- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:11:48 ]
- >>852
頭悪いんだなお前って・・・
- 856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:19:17 ]
- >>854
ほう、そうか。善意の解釈ね。
>>855
そうだよ。だから訊いてるんだよ。
具体的に俺のどういった部分がそう思わせているのか提示してくれ。
俺はこれまで別に間違ったことは書いてないはずだが。
- 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:20:04 ]
- 題意をはっきりさせない出題者が一番悪い
実数全体で連続って言えば明解だろうに
- 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:38:07 ]
- もし曲解した場合、星の数ほどある取るに足らない反例の一つを
鬼の首を取ったみたいに書き込んだ行為が反感を呼んだ。
- 859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:41:46 ]
- >>857
仮定は弱く、結論は強くが普通の考え。
そういう捻くれものには“x＝0 を含む閉区間”と書けば良かったのだろう。
でも常識的に考えれば何を問うてｲﾙｶは自明。
tan x は頂けない。
- 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:43:13 ]
- お前の言うように題意を取ったら中学生でも判例作れるだろ。
みんながそうしてないのはなぜか空気を読め。
- 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:55:11 ]
- でもやっぱり「任意の」は省いてはイカン
- 862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:55:37 ]
- >>857
そうだよね。分かってくれるやつが一人でもいてよかったよ。
f(x) がx＝0 を含む開区間で連続で，
って書かれたら、fの定義域の宣言とそこでは連続だという言及くらいに取るのが普通だと俺は思うんだ。
でも今日ので俺の思い込みだったことが判明した。
>>858
曲解したわけではないんだよ。
素でそう思ってたんだよ。
曲解するにはそうしようとする意志がいるだろ。
だからこれでいいじゃんくらいの気分で書いただけ。
>>860
しかし、必要十分でより簡潔な表現があるのに何故そちらを使わなかったのかに疑問が残る。
それならば俺も間違って解釈することはなかった。
俺が善意に問題を解釈できなかったとはいえ、
このスレで俺という解釈間違いを起こした者がいる以上、
本試験で出せばある程度の人数が間違う勘定になると思われる。
- 863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:56:03 ]
- 消防の会話のAがおまい
A 「日曜日は学校はあるか？」
B 「ないよ」
A ｢学校自体はあるだろw｣
B 「何それ？」
- 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:58:34 ]
- >>857だけどお前の曲解は稀だし、お前はウザイ
- 865 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:58:47 ]
- ＞曲解するにはそうしようとする意志がいるだろ。
そんな事はないよ。素で思ってこそ曲解。
- 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:01:09 ]
- >>865
広辞苑には
相手の言動・心中を、素直でなくわざと曲げて解釈すること。
とあるが・・・
- 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:01:57 ]
- 昔，青ﾁｬｰﾄでこんな問題があったのを思い出した。
「砂糖は甘い」の否定命題を作れと。
- 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:03:23 ]
- >>867
甘くない砂糖が存在する
- 869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:07:24 ]
- >>868
そうそう。
「(すべての)砂糖は甘い」の「すべて」が省略されている。
厳密な数学においても、混乱の恐れがないない場合は許される事が多いが、
読者を選ぶのは言うまでもない。
- 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:08:55 ]
- >>867
「砂糖は甘い」は命題にすらなってない
- 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:12:23 ]
- もうひとつ数セミの記事を思い出した。
大森英樹先生だっけかな。
星が無限個あるとする。
「殆どすべての星は赤い」の否定命題を作れ。
ただし，「殆どすべて」とは「有限個の例外を除いて」の意味とする。
- 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:14:20 ]
- >>870
そういう人がいると思ったよ。
>>869を参照しる。
- 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:16:08 ]
- 甘いってのは主観的じゃん、人によって判断が異なるじゃん
- 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:18:22 ]
- >>871
赤くない星が無限個存在する
- 875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:19:29 ]
- >>873
そう思う。
- 876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:20:00 ]
- >>817
ｆ（ｘ）＝ｘ＾２。
- 877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:20:19 ]
- そうだ！kingに聞こう
- 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:22:51 ]
