
|
 |
