★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ] 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で 解ける問題を考えてうぷするスレ。 これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。 関連スレへどうぞ 過去ログは>>2以降 755 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 22:07:19 ] >>754 方程式を因数分解とか死んだ方がいいよ 756 名前：ゆう [2009/09/26(土) 22:29:02 ] もう他のところでおしえてもらったんでいいです! 757 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 22:34:35 ] 無限に対するあなたの考えを4000字以内で示せ 758 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 22:36:12 ] A 無限は無限だと思います。 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/26(土) 23:15:42 ] 無限って、何？ 760 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 23:41:11 ] 無毛 761 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 00:40:23 ] >>755 yはxの関数ってことだろ。 =が入ってれば何でもかんでも方程式って… 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 00:44:24 ] 2元方程式でしょ。 763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 00:45:50 ] >>761 764 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 01:00:43 ] 683 名無しさんと大人の出会い 2009/09/26(土) 23:35:56 ID:/v9Anlx90 ラメ入りいうてもヒラヒラついてる V系のコがきてそうな奴やで？ なんやアソコまでバラバラやとティバッグはいてても 紐にウンコついてそうやからスル〜したぞ！！ 前見た時はポッチャリしてたんやけど？スリムなってすぐって こんなんやろか？普通だれもいらんで！ 765 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 02:08:56 ] 451はどうやるの？ 解いた人いないかしら。 766 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 02:30:52 ] スレが進むごとに東大入試に適さない出題が増えている気がする。 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 03:53:53 ] >>759 もちろん、HONDA | 無限 MUGEN　だが。 www.mugen-power.com/index.html www.youtube.com/watch?v=dHKYSKpbknA 01:32 FORZA Z www.youtube.com/watch?v=KN-4O_yPCgY 03:21 INSIGHT 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 03:58:19 ] >>757 　2000年にBARと組んで復帰したホンダは、シーズンが始まるとすぐに同スペックのエンジンをジョーダンに供給するという形になった。 　そうなっては無限はただホンダエンジンのメンテナンスのためにいるようなモノで、そんな活動に意味はないだろうと考えて当然だった。 　結果的にはホンダ本社が無限をF1から追い出し、身内同士の醜い争いという結果になった(?)のは残念で仕方ない。 　　中ry) 　F1参戦を目標にマシン開発を行っていた童夢、そのマシンには無限のV10エンジンが搭載されていた。 　マシンそのものはそこそこの完成度を誇っていたように見え、雑誌などでスポンサーとなる企業などを募っていたし、ワコールなどはそれに名乗りを上げていた。 　　中ry) 　ホンダや無限と深い関係にあった童夢だけにもしかしたらホンダや無限と組んでF1に参戦するのではという噂もあった。 　実現したらすごい事ではあったが所詮は噂にすぎなかったようだ。 　トヨタのフルワークス参戦というのも確かにすごく魅力的だけど、ホンダ、無限、童夢、BSの4社が団結した日本連合軍のF1参戦というものが実現していたら、それはF1にとっても新鮮な事であり、日本のレース界にとっても大きな意味があったはずなのだがね。 www5f.biglobe.ne.jp/~f1gp/mugen.htm 769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 04:08:15 ] >>761 因数分解するのは函数じゃなくて多項式。 >>754 因数分数って何。 770 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 14:15:21 ] >>768 考えというかただの感想じゃん 771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 15:14:54 ] >>757 あなたが無限(むげん)を無碍(むげ)と同じと考えるのは自由ですが、 間違っているかも知れないと指摘する人の意見も無碍にする事は出来ません。 