- だから“混乱”する人が少数いるのは想定済み。
でも少し考えれば，何を問うているかは自明だろう。
- 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:24:21 ]
- >>874
正解。
これは無限を理解しているかどうかのﾘﾄﾏｽ試験紙になるらしい。
- 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:25:49 ]
- 人間には2種類ある。
>>863のAとBだ。
おまいはどっちだ？
- 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:26:29 ]
- しかし，tanx はいただナイト
- 882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:28:46 ]
- >>880
どっちでもないよ
俺はお茶を飲みすぎた変態紳士なのだから
- 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:31:26 ]
- >>881
ごめんなさい。
- 884 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/08(木) 01:32:21 ]
- >>882
お茶の水博士なのか？
それは失敬した。
- 885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:36:18 ]
- >>876はｳｨｯﾄに富んだｱﾝﾁﾃｰｾﾞだな。
- 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:43:10 ]
- >>884
ティータイムはどんな作業も中断します
- 887 名前：KingGold ◆3waIkAJWrg [2009/10/08(木) 06:42:33 ]
- Reply:>>877 この世ではファジー曲線と呼ばれるものがある。
- 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/09(金) 11:14:56 ]
- >>887
荒らすな。
- 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/10(土) 21:56:42 ]
- 当たりくじ付きの棒アイスがあり，この棒アイスを1本買ったときの「アタリ」の出る確率は
p （0＜p＜1）である．この棒アイスは，「アタリ」5本で新しい棒アイス1本と交換できる．
初めてこの棒アイスを買い始めてから，「アタリ」が5本出るまでに買わなければならない
棒アイスの本数の期待値を求めよ．
- 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/10(土) 23:01:23 ]
- kを正の定数とする
漸化式 a_(n+1)=|a_n(a_n-k)|+1 で定まる数列について以下の問いに答えよ
(1)数列{a_n}が発散する初期値a_1の必要十分条件を求め
それを示せ
(2)数列{a_n}が収束する初期値a_1の必要十分条件を求め
その極限値を求めよ
- 891 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/11(日) 01:45:14 ]
- (k-1)x^2+ky^2-xy＝０をみたす０でない実数x,yが存在するような実数kの値の範囲を求めよ.
- 892 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/11(日) 06:55:20 ]
- (1-√2)/2≦k≦(1+√2)/2
- 893 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/11(日) 09:15:48 ]
- 円錐の底面の円周上の点Aを出発し, 側面を一周して
Aに戻る道のりで, 最も短い道をαとする. 曲線αは
空間内のある1つの平面上に存在するか？
理由も答えよ.
- 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 16:47:59 ]
- >>890
ありきたりだがちょとむず杉
- 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 19:44:08 ]
- >>891
とりあえず対角化だな。
k の掛かった項は x^2 +y^2 だから、回転の影響はないだろう。
そこで軸を回して 残りの -x^2 -xy を対角化しよう。
軸を π/8 (=22.5ﾟ) 回して、
(1/2)(√(2+√2))･x + (1/2)(√(2-√2))･y = u,
(1/2)(√(2-√2))･x - (1/2)(√(2+√2))･y = v,
とおくと、
(左辺) = {k - (√2 +1)/2}u^2 + {k + (√2 -1)/2}v^2,
原点が極値でない（鞍馬点・峠点である）条件は、2つの係数の符号が異なること。
∴ {k - (√2 +1)/2}{k + (√2 -1)/2} ≦ 0, >>892
- 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 20:16:59 ]
- >>891
固有値だけ分かればいいなら、固有多項式
| k-1-λ, -1/2 |
| -1/2, k-λ|
= (k-1-λ)(k-λ) - 1/4
= (k -1/2 -λ)^2 - 1/2,
から
λ = k - (1±√2)/2,
- 897 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/11(日) 21:57:50 ]
- ここに問題を書きこんだが、Easyのほうは宮廷入試としては中の下くらいだろう。
Extremely Hardのほうは1990年数学オリンピック問題3の超難問。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1047608164/399
- 898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 22:02:32 ]
- >>897
easyの方、位数の活用無しに解けるか？
- 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 22:30:00 ]
- (1+1)^n+1=3+an.
- 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 22:39:11 ]
- なるほど
- 901 名前：Queen ◆xeS.CIM.Jk mailto:sage [2009/10/12(月) 01:49:50 ]
-
nを自然数とする。
(1)
３つの数 n、n+1、n+2の積は６の倍数であることを示せ。
(2)
３つの数 n、n+2、n+4が全て素数であるようなnを全て求めよ。
- 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 07:23:45 ]
- >>901
(1)厨房問題
(2)は未解決問題
- 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 08:26:33 ]
- n=1、2のときは条件を満たさない。
n=3とする。
3、5、7はすべて素数であるから、n=3は条件を満たす。
n≧4の時を考える。mは自然数でm≧2として、
n=3mのとき、nは3の倍数なのでダメ。
n=3m+1のとき、n+2=3m+3は3の倍数なのでダメ。
n=3m+2のとき、n+4=3m+6は3の倍数なのでダメ。
よって、n、n+2、n+4がすべて素数となるのはn=3のときのみ。
やった！未解決問題を解決した！
- 904 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/12(月) 09:15:03 ]
- ↑ジャムパン買ってこいよ
- 905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 09:24:27 ]
- 俺は定番だがﾒﾛﾝﾊﾟﾝな
- 906 名前：猫は珍獣 ◆ghclfYsc82 mailto:age [2009/10/12(月) 09:34:10 ]
- ワシもﾒﾛﾝﾊﾟﾝが大好きやねん。
猫
- 907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 09:54:35 ]
- 予め未解決問題であることを示した上で、
どこまで思考出来るのかを試すって形式なら出題出来ない事も無いかも
- 908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 10:58:04 ]
- >>902
未解決は双子の場合だろ
三つ子が3,5,7の組だけってのは有名
- 909 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 11:01:10 ]
- nとn+2とn+4のどれかは3の倍数なのに
未解決問題ってｗ
- 910 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/12(月) 15:03:21 ]
- >>909
- 911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 15:35:46 ]
- 括弧の中に適当な言葉を入れよ．(15点)
三つ子素数の[ ]百まで
- 912 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 16:04:45 ]
- >>910
- 913 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/12(月) 17:22:03 ]
- 半径1の円に内接する正n角形の面積をS(n),外接する正n角形の面積をT(n)とする。
lim[n→∞]n^p｛T(n)-S(n)｝が0でない数に収束するときのpの値を求めよ。
- 914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 18:28:40 ]
- >>913
(面積) = n・(中心と一辺が作る二等辺△の面積)
= n・(1/2)(一辺の長さ)(中心から辺の中点までの距離）
を使うと、
S(n) = n・cos(π/n)sin(π/n),
T(n) = n・tan(π/n),
∴ T(n) - S(n) = T(n){1 - cos(π/n)^2} = T(n)sin(π/n)^2,
π - (π/6)(π/n)^2 < n・sin(π/n) < π < n・tan(π/n) < π + (π/3)(π/n)^2,
n→∞ のとき
lim[n→∞) n･sin(π/n) = π = lim[n→∞) n･tan(π/n),
よって
p=2 のとき、極限値 π^3,
蛇足だが････
{S(n) + 2T(n)} /3 = π + (2/15)π^5･(1/n)^4 + ････
lim[n→∞) n^4･{S(n)+2T(n)}/3 = (2/15)π^5,
- 915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 18:32:53 ]
- >>914
ねーよ
- 916 名前：914 mailto:sage [2009/10/12(月) 18:40:51 ]
- >>913 (追加)
よって
p=2 のとき
n^2 {T(n)-S(n)} = T(n) {n･sin(π/n)}^2 → π・π^2, (n→∞)
蛇足
lim[n→∞) n^2･{π - S(n)} = (2/3)π^3,
lim[n→∞) n^2･{T(n) - π} = (1/3)π^3,
lim[n→∞) n^4･{[S(n)+2T(n)]/3 - π} = (2/15)π^5,
- 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 19:51:44 ]
- >>908 >>911
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1085836534/498-499