無碍に　… 思った通りに あなたが無限(むげん)を無下(むげ)と同じと考えるのは自由ですが、 間違っているかも知れないと指摘する人の意見も無下にする事は出来ません。 無下にする … それより下はない事をする。 お話にならないことをする。 772 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 18:18:06 ] 《問題》 体積の等しい立方体と球がある。 この立方体と球を動かして、立方体のなるべく多くの辺が球の内部と共通点をもつようにしたい。 最大何個の辺が共通点を持つようにできるか。 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 21:13:28 ] 感覚的には、球が立方体の辺を透過して移動できるというのは無理がある。 774 名前：765 mailto:sage [2009/09/28(月) 01:07:31 ] 少し前の春分の日の棒の影の問題、√6/3でしょうか。 解いて欲しそうだったので解いてみました。 >>451さん、解答を教えてもらえませんか。 775 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/28(月) 04:30:24 ] >>772 5? 776 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/28(月) 14:05:43 ] 【問】 y=e^xを原点中心にθ回転させたグラフがy=f(x)のようにyがxの関数として表されるためのθの条件を求めよ 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/28(月) 15:45:18 ] >>776 　y･cosθ - x･sinθ = e^(x･cosθ + y･sinθ) 　　　　　= e^(x/cosθ + (y･cosθ - x･sinθ)tanθ), 　-(y･cosθ- x･sinθ)tanθ･e^(-(y･cosθ - x･sinθ)tanθ) = -tanθ･e^(x/cosθ), 　-tanθ･e^(x/cosθ) ≧ -1/e すなわち x/cosθ ≦ -1 -log(tanθ) に対してyが存在し、 　-(y･cosθ - x･sinθ)tanθ = W(-tanθ･e^(x/cosθ)), W は Lambert-W函数。 　y = x･tanθ -(1/sinθ)W(-tanθ･e^(x/cosθ)), と表わされるが.... 778 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/28(月) 16:54:39 ] >>777 関数はyがxにより一意的に定まるものだから常識的に考えて全範囲はあり得ないはず 【問】 (2)y=f(x)を原点中心にθ回転させた時にできるグラフは任意のθについてyがxの関数としてy=g(x)のように表せるf(x)は存在しないことを示せ 779 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/28(月) 17:26:36 ] △ABCをその重心を通る直線で2つの部分に分ける。 このとき､小さい方の面積が最小となるのはいつか。 780 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/28(月) 22:44:58 ] >>779 AB↑=b↑ ,AC↑=c↑ 重心を通る直線がAB、AC(端点含む)を通るとしそれぞれの交点をP、Qとする AP↑=p*b↑,AQ↑=q*c↑とし(1/2≦p≦1,1/2≦q≦1) 重心をsp*b↑+(1-s)q*c↑とすると b↑,c↑が一次独立なので sp=(1-s)q=1/3 p≠0,q≠0なので 1/p+1/q=3 相加相乗より pq≧4/9 等号はp=q=2/3で成立 すなわち…(略) 駅弁レベルだとリアルに出るかもね 781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/29(火) 02:12:19 ] >>778の補足 f(x)は連続で、全実数xにたいして定義される関数 782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/29(火) 22:09:39 ] >>772 大阪大学乙 783 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/29(火) 22:26:57 ] >>782　その通り　なかなか良問ですよね　これ 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/30(水) 00:14:40 ] 動点Pを(t-a,(t-a)^2),動点Qを(0,t)で定める. a>0のとき、tを0≦t≦aの範囲で動かす.線分PQの通過する領域の面積S(a)を求めよ. 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/01(木) 22:11:34 ] 数列｛a(n)｝を次のように定める. a(1)=1 a(n)=［√a(n-1)］^2+k このとき、どのような自然数kについても、a(m+1)=a(m+2)　となるような自然数mが存在することを示せ. 簡単過ぎ？ 786 名前：785 [2009/10/01(木) 22:12:30 ] ちなみに、［x］はxを超えない最大の整数を表す. 787 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/01(木) 23:38:17 ] >>785 √a(n-1)のルートはn-1の部分にまでかかっているわけ？ 