双子素数
- 918 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 21:17:33 ]
- >>901の（２）とは全然関係無いから
- 919 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 00:07:53 ]
- 大体、正確に未解決問題を書き写したらなおのこと、大学入試問題にはならないだろ。
ちなみに、よく分からないので聞きたいんだが、入試問題的に見て、受験生が誰も解けなかった問題ってのは良い問題なのかな、悪い問題なのかな？
ここでいう誰も解けないは、部分点も無かったってことね。
少なくともその問題は受験生の能力差を見るのに役立たなかった訳だから、悪い問題と見なすべきなきがするけど……
実際は部分点ぐらいあるだろうから問題ないのかな？
- 920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 01:23:24 ]
- 部分点もなかったと言っておきながらすぐ下で部分点ぐらいあると言う。
- 921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 01:26:09 ]
- >>890
を誰か解いて下洒落
- 922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 02:04:58 ]
- y=|x(x-k)|+1とy=xのグラフを書く
→kで場合分け
だけど「発散」が振動を含むのか含まないのか分からん
どっちの語法もあるからはっきりしてほしい
あと場合分けがめんどくさそう
- 923 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 02:14:22 ]
- >>890みたいなただ面倒なだけの有名問題はやめてくれよ
解きつくされてるんだから
- 924 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 16:08:01 ]
- 絶対値絡みは珍しいと思うけど？
- 925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 19:27:22 ]
- ただ場合分けがより面倒になりますというだけだけどね
- 926 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 22:09:53 ]
- 3^3^3^3^3と10^10^10^10の大小を比較せよ。
但しlog10_3=0.4771...である。
難しくないと思うのだけど、
入試問題として類題をほとんどみないせいか、
周りの東大志望の出来は意外と良くなかった。
- 927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 23:05:49 ]
- log 3^3^3^3^3 = 3log3^3^3^3
= 9log3^3^3 = ... = 81log3
log 10^10^10^10 = 1000log10
log10/log3=0.477より後者の方がでかい
案外簡単だな
- 928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 23:08:44 ]
- >>927
お前馬鹿だろ
- 929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 23:20:03 ]
- 入試問題でも
f(t)=e^t^2+...
という式がeの肩にt^2が乗ってることを表してたし、
(a^b)^c=a^bcという規則があるから、
特に括弧をつけずにa^b^cと書いた場合
a^(b^c)のように後ろから計算するものだと思ってたので
ここはそのように考えてください。
- 930 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 23:33:02 ]
- >>927
えくせれんと
- 931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 23:34:28 ]
- >>927
＞log 3^3^3^3^3 = 3log3^3^3^3
正しくは
log 3^3^3^3^3 = 3^3^3^3*log3
だね
- 932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/15(木) 22:33:38 ]
- x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ...... + x_n^2 = 1 の条件の下で F (x_1, x_2, x3_, ..... ., x_n) = x_1*x_2 + x_2*x_3 + .............. + x_n-1*x_n - x_n*x_1 の最大最小を求めよ。
（ずっと前の大数の宿題から）
- 933 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/15(木) 22:37:54 ]
- 訂正
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ...... + x_n^2 = 1 の条件の下で F(x_1, x_2, x3_, ..... ., x_n) = x_1*x_2 + x_2*x_3 + .............. + x_{n-1}*x_n - x_n*x_1 の最大最小を求めよ。
（分かると思うが。）
- 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/16(金) 23:43:19 ]
- xyz空間において、相異なる格子点が９つある。
（なお、格子点とは・・・・ry）