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 00:00:12 ] >>787 それa_(n-1)だと思うぞ 文脈からして 789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 00:25:40 ] >>784 まづ、線分PQが通過する領域を求める。 直線群PQ を F(t;x,y) = 0 とおく。 　F(t;x,y) = {(a-t)^2 -t}x + (a-t)(y-t) 　　　　　= (x+1)t^2 -{a(x+1) + (ax+y) + x}t + a(ax+y), その包絡線は、 　F(t) =0, (∂F/∂t) =0　 からtを消去したものであり、F(t) =0 が重根をもつ条件である。 本問では F(t) は2次式だから、判別式を使って 　D(x,y) = {a(x+1) + (ax+y) + x}^2 -4a(ax+y)(x+1) 　　　　= (y-a)^2 ＋2x(y-a) +x^2 -4a(-x)(x+1) 　　　　= (y-a+x)^2 -4a(-x)(x+1) 　　　　= 0, ∴ y = a-x -2√{a(-x)(x+1)},　　　　　(････楕円の一部) これと直線PQ との接点は 　( a/{(a-t)^2 +a} - 1, a - (a^2 -t^2)/{(a-t)^2 +a} ), 特に t=0 のときは ( -a/(a+1), (a^2)/(a+1) ), よって PQ の通過する領域は 　x^2 ≦ y ≦ -ax,　　　　(-a ≦ x ≦ -a/(a+1)) 　x^2 ≦ y ≦ a-x -2√{a(-x)(x+1)},　　(-a/(a+1) ≦ x ≦ 0) 790 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/02(金) 00:57:39 ] 正方形ABCDの辺BCの中点をMとする。△ACDの周または内部に任意の点Pをとる。 △APMの面積がもとの正方形の面積の1/3以上になる確率を求めよ。 791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 09:11:03 ] 座標平面において、A(0, 3) とし、またPとQを単位円x^2+y^2=1 上の動点とする。 三角形APQの面積の最大値を求めよ。 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 09:18:11 ] よくそんなつまらん問題思いつくな 793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 10:52:44 ] >>785 簡単の為、b(n)^2 = a(n) と表す（このとき b(n+1)^2 = [b(n)]^2 + k） 漸化式から数列 {b(n)^2} は全て正整数であり、 b(n+1)^2 - b(n)^2 = [b(n)]^2 - [b(n-1)]^2 = ([b(n)] + [b(n-1)])([b(n)] - [b(n-1)]) であるので、数学的帰納法から数列 {b(n)} は単調増加である 今、全ての n で b(n+1) > b(n) だと仮定する（このとき lim[n→∞]b(n) = +∞） m を [b(n)] ≦ k なる最大の n とすると [b(m+1)]^2 ≦ b(m+1)^2 = [b(m)]^2 + k ≦ k^2 + k < (k+1)^2 ∴[b(m+1)] ≦ k これは m の最大性に反する ∴ある整数 m が存在して b(m+1) = b(m) ぬるぽ 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 10:58:10 ] >>793 二点修正 ×b(n)^2 = a(n) ○b(n) = √a(n) ×数学的帰納法から数列 {b(n)} は単調増加である ○数学的帰納法から数列 {b(n)^2} は単調増加である 795 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/02(金) 12:36:13 ] >>746 (1) ∫(0→π/4)(tan^(n+2)+tan^n)dxの値をnを用いて表せ (π/4)/(tan^(n+2)+tan^n) 796 名前：だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/10/02(金) 13:41:50 ] >>790 これ、本来、高校数学の理系の範囲でとくもの？ 自分、高校数学の理系の範囲、かなりわかってないんで、 文系数学の範囲でゴーインにといてみた。 てか、見にくくてスマソ ↓ docs.google.com/View?id=dfr2mrs9_79dhxgg3dn ま、たんに、xy座標平面で、 p=(m,n)とおいて、 △ACDの周または内部に任意の点Pをとる＞＞＞m,nについての条件を求めて、・・・（１） △APMの面積がもとの正方形の面積の1/3以上になる＞＞m,nがどういう条件か、をもとめて、。。。（２） 両者をmn座標平面で図解して、（１）の領域にしめる（２）の領域の割合を求めただけ。 797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 14:03:35 ] >>790 Pが動く領域の面積を求めたらいいことを教えてやれば 偏差値65以上の中学生でも解ける 798 名前：796 mailto:sage [2009/10/02(金) 14:25:43 ] >>797 あ・・・そりゃそうだ。。。あせって、解き方思いついたらひたすら書きまくってしもた。 