この９点から２点を選びその点と点を結ぶ線分（３６本）を考える。
このうち、線分の中点もまた、格子点であるような線分が必ず存在することをしめせ。
- 935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/16(金) 23:49:57 ]
- 鋭角θにおいて、
θ < （Sinθ + Tanθ）/2
を証明せよ
- 936 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 00:56:09 ]
- >>934
（x座標、y座標、z座標）の偶奇の組合せは2^3=8通りしかないので、
9個の格子点があれば、その中には各座標の偶奇が一致する2点が少なくとも1組存在する。
この2点の中点は格子点である。
- 937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 04:36:06 ]
- 正の素数を固定せよ。
また、nを任意の正の整数とする。
n！約数として現れるｐの個数をあらわす公式を求めよ
- 938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 04:38:56 ]
- ×n！約数として
○n！に約数として
- 939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 04:40:18 ]
- >>935
tan(θ/2) = t とおく。
鋭角により 0 < t < 1,
(右辺) = t/(1+t^2) + t/(1-t^2) = 2t/(1-t^4) > 2t > θ,
- 940 名前：Snellius mailto:sage [2009/10/17(土) 04:48:17 ]
- >>935
序でに･･･
{Cosθ + Cosθ + 1/(Cosθ)^2} /3 ≧ 1, (←相加･相乗平均)
をθで積分して、
(Sinθ + Sinθ + Tanθ) /3 ≧ θ,
- 941 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 14:40:50 ]
- a[1]↑=(1,0)､a[n+1]↑をa[n]↑/2を原点の回りに角θ回転したものとし､
a[2]↑、a[3]↑…と順に定めていく．
ここで、Σ[k=1,n]a[k]↑=(x[n],y[n])とおき、
θに対して点P(lim[n→∞]x[n],lim[n→∞]y[n])を定める。
θが0≦θ＜2πの範囲で動く時、点Pの軌跡を求めよ。
- 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 19:27:29 ]
- ある頻出問題を解いていて思いついた。証明は簡単なので東大には不向きかも。
この定理は有名なものかも知れないので、もし知っている人がいたら教えて！
センター試験の裏技にいいかなと自分では思っている。
【問題】四面体ABCDの辺AB、BC、CD、DA上に点P、Q、R、Sをとる。
(辺の端点はとらないとする)
このとき、4点P、Q、R、Sが同一平面上にある必要十分条件は、
(AP/PB)・(BQ/QC)・(CR/RD)･(DS/SA)＝1
であることを示せ。
- 943 名前：942 mailto:sage [2009/10/17(土) 19:37:16 ]
- 例えば、
www.densu.jp/center/01center2bprob.pdf
の第3問のタ～トは瞬殺。
- 944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 22:14:51 ]
- >>941
a[n+1]↑ は a[1]↑ /(2^n) を原点の周りに角nθ回転したもの。
a[n+1]↑ = ((1/2^n)cos(nθ), (1/2^n)sin(nθ)),
x_n +i･y_n = Σ[k=0,n-1] (1/(2^k)){cos(kθ)+i･sin(kθ)}
= Σ[k=0,n-1] {(1/2)exp(iθ)}^k (← 等比級数)
= {1 - [(1/2)exp(iθ)]^n} / {1-(1/2)exp(iθ)}
→ 1/{1-(1/2)exp(iθ)}
= {1-(1/2)exp(-iθ)}/{(5/4)-cosθ}, (n→∞)
実部と虚部に分けて
x_n → {1-(1/2)cosθ}/{(5/4)-cosθ}, (n→∞)
y_n → (1/2)sinθ/{(5/4)-cosθ}, (n→∞)
∴ 点Pは円 (x - 4/3)^2 + y^2 = (2/3)^2 の周上を動く。
- 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 22:38:35 ]
- >>941 (補足)
x_n -(4/3) +i･y_n = -(1/3){1 -2exp(iθ)}/{1 -(1/2)exp(iθ)},
x_n -(4/3) -i･y_n = -(1/3){1 -2exp(-iθ)}/{1 -(1/2)exp(-iθ)}
= -(4/3){1 -(1/2)exp(iθ)}/{1 -2exp(iθ)},
辺々掛けて
| x_n -(4/3) ±i･y_n |^2 = (2/3)^2,
| x_n -(4/3) ±i･y_n | = 2/3,
- 946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 23:21:43 ]
- n 次関数のグラフがn 1 個の異なる格子点を通れば，それは無数の格子点を通る。
- 947 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 23:23:33 ]
- a_(n+1)=2-√｛4-a_(n)｝
a_(1)=2
で定められる数列a_(n)について、
lim(n→∞)(4^n・a_(n))の値を求めよ.
難。答え出たら多分感動する。
- 948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 23:28:32 ]
- そんなこといって宿題を解いて貰おうって寸法だな
- 949 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 23:38:54 ]
- >>948
こんな問題を宿題にする学校がある分けないだろ。ボケかお前は
- 950 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 23:45:11 ]
- >>949
親が子を思う気持ちと同じぐらい、子が親を思ってると思う。
親に迷惑かけたくない、弱い自分見せたくないという思いから、
電 話したり、田舎に帰る機会が少なくり、すれ違いが生まれるんでし ょうね。
- 951 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 23:50:36 ]
- >>947
a_n=4(sin(θ_n))^2
a_[n+1]=2-2cos(θ_n)=4{sin(θ_n/2)}^2
∴θ_[n+1]=1/2*θ_[n]
- 952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 23:53:03 ]
- やっぱり宿題だったんだ
- 953 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 23:58:36 ]
- >>942-943
確かに便利で砂
- 954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/18(日) 00:10:56 ]
- >>947
a_n = 2(1-b_n) とおくと
b_(n+1) = √{(1 + b_n)/2},
2･b_(n+1)^2 -1 = b_n, (←cosの倍角公式と同じ形)
b_1 = 0,
これを解いて
b_n = cos(π/2^n),
a_n = 2{1 - cos(π/2^n)},
(4^n)a_n → π^2 (n→∞).
>>941 (補足)
P (x,y) = ((4/3)+(2/3)cos(2φ), (2/3)sin(2φ))
ただし
φ = arctan(3･tan(θ/2)),
- 955 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/18(日) 02:24:36 ]
- 【問】
nを自然数として
正方形のn×nマスのある1マスの上に駒を乗せ、それを以下の動きを交互に繰り返して動かす
①すぐ隣のマスへの移動
②一マス飛ばしの移動
ただし、駒は①と②のどちらからでも動かし始めてよいものとし、縦横にしか移動しないとする
この時、駒の初期位置と動かし方をうまく設定することでn×nの全てのマスを1回ずつ動くことが出来るためのnの必要十分条件を求めよ
ただし、n=1の時は駒を動かさないが成立すると考えてよい
- 956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/18(日) 12:01:46 ]
- >>955
nを4で割った余りが2のときのみ出来ない。
証明：
nを4で割った余りが2でないときは、左上のマスに駒を置いて
②から始めることで題意の動かし方ができる。
詳細は省略するが、■の位置で②から始めて１～４の順に
移動すれば、4つの連続したマスが消えるので、これを
何度も使えばよい。
■□□□
１３２４
- 957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/18(日) 12:05:01 ]
- nを4で割った余りが2のときは、n＝4k＋2とおいて、
n*n個のマスを次の4つのエリアL0,L1,L2,L3に分ける。
(n＝6の場合の分け方)
□■□■□■
●○●○●○
□■□■□■
●○●○●○
□■□■□■
●○●○●○
L0＝(□全体)，L1＝(■全体)，L2＝(○全体)，L3＝(●全体)
L0のマスの個数は(2k＋1)^2であり、L1～L3でも同様に
(2k＋1)^2である。つまり、L0～L3のマスの個数は全て奇数である。
最初に駒があるエリアをLsとするとき、次のようになる。
①から始める場合：
Lsのマスは1個減る(←駒の初期位置にあるマス)。その後は、
「いずれかのエリアLiのマスが2個減る」
を繰り返す。L0～L3のマスの個数は奇数なので、
題意の動かし方は不可能だと分かる。
②から始める場合：
Lsのマスが2個減る。その後は、
「いずれかのエリアLiのマスが2個減る」
を繰り返す。L0～L3のマスの個数は奇数なので、
題意の動かし方は不可能だと分かる。
- 958 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/18(日) 13:17:17 ]
- >>956正解
ただnが奇数の時は4連の動きにちょっと動きが加わるけど
- 959 名前：KingGold ◆3waIkAJWrg [2009/10/18(日) 17:01:31 ]
- Reply:>>888 そう思うなら何故お前がよそに行かない。
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