題意を吟味する習慣がそういえば最近欠けている。。。 799 名前：785 [2009/10/02(金) 19:22:42 ] >>785 に追加問題 あるkの値について、a(m+1)=a(m+2)となるとき、この値をf(k)とおく. 例えば、f(2)=3　f(3)=7である. lim(n→∞)Σ（2≦k≦n）：1/f(k) を求めよ. 800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 21:13:16 ] >>799 f(2k-1) + 1 = f(2k) = k^2 + 2k 勘だけど 801 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/02(金) 21:32:28 ] >>800 そんな予想は誰でもできます. その証明が問題なんです. 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/03(土) 03:00:17 ] >>785 【有界性】a(n) ≦ [(k+1)/2]^2 + k, (略証) nについての帰納法による。 　a(1) = 1 < 2 ≦ (右辺), また、 　a(n-1) ≦ {(k+1)/2}^2 + k = {(k+1)/2 + 1}^2 - 2 < {(k+1)/2 + 1}^2,　(k:奇数) 　a(n-1) ≦ (k/2)^2 + k = (k/2 + 1)^2 - 1 < {(k/2) + 1}^2, (k:偶数) いづれの場合も 　√a(n-1) < [(k+1)/2] + 1, ∴　[√a(n-1)] ≦ [(k+1)/2],　 ∴　a(n) ≦ [(k+1)/2]^2 + k,　　(終) じゅうぶん大きいnについて等号成立。 【単調性】a(n-1) ≦ a(n), (略証) nについての帰納法による。 　a(2) - a(1) = k ≧ 1, 　a(n) - a(n-1) ≧ 0, とすると、f(x) = [ √x ]^2 + k は広義の単調増加函数だから 　a(n+1) - a(n) = f(a(n)) - f(a(n-1)) ≧ 0,　　(終) →　a(n) は有界な単調列だから、収束する。 803 名前：802 mailto:sage [2009/10/03(土) 03:15:30 ] >>799 ・kが偶数のとき 　f(k) = (k/2)^2 + k = (1/4)k(k+4), 　1/f(k) = (1/k) - 1/(k+4), ･ｋが奇数にとき f(k) = {(k+1)/2}^2 + k = (1/4)(k^2 +6k+1) = (1/4){(k+3)^2 -8}, 　1/f(k) = 4/{(k+3)^2 -8},　　むむ… 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/03(土) 05:47:00 ] >>802 (有界性) は 　k = [k/2] + [(k+1)/2] ≦ 2[(k+1)/2] = 2L, 　a(n-1) ≦ L^2 + k ≦ L^2 + 2L < (L+1)^2, 　√a(n-1) < L+1, 　[√a(n-1)] ≦ L, 805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/03(土) 07:06:14 ] >>784 S(a) = S_1(a) + S_2(a) - S_3(a), S_1(a) = ∫[-a, -a/(1+a)] (-ax)dx = [ (-1/2)ax^2 ](x=-a, -a/(1+a)) = (2+a)(a^4)/{2(1+a)^2}, S_2(a) = ∫[-a/(1+a),0] { a-x-2√{a(-x)(x+1)} } dx 　　= [ ax -(1/2)x^2 -(x +1/2)√{a(-x)(x+1)} + (1/4)(√a)arccos(2x+1) ](x=-a/(1+a),0) 　　= (2a+3)(a^2)/{2(1+a)^2} -(1-a)a/{2(1+a)^2} -(1/4)arccos((1-a)/(1+a)) 　　= (2a^2 +4a-1)a/{2(1+a)^2} - (1/2)arctan(√a), S_3(a) = ∫[-a,0] x^2 dx = [ (1/3)x^3 ](x=-a, 0) = (1/3)a^3, 806 名前：805 mailto:sage [2009/10/04(日) 11:30:32 ] 訂正、ｽﾏｿ S_2(a) = ･･････ 　　= (2a+3)(a^2)/{2(1+a)^2} ＋(1-a)a/{2(1+a)^2} -((√ａ)/4)arccos((1-a)/(1+a)) 　　= (2a^2 +２a＋1)a/{2(1+a)^2} -((√ａ)/2)arctan(√a), 807 名前：805-806 mailto:sage [2009/10/04(日) 11:43:59 ] これが正解だとしたら、ひたすらマンドクセだけの問題だなｗｗ 808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 17:01:57 ] >>744はどうやるだ？ 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 22:01:19 ] >>808 OA=(a1,a2)、OB=(b1,b2)とおいて写像fを求めるのはいいと思う？ どっちにしろ(|PA|^2)+(|PB|^2)=|OA-OB|^2、(PA↑)*(PB↑)=0だけじゃ Qを求めたところで詰む 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/05(月) 03:09:16 ] >>805-807 まとめると 　S(a) = (1/6)a^3 + (1/2){a - (√a)arctan(√a)}, 　　　 = (1/6)a^2 + (1/15)a^3 + (1/14)a^4 - (1/18)a^5 + …… だが。 811 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/06(火) 00:51:05 ] f(x) がx＝0 の近くで定義された関数とするとき， 次の命題が真であれば証明し，偽であれば反例を示せ． (1) 極限値 lim[x→0]f(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在 (2) (1) の逆命題 (3) 極限 lim[x→0]f(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在 (4) (3) の逆命題 ただし， 極限 lim[x→0]f(x) が存在 ⇔ 極限値 lim[x→0]f(x) が存在，または lim[x→0]f(x)＝∞，または lim[x→0]f(x)＝−∞ とする． 812 名前：811 mailto:sage [2009/10/06(火) 00:58:22 ] 訂正． f(x) がx＝0 を含む開区間で連続で，その区間内で x≠0 のとき f’(x) が存在するとき， 次の命題が真であれば証明し，偽であれば反例を示せ． (1) 極限値 lim[x→0]f’(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在 (2) (1) の逆命題 (3) 極限 lim[x→0]f’(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在 (4) (3) の逆命題 ただし， 極限 lim[x→0]f’(x) が存在 ⇔ 極限値 lim[x→0]f’(x) が存在，または lim[x→0]f’(x)＝∞，または lim[x→0]f’(x)＝−∞ とする． 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 00:58:56 ] >>811 何これ？反例ならf(x)=|x|でしょ。 逆とかは微分可能であれば連続だからおｋ。 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 01:35:53 ] (1) (f(h)-f(0))/h=f'(ξ)　（ξ：0とhの間、平均値の定理） より、f'(0)=lim[x→0]f'(x)･･･(*) (2)f(x)=x^2sin(1/x)　（x≠0），0　（x=0）　が反例。 (3)基本的に(1)と同じ。f'(0)の存在を±∞まで認めれば成り立つし、 認めなければ成り立たない。((*)は常に成り立つ。) (4)(2)が反例。 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 07:06:07 ] >>814 (3)でにおいて f’(0) は実数なので，±∞まで認める事はない． 認めないと，証明は自明ではない． (*)はいつも成り立つとあるが，成り立つのは f’(x) が x＝0 で連続のときだけ． 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 07:11:32 ] また，(1) で f’(0)=lim[x→0]f’(x) とあるが，これは f’(0)=lim[h→0]f’(ξ) で lim[x→0]f’(x) が存在するので， 結果的に f’(0)=lim[h→0]f’(ξ)=lim[x→0]f’(x) となる事を明記しないと， あらかじめ f’(0)=lim[x→0]f’(x) となる印象を受ける． 817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 08:40:48 ] >>812に追加． (5) f’(0) が存在 ⇒ f’(x) が有界 ( |f’(x)|≦M ) 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 13:12:00 ] >>814 ＞f'(0)の存在を±∞まで認めれば成り立つし これは間違い。 819 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/06(火) 13:43:38 ] 自然数Nにたいして、F(N)=10^Nで定める. (1)F(N)-1が２００９で割り切れるような自然数Nをすべて求めよ. (2)Mが７以上の整数のとき、a^2009+b^2009=c^f(M!)　をみたす自然数の組（a,b,c)は無限に存在することを示せ. 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 17:17:35 ] ×　無限に存在する ◎　無数に存在する 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 21:17:01 ] >>816 書き方が悪かったのか？ (1)は極限の定義よりlim[h→0]f'(ξ)=lim[x→0]f'(x)は(lim[x→0]f'(x)が存在すれば)明らかだ。 (3)は (f(h)-f(0))/h=f'(ξ) なんだから、lim[x→0]f'(x)=∞のときは ∀K＞0に対して∃δ＞0　s.t.　|x|＜δ⇒f'(x)＞Kが成り立っている。 このKに対して、|h|＜δを任意に取れば、0＜|ξ|＜|h|よりf'(ξ)＞K すなわち|h|＜δ⇒(f(h)-f(0))/h＞K これよりlim[h→0](f(h)-f(0))/h=∞である。よってf'(0)は存在しない。-∞も同様。 (1)より、lim[x→0]f'(x)∈Rのときは成り立つ。 これで問題ないんじゃない？ ちょっと書き方悪いけど、収束とf'の値に±∞まで許せば f'(0)=lim[h→0](f(h)-f(0))/h=lim[x→0]f'(x) は常に正しいと書いた。 (3)の反例としては、f(x)=√x　（x≧0），-√(-x)　（x＜0） 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 21:49:30 ] >>821 物理屋じゃないんだから，f'(0)＝∞ はないだろ． lim[x→0]f(x)＝∞ の「＝」は形式的に書いているだけで，本来の意味の等号ではない． ∞ を実数とすれば実数の公理から矛盾が出る． 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 21:57:05 ] >>822 だから書き方が悪かったって。お前の言うとおり形式的といえばそうなるな。 でも間違ってはないだろ？ てか測度論・ルベーグ積分論では可測関数の値域に±∞を認めて議論するのが普通じゃないか。 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 22:39:15 ] 無限遠点を加えて議論した方がすっきりするしな 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 00:08:58 ] そんないい訳では f'(0)=lim[h→0](f(h)-f(0))/h=lim[x→0]f'(x) の二つの「＝」の説明はつかないぞ。値域云々じゃなくて「表記」の問題。 δ関数も本当の関数だと言ってるようなものだよ。 しかもここは工房相手の作問スレ。 826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 00:14:40 ] そもそもあれは工房向けの問題じゃないしな 827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 00:52:01 ] >>721-722 少し発展させた次の問題なら、東大入試程度になるかな？ 問：与えられた実数a,bについて、直線l: y=ax+b を定める。 l上のすべての格子点(座標が整数である点)が、x座標・y座標ともに素数であるとき、 aは無理数であることを示せ。 828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 01:04:05 ] >>819 (1) 根性で1/49の循環節が42であることを求め、1/41の循環節が5であることとあわせて 1/2009の循環節は42*5=210、よってN=210n (nは自然数)という結果が出たが… (2)は皆目見当がつきません。 829 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/07(水) 02:20:32 ] >>828 (2)の問題は、以前出した>>698の応用。 (1) 1/41の循環節が５であることはすぐ分かる. ここで、各桁が１である、m桁の自然数をf(m)と書くことにしよう. たとえば、f(4)=1111である. f(m+1)=10f(m)+1であることから、f(m)が７で割り切れるようなmは6の倍数であることがすぐにわかる. よって、f(m)が４９で割り切れるのも、mが６の倍数のときである. f(6m+6)=1000000・f(6m)+111111 　　　　≡8・f(6m)+28　(mod49) で、f(6)≡28(mod49)から 計算していくと、 f(12)≡7(mod49) f(18)≡-14(mod49) f(24)≡14(mod49) f(30)≡42(mod49) f(36)≡21(mod49) f(42)≡0(mod49) よって、1/49の循環節は42である. 以上より、N=210n（nは自然数） (2) (1)により、M!は210の倍数であることから,f(M!)-1は２００９で割り切れる. したがって、(f(M!)-1)/2009=Zとおけば、Zは整数である. a=x・(x^2009+y^2009)^Z b=y・(x^2009+y^2009)^Z とおくと、正の整数（x,y）の組は無数に存在するから、(a,b)の組も無数にあると考えてよい. a^2009+b^2009=(x^2009+y^2009)^f(M!)=c^f(M!) ∴c=x^2009+y^2009 830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 12:20:07 ] >>817は真っぽいでけど証明ができない． 831 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/07(水) 17:18:01 ] >>830 偽っぽいでけど反例が思いつかない 832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 17:59:11 ] >>830 反例：f(x)=tanx 833 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/07(水) 21:20:31 ] 大学入試史上、最も難しかった数学問題を教えてください。 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 21:23:03 ] >>832 お前は何を言っているんだ 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 21:56:08 ] >>831 x^(3/2) sin(1/x) だとどうかな。 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 21:58:06 ] >>834 f(x)=tanxは微分可能でf’(x)=1+(tanx)^2、f’(0)=1だが f’(x)は有界でない 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 22:30:32 ] >>836 池沼は黙ってろｗ 838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 22:42:15 ] >>835 惜しいが関数が x＞0 で定義できない [5]√(x)^4 sin(1/x) とかでFA 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 22:54:01 ] × 惜しいが関数が x＞0 で定義できない ○ 惜しいが関数が x＜0 で定義できない 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 22:54:37 ] >>837 俺何か見落としてる？マジでどこがいけないのか分からない教えろ いや、教えてくださいお願いします。 841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 22:57:42 ] >>826 工房向けでない可能性があるのは (3) だけ。 やっぱ (3) はε-δ論法無しでは無理なんだろうか？ 842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 22:59:10 ] >>840 ＞f(x) がx＝0 を含む開区間で連続で，その区間内で x≠0 のとき f’(x) が存在するとき， 843 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:01:46 ] f(x)=tan(x) がx＝0 を含む開区間(-π/2,π/2)で連続で，その区間内で x≠0 のとき f’(x) が存在するとき， 844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:03:31 ] >>842 f(x)=tanxは開区間(-π/2,π/2)で連続で、(-π/2,π/2)-{0}でf’(x)は存在するけど？ え？マジでどういうこと？ 845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:29:43 ] 2曲線 x^2/4＋y^2＝1，x^2＋(y−t)^2/4＝1 が共有点を持つ t の必要十分条件を t∈[a，b] とする． その共有点の x 座標は最大４個あり，それらを重複を含めて a(t)，b(t)，c(t)，d(t) ．．．�@ とする． その4つの関数 �@ が，任意の t∈[a，b] において不連続となる必要十分条件を求めよ． 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:40:08 ] で、どうなんだ？>>837,842よ 俺を池沼呼ばわりしたんだから それなりの根拠があるんだろ？ 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:41:42 ] × 任意の t∈[a，b] において不連続となる ○ 任意の t∈[a，b] において不連続と成りうる 848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:46:54 ] >>846 x＝0 を含む “任意の” 開区間での反例を示さないと意味をなさないだろ。 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:48:22 ] >>846 馬鹿は黙ってろ 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:53:49 ] 数学では、いや、数学でこそ、馬鹿は免罪符にはならない。 851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:01:16 ] × 任意の t∈[a，b] において不連続となる必要十分条件を求めよ ○ t∈[c，d] ⊂ [a，b] なる任意の t∈[c，d] において不連続となる必要十分条件を c，d を用いて表せ もうわけワカメ 852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:03:02 ] >>848 >>812の問題文が f(x) がx＝0 を含む任意の開区間で連続で， と書いてあればその主張は受け入れられるがそうではないだろ。 さらに任意のx=0を含む開区間で連続であることとR上連続であることは同値、 x=0を含む任意の開区間でx≠0で微分可能であることとR-{0}で微分可能であることは同値。 したがって、>>812が「任意の開区間」という意味で「開区間」と書いたとは考えにくい。 以上より、>>848は認められない。 853 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/08(木) 00:05:31 ] 100100010101は素数か. 854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:07:35 ] >>852 それは題意を曲解した場合。 もしそう曲解した場合問題はとるに足らない。 題意を善意に解釈した場合，>>835>>838と答えるのが普通。 855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:11:48 ] >>852 頭悪いんだなお前って・・・

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